2018届高考数学大题狂练
第六篇 函数与导数 专题07 多变量的函数问题
1.设函数.
(1)若函数是R上的单调增函数,求实数a的取值范围;
(2)设, 是的导函数.①若对任意的,求证:存在使;②若求证: .
【答案】(1) ;(2)①.证明见解析;②证明见解析.
,,只需证,换元研究函数最值即可.
解析:
(1)由题意, 对恒成立.
∵
∴对恒成立,
∵
∴,从而.
(2)①,则.
若,则存在,使,不合题意.
∴.
取,则.
此时.
∴存在,使.
②依题意,不妨设,令,则.
∴.
∴.
下面证明,即证明,只要证明.
设,则在恒成立.
∴在单调递减,故,从而得证.
∴,即.
2.已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)设函数, , 为自然对数的底数.当时,若, ,不等式成立,求的最大值.
【答案】(1)单调递减区间是,单调递增区间是;(2)3
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(2)问题等价于等价于, 对恒成立,,设,求出函数的导数,根据函数的单调性求出k的最大值即可.
试题解析:(1)对函数求导得,
令,得,
当时, ,此时函数单调递减;
当时, ,此时函数单调递增,
所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是.
即对恒成立,
因为时,
所以对恒成立,
即对恒成立,
设,
则,
令,则,
当时, ,
所以函数在上单调递增,
而, ,
所以,
所以存在唯一的,使得,即,
当时, , ,所以函数单调递减;
当时, , ,所以函数单调递增,
所以当时,函数有极小值,同时也为最小值,
因为 ,
又,且,
所以的最大整数值是.
3.已知函数是偶函数,且满足,当时, ,当时, 的最大值为.
(1)求实数的值;
(2)函数,若对任意的,总存在,使不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)2;(2)或
【解析】试题分析:
使不等式恒成立”等价于“”,故可将问题转化为求函数的最大值或其值域.
试题解析:
(1)∵,即,
∴,
∴,
当时, ,
∴当时, ,
∴.
又,
∴恒成立,
∴在上单调递增,
∴,
令,解得.
∴实数的值为2.
(2)当时, ,
∴,
∴函数在单调递增,
∴当时, .
又当时, ,
∴.
解得;
②当时, ,函数在区间单调递减,
∴,
同①可得,
解得;
综上或.
∴实数的取值范围.
4.已知
(1)求函数的极值;
(2)设,对于任意,总有成立,求实数的取值范围.
【答案】 (1) 的极小值为: ,极大值为: (2)
试题解析:
(1)
所以的极小值为: ,极大值为: ;
(2) 由(1)可知当时,函数的最大值为
对于任意,总有成立,等价于恒成立,
①时,因为,所以,即在上单调递增, 恒成立,符合题意.
②当时,设, ,
所以在上单调递增,且,则存在,使得
所以在上单调递减,在上单调递增,又,
所以不恒成立,不合题意.
综合①②可知,所求实数的取值范围是.
5.已知函数, .
()求函数的单调区间.
()若对任意, , 恒成立,求的取值范围.
【答案】()单调增区间为,单调减区间和.().
试题解析:().
令,则,令,则或.
故函数的单调增区间为,单调减区间和.
()依题意,“对于任意, , 恒成立”等价于“对于任意, 恒成立”.
由()知,函数在上单调递增,在上单调递减.
∵, ,∴函数的最小值为,
∴.
∵,∴.
∵,令,得, .
①当,即时,当时, ,函数在上单调递增,
∴函数.
由得, ,
∴.
②当,即时, 时, 时, ,
∴函数在上单调递增,在上单调递减,
∴.
由得, ,
∴.
综上所述, 的取值范围是.
6.已知函数.
(1)若是的一个极值点,求的最大值;
(2)若, ,都有 ,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
大小,分成两类,利用分离常数法求得的取值范围.
【试题解析】
(1),
由题意得,即,所以,
所以 ,
当时, ;当时, ,
所以在上单调递增,在上单调递减.
所以 .
令函数 ,
当时, 在上单调递增,所以在上恒成立,即在上恒成立,令, ,则,
所以在上单调递减,故,
所以实数的取值范围为.
同理,当时, 在上单调递减,所以在上恒成立,即在上恒成立,令, ,则,
所以在上单调递减,故.
所以实数的取值范围为,
综上,实数的取值范围为.