专题七 中考数学选填重难题型之折叠问题
近几年的各地中考中常出现几何折叠问题,它源于课本而又活于课本,高于课本。它考查了动手操作能力、空间想像能力和数形结合的数学思想方法。常见的有矩形的折叠、三角形的折叠、圆的折叠等。【版权所有：21教育】
几何折叠问题的实质是轴对称的特殊性质:对应点的连线被折痕垂直平分,对应边相等，对应角相等。而且着重考查了基本图形——等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的性质。21教育名师原创作品
解决折叠问题时，首先要对图形折叠准确定位，把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量. 进一步发现图形中的数量关系；其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中基本的数量关系用方程的形式表达出来，运用运用三角形全等(或相似),方程等所学知识合理、有序、全面的解决问题.
【例题展示】
如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC?上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是___． 21世纪教育网版权所有
分析：分类讨论。先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．
∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=10， ∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D， ∴BD=DB′，AB′=AB=10．
（1）如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F． 设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x． 在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，21·世纪*教育网
即（6+x）2+（8-x）2=102． 解得：x1=2，x2=0（舍去）． ∴BD=2． （2）如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合． ∵AB′=10，AC=6， ∴B′E=4． 设BD=DB′=x，则CD=8-x． 在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8-x）2+42． 解得：x=5． ∴BD=5． 综上所述，BD的长为2或5．21*cnjy*com
答案：2或5．
【跟踪训练】
1.（2014。天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
2.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,若将矩形折叠,使B点与D点重合,则折痕EF的长为(?? )
A．
B．
C．5
D．6
3.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（ ）21cnjy.com
A．1 B．2 C． D．
4.如图1，将矩形纸片ABCD（图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图③）；（3）将纸片展平，那么∠AFE的度数为（ ）
A．60° B．67.5° C．72° D．75°
5.(2017·开封模拟)在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，若△CEF为直角三角形
时，DE的长为___________________
6.(2017·新乡模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E.若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为________. 21教育网
7.如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为___． 21·cn·jy·com
8.（2015?浙江滨州）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8），则点E的坐标为 .www.21-cn-jy.com
9.（2014。南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是______． 2·1·c·n·j·y
10.（2015。四川省内江市）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为___． www-2-1-cnjy-com
11.（2015?绵阳）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（ ）2-1-c-n-j-y
A． B. C． D．
12．(2017·濮阳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为__________.21*cnjy*com
13.（2015年河南）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 ．【来源：21cnj*y.co*m】
14.（2016，浙江丹山）把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度数是（ ） 【出处：21教育名师】
A. 120° B.135° C. 150° D. 165°
15.（2014?路南区三模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则下列说法：
①∠ABC=30°； ②弧AC的长与弧OC的长相等；
③弦BC的长为4； ④阴影部分的面积是π
其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【来源：21·世纪·教育·网】
专题七 中考数学选填重难题型之折叠问题
近几年的各地中考中常出现几何折叠问题,它源于课本而又活于课本,高于课本。它考查了动手操作能力、空间想像能力和数形结合的数学思想方法。常见的有矩形的折叠、三角形的折叠、圆的折叠等。www.21-cn-jy.com
几何折叠问题的实质是轴对称的特殊性质:对应点的连线被折痕垂直平分,对应边相等，对应角相等。而且着重考查了基本图形——等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的性质。【来源：21·世纪·教育·网】
解决折叠问题时，首先要对图形折叠准确定位，把握折叠的实质，抓住图形之间最本质的位置关系，从点、线、面三个方面入手，发现其中变化的和不变的量. 进一步发现图形中的数量关系；其次要把握折叠的变化规律，充分挖掘图形的几何性质，将其中基本的数量关系用方程的形式表达出来，运用运用三角形全等(或相似),方程等所学知识合理、有序、全面的解决问题.
【例题展示】
如图，Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC?上，以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D，AB′与边BC交于点E．若△DEB′为直角三角形，则BD的长是___． 2-1-c-n-j-y
分析：分类讨论。先依据勾股定理求得AB的长，然后由翻折的性质可知：AB′=10，DB=DB′，接下来分为∠B′DE=90°和∠B′ED=90°，两种情况画出图形，设DB=DB′=x，然后依据勾股定理列出关于x的方程求解即可．
∵Rt△ABC纸片中，∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴AB=10， ∵以AD为折痕△ABD折叠得到△AB′D， ∴BD=DB′，AB′=AB=10． （1）如图1所示：当∠B′DE=90°时，过点B′作B′F⊥AF，垂足为F． 设BD=DB′=x，则AF=6+x，FB′=8-x． 在Rt△AFB′中，由勾股定理得：AB′2=AF2+FB′2，【出处：21教育名师】
即（6+x）2+（8-x）2=102． 解得：x1=2，x2=0（舍去）． ∴BD=2． （2）如图2所示：当∠B′ED=90°时，C与点E重合． ∵AB′=10，AC=6， ∴B′E=4． 设BD=DB′=x，则CD=8-x． 在Rt△′BDE中，DB′2=DE2+B′E2，即x2=（8-x）2+42． 解得：x=5． ∴BD=5． 综上所述，BD的长为2或5．2·1·c·n·j·y
答案：2或5．
【跟踪训练】
1.（2014。天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
分析：利用折叠的性质：对应边相等，进行等量代换即可。
将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF， 由折叠特性可得，CD=BC′=AB=1，ED=EB,CF=CˊF,所以
△ABE的周长=AB+AE+BE=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3
△BC′F的周长=BF+FCˊ+BCˊ=BF+CF+BCˊ=BC+BCˊ=2+1=3
故选：C．
答案：C．
2.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,若将矩形折叠,使B点与D点重合,则折痕EF的长为(????? )
A．
B．
C．5
D．6
分析：折叠的对称性结合相似知识求线段长。
试题分析：EF与BD相交于点H， ∵将矩形沿EF折叠，B，D重合， ∴∠DHE=∠A=90°， 又∵∠EDH=∠BDA， ∴△EDH∽△BDA， ∵AD=BC=8，CD=AB=6， ∴BD=10， ∴DH=5， ∴EH=， ∴EF=． 故选A．21·cn·jy·com
答案：A
3.将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
分析：利用勾股定理把所求的线段转化到直角三角形中去处理，这是折叠问题中常用的数学方法。由矩形折叠可知∠FAD=∠FAO，根据菱形的性质可得∠FAO =∠EAO，∴∠FAD=∠FAO=∠EAO=30°，在△CAB中，利用勾股定理可求得BC=，故选D。
答案：D
4.如图1，将矩形纸片ABCD（图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图③）；（3）将纸片展平，那么∠AFE的度数为（ ）
A．60° B．67.5° C．72° D．75°
分析：分别在图②，图③中画出纸片展平后的状态，结合折叠及平行的性质即得结果。由矩形第一次折叠，得图②中的∠AEC=135°，则第二次折叠，得图③中的∠FEC=67.5°。因为矩形的对边AD//BC，所以∠AFE=∠FEC=67.5°，故选B21*cnjy*com
答案：B
5.(2017·开封模拟)在矩形ABCD中，AD＝8，AB＝6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，使点D落在点F处，若△CEF为直角三角形
时，DE的长为___________________
分析：当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点F落在矩形内部时，此时点F在对角线AC上，先利用勾股定理计算出矩形对角线，根据折叠的性质得∠AFE＝∠D＝90°，设DE＝x，则CE＝6－x，然后在Rt△CEF中运用勾股定理列方程即可计算出x；②当点F落在AB边上时，可证得此时四边形ADEF为正方形，根据正方形的的性质可得DE＝AD进而求解．
答案：
6.(2017·新乡模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E.若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为________. 21纪教育网版权所有
分析：因为点E为射线BC上一动点，所以分两种情况讨论。
（1）E在线段BC上时，根据折叠的性质得到AB′=AB=5，B′E=BE=x，根据勾股定理得到DBˊ=4，故CBˊ=1，直角ΔCEBˊ中，根据勾股定理得x=（2）E在线段BC的延长线上时，Bˊ在CD的延长线上，根据折叠的性质得到AB′=AB=5，B′E=BE=x，根据勾股定理得到x=15,所以BE=或1521·世纪*教育网
答案：或15．
7.如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为___． www-2-1-cnjy-com
分析：因为矩形有两条对称轴，所以要分类讨论。
当Aˊ在AD、BC的中点所在直线上时，根据条件易得Aˊ在BC上，四边形EABAˊ是正方形，AE=1.【来源：21cnj*y.co*m】
当Aˊ在AB、DC的中点所在直线上时，如图，根据对称性BP=,AB=AˊB=1,所以A′B=2PB，所以∠PA′B=30°，所以∠A′BC=30°，所以∠EBA′=30°，所以AE=A′E=A′B×tan30°=1× =【版权所有：21教育】
综上，AE的长为或1
答案：或1
8.（2015?浙江滨州）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8），则点E的坐标为 .
分析：∵点D的坐标为（10，8），
∴AD=OC=10，AO=DC=8．
由翻折的性质可知：AF=AD=10，ED=EF．
在Rt△AOF中，由勾股定理得：OF==6．
∴FC=OC-OF=4．
设EC=x，则DE=EF=8-x．
在Rt△EFC中，由勾股定理得：EF2=EC2+FC2，
解得：x=3．
∴点E的坐标为（10，3）．
故答案为：（10，3）．
答案：（10,3）
9.（2014。南充）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=8，AD=17，将此矩形纸片折叠，使顶点A落在BC边的A′处，折痕所在直线同时经过边AB、AD（包括端点），设BA′=x，则x的取值范围是______． 21教育名师原创作品
分析：动手操作，分析可知折痕分别经过D、B时为BA′的最小值与最大值的情况，然后求出此两种情况下x的取值即可．作出图形，根据矩形的对边相等可得BC=AD，CD=AB，当折痕经过点D时，根据翻折的性质可得A′D=AD，利用勾股定理列式求出A′C，再求出BA′；当折痕经过点B时，根据翻折的性质可得BA′=AB， 如图，∵四边形ABCD是矩形，AB=8，AD=17， ∴BC=AD=17，CD=AB=8， ①当折痕经过点D时， 由翻折的性质得，A′D=AD=17，在Rt△A′CD中，A′C="15" ∴BA′=BC-A′C=17-15=2； ②当折痕经过点B时，由翻折的性质得，BA′=AB=8， ∴x的取值范围是2≤x≤8．
答案：2≤x≤8．
10.（2015。四川省内江市）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD上一点，分别以EA，EB为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处．若AD=2，BC=3，则EF的长为___．
分析：∵分别以AE，BE为折痕将两个角（∠D，∠C）向内折叠，点C，D恰好落在AB边的点F处， ∴DE=EF，CE=EF，AF=AD=2，BF=CB=3， ∴DC=2EF，AB=5， 作AH⊥BC于H， ∵AD∥BC，∠C=90°， ∴四边形ADCH为矩形， ∴AH=DC=2EF，HB=BC-CH=BC-AD=1， 在Rt△ABH中，由勾股定理可得AH=
∴EF=
答案：
11.（2015?绵阳）如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB=1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF=（ ）
A． B. C． D．
分析：折叠与相似相结合。因为△ABC为等边三角形，所以AC=AB=BC，∠A=∠B=∠C=60°．由翻折的性质可知：∠EDF=60°．所以∠FDB+∠EDA=120°．因为∠EDA+∠AED=120°，所以∠AED=∠FDB．所以△AED∽△BDF．设AD=a,CE=x,CF=y,则BD=2a,AE=3a-x,BF=3a-y.
利用相似三角形对应线段成比例，代入即得结果
答案：B
12．(2017·濮阳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点(点E不与点B重合)，沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为__________.
分析：本题考查了折叠的性质，结合相似知识，利用圆的思想方法求最值问题。
由折叠性质可得：DF=DB， ∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上运动。
如图，作⊙D，连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，
∵点D是边BC的中点， ∴CD=BD=3；而AC=4， 由勾股定理得：AD2=AC2+CD2 ∴AD=5，而FD=3， ∴FA=5－3=2， 即线段AF长的最小值是2， 连接BF，过F作FH⊥BC于H， ∵∠ACB=90°， ∴FH∥AC， ∴△DFH∽△ADC， ∴， ∴HF=，DH=， ∴BH=， ∴BF==.
答案：
13.（2015年河南）如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE=3，点F是边BC上不与点B、C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处，若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为 ．21*cnjy*com
解析：（i）如图1所示：当B′D=B′C时，过B′点作GH∥AD，则∠B′GE=90°．
当B′C=B′D时，AG=DH=DC=8．
由AE=3，AB=16，得BE=13．
由翻折的性质，得B′E=BE=13．
∴EG=AG-AE=8-3=5，
∴B′G===12，
∴B′H=GH-B′G=16-12=4，
∴DB′===
（ii）当DB′=CD时，则DB′=16（易知点F在BC上且不与点C、B重合）．
（iii）如图2所示：
当CB′=CD时，CB=CB′
∵EB=EB′，CB=CB′，
∴点E、C在BB′的垂直平分线上，
∴EC垂直平分BB′，
由折叠可知点F与点C重合，不符合题意，舍去．
综上所述，DB′的长为16或．
答案：16或．
14.（2016，浙江丹山）把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则∠BOC的度数是（ ） 21教育网
A. 120° B.135° C. 150° D. 165°
分析：如图所示：连接BO，过点O作OE⊥AB于点E，由题意可得：EO=BO，
AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，则∠BOC=150°。故选C
答案：C
15.（2014?路南区三模）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点，将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则下列说法：
①∠ABC=30°； ②弧AC的长与弧OC的长相等；
③弦BC的长为4； ④阴影部分的面积是π
其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 21cnjy.com
分析：过点O作OD⊥BC于E，交半圆O于D点，连接CD，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得BE=CE，再根据折叠的性质得到ED=EO，则OE= OB，则可根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OBC=30°，即∠ABC=30°；利用互余和等腰三角形的性质得∠BOD=∠COD=60°，则可判断△OCD为等边三角形，所以∠ODC=60°，然后根据弧长计算可计算出弧OC的长=π ，弧AC的长=π
即弧AC的长与弧OC的长相等；在Rt△OBC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得BE=2 ，则有BC=4由于OC=OB，则弓形OC的面积=弓形OB的面积，然后根据扇形的面积公式和S阴影部分=S扇形OAC计算得到④正确．故选D
答案：D
