2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题5.8+圆与圆锥曲线

2018届高考数学大题狂练
第五篇 解析几何 专题07 圆与圆锥曲线
1．已知椭圆的中心在原点，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左右焦点分别为，过的直线与椭圆相交于两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程.
【答案】(1) ；(2) .
（2）设直线的方程为，由得
由，
设，利用韦达定理，弦长公式点到直线的距离公式表示三角形的面积，求解，然后求解圆的方程．
试题解析：由题意， 的焦点坐标为，
故设椭圆的方程为且，
又点在椭圆上，于是
（2）设直线的方程为，
由得
由
设，其中就是上述方程的两个根，
所以
解得
设欲求圆的半径为
所以，此圆方程为.
2．已知圆和椭圆， 是椭圆的左焦点．
（Ⅰ）求椭圆的离心率和点的坐标；
（Ⅱ）点在椭圆上，过作轴的垂线，交圆于点（不重合），是过点的圆的切线．圆的圆心为点，半径长为．试判断直线与圆的位置关系，并证明你的结论．
【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析．
【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆的标准方程为，可得，所以椭圆的离心率，椭圆的左焦点的坐标为；（Ⅱ） 设，其中，则，可设，则，由点斜式可得直线的方程为，圆的圆心到直线的距离．利用两点间距离公式求得
，即 ，从而可得直线与圆相切．
故椭圆的离心率．
椭圆的左焦点的坐标为．
（Ⅱ）直线与圆相切．证明如下：
设，其中，则，
依题意可设，则．
直线的方程为，
整理为 ．
所以圆的圆心到直线的距离．
因为．
所以，
即 ，
所以 直线与圆相切．
3．已知抛物线：，圆：，直线：与抛物线相切于点，与圆相切于点.
（1）若直线的斜率，求直线和抛物线的方程；
（2）设为抛物线的焦点，设，的面积分别为，，若，求的取值范围.
【答案】（1）：，：；（2）.
【解析】试题分析：（1）第一问，一般先设出直线的方程，再根据直线和圆相切得到b的值. 再利用直线和抛物线方程组的判别式等于零，得到P的值. (2)第（2）问，一般利用函数的思想求的取值范围.先要分别计算出，，从而得到函数，再选择合适的方法求取值范围.
其得，
∴：.
综上，：，：.
（2）不妨设，根据对称性，得到的结论与得到的结论相同.
此时，又知，设，，
由消得，
其得，从而解得，
由与切于点知到：的距离，得则，故
到：的距离为 ，
∴ ，
又，
∴ .
当且仅当即时取等号，
与上同理可得，时亦是同上结论.
综上，的取值范围是.
4．抛物线，，为抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中垂线交轴于，，。
（Ⅰ）证明：是的等差中项；
（Ⅱ）若，为平行于轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）第一问，先化简得到,再根据线段的中垂线的性质得到，把这两个式子结合起来即可证明是的等差中项. (Ⅱ)第二问，先求出弦长的平方等于定值的条件，即可得到直线的方程为.
因为，所以，，
故
即，是的等差中项.
（Ⅱ）因为，所以。设，，
故圆心， 设直线的方程为，
由于弦长为定值，故为定值，这里R为圆的半径，d为圆心到的距离。


故
令，即时，
为定值，
故这样的直线的方程为.
5．设椭圆C： ，定义椭圆C的“相关圆”方程为，若抛物线的焦点与椭圆C的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形。
（I）求椭圆C的方程和“相关圆”E的方程；
（II）过“相关圆”E上任意一点P作“相关圆”E的切线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点。
（i）证明∠AOB为定值；
（ii）连接PO并延长交“相关圆”E于点Q，求△ABQ面积的取值范围。
【答案】(1) (2) （i）见解析（ii）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，且椭圆C短轴的一个端点和两个焦点构成直角三角形，得到 由此能求出椭圆的方程．进而求出“相关圆”的方程．
（Ⅱ）当直线的斜率不存在时，直线方程为 ；当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，得 由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切，结合已知条件推导出为定值．
故椭圆的方程为，
“相关圆”的方程为
（Ⅱ）（i）当直线的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为，
则所以
当直线的斜率存在时，设其方程设为，设
联立方程组得,即,
△=,即

因为直线与相关圆相切，所以
为定值
因为
,
时为所以,
所以,所以
当且仅当时取”=”
②当时,．|AB |的取值范围为
面积的取值范围是.
6．已知圆，点，直线.
（1）求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；
（2）在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.
【答案】(1) ；(2)答案见解析.
方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，据此得到关于的方程组，求解方程组可得存在点对于圆上任一点，都有为常数.
（2）方法1：假设存在这样的点，
当为圆与轴左交点时， ；
当为圆与轴右交点时， ，
依题意， ，解得， （舍去），或.
下面证明点对于圆上任一点，都有为一常数.
设，则，
∴ ，
从而为常数.
对恒成立，
∴，解得或（舍去），
所以存在点对于圆上任一点，都有为常数.