2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题6.1+利用导数研究函数的单调性

2018届高考数学大题狂练
第六篇 函数与导数 专题01 利用导数研究函数的单调性
1．已知函数,为自然对数的底数）．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若在时恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】试题分析：（1）对函数进行求导可得，对导函数再次进行求导得导函数的单调性，即可得其最小值为，即恒成立，故而可得其结论；（2）令，对进行求导得，记（），对进行求导，对进行分类讨论，分为和两种情形，根据导数与单调性的关系得与0的关系，得到的单调性和最值，结合，得结论.
所以，即恒成立，
所以函数在上单调递增，即函数的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）令（）．
则，且，
记（），则，
①当，即时，恒成立，
所以函数在上单调递增，即函数在上单调递增，
所以，所以函数单调递增，
所以，即恒成立．
②当，即时，
由得，所以函数在上单调递减，即函数在上单调递减，所以，所以函数在上单调递减，所以当时，显然不能恒成立．
综上，实数的取值范围为．
2．已知函数.
（1）讨论函数在上的单调性；
（2）比较与的大小，并加以证明.
【答案】（1）见解析（2）
试题解析：（1），
当，即时， ，
∴在上单调递减；
当，即时，令，得；
令，得.
故在上单调递增，在单调递减.
（2）.
证明如下：
设，
∵为增函数
∴可设，∵， ，
∴
当时， ；当时， .
∴
又，∴，
3．已知二次函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数，记为函数极大值点，求证： .
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，通过讨论 的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）由题
则，此时，讨论的单调性可得， 在处取得极大值，则一定有个零点，分别是的极大值点和极小值点.
设是函数的一个极大值点，则
所以， ，由所以，
此时可证明.
试题解析：（1）
当时， 在上恒正；
所以， 在上单调递增
当时，由得，
所以当时， 单调递减
当时， 单调递增.
综上所述，
（2）
则
令的
当时， 为增函数；
当时， 为减函数；
所以， 在处取得极大值，
一定有个零点，分别是的极大值点和极小值点.
设是函数的一个极大值点，则
所以，
又
所以，
此时
所以.
4．已知函数，其中为常数且.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，，若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）,当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在上单调递增，在上单调递减；（3）.
(1)当时，，
=
切线的斜率，又，
故切线的方程为，
即.
（2）且,
()当时,,
当时,;当时,.
故在区间上单调递减,在区间上单调递增；
故在区间上均为单调增函数,
在区间上为减函数.
综上所述,当时,在上单调递减,在上单调递增;
当时,在、上单调递增，在上单调递减.
（3）当时，由（2）知，
又
，
在上为增函数.
.
依题意有
故的取值范围为.
5．已知函数（），其中为自然对数的底数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）已知， 为整数，若对任意，都有恒成立，求的最大值．
【答案】（1）见解析（2）2
【解析】试题分析：（1）先求导数，再根据m范围确定导函数零点，根据导函数符号确定单调性，（2）先分离得，再利用导数研究函数单调性（隐零点），根据单调性求最小值，根据极值条件化简最小值，最后根据最小值范围确定k范围，进而确定的最大值．
试题解析：解：（1）由题意得，函数的定义域为， ．
若，则，所以函数在区间上单调递减；
若，则当时， ，当时， ，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）当时，对任意，都与恒成立，等价于对任意的恒成立，
令，则，
设此零点为，则.
因为当时， ，
当时， ，
所以在区间上的最小值为，
所以.
又因为 ，
所以，
所以.
又因为为整数，且，
所以的最大值是2．
6．已知函数（，）．
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）当时，判断关于的方程的解的个数．
【答案】（1）；（2）只有一个解.
【解析】试题分析：
（1）根据在恒成立求解即可，求解时可选用分离参数的方法．（2）由题意可得即判断方程根的个数，令，利用导数可得存在，使得 时 单调递减，当 时单调递增，又，→时，→，结合图象可得当，时，方程有一个解，即方程只有一个解．
由题意得在恒成立，
即在恒成立，
设，
则，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，
∴．
∴实数的取值范围为．
（2）由题意得，
∴，
令，
则，
令，
则，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴，
又，，
∴存在，使得 时， 单调递减；
当 时，，单调递增，
又，→时，→，
∴当，时，方程有一个解，
∴当时，方程只有一个解．