5.3 简单的轴对称图形（3）同步练习

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5.3 简单的轴对称图形（3）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．角是轴对称图形,角平分线所在直线是它的对称轴．
２．角平分线上的点到角两边的距离相等 ．
３．用尺规作已知角的平分线的方法．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA,PB⊥OB，垂足分别为A，B。下列结论中不一定成立的是（ ）
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A、PA=PB B、PO平分∠AOB C、OA=OB D、AB垂直平分OP
2．如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是（　　）www-2-1-cnjy-com
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A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
3．如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,交AC于点D,BC边上有一点E,连接DE,则AD与DE的关系为(　　)21*cnjy*com
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A. AD>DE B. AD=DE C. AD4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，自D向AB，AC两边作垂线，垂足为E，F，那么下列结论中错误的是( )
A. DE＝DF B. AE＝AF C. BD＝CD D. ∠ADE＝∠ADF
5．作∠AOB的平分线时,以O为圆心,某 ( http: / / www.21cnjy.com )一长度为半径作弧,与OA,OB分别相交于点C,D,然后分别以点C,D为圆心,适当的长度为半径作弧,使两弧相交于一点,则这个适当的长度为(　　)
A. 大于 EMBED Equation.DSMT4 CD B. 等于CD C. 小于CD D. 以上答案都不对
6．如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C、D,则下列结论错误的是（ ）
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A. PC=PD B. ∠CPD=∠DOP C. ∠CPO=∠DPO D. OC=OD【版权所有：21教育】
7．已知如图，矩形ABCD中，BD=5cm ( http: / / www.21cnjy.com )，BC=4cm，E是边AD上一点，且BE = ED，P是对角线上任意一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G.则PF + PG的长为（ ）.
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A. 2.5 cm B. 2.8 cm C. 3 cm D. 3.5 cm
8．用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示，说明∠AOC＝∠BOC的依据是( )．
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A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分线上的点到角两边距离相等
9．如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上一点,PD⊥OA于点D,PD=6,则点P到边OB的距离为(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
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A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
二、填空题
10．如图，平分，，∥，于点，，则______．
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11．如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC交AC于E，若DE=7cm，AE=5cm，则AC=_____cm．
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12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，且EC=5，则AE的长为　 　．
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13．如图在Rt△ABC中，∠ACB=90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AB=5，BC=3，AC=4，P是∠BAC和∠ABC的平分线的交点，则P到AB边的距离为_____．
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14．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于_____．
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15．如图，AD是△ABC的角平分线，AB：AC=3：2，△ABD的面积为15，则△ACD的面积为　 　．
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三、解答题
16．如图,在四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中,AC为∠BAD的平分线,AB=AD,点E,F分别在AB,AD上,且AE=DF,请说明为何四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.
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17．如图,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于点D,AB+BC=2BD.试说明:∠BAP+∠BCP=180°.
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18．根据图中尺规作图的痕迹,先判断得出结论:__________,并说明理由.
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19．如图,BD为∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD上,PM⊥AD于点M,PN⊥CD于点N.
试说明:PM=PN.
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20．如图，一块余料ABCD，AD∥BC，现进行如下操作：以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点G，H；再分别以点G，H为圆心，大于 EMBED Equation.DSMT4 GH的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部相交于点O，画射线BO，交AD于点E．
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（1）求证：AB=AE；
（2）若∠A=100°，求∠EBC的度数．
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：本题要从已知条件OP平分∠A ( http: / / www.21cnjy.com )OB入手，利用角平分线的性质：因OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，得到PA=PB，进而推出△AOE≌△BOE，从未得到∠APO=∠BPO，OA=OB，因此A、B、C项正确；设PO与AB相交于E，由OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE，得证△AOE≌△BOE，进而得∠AEO=∠BEO=90°，因此得证OP垂直AB，而不能得到AB平分OP,故D不成立.
2．C
【解析】过点P作PE⊥BC于E，
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∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA=PE，PD=PE，
∴PE=PA=PD，
∵PA+PD=AD=8，
∴PA=PD=4，
∴PE=4．
故选C．www.21-cn-jy.com
3．D
【解析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AB、BC的距离相等，AD、BE都不是点D到AB、BC的距离，大小不确定．21·世纪*教育网
解：∵BD平分∠ABC，
∴点D到AB、BC的距离相等，
∵AD不是点D到AB的距离，点E是BC上一点，
∴AD、DE的大小不确定.
故选D.
4．C
【解析】∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DE=DF，故A选项不符合题意；
在Rt△ADE和Rt△ADF中， ，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，∠ADE=∠ADF，故B、D选项不符合题意；
只有△ABC是等腰三角形时，BD=CD，故C选项错误，符合题意，
故选C．
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5．A
【解析】要保证所作的是角平分线，根 ( http: / / www.21cnjy.com )据全等三角形的性质，则应再保证两弧相交的点到点C、D的距离相等；画弧时，两弧应有交点才能构成三角形，据此结合三角形的三边关系分析即可．【来源：21cnj*y.co*m】
解：根据三角形两边之和大于第三边的性质可知，
画的时候，为了让两条弧有交点，必须是以大于CD的长为半径画弧．
故选A.
点睛：此题考查的是基本作图的知识，熟悉基本作图的步骤，理解基本作图每一步的理由是解决此题的关键.
6．B
【解析】试题分析：已知OP为∠AO ( http: / / www.21cnjy.com )B的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，根据角平分线的性质可得PC=PD，A正确；在Rt△OCP与Rt△ODP中，OP=OP,PC=PD，由HL可判定△OCP≌△ODP，根据全等三角形的性质可得∠CPO=∠DPO，OC=OD，故C、D正确．不能得出∠CPD=∠DOP，故B错误．故答案选B．【出处：21教育名师】
7．C
【解析】过点P作PM⊥BC于M，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=∠ABC=90°，
∴PM⊥AD， .
∵PG⊥AD，
∴G，P，M共线，
∴∠GMC=90°，
∴四边形ABMG是矩形，
∴GM=AB=3cm，
∵BE=ED，
∴∠EDB=∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠CBD，
∵PF⊥BE，PM⊥BC，
∴PM=PF，
∴PF+PG=PM+PG=GM=AB=3cm．
故选C.
点睛：此题考查了矩形的性质、垂线的性质、勾股 ( http: / / www.21cnjy.com )定理、等腰三角形的性质、平行线的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握数形结合思想的应用．2·1·c·n·j·y
8．A
【解析】试题分析：连接NC，MC，根据SSS证△ONC≌△OMC，即可推出答案．
连接NC，MC， ( http: / / www.21cnjy.com )在△ONC和△OMC中 ( http: / / www.21cnjy.com )，
∴△ONC≌△OMC（SSS）， ∴∠AOC=∠BOC
9．A
【解析】试题分析：如图，过 ( http: / / www.21cnjy.com )点P作PE⊥OB于点E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，∴PE=PD，∵PD=6，∴PE=6，即点P到OB的距离是6．故选A．2-1-c-n-j-y
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10．2
【解析】解：作PE⊥OA于E．∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°．∵PC∥OB，∴∠ACP=∠AOB=30°．在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），∴PD=PE=2．故答案为：2．21*cnjy*com
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11．12
【解析】试题解析：∵CD是∠ACB的平分线，
∴
又∵DE∥BC，
∴
∴
∴
∴
故答案为：12．
12．10．
【解析】试题分析 ：连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE＝30°，
∵∠C＝90°，∠A＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴BE是∠ABC的角平线，
∴DE＝CE＝5，
在△ADE中，∠ADE＝90°，∠A＝30°，
∴AE＝2DE＝10．
故答案为：10．
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点睛：此题主要考查线段的垂直平分线的性质和直角三角形的性质．熟练应用线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13．1
【解析】试题分析：如图，连接PC，作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，垂足分别为D、E、F，
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∵点P是∠BAC，∠APC的角平分线的交点，
∴PD＝PE＝PF．
设PD＝PE＝PF＝r，
∵AB＝5，BC＝3，AC＝4，
∴AC BC＝AC r＋BC r＋AB r＝r（AC＋BC＋AB），
即×4×3＝r×（4＋3＋5），
解得r＝1，
∴点P到AB边的距离为1．
故答案为：1．
点睛：本题考查的是角的平分线性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．
14．5
【解析】试题解析：
作EF⊥BC于F，
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∵BE平分∠ABC，EF⊥BC，ED⊥AB，
∴EF=DE=2，
∴△BCE的面积
故答案为：5.
15．10．
【解析】如图，
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过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
又∵AB：AC=3：2，
∴AB=AC，
∵△ABD的面积为15
∴S△ABD=AB×DE=×AC×DF=15，
∴AC×DF=10
∴S△ACD=AC×DF=10
故答案为：10．
点睛：本题考查了角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质；此题的关键是根据角平分线的性质，求得点D到AB的距离等于点D到AC的距离，即△ABD边AB上的高与△ACD边AC上的高相等．
16．见解析
【解析】先作CG⊥AB于G,CH⊥AD于H,利用角平分线的性质得出CG=CH，再利用面积间的等量代换即可推出结论.21世纪教育网版权所有
证明：如图,作CG⊥AB于G,CH⊥AD于H,
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因为AC为∠BAD的平分线,
所以CG=CH.
因为AB=AD,
所以S△ABC=S△ACD.
又因为AE=DF,
所以S△AEC=S△CDF.
因为S△BCE=S△ABC-S△AEC,S△ACF=S△ACD-S△CDF,
所以S△BCE=S△ACF.
因为S四边形AECF=S△AEC+S△ACF,
所以S四边形AECF=S△AEC+S△BCE.
所以S四边形AECF=S△ABC.
所以四边形AECF的面积为四边形ABCD的一半.
17．见解析
【解析】作PE垂直于AB于E，根据角平 ( http: / / www.21cnjy.com )分线的性质可知PD=PE，HL定理可知△PBD≌△PBE，可得BD=BE，根据题中线段和差的关系，可得△PAE≌△PCD，所以可知∠PAE=∠PCD，根据∠PAE+∠PAB=180°，即可证明题中关系.21教育网
证明：如图，过点P作PE⊥BA于E.
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∵PD⊥BC，PE⊥BM，∠1=∠2，
∴PD=PE.
∵PD⊥BC，PE⊥BM，PD=PE，BP=BP，
∴△BPD≌△BPE.
∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD，BC=BD+DC，AB=BE-AE，
∴AE=CD.
∵PD=PE，AE=CD，PD⊥BC，PE⊥BM，
∴△PCD≌△PAE，
∴∠PCB=∠PAE.
∵∠BAP+∠PAE=180°，
∴∠BAP+∠PCB=180°.
点睛：本题考查了角平分线的性质和线段和差，三角形全等的判定及性质.解题的关键在于要利用角平分线的性质及线段的和差来证明全等 21cnjy.com
18．OM平分∠BOA
【解析】根据全等三角形的判定及性质即可得出结论.
解：如图所示,连接CM,DM,
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由作图的痕迹可知,OC=OD,CM=DM.
又因为OM=OM,
所以△COM≌△DOM.
所以∠COM=∠DOM.
所以OM平分∠BOA.
故答案为：OM平分∠BOA.
19．见解析
【解析】根据角平分线的性质以及已知条件 ( http: / / www.21cnjy.com )证得△ABD≌△CBD（SAS），然后由全等三角形的对应角相等推知∠ADB=∠CDB；再根据角平分线的判定定理即可得出结论．
证明：因为BD为∠ABC的平分线,
所以∠ABD=∠CBD.
又因为BA=BC,BD=BD,
所以△ABD≌△CBD(SAS).
所以∠ADB=∠CDB.
因为点P在BD上,PM⊥AD,PN⊥CD,
所以PM=PN.
20．（1）证明见试题解析；（2）40°．
【解析】试题分析：（1）由角平分线 ( http: / / www.21cnjy.com )的性质，可以得到∠AEB=∠EBC，由角平分线的性质，得到∠EBC=∠ABE，由等腰三角形的判定，可得答案；21·cn·jy·com
（2）由三角形的内角和定理，可得∠AEB，由平行线的性质，可得答案．
试题解析：（1）∵AD∥BC，∴∠AEB ( http: / / www.21cnjy.com )=∠EBC，∵ BE是∠ABC的角平分线，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；21教育名师原创作品
（2）∵∠A=100°，∠ABE=∠AEB，∴∠ABE=∠AEB=40°，∵AD∥BC，∴∠EBC=∠AEB=40°．
考点：1．作图—基本作图；2．等腰三角形的判定与性质．
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