2018届高三数学优等生提分精品问题8.2+求圆锥曲线离心率或离心率范围

2018届高三数学成功在我
专题八 解析几何
问题二：求圆锥曲线离心率或离心率范围
一、考情分析
离心率的范围问题是高考的热点问题,各种题型均有涉及,因联系的知识点较多,且处理的思路和方法比较灵活,关键在于如何找到不等关系式,从而得到关于离心率的不等式,进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难,本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.
二、经验分享
离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b用a，c表示，转化为关于离心率e的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法．
2.要解决双曲线中有关求离心率或求离心率范围的问题，应找好题中的等量关系或不等关系，构造出关于a，c的齐次式，进而求解.(2)要注意对题目中隐含条件的挖掘，如对双曲线上点的几何特征＋≥2c的运用
三、知识拓展
1.在求椭圆离心率范围时常用的不等关系：，，（P为椭圆上一点）
2.在双曲线中，，
四、题型分析
(一) 借助平面几何图形中的不等关系
根据平面图形的关系,如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值
等得到不等关系,然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示,进而得到不等式,从而确定离心率
的范围.
【例1】【2017届湖南师大附中高三上学期月考三】已知两定点和,动点在直线上移动,椭圆以为焦点且经过点,则椭圆的离心率的最大值为（ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】关于直线的对称点为,连接交直线于点,则椭圆的长轴长的最小值为,所以椭圆的离心率的最大值为,故选A.
【点评】求解本题的关键是利用对称性求距离的最小值
【小试牛刀】已知椭圆与圆,若在椭圆上存在点P,使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直,则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
(二) 借助题目中给出的不等信息
根据试题本身给出的不等条件,如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,的范围等,进一步得到离心率的不等关系式,从而求解.
【例2】 已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点,若设且则椭圆离心率的取值范围是　 　.
【答案】
【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式,然后借助已知条件利用三角函数的图象求解离心率的范围.
【小试牛刀】【百校联盟2018届TOP202018届高三三月联考】．已知平行四边形内接于椭圆，且， 斜率之积的范围为，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意， 关于原点对称，设， ，
，故选A.
(三) 借助函数的值域求解范围
根据题设条件,如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式,通过确定函数的定义域后,利用函数求值域的方法求解离心率的范围.
【例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点,则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵椭圆,∴,,,,∵双曲线,,,,
∴由条件有,则,∴,由,有,,,∴,即,而,∴.
【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系,得到函数关系式,进而根据m的范围,借助反比例函数求解离心率的范围.
【小试牛刀】【2017届福建连城县二中高三上学期期中】已知二次曲线,则当时,该曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由当时,二次曲线为双曲线,双曲线即为,且,则,即有,故选C.
(四) 根据椭圆或双曲线自身的性质求范围
在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质,如椭圆中,,P是椭圆上任意一点,则等.
【例4】【2016届河北省正定中学高三上第五次月考】设为椭圆的左、右焦点,且,若椭圆上存在点使得,则椭圆的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件,根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量,,与的关系式,结合椭圆的范围,即可得到的不等式,从而求出其最小值．
【小试牛刀】【2016届黑龙江省大庆实验中学高三12月月考】已知分别为双曲线的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点,若的最小值为8,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】本题以双曲线为素材,综合考查双曲线的离心率和函数的最值,难度中等．设,则,．又,当且仅当时,等号成立．所以,所以．故选A．
四、迁移运用
1．【湖南省郴州市2018届高三第二次教学质量检测】设椭圆 ()的一个焦点点为椭圆内一点,若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
记椭圆的左焦点为，则 ，即， ， ，即，即 ，椭圆的离心率的取值范围是，故选A.
2．【广东省珠海一中等六校2018届高三第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线与交于两点，若,设,且，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在，，∴，∴，，，
∵，∴，，，∴，故选D．
3．【广东省六校2018届高三下学期第三次联考】已知点为双曲线的右焦点，直线与交于，两点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，设双曲线的左焦点为，连．由于四边形为矩形，故．
在中，，
由双曲线的定义可得
，∴．
∵，∴，
∴，
∴．即双曲线的离心率的取值范围是．选D．
4．【浙江省镇海中学2018届高三上学期期末】已知点P在以为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点Q在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵满足QF1⊥QP，∴点Q与点F2重合时，∵sin∠F1PQ=，
不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12．
∴可得：e=．因此e．
当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．
可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此．
综上可得：．故选C．
5．【福建省宁德市2018届高三上学期期末】已知、分别是椭圆： 的左、右焦点，若椭圆上存在点，满足，则椭圆的离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 、分别是椭圆： 的左、右焦点，若椭圆上存在点，
， ， ， ，当点为右顶点时，可取等号，故选D.
6．【2017届湖南长沙一中高三月考五】已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点,且左、右焦点分别为,.这两条曲线在第一象限的交点为,是以为底边的等腰三角形.若,记椭圆与双曲线的离心率分别为、,则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
7．【2017届湖南湘中名校教改联合体高三12月联考】过双曲线（,）的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于,两点,与双曲线的渐近线交于,两点,若,则双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知,,,则,,,,所以,故选B．
8.已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A,B两点．若|AF|＋|BF|＝4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图,设左焦点为F0,连接F0A,F0B,则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4,∴|AF|＋|AF0|＝4,∴a＝2.
设M(0,b),则≥,∴1≤b＜2.
离心率e＝＝＝＝∈,故选A.
9．已知椭圆上有一点A,它关于原点的对称点为B,点F为椭圆的右焦点,且满足,设,且,则该椭圆的离心率e的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】把代入椭圆方程解得,取,则；由图可知,所以
；又,所以,即,解得,故C为正确答案．
10．已知是双曲线的左、右两个焦点,以线段为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M,与双曲线交于点N（点M,N均在第一象限）,当直线与直线ON平行时,双曲线离心率取值为,则所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ,双曲线的渐近线方程为,与圆 联立,得 ,与双曲线方程联立,得交点 即 ,直线 与直线 平行时,即有 ,即 ,即有 ,即有 ,令 ,由于 ,则故选A．
11.F1、F2是椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆上存在点P,使∠F1PF2＝90°,则椭圆的离心率的取值范围是________．
【答案】　≤e<1
【解析】　设P(x0,y0)为椭圆上一点,则＋＝1. ＝(－c－x0,－y0),＝(c－x0,－y0),
若∠F1PF2＝90°,则·＝x＋y－c2＝0.∴x＋b2(1－)＝c2,∴x＝.
∵0≤x≤a2,∴0≤≤1.∴b2≤c2,∴a2≤2c2,∴≤e<1.
12.【2016届安徽省六安一中高三上第五次月考】已知P是椭圆和双曲线的一个交点,是椭圆和双曲线的公共焦点,分别为椭圆和双曲线的离心率,,则的最大值为 ．
【答案】
13.在平面直角坐标系中,已知点及直线,曲线是满足下列两个条件的动点的轨迹：①其中是到直线的距离；②
(1) 求曲线的方程;
(2) 若存在直线与曲线、椭圆均相切于同一点,求椭圆离心率的取值范围.
【解析】（1）,,
由①得：,
即 将代入②得：,解得：
所以曲线的方程为：
又 即 联解得：
由及得故,
得又故
所以椭圆离心率的取值范围是
14.椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y＝1交于P、Q两点,且OP⊥OQ,其中O为坐标原点．
(1)求＋的值；
(2)若椭圆的离心率e满足≤e≤,求椭圆长轴的取值范围．
【解析】(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),由OP⊥OQ?x1x2＋y1y2＝0,∵y1＝1－x1,y2＝1－x2,代入上式,得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.①
又将y＝1－x代入＋＝1?
(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0.
∵Δ＞0,∴x1＋x2＝,x1x2＝,代入①化简得＋＝2.
(2)∵e2＝＝1－,∴≤1－≤?≤ ≤.
又由(1)知b2＝,∴≤≤?≤ a2≤?≤a≤.
∴长轴是2a∈[,]．