2018年高考物理模型专题04+有界磁场的最小面积模型

一模型界定
带电粒子在有界磁场中运动时,要完成题目要求的运动过程,空间中有粒子必须经过的一个磁场区域,按照题目要求的边界形状或由粒子临界状态下的运动轨迹所决定的有界磁场区域,其面积存在着一个最小值,此模型着重归纳有界磁场最小面积的确定与计算方法.
二模型破解
在涉及最小磁场面积的题目中,主要有两种类型,一种是单一粒子的运动中所经过磁场的最小面积,这种类型的题目通常对磁场区域的形状有明确的要求,如矩形、圆形、三角形;另一种类型是大量粒子经过磁场的运动,由临界状态下的粒子运动轨迹及对粒子的特定运动形式要求所产生的对磁场边界形状的特定要求,从而形成有界磁场的面积的极值问题.
1.单一粒子的运动
(i)确定粒子在磁场运动的轨迹半径
粒子在磁场运动的轨迹半径通常是已知的或是能够由题目中条件计算得出的,也可在未知时先将半径假设出来.
(ii)确定粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向
粒子在有界磁场中的入射方向和出射方向通常也是由题目给出或能够从题目中条件分析得出.
(iii)确定粒子在有界磁场中运动时的入射点与出射点的位置
当题目中没有给定粒子在进出磁场的位置时,先延长粒子的入射方向与出射方向所在的直线得到一个交点,粒子在磁场中运动的轨迹圆心必在这两条直线所形成的两对夹角中的其中一条夹角平分线上,由粒子经过磁场前后的运动要求确定圆心所在的夹角平分线;再在此夹角平分线上取一点O,过该点作粒子入射方向、出射方向所在直线的垂线,使O点到两直线的垂直距离等于粒子的运动轨迹半径,则两垂足即分别为粒子进出磁场时的入射点与出射点.
(iv)确定有界磁场的边界
连接入射点与出射点得到一条线段或直线,并作出粒子在磁场处于入射点与出射点之间的一段运动轨迹圆,再由题目对磁场边界形状的要求确定磁场边界线的位置或圆形磁场的最小半径.
①圆形有界磁场
(I)当题目对圆形磁场区域的圆心位置有规定时,连接圆心与粒子在磁场中的出射点即得到磁场区域的半径.但是这种情况下磁场区域的大小是固定的.
(II)当题目对圆形磁场区域的圆心位置无规定时,若粒子在磁场中转过的圆弧为一段劣弧时，将连接入射点a与出射点b所得的线段作为磁场区域的直径,则所得圆即为最小面积的圆形磁场区域,如图1所示.
图中几何关系为
若粒子在磁场中转过的圆弧为半圆弧或一段优弧时,最小磁场区域的边界极限圆弧与粒子运动轨迹重合,即无最小值.
②半圆形有界磁场
(I)当粒子在磁场中运动轨迹是一段劣弧时，连接入射点a与出射点b所得直线与半圆形边界的直边重合，以ab为直径作出的半圆弧即为所求,如图2甲所示.
图中几何关系为
(II)当粒子在磁场中运动轨迹是一段优弧时，连接入射点a与出射点b所得直线与半圆形边界的直边重合，以其中点为圆心作出与粒子运动轨迹相切的圆弧，此圆弧即为半圆形磁场区域的曲线边界,如图2乙所示．
图中几何关系为
(III)当粒子在磁场中运动轨迹是一个半圆弧时，磁场圆形边界与粒子运动轨迹重合.
③矩形有界磁场
(I)当题目对矩形磁场区域边界某个边有规定时,过入射点或过出射点作已知边界线的平行线或垂线,再作与已知边界线平行或垂直的、与粒子在磁场中运动轨迹相切的直线,则所得矩形即为题目要求的最小矩形.
(II)当题目对矩形磁场区域边界无规定时,
第一步:连接入射点a与出射点b得一条直线ab;
第二步:作ab的平行线且使其与粒子运动轨迹圆相切;
第三步:作ab的两条垂线,若粒子在磁场中转过的是一个优弧时,应使这两条垂线也与粒子运动轨迹圆弧相切,如图3甲所示;若粒子在磁场转过的是一段劣弧时,两条垂线应分别过入射点a和出射点b,如图3乙所示.所得矩形即为题目要求的最小矩形.
甲图中几何关系为、
乙图中几何关系为、
正三角形有界磁场
当粒子在磁场中转过的圆心角超过1200时,先作入射点a、出射点b连线的中垂线,再从中垂线上某点作粒子运动轨迹圆的两条切线,且使两切线间的夹角为600,则此三条直线所组成的三角形即为题目所要求的最小三角形,如图4甲所示.当粒子在磁场中转过的圆心角不超过1200时,也是先作入射点a、出射点b连线的中垂线,再从中垂线上某点连接入射点a与出射点b,使其与ab组成一正三角形,此正三角形即为所示如图4乙所示.
甲图中几何关系为;乙图中几何关系为.
例1.一质量为m、带电量为＋q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直纸面向外，粒子飞出磁场区域后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正方向的夹角为30°，同时进入场强大小为大小为E，方向沿x轴负方向成60°角斜向下的匀强电场中，通过了b点正下方c点，如图所示，已知 b到O的距离为L，粒子的重力不计，试求：
⑴磁感应强度B
⑵圆形匀强磁场区域的最小面积；
⑶c点到b点的距离
【答案】（1）（2）（3）
例2.如图所示，在直角坐标xOy平面y轴左侧（含y轴）有一沿y轴负方向的匀强电场，一质量为m，电荷量为q的带正电的粒子从x轴上P处发速度v0沿x轴正方向进入电场，从ｙ轴上Q点离开电场时速度方向与ｙ轴负方向间夹角θ＝300，Q点坐标为(0,-ｄ)，在ｙ轴右侧有一与坐标平面垂直的有界匀强磁场区域（图中未画出），磁场磁感应强度大小，粒子能从坐标原点O沿ｘ轴负方向再进入电场，不计粒子重力，求：
(1)电场强度大小E
(2)如果有界匀强磁场区域为半圆形，求磁场区域的最小面积
(3)粒子从P点运动到O点的总时间
【答案】（1）（2）（3）
【解析】：（1）设粒子从Q点离开电场时速度大小 由粒子在匀强电场中做类平抛运动得：
由动能定理得 （2分）
解得（1分）
（3）设粒子在匀强电场中运动时间为
粒子从Q点离开电场时沿y轴负向速度大小为 有
例3.如图所示，第三象限内存在互相垂直的匀强电场和匀强磁场，匀强磁场方向向里，大小为B0，匀强电场场强为E。第二象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向内的匀强磁场，磁场的下边界与x轴重合。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以某一速度从M点进入第三象限，沿与y轴成600的直线运动到P点，在P点进入第二象限的磁场，经过一段时间后粒子垂直y轴上的N点通过y轴，N点到原点距离为L。忽略粒子的重力影响。求：
（1）请分析匀强电场的场强方向并求出粒子的运动速度。
（2）矩形有界磁场的磁感应强度B的大小。
（3）矩形有界磁场的最小面积。
（要求有必要的文字叙述和轨迹图）
【答案】（1）（2）（3）

(2)延长MP与过N点的速度的反向延长线相交于Q,作的平分线,再过P作MP的垂线,二者的交点O'即为粒子运动轨迹圆的圆心.过O'做NQ的垂线,垂足S即为粒子从磁场出射的位置.画出粒子在第二象限运动轨迹如图。
由几何关系得
根据牛顿第二定律有
解得
（3）如图所示,由于磁场的下边界与x轴重合,故作x轴的两条垂线,一条与粒子在磁场中运动轨迹圆相切,另一条过粒子在磁场中的出射点S,由最小面积的有界磁场即为图中所示矩形,其面积为
例4.如图所示，在y轴上A点沿平行x轴正方向以v0发射一个带正电的粒子，在该方向上距A点3R处的B点为圆心存在一个半径为R的圆形有界的匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外，当粒子通过磁场后打到x轴上的C点，且速度方向与x轴正向成60°角斜向下。已知带电粒子的电量为q，质量为m，粒子的重力忽略不计，O点到A点的距离为。求：
（1）该磁场的磁感应强度B的大小
（2）若撤掉磁场，在该平面内加上一个与y轴平行的有界匀强电场，粒子仍按原方向入射，当粒子进入电场后一直在电场力的作用下打到x轴上的C点且速度方向仍与x轴正向成60°角斜向下，则该电场的左边界与y轴的距离为多少？
（3）若撤掉电场，在该平面内加上一个与（1）问磁感应强度大小相同的矩形有界匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里，粒子仍按原方向入射，通过该磁场后打到x轴上的C点且速度方向仍与x轴正向成60°角斜向下，则所加矩形磁场的最小面积为多少？
【答案】（1）（2）R（3）

由于磁场的磁感应强度与（1）问相同，所以粒子的轨道半径不变仍为.反向延长C点速度与A点速度所在直线相交于B点,作的平分线,由左手定则可知粒子进入磁场后向上偏转，并最终沿BC方向离开磁场，故圆心应在的平分线的反向延长线上.如图所示,在平分线上取一点O',过O'作两边的垂线,垂足分别是E、F,此两点即分别为粒子在有界磁场中运动时的入射点与出射点.画出粒子运动轨迹圆弧,作直线EF的两条垂线并分别与粒子运动轨迹圆相切,再作直线EF的平行线,也与粒子运动轨迹圆相切,则图中矩形即为最小面积的矩形.
由几何知识可得，矩形长边为
矩形短边为
所以矩形的最小面积为
例5.如图所示，一个质量为，带电量的粒子在BC边上的M点以速度垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点（CM＝CN）垂直于AC边飞出ABC，可在适当的位置加一个垂直于纸面向里，磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内，且不计粒子的重力。试求：
　　
（1）粒子在磁场里运动的轨道半径ｒ及周期T；
（2）该粒子在磁场里运动的时间t；
（3）该正三角形区域磁场的最小边长；
【答案】（1）： ，（2）（3）

（3）由图可知，，故有
2.大量粒子的运动
(i)由边界上临界粒子的运动轨迹确定磁场的某些边界,常是一段或几段圆弧.
(ii)由【答案】【解析】几何方程确定粒子在磁场中运动时出射点所组成的磁场的其余边界.
(iii)从同一点入射的速率相同的粒子,若要求出射后粒子运动方向都平行,则磁场中粒子出射位置所在的边界是一段圆弧,其半径与粒子在该磁场中运动的轨迹半径相等,且圆心与入射点的连线垂直于出射方向.反之亦然.
(iv)从同一 点沿相同方向入射的不同速率的相同粒子,若要求出射后粒子运动方向都平行,则磁场中粒子出射位置所在的边界是一段线段.线段的两个端点分别在入射点及速率最大的粒子的出射点上.
例6.如图所示，MN为一足够大而厚的水平平板，在其上方紧靠平板的中心点O有一放射源可向MN上方竖直平面内的各个方向发射、、射线(不计射线间的相互作用)。为使从该装置射出来的速率都为的射线都能水平向右射出(便于加速利用)，则可以在MN的上方某区间加某一方向的匀强磁场，设磁场的磁感应强度大小为B，射线的电量大小为，质量为，求：

(1)所加匀强磁场的方向；
(2)所加磁场的最小面积大小(并在图上大致画出这个最小面积的图样)。
【答案】（1）垂直纸面向里（2）
例7.如图，ABCD是边长为的正方形。质量为、电荷量为的电子以大小为的初速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域。在正方形内适当区域中有匀强磁场。电子从BC边上的任意点入射，都只能从A点射出磁场。不计重力，求：
（1）此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；
（2）此匀强磁场区域的最小面积。
【答案】（1）（2）
（2）由（1）中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自点垂直于入射电子在A点沿DA方向射出，且自BC边上其它点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC区域中。因而，圆弧是所求的最小磁场区域的一个边界。
为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A点的电子的速度方向与BA的延长线交角为（不妨设）的情形。该电子的运动轨迹如图所示。
图中，圆的圆心为O，pq垂直于BC边 ，由③式知，圆弧的半径仍为，在以D为原点、DC为x轴，AD为轴的坐标系中，P点的坐标为
④
⑤
这意味着，在范围内，p点形成以D为圆心、为半径的四分之一圆周，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界。
因此，所求的最小匀强磁场区域时分别以和为圆心、为半径的两个四分之一圆周和所围成的，其面积为
例8.如图，在直角坐标系xoy中，点M（0，1）处不断向+y方向发射出大量质量为m、带电量为-q的粒子，粒子的初速度大小广泛分布于零到v0之间。已知这些粒子此后所经磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里，所有粒子都沿+x方向经过b区域，都沿-y的方向通过点N（3，0）。
（1）通过计算，求出符合要求的磁场范围的最小面积；
（2）若其中速度为k1v0和k2v0的两个粒子同时到达N点(1>k1>k2>0),求二者发射的时间差。
【答案】（1）（2）
三模型演练
1.一质量为m、带电量为q的粒子以速度v0从O点沿y轴正方向射入磁感强度为B的一圆形匀强磁场区域，磁场方向垂直于纸面，粒子飞出磁场区后，从b处穿过x轴，速度方向与x轴正向夹角为30°，如图1所示（粒子重力忽略不计）。
试求：（1）圆形磁场区的最小面积；
（2）粒子从O点进入磁场区到达b点所经历的时间；
（3）b点的坐标。
　
【答案】（1）（2）（3）（，0）
　　（2）粒子运动的圆心角为1200，时间。
　　（3）ob距离 ，故b点的坐标为（，0）。
2.如图所示, 真空中的平面直角坐标系xoy，在－l≤X≤0的区域存在沿y轴正方向的匀强电场,在第Ⅳ象限中存在磁感应强度为B的圆形匀强磁场．一电子（质量为m,电荷量为e，不计重力）在电压为U的电场中从静止加速后,沿x轴方向进入匀强电场。若电子在y轴上的M点进入第Ⅳ象限时,速度方向与y轴负方向成60°角,且经过磁场后能从N点垂直穿过x轴．试求：
（1）匀强电场的场强E
（2）电子经过M点的速度大小v
（3）圆形磁场的最小半径r
【答案】（1）（2）（3）


3.如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E与匀强磁场B1， E的大小为0．5×103V/m, B1大小为0．5T；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直纸面向里的匀强磁场B2，磁场的下边界与x轴重合．一质量m=1×10-14kg、电荷量q=1×10-10C的带正电微粒以某一速度v沿与y轴正方向60°角从M点沿直线运动，经P点即进入处于第一象限内的磁场B2区域．一段时间后，小球经过y轴上的N点并与y轴正方向成60°角的方向飞出。M点的坐标为(0，-10)，N点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，g取10m/s2
（1）请分析判断匀强电场E的方向并求出微粒的运动速度v；
（2）匀强磁场B2的大小为多大？
（3） B2磁场区域的最小面积为多少？
【答案】（1）（2）（3）
(3) 由图可知，磁场B2的最小区域应该分布在图示的矩形PACD
内．由几何关系易得
　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
所以，所求磁场的最小面积为　　　　
4.如图所示，直角坐标系第一象限的区域存在沿轴正方向的匀强电场。现有一质量为，电量为的电子从第一象限的某点（，）以初速度沿轴的负方向开始运动，经过轴上的点（，0）进入第四象限，先做匀速直线运动然后进入垂直纸面的矩形匀强磁场区域，磁场左边界和上边界分别与轴、轴重合，电子偏转后恰好经过坐标原点O，并沿轴的正方向运动，不计电子的重力。求
（1）电子经过点的速度；
（2）该匀强磁场的磁感应强度和磁场的最小面积。
垂线,垂足M即为粒子在磁场中运动的入射点,画出粒子在磁场中运动的部分轨迹为弧MNO.磁场左边界和上边界分别与轴、轴重合，则过M点作x轴的垂线CM,再作与x轴平行的圆弧切线,与y轴及CM分别相交于AB两点,矩形OABC即为最小的磁场区域了。
　设粒子在磁场中的偏转半径为，　，由图知ＯＱ＝＝，解得，方向垂直纸面向里。
　　矩形磁场的长度，宽度。
　　矩形磁场的最小面积为：　
5.如图所示为可测定比荷的某装置的简化示意图，在第一象限区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B＝2.0×10－3T，在x轴上距坐标原点L＝0.50 m的P处为粒子的入射口，在y轴上安放接收器．现将一带正电荷的粒子以v＝3.5×104 m/s的速率从P处射入磁场，若粒子在y轴上距坐标原点L＝0.50 m的M处被观测到，且运动轨迹半径恰好最小，设带电粒子的质量为m、电荷量为q，不计其重力．
(1)求上述粒子的比荷；
(2)为了在M处观测到按题设条件运动的上述粒子，第一象限内的磁场可以局限在一个矩形区域内，求此矩形磁场区域的最小面积，并在图中画出该矩形．
【答案】（1）＝4.9×107C/kg(或5.0×107C/kg)（2）0.25 m2
6.如图，xOy平面内存在着沿y轴正方向的匀强电场。一个质量为m、带电荷量为＋q的粒子从坐标原点O以速度v0沿x轴正方向开始运动。当它经过图中虚线上的M（2a，a）点时，撤去电场，粒子继续运动一段时间后进入一个矩形匀强磁场区域（图中未画出），又从虚线上的某一位置N处沿y轴负方向运动并再次经过M点。已知磁场方向垂直xOy平面（纸面）向里，磁感应强度大小为B，不计粒子的重力。试求：

（1）电场强度的大小；
（2）N点的坐标；
（3）矩形磁场的最小面积。
【答案】（1）（2）（，）（3）
【解析】:如图是粒子的运动过程示意图。
⑴ 粒子从O到M做类平抛运动，设时间为t，则有


得

7.如图甲所示，平行金属板A和B间的距离为d，现在A、B板上加上如图乙所示的方波电压，t=0时A板比B板的电势高。电压的正向值为U0，反向值也为U0，现有由质量为m电量为+q的粒子组成的粒子束，从AB的中点O以平行于金属板中轴OO＇线的速度v0=不断射入，所有粒子在AB间的飞行时间均为T，不计重力影响。试求：
（1）粒子射出电场时位置离中轴线OO＇的距离范围
（2）粒子射出电场时的速度
（3）若要使射出电场的粒子经某一垂直纸面的圆形区域匀强磁场偏转后，都能通过圆形磁场边界的一个点处，而便于再收集，则磁场区域的最小半径和相应的磁感强度是多大？
【答案】（1）在距离O/中点下方至上方范围内有粒子打出（2）（3）
（2）打出粒子的速度都是相同的，在沿电场线方向速度大小为
所以打出速度大小为
解得
设速度方向与v0的夹角为θ，则
（3）要使平行粒子能够交于圆形磁场区域边界且有最小区域时，磁场直径最小值与粒子宽度相等，粒子宽度
故磁场区域的最小半径为
粒子在磁场中作圆周运动
解得
8.在平面内有许多电子（质量为、电量为），从坐标O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图7所示。现加一个垂直于平面向内、磁感强度为的匀强磁场，要求这些电子穿过磁场后都能平行于轴向正方向运动，求符合该条件磁场的最小面积。
9.如图所示，质量均为m、电荷量均为q的带负电的一簇粒子从P1(一a，0)点以相同的速率vo在xOy平面内朝x轴上方的各个方向射出(即0<θ≤π)，不计重力及粒子间的相互作用，且已知a足够大．
(1)试在图中的适当位置和区域加一垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场，使这簇带电粒子通过该磁场后都沿平行于x轴方向运动．在图中定性画出所加的最小磁场区域边界的形状和位置．
(2)试在图中的某些区域再加垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场，使从Pl点发出的这簇带电粒子通过磁场后都能通过P2(a，0)点．
要求：①说明所加磁场的方向，并在图中定性画出所加的最小磁场区域边界的形状和位置；
②定性画出沿图示vo方向射出的带电粒子运动的轨迹；
③写出所加磁场区域与xOy平面所成截面边界的轨迹方程．
(2)根据对称性可得出在P2处所加的磁场最小区域也是圆，
同理可求得其方程为(x-a)2+(y一R)2＝R2
圆心为(a，R)，半径为R＝mVo／Bq，该圆位于x轴上方且与P2点相切；
根据左手定则判断，磁场方向垂直于xOy平面向里；
沿图示v0方向射出的带电粒子运动的轨迹如图所示．
10.如图所示，虚线MO与水平线PQ相交于O，二者夹角θ=30°，在MO左侧存在电场强度为E、方向竖直向下的匀强电场，MO右侧某个区域存在磁感应强度为B、垂直纸面向里的匀强磁场，O点处在磁场的边界上.现有一群质量为m、电量为+q的带电粒子在纸面内以速度v()垂直于MO从O点射入磁场,所有粒子通过直线MO时，速度方向均平行于PQ向左.不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求：
（1）速度最大的粒子自O点射入磁场至返回水平线POQ所用的时间.
（2）磁场区域的最小面积.
【答案】（1）（2）或
（2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM，则其飞出磁场的位置均应在ON的连线上，故磁场范围的最小面积是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON所围成的面积,如图乙所示。
扇形的面积 ⑨
的面积为： ⑩
又
联立①⑦⑨⑩得：或