2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题5.7+范围与最值问题

2018届高考数学大题狂练
第五篇 解析几何 专题06 范围与最值问题
1．已知椭圆： 的离心率，过点、分别作两平行直线、， 与椭圆相交于、两点， 与椭圆相交于、两点，且当直线过右焦点和上顶点时，四边形的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若四边形是菱形，求正数的取值范围.
【答案】(1) ;(2) .
试题解析：
（Ⅰ），椭圆方程可以化为，
直线过右焦点和上顶点时，方程可以设为，联立得：
，所以四边形的面积为，
所以椭圆方程为： ；
（Ⅱ）依题意可以分别设的方程为： ，由椭圆的对称性得： ，所以是平行四边形，所以是菱形，等价于，即，
将直线的方程代入椭圆方程得到： ，
由，
设，由，
得到： ，
从而： ，化简得： ，
所以解得，
所以正数的取值范围是．
2．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率，，分别为左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且的周长为8.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过点的直线交椭圆于不同两点，.为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
由，整理得.根据判别式大于零得，由 ，求出代入椭圆方程化简得，再利用弦长公式及可得，综上可得结果.
试题解析：（1）∵，∴.
又∵，∴，∴，∴椭圆的方程是.
（2）设，，，的方程为，
由，整理得.
由，得.
∵，，
∴ ，
则， .
化简，得，则，，∴. ②
由①，得，联立②，解得.
∴或，即.
3．在平面直角坐标系中，已知圆的方程为，圆的方程为，动圆与圆内切且与圆外切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)已知与为平面内的两个定点，过点的直线与轨迹交于,两点，求四边形面积的最大值.
【答案】(1) (2)6
【解析】试题分析：（1）由椭圆定义得到动圆圆心的轨迹的方程；（2）设的方程为，联立可得，通过根与系数的关系表示弦长进而得到四边形面积的表达式，利用换元法及均值不等式求最值即可.
试题解析：
(1)设动圆的半径为，由题意知
从而有，故轨迹为以为焦点，长轴长为4的椭圆，
并去 除点，从而轨迹的方程为.
点到直线的距离为，点到直线的距离为，
从而四边形的面积
令，有，函数在上单调递增，
有，故，即四边形面积的最大值为.
4．已知，曲线上任意一点满足；曲线上的点在轴的右边且到的距离与它到轴的距离的差为1．
（1）求的方程；
（2）过的直线与相交于点，直线分别与相交于点和．求的取值范围．
【答案】（1）的方程为， 的方程为．（2）
【解析】试题分析：（1）由已知，根据双曲线的定义可得，从而可得的方程，用直接法可求得的方程；（2）直线的方程为，直线与曲线联立，根据韦达定理，焦半径公式将用 表示，进而可得结果.
试题解析：（1）由题意可知点的轨迹是以为焦点， 为实轴长的双曲线的左支，故有，
∴的方程为，
设，则有，化简得，
即的方程为．
设的斜率分别为，则有
，
∴，
，
直线的方程为，代入有，
设，则有，
∴，
同理．
∴，
∴．
5．如图，已知抛物线，点， ，抛物线上的点 ，直线与轴相交于点，记， 的面积分别是， .
（1）若，求点的纵坐标；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
试题分析：（1）由斜率公式可得， .由，得即，得；（2）设直线： ，则，联立，消去得，则， ，由弦长公式及点到直线距离公式可得
，利用二次函数的性质可得结果.
试题解析：（1）因为，
.
由，得
即，得
，
点到直线的距离 .
所以

故当时， 有最小值.
方法2：设（），则，所以直线： ，则.
又直线： ， .
则点到直线的距离为，
点到直线的距离为
所以 .
故当时， 有最小值.
6．已知为抛物线的焦点，点为其上一点，与关于轴对称，直线与抛物线交于异于的两点，，.
（1）求抛物线的标准方程和点的坐标；
（2）判断是否存在这样的直线，使得的面积最小.若存在，求出直线的方程和面积的最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）最小值，此时直线的方程为
，由此能求出当时有最小值，此时直线方程为.
试题解析：（1）由题意知，故抛物线方程为

∵
∴
∴
（2）由题意知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为
联立方程组
设两个交点，由
又∵
∴的面积
∴当时有最小值，此时直线的方程为.