第一章 力 物体的平衡
本章知识结构
第一单元 力 重力 弹力 摩擦力
知识要点概述
(一)考试内容和要求
1．理解力的概念、会分析和计算重力、弹力;
2．理解摩擦力的概念、会对滑动摩擦力、静摩擦力方向判定与大小计算
(二)知识拓展
1．力的概念
力是物体之间的相互作用，有力必有施力物体和受力物体。力的大小、方向、作用点叫力的三要素。用一条有向线段把力的三要素表示出来的方法叫力的图示。按照力命名的依据不同，可以把力分为①按性质命名的力(例如：重力、弹力、摩擦力、分子力、电磁力等。)②按效果命名的力(例如：拉力、压力、支持力、动力、阻力向心力等。)
2．重力
由于地球的吸引而使物体受到的力。重力的大小与物体的质量成正比，方向竖直向下，作用点叫物体的重心；重心的位置与物体的质量分布和形状有关。质量均匀分布，形状规则物体的重心在其几何中心处。
3．弹力
发生形变的物体，由于要恢复原状，会对跟它接触的且使其发生形变的物体产生力的作用，这种力叫弹力。但物体的形变不能超过弹性限度，弹力的方向和产生弹力的那个形变方向相反。(平面接触面间产生的弹力，其方向垂直于接触面；曲面接触面间产生的弹力，其方向垂直于过研究点曲面的切面；点面接触处产生的弹力，其方向垂直于面、绳子产生弹力的方向沿绳子所在的直线。)
4．摩擦力
两个相互挤压的物体。当接触面存在相对的运动(或相对运动趋势时)，接触面上就会产生阻碍相对运动(或相对运动趋势)的力，这种力叫摩擦力。存在相对运动的叫滑动摩擦力，存在相对运动趋势的叫静摩擦力。
产生条件：
a．两物体相互接触且相互间存在压力。
b．两物体的接触面不光滑。
c．两个物体的接触面存在相对运动(或相对运动趋势)。
方向：跟物体相对运动或相对运动趋势的方向相反。
大小：滑动摩擦力F＝μFN(μ为动摩擦因数，它的数值跟相互接触的两物体的材料有关，跟接触面的粗糙程度有关，FN为接触面间的压力)
典型试题精析
【例1】 (94年全国高考)如图所示，C是水平地面，A、B是两个长方形物块， F是作用在物块B上沿水平方向的力，物体A和B以相同的速度做匀速直线运动。由此可知，A、B间的动摩擦因数和B、C间的动摩擦因数有可能是( )
图1—1
A． B．
C． D．
解析：本题考查二力平衡条件和摩擦力的产生条件。以A和B一起为研究对象，A和B以相同的速度做匀速直线运动，则在水平方向上受力平衡，即C对B的摩擦力f=F，则B与C间的摩擦因数。A与B相对静止，其间无摩擦力，不能判断是否为0，故可能或。
答案: BD
【例2】设想从某一天起，地球的引力减小一半，那么，对漂浮在水面上的轮船来说，下列说法中正确的是 ( )
A．船受到的重力将减小，船的吃水深度将不变
B．船受到的重力将减小，船的吃水深度将减小
C．船受到的重力将不变，船的吃水深度将不变
D．船受到的重力将不变，船的吃水深度将减小
解析: 这道题是针对重力产生的原因，重力的大小G＝mg。结合学生初中知识F浮＝ρgV排，对学生进行了简单的综合练习。
由F浮＝G 得 mg=ρgV排 。在船质量m和水的密度ρ不变时，V排不变。
故选项A正确。
【例3】如图1—2所示，为一汽车刹车系统示意图：某时刻，汽车正向左行驶，如果此时刹车，则刹车片给车轮上A点的动摩擦力方向 地面给车轮上B点的摩擦力方向 。
解析: 刹车油泵向上提，刹车片向上运动，车轮刹车片的摩擦力向下，故刹车片给车轮上A点的摩擦力沿A点切线向上。车轮被刹车片卡住后，车轮上B点相对于地面向左运动，故地面给车轮上B点的摩擦力方向水平向右。
图1—2
【例4】如图所示，位于斜面上的物块M在沿斜面向上的力F作用下，处于静止状态。则斜面作用于物体的静摩擦力（ ）
A．方向可能沿斜面向上
B．方向可能沿斜面向下
C．大小可能等于零
D．大小可能等于F
图1—3
解析: 题中没有明确F的大小，就存在多种可能性：
当F当F=mgsinθ时，物体M所受的静摩擦力f为零；
当F>mgsinθ时，物体M有上滑趋势，所受的静摩擦力f方向沿斜面向下；
当0≤F≤mgsinθ时，静摩擦力f的取值范围是mgsinθ≥f≥0。
可见f>F，f能力测试
1.关于力的下列说法中，正确的是( )
A. 无论什么性质的力都是成对出现的
B. 在任何地方，1千克物物体重都是9.8牛
C. 物体受到力的作用时，运动状态一定发生变化
D. 由相距一定距离的磁铁间有相互作用力可知，力可以脱离物体而独立存在
2.关于弹力下列说法不正确的是( )
A.通常所说的压力、支持力和绳子的拉力都是弹力
B.轻绳、轻杆上产生的弹力的方向总是在绳、杆的直线上
C.两物体相互接触可能有弹力存在
D.压力和支持力的方向总是垂直于接触面的
3.下面关于摩擦力的说法正确的是：( )
A. 阻碍物体运动的力称为摩擦力；
B. 滑动摩擦力方向总是与物体的运动方向相反；
C. 静摩擦力的方向不可能与运动方向垂直；
D. 接触面上的摩擦力总是与接触面平行。
4. 用一个水平推力F=Kt(K为恒量，t为时间)把一重为G的物体压在竖直的足够高的平整墙上，如图1-4所示，从t=0开始物体所受的摩擦力f随时间t变化关系是下图1-5中的哪一个？( )
图1-5
5. 运动员用双手握住竖直的竹竿匀速攀上和匀速下滑时，运动员所受到的摩擦力分别是f1和f2 则 ( )
A．f1方向向下，f2方向向上，且f1＝f2
B．f1方向向下，f2方向向上，且f1> f2
C．f1方向向上，f2方向向上，且f1＝f2
D．f1方向向上，f1方向向下，且f1＝f2
6．如图1-6所示，AOB为水平架空的光滑杆，其夹角∠AOB＝60°，在杆上套两个质量均为m的小球，二小球由可伸缩的弹性绳连接，在绳的中点C，施以沿∠AOB的角平分线方向向右的水平拉力F，两小球平衡时绳对球的弹力大小为T，则T与F的大小关系是 ( )
A．T＝F B．T＞F
C．T＜F D．无法确定
7．画出下列图1-7中A受重力和弹力(A始终静止)
图1-7
8．如图1-8所示，质量为m，横截面为直角三角形的物块ＡＢＣ，∠ＡＢＣ＝α，ＡＢ边靠在竖直墙上，Ｆ是垂直于斜面ＢＣ的推力，现物块静止不动，求摩擦力的大小。
图1-8
9．图1-9示，所受重力大小为G的木块甲和倾角为θ的斜面体乙间的接触面光滑，对甲施加一水平推力使甲、乙无相对运动，同时使乙沿水平地面向左匀速运动，求甲对乙的压力。
图1-9
10．如图1-10，一个重G＝600N的人站在重P＝300N的平台上，通过重为P’＝20N的光滑动滑轮拉住平台，那么他至少用多大力来拉绳子。
图1-10
11．有一劲度因数为k2的轻弹簧竖直固定在桌面上，上面连一质量为m的物块，另一劲度系数为k1的轻弹簧竖直固定在物块上，开始时弹簧k1处于原长(如图1-11所示)现将弹簧k1的上端A缓慢地竖直向上提高，当提到k2的弹力大小为2mg/3时，求A点上升的高度为多少？
12．如图1-12所示，矩形均匀薄板长AC＝60cm，宽CD＝10cm，在B点用细线悬挂，板处于平衡状态，AB＝35cm，则悬线和薄板边缘CA的夹角α为多大。
图1-12
第二单元 共点力的合成和分解
一、知识要点概述
(一)考试内容和要求
1．理解力的矢量性;
2．熟练掌握力的合成与分解的基本方法。
(二)知识拓展
1、合力与分力：一个力如果它产生的效果跟几个力共同作用所产生的效果相同，这个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这个力的分力。
2、力的合成与分解：求几个力的合力叫做力的合成；求一个力的分力叫做力的分解。
3、共点力：物体同时受到几个力作用时，如果这几个力都作用于物体的同一点或者它们的作用线交于同一点，这几个力叫做共点力。
4、共点力合成计算：
(1)同一直线上两个力的合成：同方向F=F1+F2；反方向F=F1-F2
(2)互成角度两力合成——平行四边形法则：
求两个互成角度的共点力F1 F2的合力，可以表示F1 、F2的线段为邻边，作平行四边形，夹在两邻边间的那条对角线即表示合力的大小和方向。
合力的取值范围是：|F1-F2|≤F≤F1+F2
(3)多力合成：既可用平行四边形法则，也可用多边形法则.
5、力的分解：力的分解是力的合成的逆运算
(1)已知一条确定的对角线，可以作出无数个平行四边形，故将一个力分解成两个分力，有无数解；
(2)已知一个分力的大小和方向求另一个分力，只有一解；
(3)已知一个分力的大小和另一个分力的方向时可能有一组解、两组解或无解。
二、典型试题精析
【例1】三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图1-13所示，其中OB是水平的，A、B端固定若逐渐增加C端所挂物体的质量，则。最先断的是 ( )
A．必定是OA B．必定是OB
C．必定是OC D．可能是OC，也可能是OB
图１－13
解析一 运用力的合成知识分析：作出O点的受力图，如图１－14 (a)所示，三力平衡，其中某个力必定是与余下的两个力的合力等值反向，从作出的平行四边形可见：OA所受力最大，若逐渐增加C端所挂物体的质量，则OA首先达到最大拉力，故最先断的绳必定是OA，所以答案A正确。
(a) (b)
图１－14
解析二 运用力的分解知识分析：OC中的拉力等于重物的重力，此力按作用效果可分解为如图1-14 (b)所示的两个分力Fl和F2，分别等于OA、OB中的拉力。由图中几何关系可知三段绳中OA的拉力最大。故逐渐增加C端所挂物体的质量时，最先断的绳是OA。
【例2】 如图1-15(a)所示，质量为m的球放在倾角为α的光滑斜面上，试分析挡板 AO与斜面的倾角β多大时，AO所受压力最小。
图1-15(a)
解析: 题目中问的是挡板AO的受力情况，但若直接以挡板为研究对象，因挡板受力情况均未知，故无法得出结论。
图１－15 (b)
以球为研究对象，球所受重力产生的效果有两个，对斜面产生的压力Fl，对挡板产生的压力F2，根据效果将重力分解：如图1-15(b)所示，当挡板与斜面的夹角β由图示位置发生变化时，Fl的大小改变方面不变，始终与斜向垂直。F2的大小和方向均改变，如图1-15(b)中虚线所示；由图可看出挡板AO与斜面垂直时，即β＝90°时，挡板AO所受压力最小，最小压力F2min＝mgsinα。
【例3】三角形房架如图1-16(a)所示，已知拉杆BC水平，房盖重G，AB、AC与BC均成α角。求：拉杆BC的拉力和墙受的压力。
(a)
(b)
图1-16
【解析】 如图1-16(b)所示，将房盖重力G看做作用在房顶A，并沿AB和AC方向分解为G’和G”。
则 ①
对房盖与墙的接触点B，受N、T、G三个力作用。
其中：T＝F1＝G’cosα ②
N＝F2＝G’sinα ③
分别联立①、②和①③得
另外，在求解墙受的压力时，还可以房架整体作研究对象，其受重力G，两边墙对其各产生向上的支持力N。由平衡条件2N＝G，解得。
【例4】 质量为m的木块，在推力F的作用下在水平地面上做匀速运动如图1-17(a)。已知木块与地面间的动摩擦因数为 ，那么木块受到的滑动摩擦力的值应为 ( )
A． B．
C． D．
解析: 木块匀速运动时受四个力的作用：重力mg、推力F、支持力N、摩擦力f沿水平向左为x轴，竖直向上为y轴，建立直角坐标系，将力F进行正交分解如图1-17(b)，这样建立坐标系，只需分解F。
(a) (b)
图1-17
由于木块做匀速运动，所以，在x轴上，向左的力等于向右的力(水平方向二力平衡)；在y轴上，向上的力等于向下的力(竖直方向上、下方向的力平衡)，即
。
又∵。
故答案B、D是正确的。
评析拓展 由于每个分力作正交分解的过程以及最终由合力的x轴分量和y轴分量来求合力的大小和方向的过程，都是求解直角三角形问题，可见，用正交分解法求共点力的合力的运算通常较为简便。因此，力的正交分解法是解决力学问题的基本方法之一，必须熟练掌握。
【例5】 在日常生活中有时会碰到这种情况：当载重卡车陷于泥坑中时，汽车驾驶员按如图1-18(a)所示的方法，用钢索把载重卡车和大树拴紧，在钢索的中央用较小的垂直于钢索侧向力就可以将载重卡车拉出泥坑，你能否用学过的知识对这一方法作出解释。
(a) (b)
图1-18
解析: 设侧向力F作用于钢索O点，则O点将沿力的方向发生很小的移动，因此AOB不在一直线上，成一非常接近180°的角度，而且钢索也被拉紧。这样钢索在B端对卡车有一个沿 BO方向的拉力FB，根据对侧向力F的实际效果分析，可将F分解成沿AO和BO方向的两个分力F1和F2，其中侧向力F沿BO方向的分力F2在数值上就等于FB。由于AOB是同一根钢索，故Fl=F2，根据平行四边形定则画出如上图1-18(b)所示的受力情况，由于∠AOB趋近于180°，故即使F较小，F2也非常大，即FB非常大，故能将卡车拉出泥坑。
【例6】 刀、斧、凿、刨等切削工具的刃部叫做劈，劈的纵截面是一个三角形。如图1-19(a)所示，使用劈的时候，在劈背上加力F，这个力产生两个效果，使劈的两个侧面推压物体，把物体劈开。设劈的纵截面是一个等腰三角形，劈背的宽度是d，劈的侧面的长度是L。可以证明：。从上式可知，当F一定的时候，劈的两侧面之间的夹角越小，就越大，f1和f2就越大。这说明了为什么越锋利的切削工具越容易劈开物体，试证明上式。
(a) (b)
图1-19
解析：根据力的分解法作出F的分力f1、f2的矢量图，如图1-19(b)所示，有人f1＝f2，由矢量ΔOFf2相似几何ΔABC，得，即，命题得证。
评析拓展 巧妙地利用数学工具，是解决力学问题的有效方法之一。除三角函数外，相似三角形也是在力的合成与分解中常用的数学方法之一，尤其是在图形中没有直角三角形的情况下，运用相似三角形对应边成比例，使问题得以解决。
三、能力测试
1．两人用60N的力沿水平方向拉测力计的两端，当测力计静止时，它的读数和所受的合力分别是(不计测力计重量) ( )
A．120N，120N B．60N，0
C．60N，60N D．120N，0
2．固定在水平面上光滑半球，球心O的正上方固定一个小定滑轮，细线一端拴一小球，置于半球面上的A点，另一端绕过定滑轮，如图1-22所示，今缓慢地将小球从A点拉到B点，则此过程中，小球对半球的压力大小为N，细线的拉力大小为T。N．T的变化情况是 ( )
A．N变大，T变大
B．N变小，T变大
C．N不变，T变小
D．N变大，T变小
3.关于作用力与反作用力，下面说法哪些是正确的？ ( )
A．作用力和反作用力大小相等、方向相反，在同一直线上，因此它们的合力为零
B．压弹簧时，手先给弹簧一个压力而使之压缩，弹簧压缩后再反过来给手一个弹力
C．压力与支持力是互为作用力与反作用力，因此两者总是大小相等、方向相反
D．马能够把车拉动，是因为马拉车的力大于车拉马的力
4．甲乙两队进行拔河比赛，甲队胜。若绳的质量不计，则下列说法正确的是 ( )
A．甲队拉绳子的力大于乙队拉绳子的力
B．甲队与地面的最大静摩擦力大于乙队与地面的最大静摩擦力
C．甲乙两队与地面的最大静摩擦力大小相等方向相反
D．甲乙两队拉绳的力相同
5．如图1-23所示，某物体在4个共点力作用下处于平衡状态。若F4的方向沿逆时针转过90°而保持其大小不变，其余三个力的大小和方向保持不变，则此时物体所受的合力的大小为( )
A．F4
B．2F4
C．F4
D．F4
6．将一个已知力F分解成F1和F2两个力，如果已知F1的大小及F2和F之间的夹角α，且α为锐角，则 ( )
当F≥F1sinα时，有两解
当F＞F1＞Fsinα时，有两个解
当F1＝Fsinα时，有唯一的解
当F1＜Fsinα时，无解(提示：见图1-24)
图1-24
7．图示1-25AB是放在光滑水平面上的一根细绳，A端固定，B端用两个外力F1、F2把绳拉直，绳静止在南偏东30°角的位置上，已知F1的大小是N，方向向东，则F2的最小可能值是多少牛。
8．如图1-26所示，有一个固定在竖直墙壁上的三角支架ABC，AB杆沿水平方向，AC杆与AB杆的夹角为60°，当在A点悬挂一物体时，AB杆受到的拉力为10N，求 AC杆受的压力及悬挂物体的重量。
9．将一个20N的力进行分解，其中一个分力的方向与这个力成300角，试讨论(1)另一个分力的大小不会小于多少？
(2)若另一个分力的大小是，则已知方向的分力的大小是多少？
10．如图1-27所示长为5m的细绳的两端分别系于竖直立在地面上相距为4m的两杆的顶端A、B。绳上挂一个光滑的轻质挂钩，其下连着一个重12N的物体，稳定时，绳的张力为多少？
图1-27
11．有这样一个题目：物体在三个力作用下处于平衡状态，这三个力中有一个力的方向是水平向右，大小是10N，如果去掉这个力，问其余两个力的合力是多大？方向怎样？有同学回答：二力的合力是10N，方向向左，你认为这个回答是否一定正确？为什么？试举例说明。
12．用细绳AC和BC吊起一重物，两绳与竖直方向的夹角如右图1-28所示，AC能承受的最大拉力为150N，BC能承受的最大拉力为100N，为使绳子不断裂，所吊重物的最大质量不得超过多少
第三单元 受力分析 物体的平衡
一、知识要点概述
(一)考试内容和要求
学会对物体进行受力分析。
会利用物体的平衡条件解决平衡问题
(二)知识拓展
1、分析物体受力情况是解决力学问题的前提和关键之一。对物体进行受力分析的步骤是：
(1) 选择研究对象：把要研究的物体从相互作用的物体群中隔离出来。
(2) 进行受力分析：
A．把已知力图示出来；
B．先分析场力(重力、电场力、磁场力)；
C．后分析接触力(先考虑是否有弹力然后分析是否有摩擦力)
注意事项：
(1)物体所受的力都有其施力物体，否则该力不存在；
(2)受力分析时，只考虑根据性质命名的力；
(3)合力与分力是等效的，不能同时考虑；
2、共点力作用下物体的平衡：
(1)平衡状态，静止或匀速直线运动状态，物体的加速度为零。
(2)平衡条件：∑F＝0或
(3)平衡条件的重要推论。
①当物体处于平衡状态时，它所受的某一个力与所受的其它力的合力等大反向。
②当三个共点力作用在物体(质点)上处于平衡时，这三个力的矢量要么在一条直线上，要么组成一个封闭的三角形，且按同一环绕方向。
3、平衡物体的临界问题：
当某种物理现象(或物理状态)变为另一种物理现象(或另一物理状态)时的转折状态叫临界状态。可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”。
临界问题的分析方法：通过恰当地选取某个物理量推向极端(“极大”、“极小”、“极左”、“极右”)从而把隐蔽的临界现象(“各种可能性”)暴露出来，便于解答。
二、典型试题精析
【例1】 (2003年江苏高考题) 当物体从高空下落时，空气阻力随速度的增大而增大，因此经过一段时间后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的终极速度。已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v，且正比于球半径r，即阻力f＝krv，k阻力例系数．对于常温下的空气，比例系数k＝３.4×10－４s/m2．已知水的密度p＝１.0×10×103kg/m3，取重力加速度g=10m/s2.试求半径r=0.10cm 的球形雨滴在无风情况下的终极速度vr(结果取两位数字)
解析: 雨滴下落时受两个力作用：重力，方向向下：空气阻力，方向向下．当雨滴达到终极速度vr加速度为零，二力平衡，用m表示雨滴质量．有
①
②
由①②得终极速度
代入数值得
【例2】 如图1-29(a) 降落伞和人共重G，在静止的空气中是匀速直线下降的。现在由于受到自东向西的风的影响，降落伞最终与水平方向成60°角斜向下匀速直线下降如图1-29(b)。求此时所受的空气阻力。
(a) (b)
图1-29
解析: 首先应该弄清什么是风力 什么是空气阻力 从力的本质上讲，风力和空气阻力都是物体与空气发生相互作用的结果，因而只有物体与空气有相对运动时才有这种力。开始时风对伞有自东向西的水平推力，使伞的水平速度增大，进而又导致风对伞的水平推力减小，当伞的水平速度增大到与风速相等时，推力为零，水平方向匀速运动。在竖直方向上降落伞相对于空气向下运动，因此伞仍只受重力和空气阻力作用，依平衡条件：f＝G。
【例3】如图1-30(a)所示，将质量为m1：和m2：的物体分别置于质量为M的物体两侧，三物体均处于静止状态。已知m1>m2，α <β，下述说法正确的是 ( )
A．m1对M的正压力大于m2对M的正压力
B．ml对M的摩擦力大于m：对M的摩擦力
C．水平地面对M的支持力一定等于(M+m1+m2)g
D．水平地面对M的摩擦力一定等于零．
(a)
(b)
图1-30
解析: 要判断m1和m2与M之间的作用力，可以分别以ml、m2为研究对象，分析受力如图1-30(b)。
因为m1、m2均处于静止状态，所受合力均为零，因此有N1＝mlgcosα f1＝mlgsinα
N2＝m2gcosβ f2＝m2gsinβ
∵m1>m2，α<β，∴Nl>N2 即选项A正确。
虽然m1>m2，但sinα要分析地面对M的作用力，可把Ml、M2、M三物体看做一个整体作为研究对象。三个物体均处于静止状态，在竖直方向上这一整体所受的合外力为零。即
(m1+m2+M)g＝N 因此得选项C正确。
在水平方向上这一整体不受动力的作用速度又为零，因此水平地面对M的静摩擦力—定为零，故选项D正确。
所以正确答案为A、C、D。
评析拓展 隔离法和整体法，是分析物体受力的方法。对于一个具体问题的分析解决，研究对象的选取非常重要，选好了事半功倍，化难为易；选不好事倍功半，甚至化易为繁，一事无成。对于具体问题，究竟是选“部分”隔离，还是选取“整体”研究，要根据问题的要求和处理问题的方便而灵活确立。
【例4】(上海市高考)三个相同的支座上分别搁着三个质量和直径都相等的光滑圆球a、b、c，支点P、Q在同一水平面上，a球的重心Oa位于球心，b球和c球的重心Ob、Oc分别位于球心的正上方和球心的正下方。如图1-31所示。三球均处于平衡状态。支点P对a球的弹力为Na，对b球和c球的弹力分别为Nb、Nc，则 ( )
图1-31
A．Na＝Nb＝Nc B．Na＞Nb＝Nc
C．Nb ＞Na＞Nc D．Nb＜Na＜Nc
解析: 三种情况下，支点P、Q对球的弹力都沿着它们与球心的连线指向球心，而不是想当然地错误认为弹力都沿着它们与重心的连线而指向重心。由对称性可知：P、Q两点对球的作用力大小相等，平衡时，每一种情景下，P、Q两点对球的弹力的夹角一定。故由三力平衡知识可得：三种情景下P点对球的弹力相等，正确答案选A。
【例5】 如图1-32 (a)所示，AC是上端带有定滑轮的竖直杆，质量不计的轻杆BC一端通过铰链固定在杆AC上的C点，另一端B悬挂一重为C的物体，同时B端还系一根轻绳绕过定滑轮A用一拉力F拉住。开始时，∠BCA大于90°，现用拉力F使∠BCA缓慢减小，直到BC接近竖直位置的过程中，杆BC所受的压力N和细绳的拉力T如何变化
图1-32
【解析】 分析节点B受力情况，如图1-32 (b)。B点受重物拉力G、细绳拉力T和轻杆BC的支持力N，三力作用处于平衡状态。由三力平衡特点可知N和G的合力与T等大反向，其中矢量平行四边形的一半即矢量三角形与图 (a)中几何三角形ABC相似，即在。在∠BCA缓慢减小过程中，两个三角形仍相似，比例关系仍成立，只是AC、BC、G均不变，而AB逐渐减小，由此可判断出细绳的拉力T不断减小，杆BC所受压力N不变。
三、能力测试
1、如图1-34所示，一物体受到1N、2N、3N、4N四个力作用而处于平衡，沿3N力的方向作匀速直线运动，现保持1N、3N、4N三个力的方向和大小不变，而将2N的力绕O点旋转600，此时作用在物体上的合力大小为：( )
图1-34
A、2N， B、，
C、3N， D、3√3N
2．如图1-35所示,一均匀木棒OA可绕过O点的水平轴自由转动，现有一向不变的水平力F作用于该棒的A点，使棒从竖直位置缓慢转到偏角θ＜90°的某一位置。设M为力F对转轴的力矩，则在此过程中 ( )
A．M不断变大，F不断变小
B．M不断变大，F不断变大
C．M不断变小，F不断变小
D．M不断变小，F不断变大
3．如图，用细线将两个质量未知的小球悬挂起来，今对球a持续施以一个向左偏下30°的恒力，并对小球b施以持续向右偏上30°的同样大的恒力，最后达到平衡状态的图可能是( )
A B C D
图1-36
4. A、B、C三物块质量分别为， M、m和m0，如图1-37中所示的连结，绳子不可伸长，且绳子和滑轮的质量、滑轮的摩擦可不计，若 B随A一起沿水平桌面作匀速运动，则可以断定
A．物块A与桌面之间的摩擦力，大小为 m0g
B．物块A与B之间有摩擦力，大小为m0g
C．桌面对A，B对A，都有摩擦力，两者方向相同，合力为m0g
D．桌面对A，B对A，都有摩擦力，两者方向相反，合力为m0g
图1-37
5. 如图1-38所示，一个木块A放在长木板B上长木板B放在水平地面上，在恒力F作用下，长木板B以速度v匀速运动，水平的弹簧秤的示数为T.下列关于摩擦力的说法正确的是 ( )
图1-38
A．木块A受到的滑动摩擦力的大小等于T
B．木块A受到的静摩擦力的大小等于T
C．若长木板B以2v的速度匀速运动时，木块A受到摩擦力大小等于2T
D．若用2F的力作用在长木板上，木块A受到的摩擦力的大小等于T
6．如图1-39所示,mgsinθ>Mg，在m上放一小物块时m仍保持静止，则 ( )
A．绳子的拉力增大
B．M所受合力不变
C．斜面对m的静摩擦力可能减小
D．斜面对m的静摩擦力增大
7、如图1-40所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A在倾角为θ的斜面上，已知物体A的质量为m，物体A与斜面间动摩擦因数为μ(μ图1-40
8、拉力F作用重量为G的物体上，使物体沿水平面匀速前进，如图1-41所示，若物体与地面的动摩擦因数为μ，则拉力最小时，力和地面的夹角θ为多大？最小拉力为多少？
图1-41
9、如图所示，AB两球用轻绳相连静止在光滑半圆柱面上，若A的质量为m，则B的质量为多少？(sin370=0.6)
图1-42
10、一个底面粗糙，质量为m的劈放在水平面上，劈的斜面光滑且倾角为300，如图1-43所示。现用一端固定的轻绳系一质量也为m的小球。绳与斜面夹角为300，求：(1)当劈静止时绳子拉力为多大？(2)若地面对劈的最大静摩擦力等于地面对劈的支持力的K倍，为使整个系统静止，K值必须满足什么条件？
图1-43
11、如图1-44所示。用两根细绳把重为G的棒悬挂起来呈水平状态，一根绳子与竖直方向的夹角为300，另一根绳子与水平天花板的夹角也为300，设棒的长度为1.2m，那么棒的重心到其左端A的距离是多少？
12、如图1-45所示，半径为R，重为G的均匀球靠竖直墙放置，左下有厚为h的木块，若不计摩擦，用至少多大的水平推力F推木块才能使球离开地面？
图1-45
13.如图1-46(a)所示，将一条轻而柔软的细绳一端拴在天花板上的A点，另一端拾拴在竖直墙上的B点，A和B到O点的距离相等，绳的长度是OA的两倍。图(b)所示为一质量可忽略的动滑动轮K，滑轮下悬挂一质量为m的重物，设摩擦力可忽略，现将动滑轮和重物一起挂到细绳上，在达到平衡时，绳所受的拉力是多大？
图1-46
第1章 物体的平衡测试题
一、选择题
1.书放在水平桌面上，桌面会受到弹力的作用，产生这个弹力的直接原因是 ( )
A．书的形变 B．桌面的形变
C．书和桌面的形变 D．书受到的重力
2．如图1—48所示，一根弹簧，其自由端B在未悬挂重物时指针正对刻度5，在弹性限度内，当挂上80N重物时指针正对刻度45，若要指针正对刻度20应挂重物是( )
图1-48
A．40N B．30N
C．20N D．因k值不知无法计算
3.如图1-49所示，绳子的两端分别固定在天花板上的A，B两点，开始在绳的中点O挂一重物C，绳子OA、OB的拉力分别为F1和F2，若把重物右移到O'，点悬挂(O'A A．F1>F'1，F2> F'2 B．F1C．F1>F'1，F2 F'2
(图1-49)
4.1999年10月，中国第一座跨度超千米的特大悬索桥——江苏江阴长江大桥正式通车。大桥主跨1385m，桥全长3071m，桥下通航高度为50m，两岸的桥塔身高196m，横跨长江南北两岸的两根主缆，绕过桥塔顶鞍座由南北锚锭固定，整个桥面和主缆的4.8×104t重量都悬在这两根主缆上，如图1-50所示
图1-50
(1)每根主缆上的张力约为 ( )
A．2．4×105N B.6×105N
C．12×105N C.24×105N
(2)大桥用很长的引桥，其目的是 ( )
A．减少摩擦力 B．减少正压力
C．减少下滑力 D．使桥型美观
(3)当汽车以36km／s的速度行驶在桥中央时，设该处曲率半径为200m，汽车对桥的压力与汽车重力之比为( )
A．1：1 B．19：20
C．21：20 D．1999:2000
5. 两个大小相等的力，先后作用在同一个有固定转动轴的物体上，那么 ( )
A．如果两个力的方向相同，则力矩一定相同
B．如果两个力的作用点到转动轴的距离相同，且力的方向也相同，则它们的力矩一定相同
C．如果两个力作用点到转动轴的距离相同，则它们的力矩一定相同
D．如果两个力的作用点到转动轴的距离不同，力的方向也不同，它们的力矩可能相同
6．如图1-51所示，A、B、C三个物体组成的系统在水平面上以同一速率做匀速运动，其中C物体受到向右的恒力F的作用，则以下说法正确的是： ( )
A．B物体受向右的摩擦力
B．C物体未受摩擦力
C．A、B、C组成的系统所受摩擦力的矢量和为零
D．A物体所受摩擦力的矢量和为零
图1-51
7．如图1-52所示，直杆OA可绕O点自由转动，A端受两个力F1、F2的作用，F1＝600N，F2＝400N。力的作用线跟OA杆同在竖直平面内，设F1、F2对转轴的力矩分别为M1、M2，则它们的关系是 ( )
A．M1C．M1>M2 D．无法判断
图1-52
8．如图1-53所示，A、B、C三个质量相同的砝码处于静止状态，若不计摩擦，现将两滑轮移近，使两滑轮距离变小，则重新平衡的后C的高度 ( )
A．仍不变 B．升高一些
C．降低一些 D．都有可能
图1-53
9．如图1-54所示，图中OC为一遵循胡克定律的弹性轻绳，其一端固定于天花板上 L的O点，另一端与静止在动摩擦因数恒定的水平地面上的滑块A相连，当绳OC处于竖直位置时，滑块A对地面有压力作用，B为紧挨绳的一固定不动的光滑水平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳OC的自然长度，现有一个水平力F作用于A，使之在地面上的右方做直线运动，在运动过程中，作用于滑块A的滑动摩擦力(绳一直处在弹性限度以内) ( )
A．逐渐增大 B．保持不变
C．逐渐减小 D．先增小，后减小
图1-54
10．如图1-55为农村小水库大坝的几种设计方案图(俯视图)，若从安全牢固的角度考虑，该选择哪一种方案 ( )
图1-55
二、填空题
11．已知两个力的合力大小为10N，其中一个分力的方向与合力方向夹角为30°，则另一个分力的最小值为 N。
12．一物体置于斜面上，加10N沿斜面向上的力，可使其沿斜面向上匀速运动，加2N沿斜面向下的力，可使其沿斜面匀速下滑，则物体与斜面间滑动摩擦力的大小为 N。
13．如右图1-56所示，与水平面成θ角的皮带传送机，把质量为m的物体以速度v匀速向上传送。皮带作用于物体的摩擦力大小等于 ，支持力大小等于 ；这两个力的合力大小等于 ，物体所受外力的合力等于 。
图1-56
14．用两个完全相同的轻弹簧的一端拉住一重量为G的小球A，将弹簧的另一端分别固定在同一竖直线上的MN两点，MN距离恰为2倍弹簧原长如图1-57所示，小球A的大小不计。当A静止时，AM＝L1，AN =L2，则两弹簧的劲度系数为 。
图1-57 图1-58
15．如图1-58所示，台秤上的水槽和水共重5N，水内浸没着m1＝500g，V＝60cm3的砝码，用跨过定滑轮的细绳将m1与物块m2＝200g相连，不计摩擦(g＝l0m/s2)，则台秤的读数为 _________ 。
三、计算题
16．重为G的木块与水平地面间的动摩擦因数为μ，一人欲用最小的作用力F使木块作匀速运动，则此最小作用力的大小和方向应如何
17．如图1-59所示，A、B的质量分别为ml和m2，跨过定滑轮的细绳沿水平方向与A 、B 连接，滑轮的摩擦不计，涉及到的接触面之间的动摩擦因数均为μ。现用力F向左拉B，使A，B作匀速运动，试分析计算：F多大
图1-59
18．如图1-60所示，两光滑板AO、BO与水平面夹角都是 60°，一轻质细杆水平放在其间，用竖直向下的力F作用在轻杆中间，求杆对两板的压力大小各为多少？
图1-60
19．一个物体同时受以F1、F2、F3三个共点力作用，其合力为R，已知F1、F2、和R的大小和方向，如图1-61所示。试用作图法求出F3。
图1-61
20．如图1-62所示，一根柔软且均匀的绳子，两端系于竖直墙壁上的两个高度相同的悬点A、B上，绳子的质量为m，静止时绳子两端的切线方向与竖直墙壁的夹角为。求：
(1)墙壁对绳子的拉力；
(2)绳子最低处的张力。
图１-62
图１－４
错误！未定义书签。
图1-6
图1—11
图1-44 SHAPE \* MERGEFORMAT第二章 直线运动
本章知识网络
第一单元 运动学基本概念
匀速直线运动
一.知识要点概述
(一)考试内容和要求
(1) 理解质点、位移、路程、速度和加速度的概念
(2) 通过对速度v，速度改变量Δv和加速度a=Δv/Δt的理解，弄清它们的区别.理解速度、速率和平均速度，明确它们的区别
(二)知识拓展
1、描述质点运动的物理量
(1)．时刻和时间：
时刻：是指某一瞬间，一般与运动物体的位置相对应。
时间：是两个时刻的间隔，一般与物体运动的位移相对应。
(2)．位移和路程
运动物体的位置变化叫位移，是运动物体初末两个位置之间的直线长度和方向，是矢量；而路程是运动物体位置变化过程中经过的路径的长度，没有方向是标量；只有在运动方向不变的直线运动中，物体的位移和路程的大小才相等。
(3)．速度：是描述物体运动(位置变动)快慢物理量，是矢量
①平均速度：在变速直线运动中，运动物体的某一段位移跟通过这一段位移所用时间的比值，叫物体在这一段位移上(或这一段时间内)的平均速度：
②瞬时速度：运动物体在某一时刻(或某一位置)时的度叫瞬时速度。
③速率：瞬时速度的大小叫速率，是标量。
(4)．加速度
①速度的变化：，描述速度变化的大小和方向，是矢量。
②加速度：
a.是描述速度变化快慢的物理量。
b.公式：
c.是矢量
d.在直线运动中，若α的方向同v0的方向相同，质点作加速度运动；若a的方向同v0的方向相反，质点作减速运动。
2、匀速直线运动的规律：
(1)物体在一条直线上运动，在任何相等的时间里位移相等。
(2)速度的大小和方向都不变，加速度为0
①规律公式：
a：速度公式： (定值)
b：位移公式：S=vt
②图像：
a：位移图象：是一条倾斜的直线，直线的斜率和物体的运动速度大小有关.
b：速度图像：表示速度和时间关系的图像，匀速直线运动的速度图像是一条平行于横轴(t)的直线
二、典型试题精析
【例1】 一辆汽车从甲地出发到乙地，先以V匀速地行驶了前一半距离，后以2V匀速地行驶了后一半距离，求汽车通过全程的平均速度。
解析: 设全程的距离为S，通过前一半距离所用时间为t1，通过后一半距离所用时间为t2，则
所以，汽车通过全程的平均速度为
【例2】 一列长l的队伍，行进速度为v，通讯员从队伍尾以速度u赶到排头，又立即以速度u返回队尾。求在这段时间里队伍前进的距离。
图2-1
解析： 以地面为参考系，设队伍向右运动，通讯员从队尾赶到排头所用时间为t1，再从排头返回队尾所用时间为t2，如图2-1所示。
由图可知：ut2-vt1=l ①
ut2+vt2=l ②
其中 ③
解①②③得。
若以队伍为参照系，则通讯员从队尾赶到排头这一过程中，相对速度为(u-v)；、通讯员再从队头返回队尾的这一过程中相对速度为(u+v)，则整个运动时间t为
则队伍在这段时间相对地面前进的距离S为
【例3】 如图2-2所示是沿同一直线运动的A、B两物体的s－t图像，试判定：
(1)A、Ｂ两物体各作什么运动
(2)3s末A、B的位移各是多少 3s内的位移又各是多少
(3)A、B的速度各是多大
解析: 研究图像应先看清纵、横轴各表示什么。(1)因为A、B的s－t图线均为倾斜直线，说明位移随时间的变化是均匀的，故A、B均是作匀速直线运动，且运动方向恰好相反。(2)由图像可知，3s末位移SA=0，SB =3m，它反映的是该时刻质点相对于原点的位移。而3s内位移ΔSA＝-3m，SB=5m，(负号表示位移方向与规定的正方向相反)，它反映的是该时间内质点实际发生的位移情况。(3)对于匀速直线运动的速度，可通过任一段时间的运动情况来讨论，故题中可以通过最初3s内的运动情况来进行计算，速度大小分别为
【例4】 如图2-3所示是甲、乙、丙三个物体做直线运动的位移图像，那么，三个物体的位移大小关系是 ，路程关系是 ，平均速度的大小关系是 ，平均速率的关系是 。
图2-3
解析： 位移是终止位置与起始位置坐标的代数差，甲、乙、丙三个物体的起始位置与终止位置分别相同，而路程是物体运动轨迹的实际长度。位移图像表示的是物体的位移随时间的变化规律，图线并不是物体的运动轨迹。
答案 S甲＝S乙＝S丙，S’甲＞S’乙＝S’丙，
v甲＝v乙＝v丙，v’甲＞v’乙＝v’丙
【例5】(2000年高考题) 一辆实验小车可沿水平地面上的长直轨道匀速向右运动，有一台发出细光束的激光器装在小转台M上，到轨道的距离为d＝10m，如图2-5所示。转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T＝60s。光束转动方向如图中箭头所示，当光束与的夹角为45°时，光束正好射到小车上。如果再经过Δt=2.5s光束又射到小车上，则小车的速度为多少 (结果保留二位数字)
图2-4
解析: 在Δt内，光速转过角度：，如图2-4，有两种可能。
(1)光束照射小车时，小车正在接近N点，Δt内光束与MN的夹角从45°变为30°，小车走过L1；(2)光束照到小车时，小车正在远离N点，Δt内光束与MN的夹角从45°变为60°，小车走过L2。所以小车的速度可能为:
或 L2＝d(tan60°－tan45°)，
.
【例6】 A、B两点相距为L，甲、乙两物体分别同时从A、B两点开始以速率v做匀速直线运动，甲物体沿A、B连线自A向B运动，乙物体沿与A、B连线的夹角为θ的方向运动，如2-5图所示。求甲、乙两物体运动多长时间后二者相距最近 最近距离是多少
图2-5
解析: 以甲物体为参考系，此时乙物体对甲物体的速度v乙对甲＝v乙对地＋v地对甲，由于地对甲物体的速度方向与甲物体对地的速度方向相反，根据平行四边形法则不难看出，若以甲物体为参考系，乙物体对甲物体的速度大小为v乙对甲=方向沿角平分线方向，如图2-6所示。甲、乙两物体之间的最小距离为，所经历时间为
图2-6
三、能力测试
1．下列关于质点的说法正确的是 ( )
A．万吨巨轮在大海中航行，研究巨轮所处的地理位置时，巨轮可看作质点
B．无论什么物体，也无论什么运动，只有以地面为参照物，才能将其看成质点
C．电子绕原子核旋转，同时在自转，由于电子很小，故研究电子的自转时，仍可将其看作质点
D．只研究物体的平动时，无论什么物体都可看作质点
2．在直线运动中关于加速度和速度，以下说法哪些是正确的？
( )
A．加速度为零时，速度一定为零
B．速度为零时，加速度一定为零
C．加速度减小，速度一定减小
D．速度减小时，加速度和速度方向相反
3.物体M从A运动到B，前半程平均速度为υ1，后半程平均速度为υ2，那么全程的平均速度是： ( )
A、(υ1+υ2)/2
B、
C、(υ21+υ22)/(υ1+υ2)
D、2υ1υ2/(υ1+υ2)
4．某同学在100m赛跑中，跑完全程所需的时间为12.5s，在中间时刻即6.25s时的即时速度为7.8m/s，到达终点时的即时速度为9.2m/s，则在全程中的平均速率为 ( )
A．8.1m/s B.7.8m/s
C.8.0m/s D.9.2m/s
5．图2-7中直线a、b给出了质点A、B的υ-t图像，由图像可知，在t1时刻质点A、B的运动情况是( )
A．速度的大小相同，方向相反
B．速度的大小和方向都相同
C．加速度的大小相同，方向相反
D．加速度的大小不同，方向相同
6．如图2-8是某运动质点的s-t图像，该质点在2s末的瞬时速度和前2s的位移分别是 ( )
A．2m/s,1m B.0.5m/s,－1m
C．0m/s,1m D.0.5m/s,1m
图2-8
7．百货大楼一、二楼间有一正以恒定速度向上运动的自动扶梯，某人以相对梯的速度v沿梯从一楼向上跑，数得梯子有N1级；到二楼后他又反过来以相对梯的速度v沿梯向下跑至一楼，数得梯子有N2级。那么，该自动扶梯实际为多少级。
8．一高h的人在路灯下以v匀速行走，灯距地面H高。那么人影端在地面上移动的速度是多大？
9．甲向南走100米的同时，乙从同一地点出发向东也行走100ｍ，若以乙为参照物，求甲的位移大小和方向？
10、某人划船逆流而上，当船经过一桥时，船上一小木块掉在河水里，但一直航行至上游某处时此人才发现，便立即返航追赶，当他返航经过1h追上小木块时，发现小木块距离桥有6000m远，若此人向上和向下航行时船在静水中前进速率相等。试求河水的流速为多大？
11．如图2-9所示船A从港口P出发去拦截正以速度v0沿直线航行的船B，P与B所在航线的垂直距离为a，A船启航时，B船与P的距离为b，b>a，如果略去A船启动时的加速过程，认为它一起航就作匀速运动，求
(1)A船能拦到B船的最小速率v；
(2)A船的方向及拦到B船时两船的位移。
图2-9
第二单元 匀变速直线运动
一、知识要点概述
(一)考试内容和要求
(1) 熟练掌握匀变速运动的规律，并能灵活运用其规律解决实际问题。
(2) 理解速度图像与位移图像，熟练掌握图像在横轴、纵轴上截距、图像与横轴包围的“面积 ”和图像斜率的物理意义。能将这些信息迁移至其它图像中，拓展识别、处理图像问题
(二)知识拓展
１.匀变速直线运动是在相等的时间里速度的变化量相等的直线运动。
２.基本规律有：
公式：
利用上面式子时要注意：
(1)、υt，υo，υ平，a均为矢量，并习惯选υ0的方向为正方向：
(2)、其余矢量的方向与υo相同取正值，反向取负值，若a与υ同向，物体作匀加速运动，若a与υo反向，物体作匀减速运动。
３、匀变速直线运动特点
(1)、做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于这段时间内的中间时刻的瞬时速度。
(2)、匀变速直线运动某段位移中点的瞬时速度，等于这段位移两端的即时速度的几何平均值。
(3)、做匀变速直线运动的物体,如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为
SⅠ,SⅡ,SⅢ,……Sn 则:
△S=SⅡ-SⅠ=SⅢ-SⅡ=……=aT2
(4)、初速为零的匀变速直线运动的特征：(设t为单位时间)
①1t末，2t末，3t末……瞬时速度的比为:
υ1∶υ2∶υ3∶……υn=1∶2∶3:……n
②1t内,2t内,3t内……位移之比为：
S1∶S2∶S3∶……∶Sn=12∶22∶32∶……∶n2
③第1t内，第2t内，第3t内……位移之比为:
SⅠ∶SⅡ∶SⅢ∶…Sn=1∶3∶5∶…(2n-1)
4、对于匀减速直线运动，必须特别注意其特性：
(1)匀减速直线运动总有一个速度为零的时刻，此后，有的便停下来，有些会反向匀加速
(2)匀减速运动的反向运动既可以按运动的先后顺序进行运算，也可将返回的运动按初速为零的匀加速运动计算。
5、匀变速直线运动的速度——时间图像(υ—t图) ，匀变速直线运动的速度是时间的一次函数，即υt=υ0+at，所对应的是一条直线，如图2-10所示。由图可求出任意时刻的速度，或根据速度求出时间，还可以求出任意时间所通过的位移，还可以求出匀变速直线运动的加速度a=△υ/△t=直线的斜率k，直线的斜率越大，即直线越陡，则对应的加速度越大。
图2-10
形状相同的位移——时间图像和速度——时间图像，物理意义完全不同。
6、解题指导
(1)．要养成根据题意画出物体运动示意图的习惯，特别对较复杂的运动；画出草图可使运动过程直观，物理图景清晰，便于分析研究。
(2)．要注意分析研究对象的运动过程，搞清整个运动过程按运动性质的转换可分为哪几个运动阶段，各个阶段遵循什么规律，各个阶段间存在什么联系。
(3)．由于本章公式较多，且各公式间有相互联系，因此，本章的题目常可一题多解。解题时要思路开阔，联想比较，筛选最简捷的解题方案，解题时除要用常规的公式解析法外，图像法、比例法、极值法、逆向转换法(如将一匀减速直线运动视为反向的匀加速直线运动等)等也是本章解题中常用的方法。
二、典型试题精析
【例1】 如图2-11所示汽车从甲地出发，先以加速度a1由静止开始运动，当速度达到一定大小时，然后刹车以加速度a2作匀减速直线运动，到达乙地刚好停下来，已知甲乙两地的距离为s。求汽车运动的时间t
图2-11
解析： 设汽车经过途中P点开始减速，甲P间距离为s’，P点速度为V，由于从甲到P，从P到乙都是匀变速直线运动
所以有：
由①式得 (3)
将③式代入到②式中。
整理得：
又
∴ 全程所用的时间
【例2】 以18m／s的速度行驶的汽车，紧急刹车后做匀减速直线运动，其加速度的大小为6m／s2，求汽车在6s内通过的距离。
解析： 汽车刹车所用的时间为：
。
汽车在3s内通过的位移为：
。
这里的位移也可由平均速度公式来求解：
由于汽车在后3s内处于静止状态，所以汽车在6s内通过的位移和在3s内通过的位移相等，均为27m。事实上，汽车在大于3s的任意时间内通过的位移都为27m。
思考：如何求汽车在2s内通过的位移
【例3】 如图2-12所示一个做匀变速直线运动的质点，从某一时刻开始，在第一个2s内通过的位移是8m，在第二个2s内通过的位移是20m，求质点运动的初速度和加速度。
图2-12
解析: 如右图所示，设从质点运动到位置A时开始计时，S1=8m，S2=20m。
解法1：用位移公式求解，则
解以上二式得
解法2：用位移公式和推论 求解得
解法3：用速度公式和平均速度的有关公式
AB段的平均速度，AC段的平均速度
又
评析拓展
(1)公式涉及五个物理量每一个公式各缺一个物理量，在解题中，题目不要求和不涉及哪个物理量，就选用缺这个物理量的公式，这样可少走弯路，找到最优解法。
(2)公式均是矢量式。对匀变速直线运动来讲，通常取初速度方向为正方向，其他矢量取正或负数代入公式运算。
【例4】 一辆汽车由A站出发，前5min做匀加速直线运动，接着做匀减速直线运动，3min后停在C站。已知A、C两站相距2.4km，求汽车在这段路程中的最大速度。
解析：利用v—t图像求解。如图2-13为汽车先做匀加速运动，后做匀减速运动的v—t图像，图线下面包围的面积数值表示汽车运动的总位移的大小。故有
图2-13
评析拓展 用图像解题，有时不但很方便，而且能使我们对物理概念和物理规律的认识更加清楚，尤其遇到追赶类的问题，更为有效。
【例5】 物体以一定的初速度冲上固定的光滑的斜面，到达斜面最高点时速度恰为零如图2-14所示，已知物体运动到斜面长度3／4处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间。
图2-14
解法一：逆向思维法：
物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面。故
SBC=at2BC／2
SAC＝a(t+tBC)２／2
又 SBC=SAC／4
解得：tBC=t
解法二：比例法
对于初速度为零的匀变速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为S1∶S2∶S3……Sn=1∶3∶5……(2n-1)
现有SBC∶SBA=SAC∶（3SAC）＝1∶3
通过SAB的时间为t，故通过SBC的时间tBC=t.
解法三：中间时刻速度法
利用教材中的推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度。
又 (1)
(2)
(3)
可以看出vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是中间时刻的位移。因此有。
解法四：面积法
图2-15
利用相似三角形面积之比，等于对应边平方比的方法，作出v-t图像，如图2-15所示
且 ，OD=t，
OC=t+tBC。
∴ (t+tＢＣ)2／t2BC=4／1
得tBC=t。
三、能力测试
1．下列关于匀变速直线运动的结论中正确的有 （ ）
A．某段时间的平均速度，等于这段时间内的初速度和末速度和的一半
B．在任意相等的时间内的位置变化大小相等
C．在任意时刻速度变化快慢相等
D．在任意相等的时间内速度的变化相同
2．物体作匀变速直线运动，已知加速度是2m/s2，就是说（ ）
A．物体速度的变化量是2m/s
B．任意一秒内末速度是初速度的2倍
C．任意一秒内的平均速度比前一秒增加2m/s
D．开始运动一秒后的任意时刻的瞬时速度比一秒前的瞬时速度增加2m/s
3．关于加速度与速度、位移的关系，以下说法正确的是：（ ）
A、υ0为正，a为负，则速度一定在减小，位移也一定在减小；
B、υ0为正，a为正，则速度一定在增加，位移不一定在增加；
C、υ0与a同向，但a逐渐减小，速度可能也在减小；
D、υ0与a反向，但a逐渐增大，则速度减小得越来越快(在停止运动前)
4．在匀加速直线运动中 （ ）
A．速度的增量总是与时间的增量成正比例
B．位移总是跟时间的平方成正比
C．在连续相等的时间间隔中，位移的增量总等于at2(t为时间间隔)
D．质点在某段时间内位移的中点的瞬时速度，等于质点在这段时间内的平均速度
5．有一质点，从t=0开始从原点以初速度为0出发，沿X轴运动，其v-t图像如图2-16所示，则 （ ）
A．t=0.5s时离原点最远
B．t=1s时离原点最远
C．t=1s时回到原点
D．t=2s时回到原点
图2-16
6．如图2-17所示，通过空间任意一点A可作无限多个斜面如果将若干个小物体在A点分别从静止沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在的位置所构成的面是 （ ）
A．球面 B．抛物面
C．水平面 D．无法确定
图2-17
7．作匀变速直线运动的物体，从A到B的平均速度为3m/s，从B到C的平均速度为6m/s，AB＝BC。则该质点通过A、B、C三点的瞬时速度分别为多少？
８．AB两物体同时同地沿同一方向运动，如图2-18所示为A物体沿直线运动时的位置与时间关系图，如图2-19为B物体沿直线运动的速度――时间图像，试问：(1)AB两物体在0——8秒内的运动情况；(2)AB两物体在8秒内的总位移和总路程分别是多少？
图2-18 图2-19
９．某种类型的飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速运动，加速度大小为4m/s2，飞机速度达到85m/s时离开地面升空，如果在飞机达到起飞速度时，突然接到命令停止起飞，飞行员立即使飞机制动，飞机做匀减速运动，加速度大小为5m/s2，如果要求你为该类型的飞机设计一条跑道使在这种特殊情况下飞机不滑出跑道，你设计跑道长度至少要多长？
10．A、B两点相距s，将s平分为n等份，今让一物体(可视为质点)从A点由静止开始向B做加速度为a的匀加速运动，但每过一个等份点，加速度都增加，试求该物体到达B点时的速度。
11．水平导轨AB的两端各有一竖直的挡板A和B，AB=4 m，物体自A开始以4m/s的速度沿导轨向B运动，已知物体在碰到A或B以后，均以与挡板碰前大小相等的速度反弹回来，并且物体在导轨上作匀减速运动的加速度大小相同，为了使物体最终能停在AB的中点，则这个加速度的大小应为多少？
第三单元 自由落体 竖直上抛 追及与相遇问题
一、知识要点概述
(一)考试内容和要求
(1) 理解自由落体运动和竖直上抛运动的定义，掌握自由落体运动和竖直上抛运动规律，学会规律的应用。
(2) 掌握运动学中追及问题、相遇问题中的临界条件或极值的分析方法，会通过绘制准确直 观的示意图，判断相关因子之间的逻辑联系，并列出合理和完整的联立方程。
(二)知识拓展
1、自由落体运动：物体仅在重力作用下由静止开始下落的运动特点：只受重力作用，即a=g。从静止开始，即υ0=0
运动规律：
对于自由落体运动，物体下落的时间仅与高度有关，与物体受的重力无关。
2、竖直上抛运动：物体上抛获得竖直向上的初速度υ0后仅在重力作用下的运动。
特点：只受重力作用且重力与初速度方向反向，以初速方向为正方向则a=-g
运动规律：
对于竖直上抛运动，有分段分析法和整体法两种处理方法。分段法以物体上升到最高点为运动的分界点，根据可逆性可得t上=t下=υ0/g，上升最大高度H=υ02/2g，同一高度物体在速度大小相等，方向相反。整体法是以抛出点为计时起点，速度、位移用：
υt=υ0-gt
h=υ0t-gt2/2 求解
3、相遇是指两物体分别从相距S的两地相向运动到同一位置;追及是指两物体同向运动而达到同一位置。找出两者的时间关系、位移关系是解决问题的关键，同时追及物与被追及物的速度恰好相等时的临界条件，往往是解决问题的重要条件.
二、典型试题精析
【例1】 悬链长1.4m，从悬点处断开，使其自由下落，不计空气阻力，则整个悬链通过悬点下方 3.2m处的一点所需的时间为 s。(g=10m/s2
解析: 对本题发生的过程可画出草图如图(2-21)所示。铁链通过悬点下某一点经历的时间指的是从铁链下端到达该点时算起，到铁链上端离开该点时为止的时间。
由 得，则悬链通过其悬点下方3.2m处的点所需的时间为
【例2】 如图(2-22)所示的A、B、C、D四幅图中，哪幅能表示一个自由下落的小球触地后，竖直向上跳起的运动状态。设小球碰地面前后的速度大小不变，规定向下为正方向。
图2-22
解析: 根据题意，球碰击地面前后的速度大小不变，只是速度方向由正值变为负值。而下降与上升过程中其加速度始终是g保持为变。因此上升与下降两段过程中的v—t图线必须平行，有相等的斜率。故正确解为(D)
对物体运动的特点和规律不善于用v—t图像描绘或不能将实际运动过程与v—t图统一也是常见的典型错误之一。对于一个物理规律，其文字表述、公式与图像描绘是统一的。要对物理图像有一个清晰的认识和理解。
【例3】 晚间甲火车以4m／s速度匀速前进，当时乙火车误入同一轨道，且以20m／s速度追向甲车，当乙车司机发现甲车时，两车相距仅 125m，乙车立即制动，已知以这种速度前进的火车制动后需经过200m才能停止，问是否发生撞车事故
解析 因乙车的加速度为—1m／s2，从开始制动到两车速度相等所需时间t=(v甲—v乙)/a=，
S甲=V甲 t=4×16m =64m．
甲车距乙车开始制动位置的距离
S0=(125+64)m= 189m．乙车位移为：
S乙=
△S=S甲－S乙＝189－192＝－3(m)。
可见甲车落后乙车3m，说明会发生撞车事故。
【例4】 一跳水运动员从离水面l0rn高的平台上向上跃起，举双臂直体离开台面。此时其重心位于从手到脚全长的中点。跃起后重心升高 0.45m达到最高点。落水时身体竖直，手先入水。 (在此过程中运动员水平方向的运动忽略不计)。问从离开跳台到手触水面，他可用于完成空中运动的时间是多少秒？，(计算时，可以把运动员看作全部质量集中在重心的一个质点。g取l0m／s2，结果保留二位数字)
图2-23
解析： 本题考查理解能力、分析能力和科学思维能力以及对各部分知识的综合应用能力。解题的关键是分析质点的运动过程及相应的位移，据题意画出图2-23，且把运动员看成ab，重心在中心O点，把全部质量集中在O点，质点做竖直上抛运动，设上升时间为t1，有 (上升过程可看做初速为0的自由落体的逆运动)。下降时间为t2，有运动员完成空中动作的时间是t，有H＋h＝。
∴
∴运动员可用于完成空中动作的时间
【例5】 将一小球A从距地面高h处由静止释放，不计空气阻力，同时将另一小球B从A的正下方的地面上以速度v0竖直上抛，讨论下列问题：
(1)使A、B在B上升过程中相遇，v0满足什么条件
(2)使A、B在B下降过程中相遇，v0满足什么条件
解析: 要确定两球相遇，应列出位移关系式，而讨论两球是在B上升中相遇，还是在 B下降中相遇，就通过“时间关系”确定：若相遇时间小于B上升到最高点的时间，则说明两球在B上升过中相遇；若相遇时间大于B上升到最高点的时间，且小于B的落地时间，则说明两球在B下降中相遇。
本题首先通过位移关系确定相遇时间，然后通过时间关系讨论相遇类型。
∴
(1)二者在B上升过程中相遇，则
∴
(2)二者在B下降过程中相遇，则
∴
【例6】 站在六楼的窗口，用一个石块和一只秒表，怎样粗略的测出窗口距离地面的高度 写出做法和计算式，如果把石块换成空易拉罐，你如何处理才能较好地完成这个测量 为什么 (当地重力速度g已知)
解析： 仅有测量仪器秒表，可测出时间，因而利用自由落体运动测窗口距离地面的高度。若是空易拉罐，则应尽量减小下落时的空气阻力。
把石块由六楼的窗口静止释放，让石块做自由落体运动，同时按下秒表开始计时，当石块落地时停止记时，这就记下石块下落的时间t，则h=(1/2)gt2，从而粗略地测出窗口距地面的高度h。
如果把石块换成空易拉罐，可将空易拉罐踩扁拧成团，这样大大减小了空气对易拉罐的阻力，便能较好地完成这个测量。
三、能力测试
1．物体由屋顶自由下落，经过最后2 m所用的时间是0.15 s，则屋顶高度约为(g=10m/s2 ) ( )
A．10 m B．12 m
C．14 m D．15 m
2．关于竖直上抛运动，下面说法正确的是 ( )
A．竖直上抛运动可以看作是自由落体运动和竖直向上的匀速运动的合运动
B．上升阶段的加速度跟下降阶段的加速度大小相等，方向相反
C．上升阶段做减速运动，下降阶段做加速运动，但加速度始终没变
D．在最高点速度为零，加速度也为零
3．雨滴自屋檐静止滴下，每隔0.2秒滴下一滴，第一滴落地时第六滴恰欲滴下，此时测得第一、第二、第三、第四滴之间的距离依次为1.62m,1.26m,0.90m，设落下的雨滴运动情况完全相同，则此时刻第二滴水滴下落的速度是g=10m/s2 ( )
A．8.00m/s B.7.84m/s
C. 7.20m/s D.7.00m/s
4．甲车作匀速直线运动，速度为v，乙车停在路旁。当甲车经过乙车时乙车立即加速启动，最后乙车追上甲车。乙车做匀加速运动，但加速度数值未知，则可求出的物理量是( )
A．两车相距最进时，乙车的速度
B．乙车追上甲车所需的时间
C．乙车追上甲车所经过的位移
D．乙车追上甲车时的速度
5．图2-24中Ⅰ、Ⅱ分别是甲、乙两物体在同一地点做竖直上抛运动的v-t图像，由图像可以判断说法错误的是 ( )
A．在甲开始上抛2秒后，乙才开始上抛
B．它们能上升的最大高度相同
C．它们先后到达最高点的时间为1秒
D．在甲抛出秒末，两物体相遇
E．同一时刻，两物体的速率不可能相等
图2-24
6．某同学身高1.8m，在运动会上他参加跳高比赛，起跳后身体横着越过了1.8m高度的横杆，据此可估算出他起跳时竖直向上的速度约为(取g=10m/s2) ( )
A．2m/s B.4m/s
C.6m/s D.8m/s
7．两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，初速度均为v0。若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时加速度开始刹车。若已知前车在刹车过程中行驶的距离为s，要保证两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速时保持的距离至少应为多少。
8、从距地面125米的高处，每隔相同的时间由静止释放一个小球，不计空气阻力，g=10米/秒2，当第11个小球刚刚释放时，第1个小球恰好落地，试求：
(1)相邻的两个小球开始下落的时间间隔为多大？
(2)当第1个小球恰好落地时，第3个小球与第5个小球相距多远？
9、一列快车正以20m/s的速度在平直轨道上运动时，发现前方180m处有一货车正以6m/s速度匀速同向行驶，快车立即制动，快车作匀减速运动，经40s才能停止，问是否发生碰车事故？
10．一个小火箭从地面竖直向上发射，加速度8m/s2，10s末从火箭上掉下一小物体，试求：
(1)物体从离开火箭到落地用了多少时间？
(2)物体着地时的速度大小？
(3)物体着地时火箭离地的高度？(取g=10m/s2)
11、同一高度有A、B两球，A球自由下落5米后，B球以12米/秒的竖直投下，问B球开始运动后经过多长时间追上A球。从B球投下时算起到追上A球时，A、B下落的高度各为多少？(g=10m/s2)
12．甲、乙两物体置于同一水平面上，甲在乙的左方，它们在同一直线上朝右方做匀减速直线运动，开始时，甲的速度大小为v1，加速度为a1；乙的速度大小为v2，加速度为a2，当v1>v2时，若要保证甲、乙不发生碰撞，那么开始时，甲、乙间的距离s至少应是多少？
MACROBUTTON MTEditEquationSection2 Equation Chapter 1 Section 1
第二章 直线运动测试题
一、选择题
1．敦煌曲子中有这样的诗句：“满眼风波多闪烁 看山恰是走来迎，仔细看山山不动，是船行”其中“看山恰是走来迎”和“是船行”所选的参考系分别是 ( )
A．船和山 B．山和船
C．地面和山 D．河岸和流水
2．下列关于质点的描述，正确的是 ( )
A．质量很小的物体可看作质点
B．体积很小的物体可看作质点
C．在某些情况下，地球可以看作质点
D．做平动的物体肯定可以看作质点，做转动的物体肯定不可以看作质点
3．汽车以20m／s的速度做匀速运动，某时刻关闭发动机而做加速度大小为5m/s2的匀减速运动，则关闭发动机后通过37.5m所需时间为 ( )
A．3s B．4s
C．5s D．6s
4．一个运动员在百米赛跑中，距终点50m处时的速度是6m/s，16s末到达终点时的速度为7.5m/s，则整个赛跑过程中他的平均速度的大小是 ( )
A．6m/s B．6．25m/s
C．6.75m/s D．7.5m/s
5．某人爬山，从山脚爬上山顶，然后又从原路返回到山脚，上山的平均速率为vl，下山的平均速率为v2，则往返的平均速度的大小和平均速率是 ( )
A． B．
C． D．
6．下列哪些运动是可能出现的 ( )
①物体加速度增大，速度反而越来越小
②速度大小不变，但却有加速度
③加速度方向既不与速度方向相同，又不与速度方向相反
④速度不变而有加速度
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
7．两物体都做匀加速直线运动，在给定的时间间隔内，位移的大小决定于： ( )
A．加速度越大，位移越大
B．加速度越大，位移越大
C．末速度越大，位移越大
D．平均速度越大，位移越大
8．在做自由落体的升降机内，某人竖直上抛一弹性球，此人会观察到 ( )
A．球匀减速地上升，达最大高度后匀加速下落
B．球匀速地上升，与顶板碰撞后匀速下落
C．球匀加速地上升，与顶板接触后停留在顶板上
D．球匀减速地上升，达最大高度后停留在空中
9．渔翁逆水行舟，中途船上物体掉落于水中并浮在水面上顺流而下，10min后渔翁发觉立刻掉头追赶(掉头时间忽略不计)，设渔翁顺水和逆水时相对水的船速不变，则船掉头后赶上掉落的物体需要的时间是 ( )
A．10min B．20min
C．40min D．不知水速，无法求出
10．跳伞员以5m/s的速度匀速下落，当距地面10m时，掉下一扣子，扣子下落时a=10m/s2，则跳伞员比扣子晚着陆的时间为 ( )
A．s B．2s
C．1s D．(2—)s
二、填空题
11．飞机起飞时相对静止空气的速度为60m/s，航空母舰以20m/s的速度向东航行，停在航空母舰上的飞机也向东起飞，飞机的加速度为4m/s2，则飞机起飞时间为 s，起飞的跑道至少需 m。
12.刻苦．物体由A点开始自由下落，经过B点到达C点，已知物体经过B点时的速度是到达C点时速度的三分之一，B、C之间的距离是24m，则A、C之间的距离是 ，物体到达B点时的速度是 。
13．一静止的物体开始做匀加速直线运动，如果在第8s内和第9s内共运动16m，求物体在第8s末的速度 ，第9s末的速度 。
三、计算题
14．为了打击贩毒，我边防民警在各交通要道上布下天罗地网，某日，一辆运毒汽车高速驶近某检查站，警方示意停车，毒贩见势不妙，高速闯卡，由于原来车速已很高，发动机早已工作在最大功率状态，此车闯卡后在平直公路上的运动可以看作匀速直线运动，它的位移可用式子s1=40t来描述。运毒车过卡同时，原来停在路边的大功率车立即启动追赶。警车从启动到追上毒贩的运动可看作匀加速直线运动，其位移可用式子s2=2t2来描述，请回答：
(1)毒贩逃跑时的速度是多少m/s，警车追赶毒贩时的加速度是多少m/s2
(2)警车在离检查站多少m处追上毒贩,在追赶过程中警车与毒贩的距离最远是多少
15．一位旅客坐在一辆速度是vl=54km/h的火车中，旁边平行轨道上迎面驶来另一辆长l＝150m，速率v2=36km/h的货车，这位旅客从窗口看见这列货车驶过他身边的时间为多少
16．某种类型的飞机起飞滑行时，从静止开始做匀加速运动，加速度大小为4.0m/s2，飞机速度达到80m/s时离开地面升空。如果在飞机达到起飞速度时，突然接到命令停止起飞，飞行 员立即使飞机紧急制动，飞机做匀减速运动，加速度的大小为5.0m/s2，请你为该类型的飞机设计一条跑道，使在这种特殊的情况下飞机停止起飞而不滑出跑道，你设计的跑道长度至少要多长
17．甲乙两车同时从同一地点出发，甲以16m/s的初速度、2m/s2的加速度作匀减速直线运动，乙以4m/s的初速度、1m/s2的加速度和甲同向作匀加速直线运动，求两车再次相遇前两车相距的最大距离和再次相遇时两车运动的时间。
18．1994年1月25日(真理报)上有一则消息，说某城市新近建成一口深水喷井。报道说经过一年的钻探，在847m深处有温水，所用钻头直径为17.5cm，水温45℃，水流量为17L／S，钻头上水压为51MPa，温水的喷高达51m。请分析判断其可信度。
19．一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为L，当车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过这路标时的速度为v2，求：
(1)列车的中点经过此路标时的速度v是多大
(2)整列火车通过路标所用的时间t是多少
(3)列车的加速度。是多大
20．以初速度v0竖直上抛一物体，已知t1时刻上升到h高处，在t2时刻又回到同一高度h处。试证明。
直线运动
质点、时间 位移、路程
匀变速直线运动
Vt=v0+at
s=v0t+ at2
vt2-v02=2as
v—t图像
匀速直线运动
、
v—t 图像
s—t 图像
自由落体运动
a = g
vt = gt
竖直上抛运动
a = -g
vt = v0-gt
h = v0t－ gt2
V(m/s)
t(s)
