2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题6.7+多变量的函数问题

2018届高考数学大题狂练
第六篇 函数与导数 专题07 多变量的函数问题
1．设函数．
（1）若函数是R上的单调增函数，求实数a的取值范围；
（2）设， 是的导函数．①若对任意的，求证：存在使；②若求证： ．
【答案】(1) ；(2)①.证明见解析；②证明见解析.
，，只需证，换元研究函数最值即可.
解析:
（1）由题意， 对恒成立.
∵
∴对恒成立，
∵
∴，从而．
（2）①，则．
若，则存在，使，不合题意.
∴．
取，则．
此时．
∴存在，使．
②依题意，不妨设，令，则．
∴．
∴．
下面证明，即证明，只要证明．
设，则在恒成立．
∴在单调递减，故，从而得证．
∴，即．
2．已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设函数， ， 为自然对数的底数.当时，若， ，不等式成立，求的最大值.
【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间是；（2）3
【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题等价于等价于， 对恒成立，，设，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k的最大值即可．
试题解析：（1）对函数求导得，
令，得，
当时， ，此时函数单调递减；
当时， ，此时函数单调递增，
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.
即对恒成立，
因为时，
所以对恒成立，
即对恒成立，
设，
则，
令，则，
当时， ，
所以函数在上单调递增，
而， ，
所以，
所以存在唯一的，使得，即，
当时， ， ，所以函数单调递减；
当时， ， ，所以函数单调递增，
所以当时，函数有极小值，同时也为最小值，
因为 ，
又，且，
所以的最大整数值是.
3．已知函数是偶函数，且满足，当时， ，当时， 的最大值为.
（1）求实数的值；
（2）函数，若对任意的，总存在，使不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）2；（2）或
【解析】试题分析：
使不等式恒成立”等价于“”，故可将问题转化为求函数的最大值或其值域．
试题解析：
（1）∵，即，
∴，
∴，
当时， ，
∴当时， ，
∴.
又，
∴恒成立，
∴在上单调递增，
∴，
令，解得．
∴实数的值为2．
（2）当时， ，
∴，
∴函数在单调递增，
∴当时， ．
又当时， ，
∴．
解得；
②当时， ,函数在区间单调递减，
∴，
同①可得，
解得；
综上或．
∴实数的取值范围．
4．已知
(1)求函数的极值；
(2)设，对于任意，总有成立，求实数的取值范围.
【答案】 (1) 的极小值为： ，极大值为： (2)
试题解析:
(1)
所以的极小值为： ，极大值为： ；
(2) 由(1)可知当时，函数的最大值为
对于任意，总有成立，等价于恒成立，
①时，因为，所以，即在上单调递增， 恒成立，符合题意.
②当时，设， ，
所以在上单调递增，且，则存在，使得
所以在上单调递减，在上单调递增，又，
所以不恒成立，不合题意.
综合①②可知，所求实数的取值范围是.
5．已知函数， ．
（）求函数的单调区间．
（）若对任意， ， 恒成立，求的取值范围．
【答案】（）单调增区间为，单调减区间和．（）．
试题解析：（）．
令，则，令，则或．
故函数的单调增区间为，单调减区间和．
（）依题意，“对于任意， ， 恒成立”等价于“对于任意， 恒成立”．
由（）知，函数在上单调递增，在上单调递减．
∵， ，∴函数的最小值为，
∴．
∵，∴．
∵，令，得， ．
①当，即时，当时， ，函数在上单调递增，
∴函数．
由得， ，
∴．
②当，即时， 时， 时， ，
∴函数在上单调递增，在上单调递减，
∴．
由得， ，
∴．
综上所述， 的取值范围是．
6．已知函数.
（1）若是的一个极值点，求的最大值；
（2）若， ，都有 ，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
大小,分成两类,利用分离常数法求得的取值范围.
【试题解析】
（1），
由题意得，即，所以，
所以 ，
当时， ；当时， ，
所以在上单调递增，在上单调递减.
所以 .
令函数 ，
当时， 在上单调递增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令， ，则，
所以在上单调递减，故，
所以实数的取值范围为.
同理，当时， 在上单调递减，所以在上恒成立，即在上恒成立，令， ，则，
所以在上单调递减，故.
所以实数的取值范围为，
综上，实数的取值范围为.