2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题6.5+方程的根与零点问题

2018届高考数学大题狂练
第六篇 函数与导数 专题05 方程的根与零点问题
1．设函数f(x)＝ax3－3ax，g(x)＝bx2－ln x(a，b∈R)，已知它们在x＝1处的切线互相平行.
(1)求b的值；
(2)若函数且方程F(x)＝a2有且仅有四个解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）由和 在处的切线互相平行得， ，解方程求出值．（2）分别求出求出的极值和的极值，结合单调性画出的图象，结合图象可得若方程有四个解，则 ，解不等式求得实数的取值范围．

(2)x∈(0，1)时，g′(x)＝x－＜0，
即g(x)在(0，1)上单调递减，
x∈(1，＋∞)时，g′(x)＝x－＞0，即g(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，g(x)取得极小值g(1)＝；当a＝0时，方程F(x)＝a2不可能有四个解；
当a＜0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0，即f(x)在(－∞，－1)上单调递减，x∈(－1，0)时，f′(x)＞0，
即f(x)在(－1，0)上单调递增，
所以当x＝－1时，f(x)取得极小值f(－1)＝2a，
又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图①所示，
从图象可以看出F(x)＝a2不可能有四个解.
当a＞0，x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，
即f(x)在(－∞，－1)上单调递增，
x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，
即f(x)在(－1，0)上单调递减，
所以当x＝－1时，f(x)取得极大值f(－1)＝2a.又f(0)＝0，所以F(x)的图象如图②所求，
从图②看出，若方程F(x)＝a2有四个解，则＜a2＜2a，
得＜a＜2，
所以，实数a的取值范围是.
2．， ， ．
（1）证明：存在唯一实数，使得直线和曲线相切；
（2）若不等式有且只有两个整数解，求的范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，设切点为（x0，y0），得到+x0﹣2=0．设h（x）=ex+x﹣2，根据函数的单调性求出x0的值，判断结论即可；
（2）根据a（x﹣）＜1，令，根据函数的单调性求出的最小值，通过讨论a的范围，求出满足条件的a的范围即可．
所以，
即，令， ，所以单增，
又因为， ，所以，存在唯一实数，使得，且，
所以只存在唯一实数，使①②成立，即存在唯一实数使得和相切．
（2）令，则，所以，
当时， ，又， ，所以两个整数解为0,1，即所以，即；
当时， ，因为， 在内大于或等于1，所以无整数解，舍去．
综上， ．
3．已知函数.
（1）若函数有两个极值点，求实数的取值范围；
（2）若关于的方程， 有实数解，求整数的最大值.
【答案】(1) ;(2)0.
【解析】试题分析：（1）函数有两个极值点等价于有两个可变零点，即方程有两个不等的正实数根,（2）方程,即,记函数,，问题转化为直线与的交点情况.
试题解析：
(1) ,则,
得方程有两个不等的正实数根,
即,
(2)方程,即,记函数,， ,
令 ,,
单调递减, ,
存在,使得,即,
当,, 递增, , 递减,
,即,,
故,整数的最大值为
4．已知函数（，）．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，判断关于的方程的解的个数．
【答案】（1）；（2）只有一个解.
试题解析：
（1）∵，
∴，
由题意得在恒成立，
即在恒成立，
设，
则，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴．
∴实数的取值范围为．
（2）由题意得，
则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
又，，
∴存在，使得 时， 单调递减；
当 时，，单调递增，
又，→时，→，
∴当，时，方程有一个解，
∴当时，方程只有一个解．
5．已知函数，函数是区间上的减函数.
（1）求的最大值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围；
（3）讨论关于的方程的根的个数.
【答案】（1）；（2）；（3）当，即时，方程无解；当，即时，方程有一个解；当，即时，方程有两个解.
分析求解.
试题解析：（1）∵，∴，
又∵在上单调递减，∴在恒成立，
∴，∴故的最大值为-1；
（2）∵，
∴只需在上恒成立，
既，
令，
则需则，
又∵恒成立，∴；
（3）由于，令，
∵，∴当时， ，即单调递增；
当时， ，即单调递减，∴，
又∵，
∴当，即时，方程无解；
当，即时，方程有一个解；
当，即时，方程有两个解.
6．已知.
（1）讨论的单调性；
（2）若有三个不同的零点，求的取值范围.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析：（1），对a分类讨论，从而得到的单调性；
（2），则，对a分类讨论，研究函数的图象走势，从而得到的取值范围.
综上所述，当时，在上为增函数；
当时，在上为增函数，在上为减函数.
（2）由题意，则，
当时，∵，
∴在上为增函数，不符合题意.
当时，，
令，则.
令的两根分别为且，
则∵，∴，
当时，，∴，∴在上为增函数；
当时，，∴，∴在上为减函数；
当时，，∴，∴在上为增函数.
∵，∴在上只有一个零点 1，且。
∴
，
，
.
∵，又当时，.∴
∴在上必有一个零点.
∴
.
∵，又当时，，∴.
∴在上必有一个零点.
综上所述，故的取值范围为.