2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题5.1+直线与椭圆的位置关系

2018届高考数学大题狂练
第五篇 解析几何 专题01 直线与椭圆的位置关系
1．已知椭圆： 的离心率为，且椭圆过点.过点做两条相互垂直的直线、分别与椭圆交于、、、四点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若， ，探究：直线是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（Ⅰ）由已知，可建立关于椭圆三个参数的方程组进行求解，由离心率可得，又点在椭圆上，可得，结合，从而问题可得解.
种情况进行验证即可.
试题解析：（Ⅰ）由题意知， ，解得，
故椭圆的方程为.
（Ⅱ）∵， ，∴、分别为、的中点.
当两直线的斜率都存在且不为0时，设直线的方程为，
则直线的方程为， ， ， ， ，
联立，得，∴，
∴， ，∴中点的坐标为；
同理， 中点的坐标为，∴，
∴直线的方程为 ，
2．如图， 是椭圆长轴的两个端点， 是椭圆上与均不重合的相异两点，设直线的斜率分别是.
(1)求的值；
(2)若直线过点，求证： ；
(3)设直线与轴的交点为 (为常数且)，试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）见解析（3）落在定直线上
（3）同（2）法，由点的纵坐标，求出直线的方程，联立两直线方程，求出其交点的横坐标与点的坐标无关，从而可判断交点落在定直线上，从而问题可得解.
试题解析：(1)设，由于，
所以，
因为在椭圆上，于是，即，
所以.
(2)设直线， ，由
得，
于是，
．
于是
因为直线，直线，
两式相除，可知
，
于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上．
3．已知动点到点的距离为，动点到直线的距离为，且.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作直线交曲线于两点，若的面积(是坐标系原点)，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：(1)结合题意，可得.
又，于是，，化简得
.
因此，所求动点的轨迹的方程是.
(2) 联立方程组
得.
设点，则
于是，弦，
点到直线的距离.
由，得 ，化简得
，解得，且满足，即都符合题意.
因此，所求直线的方程为.
4．已知椭圆： 的一条切线方程为，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线： 与椭圆交于， 两个不同的点，与轴交于点，且，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
试题解析：解：（1）由题意知，离心率，
∴， ，
∴，
将代入，得，
由，得，
故椭圆的标准方程为．
（2）根据已知，得，设， ，
由得，
且，
即，且， ，
由，得，即，
∵，
∴，即，
∴，解得或，
综上所述，实数的取值范围为．
5．在平面直角坐标系中，椭圆： 的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知与为平面内的两个定点，过点的直线与椭圆交于， 两点，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）（2）6
【解析】试题分析：（1）根据离心率及点在椭圆上可求出a,b，写出椭圆的方程；（2）联立直线和椭圆方程，消元得一元二次方程，求出弦长，再利用点到直线的距离求出高，即可写出面积，利用换元法，求其最大值.
试题解析：
解：（1）∵，∴，
椭圆的方程为，
将代入得，∴，
∴椭圆的方程为．
有， ，
有，
点 到直线的距离为，
点到直线的距离为，
从而四边形的面积（或）
令， ，
有 ，设函数， ，所以在上单调递增，
有，故，
所以当，即时，四边形面积的最大值为6．
6．已知椭圆： 的离心率为，直线交椭圆于、两点，椭圆的右顶点为，且满足.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线（， ）与椭圆交于不同两点、，且定点满足，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：
（1）根据可求得，再由离心率可得c，于是可求得b，进而得到椭圆的方程．（2）结合直线和椭圆的位置关系求解．将直线方程和椭圆方程联立消元后得到二次方程，由判别式大于零可得，结合可得，从而得到关于的不等式组，解不等式组可得所求范围．
试题解析：
∴椭圆的方程为.
（2）由消去y整理得： ，
∵直线与椭圆交于不同的两点、，
∴，
整理得．
设， ，
则，
又设中点的坐标为，
∴， ．
∵，
∴，即，
∴，
∴，解得．
∴实数的取值范围．