2018届高三数学优等生提分精品问题8.3+椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题

2018届高三数学成功在我
专题八 解析几何
问题三：椭圆、双曲线、抛物线与圆相结合问题
一、考情分析
通过近几年各地高考试题可以发现,对圆的考查在逐渐加深,并与圆锥曲线相结合在一起命题,成为一个新的动向.与圆相关几何性质、最值问题、轨迹问题等都能与椭圆、双曲线和抛物线想结合可以呈现别具一格的新颖试题.
二、经验分享
1.对于圆与圆锥曲线的相交问题，设出交点，由交点(或韦达定理)结合条件解决问题，在求解过程中、数形结合是常用的打开思路的方式、形是引路、数是依据、二者联手，解决问题就易如反掌、设面不求、灵活消参是常用的策略。
2. 垂直问题的呈现有多种形式，处理重直问题最好的方法是应用向量的坐标形式转化，常规的思路是:联立方程组消去 成y,得到一个二次方程，设交点，韦达定理 代人垂直的数量积坐标公式整理求解。
3.涉及弦长要注意圆的几何性质的应用。
三、知识拓展
以MN为直径的圆经过点P，则，可转化为
四、题型分析
(一) 圆与椭圆的结合点
1.1圆的几何性质与椭圆相联系
【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考四】已知椭圆的中心在原点,离心率为,其右焦点是圆：的圆心．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图,过椭圆上且位于轴左侧的一点作圆的两条切线,分别交轴于点、．试推断是否存在点,使？若存在,求出点的坐标；若不存在,请说明理由．
【分析】(1)由已知条件分别求出的值,而,代入求出椭圆的方程；(2)假设存在点满足题意,设点（）,,,利用条件求出直线方程,根据圆心到直线的距离为,求出与点坐标之间的关系,同理求出与点坐标之间的关系,利用韦达定理求出的表达式,算出,求出点坐标.
（2）设点（）,,,
则直线的方程为,即,
因为圆心到直线的距离为1,
即,
即,即,
同理．
由此可知,,为方程的两个实根,
所以,,
．
因为点在椭圆上,则,即,
则,
令,
则,
因为,则,,即,
故存在点满足题设条件．
【点评】(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题．
【小试牛刀】【2017届江西吉安一中高三上学期段考二】已知椭圆的离心率为,其左顶点在圆上.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点为椭圆上不同于点的点,直线与圆的另一个交点为,是否存在点,使得？若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由.
【答案】（I）；（II）不存在,理由见解析.
【解析】（I）因为椭圆的左顶点在圆上,令,得,所以.又离心率为,所以,所以,所以.
所以的方程为.
（II）设点,,设直线的方程为,
与椭圆方程联立得,
化简得到,因为-4为方程的一个根,
所以,所以
所以
因为圆心到直线的距离为,
所以.
因为,
代入得到,
显然,所以不存在直线,使得.
1.2 利用椭圆的性质判断直线与圆的位置关系
【例2】已知椭圆：.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为原点,若点在椭圆上,点在直线上,且,试判断直线与圆的位置关系,并证明你的结论.
（2）直线与圆相切,证明如下：设点,,其中,
因为,所以,即,解得,
当时,,代入椭圆的方程得,此时直线与圆相切.
当时,直线的方程为,即,
圆心到直线的距离为,又,,
故.故此直线与圆相切.
【小试牛刀】【2015福建高考理18】已知椭圆过点,且离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线交椭圆于,两点,判断点与以线段为直径的圆的位置关系,并说明理由．
【解析】解法一：（1）由已知得,解得,所以椭圆的方程为．
（2）设点,,的中点为．由,
得,所以,,
从而,
所以,
,
故
,所以．
故点在以为直径的圆外．
从而
,
所以．又,不共线,所以为锐角．
故点在以为直径的圆外．
(二) 圆与双曲线的结合点
2.1 利用圆的性质解决双曲线的相关问题
由于双曲线具有渐近线,故渐近线与圆的位置关系便成为命题的常考点.圆本身所具有的几何性质在探索等量关系也经常考查,进而求解双曲线的几何性质,如离心率的求解.
【例3】已知点是双曲线的左焦点,离心率为e,过F且平行于双曲线渐近线的直线与圆交于点P,且点P在抛物线上,则e2 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的渐近线方程为：,根据曲线的对称性,不妨设直线 的斜率为,所以直线的方程为：,解方程组 得： 或
根据题意点的坐标为 ,又因为点P在抛物线上,所以,
, （舍去）或,故选D.
【点评】本题将双曲线的渐近线与圆的位置关系联系到一起,从而确定点P的坐标,进而建立等量关系求解双曲线的离心率.
【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三上学期调研四】已知双曲线的右顶点为,为坐标原点,以为圆心的圆与双曲线的某渐近线交于两点,．若,且,则双曲线的离心率为＿＿＿＿．
【答案】
2.2 圆的切线与双曲线相联系
【例4】已知双曲线的左右焦点分别为,为双曲线的中心,是双曲线右支上的点,
的内切圆的圆心为,且圆与轴相切于点,过作直线的垂线,垂足为,若为双曲
线的离心率,则( )
A. B. C. D. 与关系不确定
【答案】C
【解析】设内切圆在上的切点为,上的切点为,上的切点为,的坐标为,
∴,即,延长交于,∵是角平分线和垂线,∴是的中点,是的中点,是中位线,,∴,∴.
【小试牛刀】已知点、为双曲线：的左、右焦点,过作垂直于轴的直线,在轴上方交双曲线于点,且．圆的方程是．
（1）求双曲线的方程；
（2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为、,求的值；
（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点,中点为,求证：．
【解析】（1）设的坐标分别为
因为点在双曲线上,所以,即,所以
在中,,,所以
由双曲线的定义可知：
故双曲线的方程为：
（2）由条件可知：两条渐近线分别为
设双曲线上的点,设两渐近线的夹角为,则
则点到两条渐近线的距离分别为
因为在双曲线：上,所以
又,
所以
（3）由题意,即证：.
设,切线的方程为：
①当时,切线的方程代入双曲线中,化简得：

所以：
又
所以
②当时,易知上述结论也成立． 所以
综上,,所以．
(三) 圆与抛物线的结合点
3.1圆的性质与抛物线相结合
【例5】一个酒杯的轴截面是开口向上的抛物线的一段弧,它的口宽是的4 ,杯深20,在杯内放一玻璃球,当玻璃球的半径r最大取 时,才能使玻璃球触及杯底．
【答案】1
【解析】建立如图所示的直角坐标系,酒杯所在抛物线的方程设为,因为过点,所以,即.玻璃球触及杯底,就是小球的截面圆与抛物线有且仅有一个交点,即原点.由与消去得：或因为有且仅有一个交点,即原点,所以即半径r最大取1.
【小试牛刀】【2017吉林长春五县上学期期末】已知点是抛物线上一点,为坐标原点,若是以点为圆心,的长为半径的圆与抛物线的两个公共点,且为等边三角形,则的值是 ．
【答案】
3.2 抛物线的性质与圆的相联系
【例6】【2017届重庆市第一中学高三12月月考】已知椭圆离心率为,焦距为,抛物线的焦点是椭圆的顶点.
（Ⅰ）求与的标准方程；
（Ⅱ）设过点的直线交于两点,若的右顶点在以为直径的圆内,求直线的斜率的取值范围.
【分析】（Ⅰ）椭圆的焦距为,,得椭圆的标准方程,得到抛物线焦点,可得抛物线方程；（Ⅱ）联立直线与抛物线的方程结合韦达定理得,,在以为直径的圆内,得结果.
【解析】（Ⅰ）设椭圆的焦距为,依题意有,,解得,,故椭圆的标准方程为,又抛物线开口向上,故是椭圆的上顶点,,,故抛物线的标准方程为.
（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：,设点,,联立得,由韦达定理得,.
在以为直径的圆内
.
【小试牛刀】已知抛物线C：的焦点为F,直线与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且.
（I）求C的方程；
（II）过F的直线与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求的方程.
【解析】（I）设,代入,得．由题设得,解得（舍去）或,∴C的方程为；（II）由题设知与坐标轴不垂直,故可设的方程为,代入得．设则
．故的中点为．又的斜率为的方程为．将上式代入,并整理得．设则．故的中点为．
由于垂直平分线,故四点在同一圆上等价于,从而即,化简得,解得或．所求直线的方程为或．
四、迁移运用
1．【河北省石家庄市2018届高三下学期一模】已知， 分别为双曲线的左焦点和右焦点，过的直线与双曲线的右支交于， 两点， 的内切圆半径为， 的内切圆半径为，若，则直线的斜率为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】D
【解析】设的内切圆圆心为 ， 的内切圆圆心为，边 上的切点分别为 易见 横坐标相等，则 由 即 得 即 ，记 的横坐标为 ，则 ，于是 ，得 同理内心 的横坐标也为 则有轴，设直线的倾斜角为，则 则 故选D.
2．【河南省郑州市2018届高三毕业年级第二次质量预测】如图，已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆,过圆心的直线与抛物线和圆分别交于,则的最小值为( )
A. 23 B. 42 C. 12 D. 52
【答案】A
【解析】由题意抛物线过定点（2，4），得抛物线方程，焦点为F(2,0).圆的标准方程为，所以圆心为（2，0），半径r=1.由于直线过焦点，所以有，又 = ，当且仅当时等号成立。选A.
3．【湖北七市（州）教研协作体2018年3月高三联考】已知圆： 与抛物线： 相交于， 两点，分别以点， 为切点作圆的切线.若切线恰好都经过抛物线的焦点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题得设A， ，联立圆E和抛物线得： ，代入点A得,又AF为圆的切线，故，由抛物线得定义可知：AF=，故化简得： ，将点A代入圆得： ，而=，故故选A
4．【云南省昆明市第一中学2018届高三第六次月考】设抛物线的焦点为，准线为，点为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，的面积为，则=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以圆的半径，，由抛物线定义，点到准线的距离，所以，所以，故选A．
5．【安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12联盟）2018届高三上学期期末】双曲线： （， ）的焦点为、，抛物线： 的准线与交于、两点，且以为直径的圆过，则椭圆的离心率的平方为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵抛物线的方程为∴抛物线的焦点坐标为，准线方程为
∵双曲线： （， ）的焦点为、，且抛物线的准线与交于、两点∴， ，∵以为直径的圆过，∴，即，∵，∴，即，∴
∵椭圆的离心率为，∴椭圆的离心率的平方为
故选C.
6．【2017河北定州市上学期期中】过双曲线的右支上一点,分别向圆：和圆 ：作切线,切点分别为,,则的最小值为（ ）
A．10 B．13 C．16 D．19
【答案】B
【解析】由题可知,,因此.故选B．
7．【2017届四川双流中学高三上学期必得分训练】已知为抛物线上一个动点,为圆上一个动点,当点到点的距离与点到抛物线的准线的距离之和最小时,点的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设到抛物线准线的距离为,抛物线的焦点为,圆心为,则,故选A.
8．【2017届湖南长沙一中高三月考五】已知双曲线的左、右焦点分别为、,过作圆的切线分别交双曲线的左、右两支于点、,若,则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
9．【2017学年吉林长春五县高二上学期期末】已知的左、右焦点分别为,,点在椭圆上,,且的面积为4.
（1）求椭圆的方程；
（2）点是椭圆上任意一点,分别是椭圆的左、右顶点,直线与直线分别交于两点,试证：以为直径的圆交轴于定点,并求该定点的坐标.
【答案】（1）；（2）证明见解析,或.
【解析】（1）因为,所以,.
由题意得,解得.
从而,结合,得,
故椭圆的方程为.
（2）由（1）得,,
设,则直线的方程为,
它与直线的交点的坐标为,
直线的方程为,它与直线的交点的坐标为,
再设以为直径的圆交轴于点,则,从而,即
,即,解得.
故以为直径的圆交轴于定点,该定点的坐标为或.
10．【2017届广西陆川县中学高三上学期二模】已知椭圆：的左焦点为,其左、右顶点为、,椭圆与轴正半轴的交点为,的外接圆的圆心在直线上.
（I）求椭圆的方程；
（II）已知直线：,是椭圆上的动点,,垂足为,是否存在点,使得为等腰三角形？若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
【答案】(I)；(II)或.
【解析】（I）由题意知,圆心既在的垂直平分线上,也在的垂直平分线上,
设的坐标为,则的垂直平分线方程为…①
因为的中点坐标为,的斜率为
所以的垂直平分线的方程为…②
联立①②解得: ,
即,
因为在直线上,所以………（4分）
即
因为,所以
再由求得
所以椭圆的方程为………（7分）
（II）若,即
解得,(显然不符合条件,舍去).
此时所以满足条件的点的坐标为.
综上,存在点或,使得为等腰三角形
11．【2017届湖南长沙雅礼中学高三月考四】已知椭圆的右焦点为,点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）点在圆上,且在第一象限,过作的切线交椭圆于两点,问：的周长是否为定值？若是,求出定值；若不是,说明理由.
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意得,∴,∴椭圆的方程为.
（2）由题意,设的方程为,
∵与圆相切,∴,即,
得,
设,则,
∴又,∴,
同理,∴,
∴（定值）.
12．【2017山东菏泽一中宏志部月考三】已知椭圆的焦距为2,左、右顶点分别为,是椭圆上一点,记直线的斜率为,且有.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点,以为直径的圆经过原点,且线段的垂直平分线在轴上的截距为,求直线的方程.
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）依题意,,,
设,则有,即,
,,
,,
即椭圆的方程为；
（2）设,的中点为,
联立得到,
①
,,, ②
因为以为直径的圆经过原点,所以,,,
,,
化简得 ③
将②式代入得到代入①式得到,
由于线段的垂直平分线经过点,,
将②代入得到 ④
联立③④得或1,因为,所以,.
所以直线的方程为.
13．【2017届甘肃肃南裕固族自治县一中高三12月月考】已知椭圆的离心率,过椭圆的左焦点且倾斜角为30°的直线与圆相交所得弦的长度为1.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若动直线交椭圆于不同两点,设,为坐标原点.当以线段为直径的圆恰好过点时,求证：的面积为定值,并求出该定值.
【答案】(I)；(II)证明见解析,.
【解析】（Ⅰ）由题意知得,即. ①
因为直线过左焦点且倾斜角为30°可得直线方程为
又因为直线与圆相交弦长为1,
所以圆心到直线距离,
再由勾股定理得：②
由①②联立可知
即椭圆方程为
（ⅱ）当直线的斜率存在时,设直线的方程为,
,
因为交于不同两点,所以,
,即,
由韦达定理得：,
由题意知即,又,
所以,
∴,
代入整理得.⑤
又
点到直线的距离,
所以
,⑥
将⑤代入⑥得,
14平面直角坐标系中,已知椭圆的离心
率为,左、右焦点分别是. 以为圆心以为半径的圆与以为圆心以为半径
的圆相交,且交点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2） 设椭圆,为椭圆上任意一点. 过点的直线交椭圆于两点,射线交椭圆于点.
（i）求的值；
（ii）求△面积的最大值.
【解析】（1）由题意知,则．又,,可得,
所以椭圆的方程为．
（2）由（1）知椭圆的方程为．
（ⅰ）设,,由题意知．因为,
又,即,所以,即．
（ⅱ）设,．将代入椭圆的方程,
可得,由,
可得 ①
则有,,所以．
因为直线与轴的交点坐标为,所以的面积
．
设．将代入椭圆的方程,
可得,
由,可得 ②
由①②可知,因此,故,
当且仅当,即时取得最大值．
由（ⅰ）知,面积为,所以面积的最大值为．