陕西省黄陵中学2017-2018学年高二（普通班）下学期4月月考数学试题+Word版含解析

高二普通班月考数学试题
一、选择题（60分）
1. 若数列{an}的各项按如下规律排列：，，，，，，，，，，…，，，…，，…，则a2 012等于(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】数列的各项按如下规律排列：当时，只有一项，；当时，有项,，当取时，共有项，，故取时的所有项数之和，令，当时，共有项数，其各项排列为 ，故选A.
【方法点睛】本题考查归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
2. 下面使用类比推理正确的是(　　)
A. “若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”
B. “loga(xy)＝logax＋logay”类比推出“sin(α＋β)＝sinαsinβ”
C. “(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(＋)·＝·＋·”
D. “(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”
【答案】C
【解析】对于 ，在“若，则”类比推出“若，则”则后者可以是任意数，不正确；对于，“” 类比推出“”，比如，显然不成立，不正确；对于 ， “”类比推出“”，比如，显然不成立，不正确，故选C.
3. 观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于(　　)
A. f(x)
B. －f(x)
C. g(x)
D. －g(x)
【答案】D
【解析】由中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；，我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数，若定义在上的函数满足，则函数为偶函数，又为的导函数，则奇函数，故，即，故选D.
4. 下列类比推理中，得到的结论正确的是(　　)
A. 把loga(x＋y)与a(b＋c)类比，则有loga(x＋y)＝logax＋logby
B. 向量，的数量积运算与实数a，b的运算性质|ab|＝|a|·|b|类比，则有|·|＝||||
C. 把(a＋b)n与(ab)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn
D. 把长方体与长方形类比，则有长方体的对角线平方等于长宽高的平方和
【答案】D
【解析】项，，故项错误；项，，故项错误；项，，故项错误；项，长方体的对角线平方等于长宽高的平方和，故项正确，故选D.
5. 将平面向量的数量积运算与实数的乘法运算相类比，易得下列结论：(　　)
①·＝·；②(·)·＝·(·)；③·(＋)＝·＋·；④由·＝·(≠0)，可得＝.
则正确的结论有(　　)
A. 1个 B. 2个
C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】因为平面向量的数量积的运算满足交换律和分配律，不满足结合律，故①③正确，②错误；由，得，从而或，故④错误，正确的结论有 个，故选B.
6. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从n＝k到n＝k＋1时，左边需增乘的代数式是(　　)
A. 2k＋1 B. 2(2k＋1)
C. D.
【答案】B
【解析】时，左边，当时，左边需要增乘的式子为，故选B.
7. 已知a，b∈R，，则下列结论正确的是(　　)
A. m≤n B. m≥n
C. m>n D. m【答案】A
【解析】由题意可知， ， ，故选A.
【方法点睛】本题主要考查最值的求法，属于中档题.求函数最值的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求最值，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求最值时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式 求函数的最值，用不等式法求最值时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间 ，最后再根据其单调性求凼数的最值，⑤图象法：画出函数图象，根据图象的最高和最低点求最值，本题(2)求值域时主要应用方法①结合方法③解答的.
8. 用火柴棒摆“金鱼”，如下图所示：
按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(　　)
A. 6n－2 B. 8n－2
C. 6n＋2 D. 8n＋2
【答案】C
【解析】试题分析：设第个金鱼需要火柴，那么发现：，，所以得到公式．
考点：1．归纳推理；2．等差数列．
9. 下面使用类比推理正确的是(　　)
A. 由“a(b＋c)＝ab＋ac”类比推出“cos(α＋β)＝cosα＋cosβ”
B. 由“若3a＜3b，则a＜b”类比推出“若ac＜bc，则a＜b”
C. 由“平面中垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
D. 由“等差数列{an}中，若a10＝0，则a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)”类比推出“在等比数列{bn}中，若b9＝1，则有b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)”
【答案】D
【解析】对于，根据三角函数和角公式知“”错误，故不正确；对于，若“”，若，则不成立，故不正确；对于，垂直于同一平面的两个平面平还可能相交，比如课本打开立在桌面上，故不正确；对于，在等差数列中，若，则有等式成立，故相应的在等比数列中，若，则有不等式正确，故选D.
10. 实数x，y，z满足x＋y＋z＝0，且xyz＞0，设M＝＋＋，则(　　)
A. M＞0
B. M＜0
C. M＝0
D. M可正可负
【答案】B
【解析】均不为零， ，由已知可得，又，，即，故选B.
11. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步归纳假设应写成(　　)
A. 假设n＝2k＋1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋3正确
B. 假设n＝2k－1(k∈N*)正确，再推n＝2k＋1正确
C. 假设n＝k(k∈N*)正确，再推n＝k＋1正确
D. 假设n＝k(k≥1)正确，再推n＝k＋2正确
【答案】B
【解析】试题分析：注意n为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
解：根据数学归纳法的证明步骤，注意n为奇数，所以第二步归纳假设应写成：假设n=2k﹣1（k∈N*）正确，再推n=2k+1正确；故选B．
点评：本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n=2k﹣1能取到1，是解好本题的关键．
12. 在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步验证n等于(　　)
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
【答案】C
【解析】因为多边形的边数最少是，即三角形，在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时，第一步验证等于，故选C.
【思路点睛】本题主要考查数学归纳法的基本原理，属于简单题. 用数学归纳法证明结论成立时，需要验证 时成立，然后假设假设时命题成立，证明时命题也成立即可，对于第一步，要确定，其实就是确定是结论成立的最小的.
二、填空题(共4小题,每小题5.0分,共20分)
13. 已知－>1，过点P(x0，y0)作一直线与双曲线－＝1相交且仅有一个公共点，则该直线的斜率恰为双曲线的两条渐近线的斜率±.类比此思想，已知y0<，过点P(x0，y0)(x0＞0)作一条不垂直于x轴的直线l与曲线y＝相交且仅有一个公共点，则该直线l的斜率为________．
【答案】2
【解析】曲线的两条渐近线方程为，根据类比推理，可得不垂直轴的直线的斜率为，故答案为.
14. 定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{xn}是等积数列，且x2＝2，公积为6，那么这个数列的前2 005项的和为________．
【答案】5013
【解析】由数列是等积数列，且，公积为，根据等积数列的定义，得，由此可知数列的所有奇数项为，所有偶数项为，则这个数列的前项的和为，故答案为.
【方法点睛】本题考查数列的通项与求和公式、新定义问题，属于难题. 新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题定义“等积数列”达到考查数列的通项与求和公式的目的.
15. 观察下列等式
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
…
据此规律，第n个等式可为________________.
【答案】1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
【解析】试题分析：观察等式知：第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是.
故答案为.
考点：归纳推理.
16. 有以下四个命题：
(1)2n＞2n＋1(n≥3)；
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n2＋n＋2(n≥1)；
(3)凸n边形内角和为f(n)＝(n－1)π(n≥3)；
(4)凸n边形对角线条数f(n)＝(n≥4)．
其中满足“假设n＝k(k∈N，k≥n0)时命题成立，则当n＝k＋1时命题也成立”．但不满足“当n＝n0(n0是题中给定的n的初始值)时命题成立”的命题序号是________．
【答案】(2)(3)
【解析】对于命题（1），，当时有，故当等于给定的初始值成立，所以不满足条件；对于命题（2），，假设时命题成立，即，当时有 ，故对时命题也成立，对于初始值时有，不成立，所以满足条件；对于命题（3），凸边形内角和为，假设时命题成立，即，当时有，故对时命题也成立，对于初始值内角和为，不成立，故满足条件；对于命题（4），凸边形对角线条数，，假设时命题成立，即，当时有，故不满足条件，
故答案为(2)(3).
三、解答题(共6小题,17题10分，其余每小题12.0分,共70分)
17. 已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝＋2(n∈N*)．
(Ⅰ)计算a2，a3，a4的值；
(Ⅱ)根据计算结果猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
【答案】(Ⅰ)a2＝2＋，a3＝2＋，a4＝4.(Ⅱ)答案见解析.
【解析】试题分析：(Ⅰ)利用，代入计算，可得结论；(Ⅱ)由(Ⅰ)根据前四项的公共规律，猜想，然后利用归纳法进行证明，检验时等式成立，假设时命题成立，证明时命题也成立即可.
试题解析：(Ⅰ)由a1＝3，an＋1＝＋2(n∈N*)可得a2＝2＋，a3＝2＋，
a4＝2＋＝4.
(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想：an＝2＋，n∈N*.
以下用数学归纳法证明：
(1)当n＝1时，左边a1＝3，右边2＋1＝3，符合结论；
(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即ak＝2＋，
那么ak＋1＝＋2
＝＋2
＝＋2＝＋2，
所以当n＝k＋1时，猜想也成立，
根据(1)和(2)，可知猜想对于任意n∈N*都成立．
18. 用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.
【答案】证明见解析
【解析】试题分析：利用三段论来证明，要满足其形式，大前提是任意三角形三内角之和为 ，小前提是直角三角形三内角之和为，结论是直角三角形两锐角之和为.
试题解析：因为任意三角形三内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，
所以直角三角形三内角之和为180°(结论)．
设两锐角分别为α，β，则α＋β＋90°－90°＝180°－90°(小前提)，
所以α＋β＝90°成立(结论)．
19. 已知数列{an}满足a2＝2，(n－1)an＋1－nan＋1＝0(n∈N*)，求数列{an}的通项．
【答案】
试题解析：当n＝1时，a1＝1，
由a2＝2，可得a3＝3，猜想an＝n.
证明如下：
当n＝1,2时，a1＝1，a2＝2，猜想成立；
假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，猜想成立，即ak＝k，
又(k－1)ak＋1－kak＋1＝0，
即(k－1)ak＋1－k2＋1＝0，
∵k≥2，∴k－1≠0，
∵ak＋1＝k＋1，即n＝k＋1时，猜想成立，
∴n∈N*时，an＝n.
20. 用数学归纳法证明：···…·<(n∈N*)．
【答案】证明见解析
【解析】试题分析：利用数学归纳法证明：①验证当时,原不等式成立；②假设当时，不等式成立，去推证当时，原不等式也成立即可（注意利用好归纳假设）.
试题解析：①∵当n＝1时，－＝－＜0，
∴<，∴<＝，即当n＝1时，不等式成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即···…·<，
则当n＝k＋1时，
···…··<·＝，
∵()2－()2
＝＝＜0，
∴()2＜()2，
∴＜，即当n＝k＋1时，原不等式也成立．
综合①②可知，对于任意n∈N*，···…·<均成立．
21. 已知数列数列{an}的通项公式an＝(－1)n(2n－1)(n∈N*)，Sn为其前n项和．
(1)求S1，S2，S3，S4的值；
(2)猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
【答案】(1)S1＝－1，S2＝2，S3＝－3，S4＝4；(2)答案见解析.
【解析】试题分析：(Ⅰ)根据，代入计算，可求的值；(Ⅱ)由(Ⅰ)猜想的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明，检验时等式成立，假设时命题成立，证明时命题也成立即可.
试题解析：(1)依题意可得S1＝－1，S2＝－1＋3＝2，S3＝－1＋3－5＝－3，S4＝－1＋3－5＋7＝4；
(2)猜想：Sn＝(－1)n·n.
证明：①当n＝1时，猜想显然成立；
②假设当n＝k时，猜想成立，即Sk＝(－1)k·k，
那么当n＝k＋1时，Sk＋1＝(－1)k·k＋ak＋1＝(－1)k·k＋(－1)k＋1(2k＋1)＝(－1)k＋1·(k＋1)．
即n＝k＋1时，猜想也成立．
故由①和②可知，猜想成立.

22. 试比较nn＋1与(n＋1)n(n∈N*)的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论．
【答案】答案见解析
【解析】试题分析：本题考査的知识点是归纳推理与数学归纳法,可以取 ，列出与的前项，然后分别比较其大小，然后由归纳推理猜想出一个一般性的结论，然后利用数学归纳法进行证明，检验时等式成立，假设时命题成立，证明时命题也成立即可.
试题解析：当n＝1时，nn＋1＝1，(n＋1)n＝2，此时，nn＋1＜(n＋1)n，
当n＝2时，nn＋1＝8，(n＋1)n＝9，此时，nn＋1＜(n＋1)n，
当n＝3时，nn＋1＝81，(n＋1)n＝64，此时，nn＋1＞(n＋1)n，
当n＝4时，nn＋1＝1 024，(n＋1)n＝625，此时，nn＋1＞(n＋1)n，
根据上述结论，我们猜想：当n≥3(n∈N*)时，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．
证明：①当n＝3时，nn＋1＝34＝81＞(n＋1)n＝43＝64，
即nn＋1＞(n＋1)n成立；
②假设当n＝k时，kk＋1＞(k＋1)k成立，即＞1，
则当n＝k＋1时，＝(k＋1)()k＋1＞(k＋1)()k＋1＝＞1，
即(k＋1)k＋2＞(k＋2)k＋1成立，即当n＝k＋1时，猜想也成立，
∴当n≥3(n∈N*)时，nn＋1＞(n＋1)n恒成立．