2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题5.2+直线与抛物线的位置关系

2018届高考数学大题狂练
第五篇 解析几何 专题02 直线与抛物线的位置关系
1．已知曲线由抛物线及抛物线组成，直线： 与曲线有（）个公共点.
（1）若，求的最小值；
（2）若，自上而下记这4个交点分别为，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）根据题意曲线由抛物线及抛物线组成，故联立与，得出交点个数，因为直线与曲线有个公共点.且，所以再联立与，得综合两个结论即得出结论
∵，∴与抛物线恒有两个交点.
联立与，得.
∵，∴.
∵，∴，∴的最小值为.
（2）设， ， ， ，
则两点在抛物线上， 两点在抛物线上，
∴， ， ， ，且， ，∴.
∴， ，
∴ .
∴，∴，∴.
2．已知抛物线，点与抛物线的焦点关于原点对称，过点且斜率为的直线与抛物线交于不同两点，线段的中点为，直线与抛物线交于两点．
（Ⅰ）判断是否存在实数使得四边形为平行四边形．若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（Ⅱ）求的取值范围．
【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ) .
，根据的取值范围，即可求得的取值范围．
试题解析：（Ⅰ）设直线的方程为，设．
联立方程组，得．
显然，且，即，得且．
得，
， ．
直线的方程为： ，
联立方程组，得，
得，
若四边形为平行四边形，
当且仅当 ，即，
得，与且矛盾．
故不存在实数使得四边形为平行四边形
当， 取得最小值；
当时， 取；当时， 取；
所以
3．已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，交轴于点为坐标原点.
（1）若,求直线的方程；
（2）线段的垂直平分线与直线轴， 轴分别交于点，求 的最小值.
【答案】（1）；（2）2
【解析】试题分析：（1）第（1）问，设出直线l的方程，把直线的方程和抛物线方程联立，得到韦达定理，根据韦达定理和已知直线的方程.(2)先计算出点M,N,C,D,F的坐标，再计算出两个三角形的面积，再求，最后利用基本不等式求它的最小值.
所以m＝－1，所以l的方程为x＋y－1＝0．
（2）由（1）可知，m≠0，C(0，－ )，D(2m2＋1，2m)．
则直线MN的方程为y－2m＝－m(x－2m2－1)，则
M(2m2＋3，0)，N(0，2m3＋3m)，F(1，0)，
S△NDC＝·|NC|·|xD|＝·|2m3＋3m＋|·(2m2＋1)＝，
S△FDM＝·|FM|·|yD|＝·(2m2＋2)·2|m|＝2|m| (m2＋1)，
则＝＋1≥2，
当且仅当m2＝，即m2＝时取等号．
所以， 的最小值为2．
4．如图，抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与拋物线交于两点，设到准线的距离.
（1）若，求拋物线的标准方程；
（2）若，求直线的斜率.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析： 求得抛物线的焦点和准线方程，然后求出，进而得到拋物线的标准方程； 设，根据求得，设直线的方程为，联立抛物线方程，根据韦达定理表示出， ，解方程求得的值
解析：（1）∵，∴，∴，得
∴抛物线为；
即，∴，
∴，整理得，
∴，∴，依题意，∴.
5．如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线： 上，直线： 与抛物线交于， 两点，且直线， 的斜率之和为-1.
（1）求和的值；
（2）若，设直线与轴交于点，延长与抛物线交于点，抛物线在点处的切线为，记直线， 与轴围成的三角形面积为，求的最小值.
【答案】（1）， ；（2）.
【解析】试题分析：（1）将点代入抛物线： ，得，联立直线与抛物线方程，消去，得，则， ，由，求出；（2）求出直线DM的方程为，联立直线DM的方程和抛物线的方程，求出，利用导数的几何意义，求出切线n的斜率为，得到切线n的方程，联立直线DM、n的方程，求出Q点的纵坐标，且，采用导数的方法得出单调性，由单调性求出最小值。
解法一： ，
由已知得，所以， .
解法二： ，
由已知得.
（2）在直线的方程中，令得， ，
直线的方程为： ，即，
由，得，
在直线， 中分别令，得到与轴的交点， ，
所以 ， ， ，
当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；
∴当时， 最小值为.
6．已知经过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于两点，，直线，分别交直线于点．

（1）求证：，；
（2）求线段长的最小值．
【答案】(1)详见解析;(2) 的最小值是4.
【解析】试题分析：（1）设，与抛物线联立得，利用韦达定理求解即可；
(2)根据题意得的方程是：，与联立得，同理得，，利用韦达定理求解即可.
所以的方程是：，
由，∴，
同理由，∴，
∴①
且由（1）知，，
∴，
代入①得到：，
，仅当时，取最小值4，
综上所述：的最小值是4.