5.3 简单的轴对称图形（1）同步练习

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5.3 简单的轴对称图形（1）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．有两边相等的三角形叫等腰三角形;三边相等的三角形是等边三角形．
２．等腰三角形是轴对称图形,它的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合(也称“三线合一”),它们所在直线都是等腰三角形的对称轴．
３．等腰三角形的两个底角相等 ．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．若等腰三角形有两条边的长度为2和5，则此等腰三角形的周长为（　　）
A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 10
2．等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（　　）
A. 30°，60° B. 45°，45° C. 45°，90° D. 20°，70°
3．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（　　）
A. 36° B. 60° C. 72° D. 108°
4．如图,已知四个图形分别是等边三角形、等腰梯形、正方形、圆,它们全是轴对称图形,其中对称轴的条数最少的图形是(　　)
A. B. C. D.
5．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A. 50° B. 51° C. 51.5° D. 52.5°
6．如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,下列结论:①∠BAD=∠CAD;②AD上任意一点到AB,AC的距离相等;③BD=CD;④若点P在直线AD上,则PB=PC.其中正确的是(　　)
A. ① B. ①② C. ①②③ D. ①②③④
7．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为( )
A. 35° B. 45° C. 55° D. 60°
8．有下列命题说法：①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（　　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
9．如图，已知等边△AEB和等边△BDC在线段AC同侧，则下面错误的是（　　）
A. △ABD≌△EBC B. △NBC≌△MBD C. DM=DC D. ∠ABD=∠EBC
二、填空题
10．等边三角形有 条对称轴，它们是_________________________________.
11．如图，某汽车从A处出发准备开往正北方向M处，但是由于AM之间道路正在整 修，所以需先到B处，再到M处，若B在A的北偏东25°，汽车到B处发现，此时 正好BM=BA，则汽车要想到达M处，此时应沿北偏西____________ 的方向行驶．
12．如图，在△ABC中，AC＝BC，把△ABC沿AC翻折，点B落在点D处，连接BD，若∠CBD＝16°，则∠BAC＝________°．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC的周长是________．
14．三个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=　 　°．
15．若等腰三角形的两边长分别为4 cm，9 cm，则等腰三角形的周长为____cm.
三、解答题
16．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E．求证：∠CBE=∠BAD．
17．如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．

18．如图,已知AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,点F是CD的中点,你知道AF与CD之间具有怎样的位置关系吗 请说明理由.
19．如图，已知△ABC中，AB=AC，周长为24，AC边上的中线BD把△ABC分成周长差为6的两个三角形，则△ABC各边的长分别为多少？
20．如图，在△ABC中，AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=α，探索α与∠B的关系。
21．如图，等边三角形ABD和等边三角形CBD的边长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF=a．则△BEF的形状如何？
22．如图,点C是线段AB上任意一点(点C与点A,B不重合),分别以AC,BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE,AE与CD相交于点M,BD与CE相交于点N.连接MN.
试说明:(1)△ACM≌△DCN;(2)MN∥AB.
23．已知在△ABC中，AB=AC。
（1）若D为AC的中点，BD把三角形的周长分为24cm和30cm两部分，求△ABC三边的长；
（2）若D为AC上一点，试说明AC＞（BD+DC）。
参考答案
1．B
【解析】由于等腰三角形的底边不确定，所以需要分类讨论，
①当底边长为2时，三边长为2，5，5，则周长为2+5+5=12；
②当底边长为5时，三边长为5，2，2，但5＞2+2，不能构成三角形.
故选B.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，当问题中已知的边长没有明确是等腰三角形的底还是腰时，一般需要分类讨论，且只能分为两类，特别是与三角形的周长有关的问题一定要注意三边的长是否符合两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
2．B
【解析】由于等腰三角形的两底角相等，所以90°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角．
解：∵等腰三角形的两底角相等，
∴两底角的和为180°﹣90°=90°，
∴两个底角分别为45°，45°，
故选B．
3．C
【解析】根据∠A=36°，AB=AC求出∠ABC的度数，根据角平分线的定义求出∠ABD的度数，根据三角形的外角的性质计算得到答案．
解：∵∠A=36°，AB=AC，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°，
故选C．
4．B
【解析】试题解析：
A. 等边三角形有3条对称轴，为三条高线所在的直线；
B. 等腰梯形有1条对称轴，是过两底边中点的直线；
C. 正方形有4条对称轴，为过对边中点的直线与两对角线所在的直线；
D. 圆有无数条对称轴，为过圆心的直线.
故对称轴的条数最少的图形是等腰梯形.
故选B.
点睛：根据轴对称图形的概念，找出各选项图形的对称轴条数，然后选择即可．
5．D
【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，，根据平角的定义即可求出∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，故答案选D．
6．D
【解析】试题解析：∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
又∵AD⊥BC于D，
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，故①③正确；
∵∠BAD=∠CAD，
∴AD上任意一点到AB、AC的距离相等，故②正确；
∵AD是BC的中垂线，
∴若点P在直线AD上，则PB=PC，故④正确.
故选D.
点睛：角平分线上的点到角两边的距离相等.
7．C
【解析】试题分析：由等腰三角形的三线合一性质可知∠BAC=70°，再由三角形内角和定理和等腰三角形两底角相等的性质即可得出结论．
解：AB=AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B=∠C，
∵∠BAD=35°，
∴∠BAC=2∠BAD=70°，
∴∠C=（180°﹣70°）=55°．
故选C．
8．B
【解析】①中，必定正确．如果两个角的和不大于90°，则第三个内角将大于或等于90°，该三角形将不是锐角三角形；②中，这两个概念不能混淆，当等腰三角形的顶角是钝角时，该三角形是钝角三角形，故错误；③中，若等腰三角形有一个外角等于120°，则等腰三角形有一个内角等于60°，则这个三角形一定是等边三角形，故正确；④中，此题应分为两种情况，底角可以是40°或70°，故错误；⑤中，显然正确，如果都小于60°，则该三角形的内角和小于180度.所以正确的是①，③，⑤三个.故选B.
9．C
【解析】选项A，可以利用SAS验证，正确；选项B，可以利用AAS验证，正确；选项C，可证∠MBN=60°，若DM=DC=DB，则△DMB为等边三角形，即∠BDM=60°，∵∠EAB=∠DBC，∴AE∥BD．∴∠BDM=∠EAD=60°．与已知不符，错误；选项D，可由∠ABE，∠DBC同加一个∠DBE得到，正确.所以错误的是第三个,故选C.
10．3，各内角的平分线所在直线（或各边中垂线所在直线，各边上的高所在直线）
【解析】等边三角形有3条对称轴，它们是各内角的平分线所在直线；（或各边中垂线所在直线，各边上的高所在直线）.
11．25°
【解析】解：∵BM=BA，∴∠M=∠A=25°，∴∠1=∠M=25°．故答案为：25°．
12．37
【解析】由折叠的性质可知：CB=CD，AB=AD，∠BAC=∠DAC，∠ABC=∠ADC，
∴∠CDB=∠CBD=16°，
∵AC=BC，
∴∠BAC=∠ABC，
∴∠BAC=∠DAC=∠ABC=∠ADC，
又∵∠BAC+∠DAC+∠ABC+∠ADC+∠CDB+∠CBD=18°，
∴∠BAC+∠DAC+∠ABC+∠ADC=180°-16°-16°=148°，
∴∠BAC=148°÷4=37°.
故答案为：37.
13．20
【解析】分析：本题利用等腰三角形的三线合一的性质得出即可.
解析：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∵AB＝6，CD＝4，∴AC=AB=6,BD=CD=4,∴△ABC的周长为20.
故答案为：20.
14．130
【解析】先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于60°，用∠1，∠2，∠3表示出△ABC各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
解：∵图中是三个等边三角形，∠3=50°，
∴∠ABC=180°﹣60°﹣50°=70°，∠ACB=180°﹣60°﹣∠2=120°﹣∠2，
∠BAC=180°﹣60°﹣∠1=120°﹣∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴70°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）=180°，
∴∠1+∠2=130°．
故答案为：130．
15．22
【解析】分两种情况讨论：
（1）当等腰三角形腰长为9cm时，9+9=18>4，即三角形周长为9+9+4=22cm；
（2）当等腰三角形腰长为4cm时候，4+4=8＜9，此时不能拼成一个三角形，即该种情况的三角形不存在，
故答案为：22.
16．证明见解析．
【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD．
试题解析：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，
又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD．
17．证明见解析.
【解析】试题分析：首先根据AB=AC=AD，可得∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∠ABC=∠CBD+∠D；然后根据AD∥BC，可得∠CBD=∠D，据此判断出∠ABC=2∠D，再根据∠C=∠ABC，即可判断出∠C=2∠D．
试题解析：∵AB=AC=AD，
∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD.
∴∠ABC=∠CBD＋∠D.
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠D.∴∠ABC=2∠D.
又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D.
18．见解析
【解析】试题分析：连接AC、AD．根据SAS证明△ABC≌△AED，得AC=AD．运用等腰三角形性质解答问题．
试题解析：AF⊥CD.理由如下：
连接AC、AD.
在△ABC和△AED中，
∵AB=AE，∠B=∠E，BC=ED，
∴△ABC≌△AED.(SAS)
∴AC=AD.
∴△ACD为等腰三角形.
∵F为CD的中点，
∴AF⊥CD.
19．三角形的各边长为10、10、4
【解析】试题分析：分AB＞BC和AB＜BC两种情况求得AB、BC的长，再由三角形的三边关系进行取舍即可.
试题解析：
根据题意结合图形，分成两部分的周长的差等于腰长与底边的差，
（1）若AB＞BC，则AB-BC=6，
又因为2AB+BC=24，
联立方程组并求解得：AB=10，BC=4，
10、10、4三边能够组成三角形；
（2）若AB＜BC，则BC-AB=6，
又因为2AB+BC=24，
联立方程组并求解得：AB=6，BC=12，
6、6、12三边不能够组成三角形；
因此三角形的各边长为10、10、4。
20．∠α=∠B，理由见解析
【解析】试题分析：根据已知条件易证△BFD≌△CDE，得出∠BFD=∠CDE，再由角之间的转化，进而可得出结论．
【解析过程】
试题解析：
∠α=∠B，理由为：
证明：∵AB=AC（已知），
∴∠B=∠C（等边对等角），
在△BDF和△CED中，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠BFD=∠CDE（全等三角形对应角相等），
又∵∠FDC=∠B+∠BFD（外角性质），
∴∠α=∠B（等式性质）。
点睛：本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
21．△BEF为正三角形，理由见解析
【解析】试题分析：根据已知条件易证△BDE≌△BCF，即可求得∠FBD+∠DBE=60°，根据一个内角为60°的等腰三角形可以判定为等边三角形，即可得结论．
试题解析：
△BEF为正三角形
证明：∵AE+CF=a，AE+ED=a，
∴DE=CF，
在△BDE和△BCF中，
∴△BDE≌△BCF，
∴BE=BF，∠CBF=∠DBE，
又∵∠CBF+∠FBD=60°，
∴∠FBD+∠DBE=60°，
∴△BEF为等边三角形。
点睛：本题考查了全等三角形的证明和全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了等边三角形的判定，本题中求证△BDE≌△BCF是解题的关键．
22．见解析
【解析】试题分析： 由已知条件可利用两边及其夹角相等的三角形全等得△ACE≌△DCB. 由全等三角形的性质可得∠CAE=∠CDB，接下来根据两角及其夹边相等的三角形全等即可得到结论；
证明第一问的方法类似，可证得△BCN≌△ECM，进而可以得出△CMN是等边三角形，
试题解析：（1）∵ △ACD、△BCE为等边三角形，
∴ △ACE≌△DCB.
∴ ∠CAE=∠CDB，
∵ ∠DCA=∠BCE=60°，
∴ ∠DCE=60°，
∵ ∠CAE=∠CDB，AC=CD，∠ACD=∠DCE，
∴ △ACM≌△DCN.
（2）∵ △ACE≌△BCD，
∴ ∠MEC=∠NBC，
∵ ∠BCE=∠ECM=60°，BC=CE，∠MEC=∠NBC，
∴ △BCN≌△ECM，
∴ CM=CN，
∵ CM=CN，∠ECM=60°，
∴ △CMN是等边三角形，
∴ ∠MNC=60°，
∵ ∠BCE=∠MNC=60°，
∴ MN∥AB.
23．（1）三角形的三边长为16，16，22或20，20，14；（2）理由见解析
【解析】试题分析：（1）分两种情况讨论：当AB+AD=30，BC+DC=24或AB+AD=24，BC+DC=30，所以根据等腰三角形的两腰相等和中线的性质可求得，三边长为16，16，22或20，20，14；
（2）根据三角形两边之和大于第三边即可得到AC＞（BD+DC）.
试题解析：
（1）设三角形的腰AB=AC=x，
若AB+AD=24cm，
则：x+x=24
∴x=16
三角形的周长为24+30=54cm
所以三边长分别为16，16，22；
若AB+AD=30cm，
则：x+x=30
∴x=20
∵三角形的周长为24+30=54cm
∴三边长分别为20，20，14；
因此，三角形的三边长为16，16，22或20，20，14。
（2）∵AC=AD+CD，AB=AC，
∴2AC=AB+AD+CD＞BD+DC，
∴AC＞（BD+DC）。
点睛：主要考查了等腰三角形的性质；解题的关键是利用等腰三角形的两腰相等和中线的性质求出腰长，再利用周长的概念求得边长．同时考查了三角形三边关系．
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