2018年高考数学百强校大题狂练系列（通用版）专题5.4+定点问题

2018届高考数学大题狂练
第五篇 解析几何 专题03 定点问题
1．在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点位于抛物线上.
（1）求抛物线的方程；
（2）设抛物线的准线与其对称轴的交点为，过点的直线交抛物线于点， ，直线交抛物线于另一点，求直线所过的定点.
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）设，则，进而解得坐标带入抛物线即可得解；
（2）根据题意， ，设点， ，由，利用坐标运算得，设点，由，得，利用点斜式得直线的方程是
，代入条件整理可得，从而证得过定点.
因为， ， 三点共线，
所以，即，∴，∴，
设点，因为， ， 三点共线，
所以，即，∴.
所以，即，
所以，即①，
因为，所以直线的方程是.
即，即②，
由①②可得.所以直线过定点.
2．已知动圆过定点，且在轴上截得的弦长为.
（1）求动圆的圆心点的轨迹方程；
（2）过点的动直线与曲线交于两点，平面内是否存在定点，使得直线分别交于两点，使得直线的斜率，满足？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)
斜率为，由的直线的方程为，
代入抛物线方程，可解得： ，同理，于是直线的斜率，从而得到.
试题解析：
（1）设动圆圆心，设圆交轴于两点，连接，
则，过点作，则点是的中点，
显然，
于是，化简整理得，故的轨迹方程为.
由
于是，又，则，
于是，同理，
于是直线的斜率，
，即，
即恒成立，
故，解得，故 .
3．已知抛物线C的方程为x2＝4y，M(2,1)为抛物线C上一点，F为抛物线的焦点．
(Ⅰ)求|MF|；
(Ⅱ)设直线l2：y＝kx＋m与抛物线C有唯一公共点P，且与直线l1：y＝－1相交于点Q，试问，在坐标平面内是否存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)2；(2) 在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为(0,1)
【解析】试题分析：（1）求得抛物线的焦点和准线方程，根据抛物线的定义，即可得到所求|MF|；
（2）假设存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，由直线l2：y=kx+m与抛物线C有唯一公共点P知，直线l2与抛物线C相切，利用导数求出直线l2的方程，进而求出Q点坐标，根据直径所对的圆周角为直角，利用，求出N点坐标．
试题解析：
∴直线l2的方程为y－＝ (x－x0)，
令y＝－1得x＝，
∴Q点的坐标为(－，－1)，
∴＝(x0，－n)，＝(－，－1－n)．
∵点N在以PQ为直径的圆上，
∴·＝－2－(1＋n)(－n)
＝(1－n)＋n2＋n－2＝0，①
要使方程①对x0恒成立，
必须有解得n＝1，
∴在坐标平面内存在点N，使得以PQ为直径的圆恒过点N，其坐标为(0,1).
4．已知长度为的线段的两个端点、分别在轴和轴上运动，动点满足，设动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点且斜率不为零的直线与曲线交于两点、，在轴上是否存在定点，使得直线与的斜率之积为常数.若存在，求出定点的坐标以及此常数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）.（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）设，，，由，可得由，所以代入即可求得椭圆方程；（2）由题意设直线的方程为：，，，
将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得则
，因此存在两个定点，，使得直线与的斜率之积为常数，使得与的斜率之积为常数．
即曲线的方程为：.
（2）由题意设直线的方程为：，，，
由得：，
所以.
故 ，
，
假设存在定点，使得直线与的斜率之积为常数，则

.
5．如图，已知， 是椭圆的左右焦点， 为椭圆的上顶点，点在椭圆上，直线与轴的交点为， 为坐标原点，且， ．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线分别与椭圆交于， 两点（异于点），证明：直线过定点，并求该定点的坐标．
【答案】（1）；（2）证明见解析， .
【解析】试题分析：
（1）由题意可得为的中位线，从而可得，故，且
，然后根据和可得， ，由此可得椭圆的方程．（2）分别设出直线直线的方程，解方程组可得点， 的坐标，经分析题意可得定点必在轴上，不妨设该点坐标，然后根据直线的斜率相等建立关于的等式，结合点， 的坐标经计算可得定点坐标．
∴，
又， ，
∴， ，
∴椭圆方程为．
（2）设， ，直线： ，
由 消去y整理得，
解得或（舍去）．
∴，
以代替上式中的，可得．
由题意可得，若直线关于轴对称后得到直线，
则得到的直线与关于轴对称，
所以若直线经过定点，该定点一定是直线与的交点，故该点必在轴上．
将的值代入上式，化简得，
∴直线经过定点．
6．椭圆： 的左右焦点分别为， ，左右顶点分别为， ， 为椭圆上的动点（不与， 重合），且直线与的斜率的乘积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过作两条互相垂直的直线与（均不与轴重合）分别与椭圆交于， ， ， 四点，线段、的中点分别为、，求证：直线过定点，并求出该定点坐标．
【答案】(1) (2)见解析， 经过定点为
【解析】试题分析：（1）根据题意，列出方程，求解的值，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线： ，联立椭圆方程，求得的坐标，
由题设若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，得该定点一定是直线与的交点，进而求得直线过定点．
试题解析：
（1）设，由题，整理得，
，整理得，
结合，得， ，
所求椭圆方程为．
由题，若直线关于轴对称后得到直线，则得到的直线与关于轴对称，所以若直线经过定点，该定点一定是直线与的交点，该点必在轴上．
设该点为， ， ，
由，得，代入， 坐标化简得，
经过定点为．