2018届高三数学优等生提分精品问题8.1+与圆有关的最值问题

2018届高三数学成功在我
专题八 解析几何
问题一：与圆有关的最值问题
一、考情分析
通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐.
二、经验分享
1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略
(1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解．
(2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u＝型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离平方的最值问题．
2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化
三、知识拓展
1.圆外一点P到圆C上点的距离距离的最大值等于，最小值等于.
2.圆C上的动点P到直线l距离的最大值等于点C到直线l距离的最大值加上半径，最小值等于点C到直线l距离的最小值减去半径.
3.设点M是圆C内一点，过点M作圆C的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为.
四、题型分析
(一) 与圆相关的最值问题的联系点
1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题
利用公式＝(≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.
处理方法：直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出,当α∈时,斜率k∈[0,＋∞)；当α＝时,斜率不存在；当α∈时,斜率k∈(－∞,0)．
【例1】坐标平面内有相异两点,经过两点的直线的的倾斜角的取值范围是( ).
A． B． C． D．
【答案】C
【点评】由斜率取值范围确定直线倾斜角的范围要利用正切函数y＝tan x的图象,特别要注意倾斜角取值范围的限制；求解直线的倾斜角与斜率问题要善于利用数形结合的思想,要注意直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时,需依据正切函数y＝tan x的单调性求k的范围．
【小试牛刀】【2017届山东菏泽一中宏志部高三上学期月考】若过点的直线与圆有公共点,则该直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
【答案】B
【解析】当过点的直线与圆 相切时,设斜率为,则此直线方程为,即.由圆心到直线的距离等于半径可得,求得或,故直线的倾斜角的取值范围是,所以B选项是正确的.
1.2 与距离有关的最值问题
在运动变化中,动点到直线、圆的距离会发生变化,在变化过程中,就会出现一些最值问题,如距离最小,最大等.这些问题常常联系到平面几何知识,利用数形结合思想可直接得到相关结论,解题时便可利用这些结论直接确定最值问题.
【例2】 过点的直线与圆：交于两点,为圆心,当最小时,直线的方程是 　　．
答案:
解析：要使最小,由余弦定理可知,需弦长最短.要使得弦长最短,借助结论可知当为弦的中点时最短.因圆心和所在直线的,则所求的直线斜率为,由点斜式可得.
【点评】与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合求解．此题通过两次转化,最终转化为求过定点的弦长最短的问题.
【例3】【2016-2017学年湖北大冶市实验中学高二上学期月考】若圆：关于直线对称,则由点向圆C所作的切线长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【点评】与切线长有关的问题及与切线有关的夹角问题,解题时应注意圆心与切点连线与切线垂直,从而得出一个直角三角形．
【小试牛刀】【2016届河北省武邑中学高三上学期测试】在平面直角坐标系中,圆,圆．若圆上存在一点,使得过点可作一条射线与圆依次交于点,,满足,则半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题,知圆的圆心为,半径为5,圆的圆心为,半径为,两圆圆心距为,如图,可知当为圆的直径时取得最大值,所以当点位于点所在位置时取得最小值,当点位于点所在位置时取得最大值．因为,,所以,,故选A．
1.3 与面积相关的最值问题
与圆的面积的最值问题,一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系,借助函数求最值的方法,如配方法,基本不等式法等求解,有时可以通过转化思想,利用数形结合思想求解.
【例4】 在平面直角坐标系中,分别是轴和轴上的动点,若以为直径的圆与直线相切,则圆面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设直线：.因为,所以圆心C的轨迹为以O为焦点,为准线的抛物线.圆C半径最小值为,圆面积的最小值为选A.
【例5】动圆C经过点,并且与直线相切,若动圆C与直线总有公共点,则圆C的面积（ ）
A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最小值
【答案】D
【解析】设圆心为,半径为,,即,即,∴圆心为,,圆心到直线的距离为,∴或,当时,,∴.
【小试牛刀】【2016-2017学年广东潮阳黄图盛中学高二上期中】已知点A,B,点P是圆上任意一点,则面积的最大值是（ ）
A.3 B. C. D.6
【答案】B
(二) 与圆相关的最值问题的常用的处理方法
2.1 数形结合法
处理与圆有关的最值问题,应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解.
【例6】已知实数x,y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0,求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
【分析】(1)利用斜率模型；(2)利用截距模型；(3)利用距离模型
【解析】原方程变形为(x－2)2＋y2＝3,表示以(2,0)为圆心,半径r＝的圆．
(1)设＝k,即y＝kx,由题知,直线y＝kx与圆恒有公共点,则圆心到直线的距离小于等于半径.
∴≤.∴k2≤3,即－≤k≤,∴的最大值为,最小值为－.
(2)设y－x＝b,则当直线y－x＝b与圆相切时,b取最值,由＝,得b＝－2±,
∴y－x的最大值为－2,最小值为－2－.
(3)令d＝表示原点与点(x,y)的距离,
∵原点与圆心(2,0)的距离为2,∴dmax＝2＋,dmin＝2－.
∴x2＋y2的最大值为(2＋)2＝7＋4,最小值为(2－)2＝7－4.
【点评】研究与圆有关的最值问题时,可借助图形的性质,利用数形结合求解．常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题．　　
【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三周考】已知直线和曲线,点在直线上,若直线与曲线至少有一个公共点,且,则点的横坐标的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设,依题意有圆心到直线的距离,即,解得.
2.2 建立函数关系求最值
根据题目条件列出关于所求目标函数的关系式,然后根据关系的特点选用参数法、配方法、判别式法等进行求解.
【例7】设分别为和椭圆上的点,则两点间的最大距离是（ ）
B. C. D.
【答案】D
2.3 利用基本不等式求解最值
如果所求的表达式是满足基本不等式的结构特征,如或者的表达式求最值,常常利用题设条件建立两个变量的等量关系,进而求解最值.同时需要注意,“一正二定三相等”的验证.
【例8】 设,过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点,则的最大值是 .
【分析】根据,可用均值不等式求最值
【解析】易得.设,则消去得：,所以点P在以AB为直径的圆上,,所以,.
【小试牛刀】【2017届河北武邑中学高三周考】设,若直线与圆相切,则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】直线与圆相切,圆心到直线的距离等于半径,即,化简得,由基本不等式得,令,则,解得.
四、迁移运用
1．【北京市朝阳区2018届高三第一学期期末】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点间的距离为2，动点与， 距离之比为，当不共线时， 面积的最大值是
A. B. C. D.
【答案】A
2．【山西省太原十二中2018届高三上学期1月月考】如图，两条距离为的直线都与轴平行，它们与抛物线和圆分别交于和，且抛物线的准线与圆相切，则当取得最大值时，直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据题意，由抛物线的准线与圆相切可得 或7，又，故，
设直线 的方程为，则直线的方程为则 设
则 令 ，令
故 ，此时直线 的方程为，故选B
3．【西藏拉萨市2018届高三第一次模拟】已知点在圆： 上运动，则点到直线： 的距离的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】圆： 化为，圆心半径为1，先求圆心到直线的距离，则圆上一点P到直线： 的距离的最小值是.选D.
4．【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第三次模拟】已知圆的方程为，直线与圆交于A，B两点，则当面积最大时，直线的斜率（ ）
A. 1 B. 6 C. 1或7 D. 2或6
【答案】C
5．【天一大联考2017—2018学年高中毕业班阶段性测试】过点作直线（不同时为零）的垂线，垂足为，点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】,整理为： 得直线恒过点Q（1，-2），画出图像可知或者M与P,Q之一重合， ,故点M在以PQ为直径的圆上运动，设该圆的圆心为F，则线段MN满足的范围为,所以： 的取值范围是
6．【陕西省西安市2018届高三上学期期末】直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆的圆心，半径为，直线， 此直线恒过定点，当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦，弦心距为， 所截得的最短弦长，故选C.
7．【山西省2018届高三第一次模拟】若点为圆上的一个动点，点，为两个定点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵∠APB=90°，∴，由不等式可得
∴，故选：B
8．【重庆市梁平区2018届二调】过点作圆C： R)的切线，切点分别为A，B，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 2－3
【答案】C
【解析】由题意可得圆心坐标为，半径，
其中，
，
，
.
利用平面向量数量积的定义有：
设，则：
，
结合对勾函数的性质可得：
函数在区间上单调递增
当时， .
本题选择C选项.
9．【甘肃省2018届高三第一次诊断性考试】过直线上的点作圆的切线，则切线长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】直线上上任取一点. 作圆的切线，设切点为A.
圆，即，圆心为，半径为.
切线长为.
.
所以切线长的最小值为.故选A.
10．【新疆乌鲁木齐市2018年高三年级第二次质量监测】已知点是双曲线的渐近线上的动点，过点作圆的两条切线，则两条切线夹角的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
11．【重庆市九校联盟2018届高三上学期第一次联合考试】设，则的最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 9 D. 16
【答案】C
【解析】其几何意义是单位圆上的点到直线的距离的平方，故其最小值为，故选：C
12．【北京西城14中2018届高三上期中】已知圆和两点， ．若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】圆的圆心，半径为，圆心到的距离为，
故圆上的点到点的距离的最大值为，再由可得，以为直径的圆和圆有交点，
可得，所以，
故的最大值为．故选．
13．【2017河北卓越联盟上学期月考】由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线,则切线长的最小值为（ ）
A.1 B. C. D.3
【答案】C
【解析】圆的圆心为,圆心到直线的距离为,所以由勾股定理可知切线长的最小值为
14．【2017届河南中原名校豫南九校高三上学期质检四】如果直线和函数的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆的内部或圆上,那么的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】根据指数函数的性质,可知函数恒过定点,将点代入,可得,由于始终落在所给圆的内部或圆上,所以,由,解得或,这说明点在以和为端点的线段上运动,所以的取值范围是.选A.
15．【2017湖北宜昌葛洲坝中学上期中】若圆C：x2＋y2－x－y－12＝0上有四个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2,则c的取值范围是（ ）
A．[－2,2] B．[－2,]
C． （－2,2） D．（－2,）
【答案】D
【解析】圆C：x2＋y2－x－y－12＝0,配方为：,
∵圆上有四个不同的点到直线l：x-y+c=0的距离为2,
∴圆心到直线l的距离,
解得
16．【2017届四川省高三高考适应性测试】已知圆的方程为,过点的该圆的所有弦中,最短的弦长为（ ）
A. B. C.2 D.4
【答案】C
【解析】,最短的弦长为,选C.
17．【2017重庆万州二中上期中】已知圆,直线 上至少存在一点,使得以点为圆心,半径为的圆与圆有公共点,则的最小值是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
18．【2016学年四川省雅安中学期中】已知点P（t,t）,t∈R,点m是圆上的动点,点N是圆上的动点,则的最大值是（ ）
B．2 C．3 D．
【答案】B
【解析】如图：
圆 的圆心E（0,1）,圆的圆心 F（2,0）,这两个圆的半径都是
要使|PN||-|PM|最大,需|PN|最大,且|PM|最小,由图可得,|PN|最大值为|PF|+,
PM|的最小值为|PE|-
=|PF|-|PE|+1,点P（t,t）在直线 y=x上,E（0,1）关于y=x的对称点E′（1,0）,直线FE′与y=x的交点为原点O,则|PF|-|PE|=|PF|-|PE′|≤|E′F|=1,故|PF|-|PE|+1的最大值为1+1=2,故答案为B．
19．【2016届浙江省临海市台州中学高三上第三次统练】已知是直线上一动点,是圆C：的两条切线,是切点,若四边形的最小面积是2,则的值为（ ）
A．3 B． C． D．2
【答案】D
【解析】圆的方程可化为,因为四边形的最小面积是,且此时切线长为,故圆心到直线的距离为,即,解得,又,所以．
20．【2016届江苏省如东高中高三上学期期中】在平面直角坐标系xOy中,已知点,点B是圆上的点,点M为AB中点,若直线上存在点P,使得,则实数的取值范围为________．
【答案】
【解析】因为点M为AB中点,所以,即点M轨迹为以原点为圆心的单位圆,当PM为单位圆切线时,取最大值,即,从而,因此原点到直线距离不大于2,即
21.已知圆,点是该圆面（包括⊙O圆周及内部）上一点,则的最小值等于　　　　　　　．
【答案】
【解析】依题意可得.令.所以满足如图所示.所以目标函数.所以当目标函数与直线相切的时候z最小.由圆心到直线的距离可得. .所以当且仅当时,.
22.在平面直角坐标系中,圆C的方程为．若直线上存在一点,使过所作的圆的两条切线相互垂直,则实数的取值范围是 ．
【答案】