2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题5.6+存在性问题

2018届高考数学大题狂练
第五篇 解析几何 专题05存在性问题
1．已知椭圆的离心率为，以椭圆的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的右顶点，点在轴上．若椭圆上存在点，使得，求点横坐标的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）设椭圆的半焦距为．依题意，得， ，且．
解得， ．由此可得椭圆的方程．
2）“椭圆上存在点，使得”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点，使得成立” 依题意， ．设， ，则，且，即．可得，由，解得
点横坐标的取值范围．
（2）“椭圆上存在点，使得”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点，使得成立”．
依题意， ．设， ，则，且，
即．
将代入上式，得 ．
因为，所以，
即，所以，解得，
所以 点横坐标的取值范围是．
2．已知椭圆:过点和点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点, ,是否存在实数,使得?若存在,求出实数;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）（2）不存在
解析：（Ⅰ）椭圆:过点和点,
所以,由,解得,
所以椭圆:;
（Ⅱ）假设存在实数满足题设,
由,得,
因为直线与椭圆有两个交点,
所以,即,
设的中点为,分别为点的横坐标,则,
从而,
所以,
因为,
所以,
所以,而,
所以,即,与矛盾,
因此,不存在这样的实数,使得.
3．过椭圆： 的左焦点作其长轴的垂线与的一个交点为，右焦点为，若.
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若椭圆上存在点使得 ，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：
(1)∵，∴，∴，
∴，∴，∴.
（2）∵，∴，
不妨设椭圆的方程为，即.
设， ， ，
∵，
∴，
由于都在椭圆上，
，
∴，
∴
∴
∴（*）
4．在直角坐标系中，设点A（-3，0），B（3，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是
（1）试讨论点M的轨迹形状；
（2）当0【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）设点，根据条件化简，根据方程形式确定轨迹形状，（2）利用两角和表示∠APB，结合斜率公式已经正切和公式表示b的函数，最后根据点的范围确定b的取值范围.
试题解析：（（Ⅰ）设点，由题意得：
化简得，所以点的轨迹方程为
（Ⅱ）方法一：当时，设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，
因为点P在点M的轨迹上，所以
，

∴
因此的取值范围是
方法二：当时，设点P的坐标为，
∴ 以下同方法一
5．已知点P为曲线C上任意一点， ，直线、的斜率之积为．
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；；
（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点、，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）
试题解析：（I）设点，则
整理得：
故曲线的轨迹方程为：
.
（II）假设存在直线满足题意．
显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆不相交．
①当直线的斜率时，设直线为：
联立，化简得：
由，解得
设点，，则

取的中点，则，则
6．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点，在轴上，是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在点，使得无论非零实数怎么变化，总有为直角，点坐标为或.
【解析】试题分析：（1）依题意，，结合点在椭圆上及，即可求得椭圆的方程；（2）设，则，联立直线与椭圆的方程，求得，，根据得所在直线方程，即可分别得到与的坐标，结合为直角，列出等式，即可求解.
试题解析：（1）依题意，.
∵点在上，
∴，
又∵
∴，
∴椭圆方程为
∴所在直线方程为，
∴，
同理可得，，.
∴或
∴存在点，使得无论非零实数怎么变化，总有为直角，点坐标为或．
2018届高考数学大题狂练
第五篇 解析几何 专题05存在性问题
1．已知椭圆的离心率为，以椭圆的任意三个顶点为顶点的三角形的面积是．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆的右顶点，点在轴上．若椭圆上存在点，使得，求点横坐标的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）设椭圆的半焦距为．依题意，得， ，且．
解得， ．由此可得椭圆的方程．
2）“椭圆上存在点，使得”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点，使得成立” 依题意， ．设， ，则，且，即．可得，由，解得
点横坐标的取值范围．
（2）“椭圆上存在点，使得”等价于“存在不是椭圆左、右顶点的点，使得成立”．
依题意， ．设， ，则，且，
即．
将代入上式，得 ．
因为，所以，
即，所以，解得，
所以 点横坐标的取值范围是．
2．已知椭圆:过点和点.
（Ⅰ）求椭圆的方程;
（Ⅱ）设直线与椭圆相交于不同的两点, ,是否存在实数,使得?若存在,求出实数;若不存在,请说明理由.
【答案】（1）（2）不存在
解析：（Ⅰ）椭圆:过点和点,
所以,由,解得,
所以椭圆:;
（Ⅱ）假设存在实数满足题设,
由,得,
因为直线与椭圆有两个交点,
所以,即,
设的中点为,分别为点的横坐标,则,
从而,
所以,
因为,
所以,
所以,而,
所以,即,与矛盾,
因此,不存在这样的实数,使得.
3．过椭圆： 的左焦点作其长轴的垂线与的一个交点为，右焦点为，若.
（1）求椭圆的离心率；
（2）过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，若椭圆上存在点使得 ，求椭圆的方程.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：
(1)∵，∴，∴，
∴，∴，∴.
（2）∵，∴，
不妨设椭圆的方程为，即.
设， ， ，
∵，
∴，
由于都在椭圆上，
，
∴，
∴
∴
∴（*）
4．在直角坐标系中，设点A（-3，0），B（3，0），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积是
（1）试讨论点M的轨迹形状；
（2）当0【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）设点，根据条件化简，根据方程形式确定轨迹形状，（2）利用两角和表示∠APB，结合斜率公式已经正切和公式表示b的函数，最后根据点的范围确定b的取值范围.
试题解析：（（Ⅰ）设点，由题意得：
化简得，所以点的轨迹方程为
（Ⅱ）方法一：当时，设点的坐标为，过点作垂直于轴，垂足为，
因为点P在点M的轨迹上，所以
，

∴
因此的取值范围是
方法二：当时，设点P的坐标为，
∴ 以下同方法一
5．已知点P为曲线C上任意一点， ，直线、的斜率之积为．
（Ⅰ）求曲线的轨迹方程；；
（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆交于不同的两点、，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）
试题解析：（I）设点，则
整理得：
故曲线的轨迹方程为：
.
（II）假设存在直线满足题意．
显然当直线斜率不存在时，直线与椭圆不相交．
①当直线的斜率时，设直线为：
联立，化简得：
由，解得
设点，，则

取的中点，则，则
6．已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，直线分别与轴交于点，在轴上，是否存在点，使得无论非零实数怎样变化，总有为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在点，使得无论非零实数怎么变化，总有为直角，点坐标为或.
【解析】试题分析：（1）依题意，，结合点在椭圆上及，即可求得椭圆的方程；（2）设，则，联立直线与椭圆的方程，求得，，根据得所在直线方程，即可分别得到与的坐标，结合为直角，列出等式，即可求解.
试题解析：（1）依题意，.
∵点在上，
∴，
又∵
∴，
∴椭圆方程为
∴所在直线方程为，
∴，
同理可得，，.
∴或
∴存在点，使得无论非零实数怎么变化，总有为直角，点坐标为或．