2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题5.5+定值问题

2018届高考数学大题狂练
第五篇解析几何 专题04 定值问题
1．已知椭圆： 的左、右焦点分别为、，以点为圆心，以3为半径的圆与以点为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.设点，在中， .
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线不经过点，且与椭圆相交于， 两点，若直线与的斜率分别为， ，求的值.
【答案】(1) ;(2)-1.
【解析】试题分析：（1）由椭圆定义可得，由，∴，从而得到椭圆的方程；
（2）直线的斜率显然存在，设直线l方程： ，交点，
由 .由韦达定理可得:
.
联立①②，解得，∴椭圆方程为；
（2）直线的斜率显然存在，设直线l方程： ，交点，
由 .
，

，
.
2．已知椭圆（）的离心率为，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆的一条弦，斜率为， 是轴上的一点， 的重心为，若直线的斜率存在，记为，问： 为何值时， 为定值？
【答案】（1）（2）
试题解析：（Ⅰ）解：椭圆的方程为： ，解得椭圆方程为：
（Ⅱ）设， ，则重心
，
由于斜率为存在且，故
则为定值，当且仅当，即时， 为定值为.
3．设抛物线的焦点为，准线为.已知点在抛物线上，点在上， 是边长为4的等边三角形.
（1）求的值；
（2）在轴上是否存在一点，当过点的直线与抛物线交于、两点时， 为定值？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）.
由得， ，由韦达定理及两点间距离公式可得，同理可得，化简即可得， 时为定值，此时点为定点.
试题解析：（1）由题知， ，则.设准线与轴交于点，则.又是边长为4的等边三角形， ，所以， ，即.
又，同理可得，则有
.
若为定值，则，此时点为定点.
又当， 时， ，
所以，存在点，当过点的直线与抛物线交于、两点时， 为定值.
4．动点到定点的距离比它到直线的距离小1，设动点的轨迹为曲线，过点的直线交曲线于、两个不同的点，过点、分别作曲线的切线，且二者相交于点.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）求证： ；
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）题设条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离
∴动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，可得方程为；（Ⅱ）设直线的方程为： ，由得，根据韦达定理，可得， ，利用导数的几何意义可得两切线的方程，两方程联立可得，再根据平面向量数量积公式化简可得结论.
试题解析：（Ⅰ）由已知，动点在直线上方，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离
∴动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线故其方程为.
∴直线的方程为： ①
直线的方程为： ②
①-②得： ，即
将代入①得：
∴故
∴，
∴
5．如下图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分即为，区域中动点到的距离之积为1.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求证： 的面积恒为定值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析
【解析】试题分析：
（Ⅰ）由点到直线距离公式直接把已知表示出来，并化简可得方程；
（Ⅱ）直线与轨迹有且只有一个公共点，即直线与轨迹相切，因此可求出当与垂直（即斜率不存在）时， 面积，当斜率存在时，可设其方程为，与双曲线方程联立方程组，由可得，再设出，由直线相交可求得（用表示），计算面积可得结论.
（Ⅱ）设直线与轴相交于点，当直线的斜率不存在时， ， ，得.
当直线的斜率存在时，设其方程为，显然，则，
把直线的方程与联立得，
由直线与轨迹有且只有一个公共点，知，
得，得或.
设， ，由得，同理，得.
所以 .
综上， 的面积恒为定值2.
6．已知直线过抛物线：的焦点，且垂直于抛物线的对称轴，与抛物线两交点间的距离为.
(1)求抛物线的方程;
(2)若点，过点的直线与抛物线相交于,两点，设直线与的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值.
【答案】（1）；（2）见解析.
试题解析：（1）由题意可知，，抛物线的方程为.
（2）已知点，设直线的方程为：
，，则，，
联立抛物线与直线的方程消去得
可得，，代入可得.
因此可以为定值，且该定值为.