2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题6.2+极值问题

2018届高考数学大题狂练
第六篇 函数与导数 专题02 极值问题
1．已知函数 (， 为自然对数的底数).
（Ⅰ）求函数的极值；
（Ⅱ）当时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值.
【答案】（1）见解析（2）的最大值为1.
【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据a的正负讨论导函数符号变化规律，最后根据导函数符号确定极值，（2）先将无交点转化为方程在上没有实数解，转化为在上没有实数解，再利用导数研究取值范围，即得，即得的取值范围是，从中确定的最大值.
所以在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，且极小值为，无极大值.
综上，当时，函数无极小值；
当， 在处取得极小值，无极大值.
（Ⅱ）当时， .
直线与曲线没有公共点，
等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：
在上没有实数解.
①当时，方程可化为，在上没有实数解.
②当时，方程化为.
令，则有
令，得，
当变化时， 的变化情况如下表：
-1
-
0
+
↘
↗
解得的取值范围是.
综上，得的最大值为1.
2．已知函数
(1)若,函数的极大值为,求实数的值；
(2)若对任意的在上恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）第（1）问，先求导，对a分类讨论，求出每一种情况下的极大值，得到a的方程，即可求出实数a的值. (2)第(2)问，令，转化成证明g(a)的最大值小于等于在上恒成立，再分离参数对恒成立，再利用导数求右边函数的最大值得解.
试题解析：
（1）∵，
∴
①当时， ，
令，得； ，得，
所以在上单调递增， 上单调递减．
所以的极大值为，不合题意．
所以的极大值为，解得．符合题意．
综上可得．
（2）令，
当时， ， 在上是增函数
则对恒成立等价于，
即对恒成立.
即对恒成立
令

在上单调递减。
所以实数的取值范围为.
3．已知函数.
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1），由在处取到极值，可得，.
经检验，时，在处取到极小值；（2），令，讨论三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，可得当时，不满足在上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.
①当时，，在上单调递减.
又∵，∴时，，不满足在上恒成立.
②当时，二次函数开口向上，对称轴为，过.
a.当，即时，在上恒成立，
∴，从而在上单调递增.
又∵，∴时，成立，满足在上恒成立.
b.当，即时，存在，使时，，单调递减；
时，，单调递增，∴.
又∵，∴，故不满足题意.
③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，
，∴，在上单调递减.
又∵，∴时，，故不满足题意.
综上所述，.
4．已知函数，其中．
（Ⅰ）若曲线在处的切线与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）当时，证明： 存在极小值．
【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）见解析.
恒成立，故在单调递增．因为，
， ，故存在，使得．可得f(x)在减，
在增，所以存在极小值．
试题解析：（Ⅰ） 的导函数为．依题意，有 ，解得．
（Ⅱ）由及知， 与同号．
令，
则 ．
所以对任意，有，故在单调递增．
与在区间上的情况如下：
↘
极小值
↗
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以存在极小值．
5．已知函数.
(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程；
(Ⅱ)若函数在上有极值，求a的取值范围．
【答案】(1) ;(2) .
【解析】试题分析：（1）由题意，因为， ，利用点斜式方程即可求解切线的方程；
（Ⅱ）由，分和讨论，即可得出函数单调性，求得函数有极值的条件，求得实数的取值范围．
试题解析：
函数的定义域为， ．
（Ⅰ）因为， ，
所以曲线在点处的切线方程为，
即．
（ⅱ）当时，令，则．
所以在上单调递增，即在上单调递增，
所以函数在上有极值，等价于
所以 所以．
所以的取值范围是．
6．已知函数
（Ⅰ）若是的极小值点,求实数的取值范围及函数的极值;
（Ⅱ）当时,求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）极小值为,极大值为.（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据极小值定义求实数的取值范围，根据导函数符号变化规律确定函数极值，（2）根据a与2大小讨论导函数零点，再列表分析导函数符号变化规律确定函数最大值取法，最后小结结论.
试题解析：解:
（Ⅰ）若是的极小值,则列表分析如下:
所以极小值为,极大值为.
（Ⅱ）当时,函数在上单调递增,所以最大值为
（1）当时, 在上单调递增,在上单调递减,所以最大值为
②当时,最大值为
综上所述,当时,最大值为当时,最大值为