2018届高考数学大题狂练
第五篇解析几何 专题04 定值问题
1.已知椭圆: 的左、右焦点分别为、,以点为圆心,以3为半径的圆与以点为圆心,以1为半径的圆相交,且交点在椭圆上.设点,在中, .
(1)求椭圆的方程;
(2)设过点的直线不经过点,且与椭圆相交于, 两点,若直线与的斜率分别为, ,求的值.
【答案】(1) ;(2)-1.
【解析】试题分析:(1)由椭圆定义可得,由,∴,从而得到椭圆的方程;
(2)直线的斜率显然存在,设直线l方程: ,交点,
由 .由韦达定理可得:
.
联立①②,解得,∴椭圆方程为;
(2)直线的斜率显然存在,设直线l方程: ,交点,
由 .
,
,
.
2.已知椭圆()的离心率为,点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆的一条弦,斜率为, 是轴上的一点, 的重心为,若直线的斜率存在,记为,问: 为何值时, 为定值?
【答案】(1)(2)
试题解析:(Ⅰ)解:椭圆的方程为: ,解得椭圆方程为:
(Ⅱ)设, ,则重心
,
由于斜率为存在且,故
则为定值,当且仅当,即时, 为定值为.
3.设抛物线的焦点为,准线为.已知点在抛物线上,点在上, 是边长为4的等边三角形.
(1)求的值;
(2)在轴上是否存在一点,当过点的直线与抛物线交于、两点时, 为定值?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2).
由得, ,由韦达定理及两点间距离公式可得,同理可得,化简即可得, 时为定值,此时点为定点.
试题解析:(1)由题知, ,则.设准线与轴交于点,则.又是边长为4的等边三角形, ,所以, ,即.
又,同理可得,则有
.
若为定值,则,此时点为定点.
又当, 时, ,
所以,存在点,当过点的直线与抛物线交于、两点时, 为定值.
4.动点到定点的距离比它到直线的距离小1,设动点的轨迹为曲线,过点的直线交曲线于、两个不同的点,过点、分别作曲线的切线,且二者相交于点.
(Ⅰ)求曲线的方程;
(Ⅱ)求证: ;
【答案】(Ⅰ).(Ⅱ)见解析.
【解析】试题分析:(Ⅰ)题设条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离
∴动点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,可得方程为;(Ⅱ)设直线的方程为: ,由得,根据韦达定理,可得, ,利用导数的几何意义可得两切线的方程,两方程联立可得,再根据平面向量数量积公式化简可得结论.
试题解析:(Ⅰ)由已知,动点在直线上方,条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离
∴动点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线故其方程为.
∴直线的方程为: ①
直线的方程为: ②
①-②得: ,即
将代入①得:
∴故
∴,
∴
5.如下图,在平面直角坐标系中,直线与直线之间的阴影部分即为,区域中动点到的距离之积为1.
(Ⅰ)求点的轨迹的方程;
(Ⅱ)动直线穿过区域,分别交直线于两点,若直线与轨迹有且只有一个公共点,求证: 的面积恒为定值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】试题分析:
(Ⅰ)由点到直线距离公式直接把已知表示出来,并化简可得方程;
(Ⅱ)直线与轨迹有且只有一个公共点,即直线与轨迹相切,因此可求出当与垂直(即斜率不存在)时, 面积,当斜率存在时,可设其方程为,与双曲线方程联立方程组,由可得,再设出,由直线相交可求得(用表示),计算面积可得结论.
(Ⅱ)设直线与轴相交于点,当直线的斜率不存在时, , ,得.
当直线的斜率存在时,设其方程为,显然,则,
把直线的方程与联立得,
由直线与轨迹有且只有一个公共点,知,
得,得或.
设, ,由得,同理,得.
所以 .
综上, 的面积恒为定值2.
6.已知直线过抛物线:的焦点,且垂直于抛物线的对称轴,与抛物线两交点间的距离为.
(1)求抛物线的方程;
(2)若点,过点的直线与抛物线相交于,两点,设直线与的斜率分别为和.求证:为定值,并求出此定值.
【答案】(1);(2)见解析.
试题解析:(1)由题意可知,,抛物线的方程为.
(2)已知点,设直线的方程为:
,,则,,
联立抛物线与直线的方程消去得
可得,,代入可得.
因此可以为定值,且该定值为.