2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题6.6+不等式恒成立与存在性问题

2018届高考数学大题狂练
第六篇 函数与导数 专题06 不等式恒成立与存在性问题
1．设函数．
（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）设， 是的导函数．①若对任意的，求证：存在使；②若求证： ．
【答案】(1) ；(2)①.证明见解析；②证明见解析.
【解析】试题分析：（1）由题意， 对恒成立，对恒成立；（2）①，由题中条件得到令，则，代入表达式得到，得证；②，，即，，只需证，换元研究函数最值即可.
∴，从而．
（2）①，则．
若，则存在，使，不合题意.
∴．
取，则．
此时．
∴存在，使．
②依题意，不妨设，令，则．
∴．
下面证明，即证明，只要证明．
设，则在恒成立．
∴在单调递减，故，从而得证．
∴，即．
2．已知函数.
（1）若在处取得极值，求的值；
（2）若在上恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1），由在处取到极值，可得，.
经检验，时，在处取到极小值；（2），令，讨论三种情况，分别利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值，可得当时，不满足在上恒成立，时再分两种情况讨论可得时，在上恒成立，当时，根据二次函数的性质可得不满足题意，进而可得结果.
试题解析：（1），
∵在处取到极值，
∴，即，∴.
经检验，时，在处取到极小值.
（2），令，
①当时，，在上单调递减.
又∵，∴时，，不满足在上恒成立.
②当时，二次函数开口向上，对称轴为，过.
a.当，即时，在上恒成立，
∴，从而在上单调递增.
又∵，∴时，成立，满足在上恒成立.
b.当，即时，存在，使时，，单调递减；
时，，单调递增，∴.
又∵，∴，故不满足题意.
③当时，二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递减，
，∴，在上单调递减.
又∵，∴时，，故不满足题意.
综上所述，.
3．设函数， ．
（1）当时，求函数的极小值；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）极小值2；（2）
（Ⅲ）由题意原命题等价于恒成立，设，进而转化为在上单调递减，利用导数，即可求得实数的取值范围．
试题解析：
（1）因为，所以当时， ， 在上单调递减；当时， ， 在上单调递增；
所以当时， 取得极小值.
（2） ，
令，得．
设，则 ．
所以当时， ， 在上单调递增；
当时， ， 在上单调递减；
所以的最大值为，又，可知：
①当时，函数没有零点；②当或时，函数有且仅有1个零点；
③当时，函数有2个零.
所以 恒成立，所以．
即的取值范围是．
4．已知函数是偶函数，且满足，当时， ，当时， 的最大值为.
（1）求实数的值；
（2）函数，若对任意的，总存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）2；（2）或
使不等式恒成立”等价于“”，故可将问题转化为求函数的最大值或其值域．
试题解析：
（1）∵，即，
∴，
∴，
当时， ，
∴当时， ，
∴.
又，
∴恒成立，
∴在上单调递增，
∴，
令，解得．
∴实数的值为2．
（2）当时， ，
∴，
∴函数在单调递增，
∴当时， ．
又当时， ，
∴．
①当时， ，函数在区间单调递增，
∴．
∵对任意的，总存在，使不等式恒成立，
∴
解得；
解得；
综上或．
∴实数的取值范围．
5．设,函数.
（Ⅰ）若函数在处的切线与直线平行,求的值;
（Ⅱ）若对于定义域内的任意,总存在使得,求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率为，解得的值;（2）先根据任意存在性含义转化不等式为对应函数最值关系： 在定义域内不存在最小值,再求导数，根据a正负讨论导函数符号变化规律，进而确定单调性以及最小值取法，最后根据最小值情况确定的取值范围.
试题解析：解:（Ⅰ）函数的导函数为
,
则函数在处的切线斜率为,
依题意有,
解得.
可得在单调递增,在单调递增,在单调递减,
即有在取得极大值,
当时, ;当时, .
取即可,
当时, 在单调递减,
且, ,
故存在,使得,
同理当时,令使得,
则有当时, 成立;
③当时, 在单调递减,在单调递增,在单调递增,
即有在处取得极小值,
当时, ;当时,
所以,
当时,不存在使得成立,
综上可得, 的取值范围是.
6．已知函数的图像在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求实数的值;
（Ⅱ）当时, 恒成立,求实数的取值范围.
【答案】（1）, ;（2）
【解析】试题分析： 求出，根据题意可得，解出即可得到所以,解得, ;
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
当, 恒成立等价于恒成立,
设,则,
记,,
所以在区间上单调递减, ,
故,
所以在区间上单调递减, ,
所以,实数的取值范围为.