2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题6.3+最值问题

2018届高考数学大题狂练
第六篇 函数与导数 专题03 最值问题
1．已知函数，且函数的图象在点处的切线斜率为．
（1）求的值，并求函数的最值；
（2）当时，求证：.
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由，可求得b=1,代入函数得，所以分0和0讨论单调性，再求得函数最值。（2）构造函数，只需证 在R上恒成立，显然时，符合，当时，，导函数零点，由单调可知下证 ，在区间上恒成立。
综上所述，当时，没有最值；
当时，的最大值为，无最小值．
（2）要证，即证，
令，
当时，，∴成立；
当时，，
当时，；当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴．
∵，
∴，，
∴，即成立，
故原不等式成立．
2．已知是实数,函数
（Ⅰ）若求的值及曲线在点处的切线方程;
（Ⅱ）求在区间上的最小值.
【答案】(1) (2)见解析.
【解析】试题分析：（I）首先根据导数求，再根据切线方程求切线方程；（Ⅱ）首先求函数的极值点， ，比较 与区间端点的大小，从而得到函数的最小值.
试题解析：（Ⅰ）
因为所以
当时,
所以曲线在点处的切线方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知, .
令解得
综上所述, .
3．已知函数
(I)当时，求函数的单调递增区间；
(Ⅱ)当时，若函数的最大值为，求的值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）当时，，令，得的单调递增区间为
（Ⅱ），令，则，
由，，故存在，， 故当时，；当时，，可得f(x)在增，减，所以存在极大值．故，解得的值为.
（Ⅱ）方法1：
令
则
由，
故存在，
故当时，；当时，
↗
极大值
↘
故
故，解得
故的值为.
等价于的最大值为.
，
令，得.
↗
极大值
↘
故的最大值为，即.
4．已知函数.
（1）求函数的极值点；
（2）设，若的最大值大于，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）
得
令，讨论其性质可得的取值范围.
试题解析：（1） ，令得

（2），
令，得
由，得
令，
而
5．已知函数
（Ⅰ）若是的极小值点,求实数的取值范围及函数的极值;
（Ⅱ）当时,求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）极小值为,极大值为.（2）见解析
【解析】试题分析：（1）根据极小值定义求实数的取值范围，根据导函数符号变化规律确定函数极值，（2）根据a与2大小讨论导函数零点，再列表分析导函数符号变化规律确定函数最大值取法，最后小结结论.
试题解析：解:
（Ⅰ）若是的极小值,则列表分析如下:
所以极小值为,极大值为.
（Ⅱ）当时,函数在上单调递增,所以最大值为
（1）当时, 在上单调递增,在上单调递减,所以最大值为
综上所述,当时,最大值为当时,最大值为
6．已知函数（）.
（1）若时， 不单调，求的取值范围；
（2）设，若， 时， 时， 有最小值，求最小值的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】试题分析：
（1）根据不单调可得导函数在区间上有解，然后通过分离参数的方法将问题转化为求在上的取值范围的问题解决，然后利用基本不等式可得所求．（2）由题意可得，利用导数可得在上单调递增，又
，故可得在上存在零点，从而可得
．然后再利用导数求出函数的值域即可得到所求．
又，（当且仅当时等号才成立，故此处无等号）
∴．
∴ 实数的取值范围为．
（2）由题意得，
∴.
设，则，
又， ，
∵，
∴单调递增，
又，
∴存在，使得.
且当时， ， 单调递减，
当时， ， 单调递增，
∴
.
又，
∴.
故最小值的取值范围为．