5.3 简单的轴对称图形（2）同步练习

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5.3 简单的轴对称图形（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．线段是 轴对称图形,垂直并且平分线段的直线是它的一条对称轴．这条直线叫这条线段的垂直平分线(简称中垂线)． 【来源：21cnj*y.co*m】
２．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．
３．线段中垂线的作法．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．关于线段的垂直平分线有以下说法:
①一条线段的垂直平分线的垂足,也是这条线段的中点;
②线段的垂直平分线是一条直线;
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴.
其中正确的说法有(　　)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
2．如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为（　　）www-2-1-cnjy-com
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A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
3．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（　　）
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A. AB=AD B. AC平分∠BCD C. AB=BD D. △BEC≌△DEC21*cnjy*com
4．△ABC中，AB = 5，AC = 6，BC = 4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则△BDC的周长是（ ）
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A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
5．如图,已知线段AB,BC的垂直平分线l1,l2交于点M,则线段AM,CM的大小关系是(　　)
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A. AM>CM B. AM=CM C. AM6．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（　　）
A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点
7．已知△ABC中，AB=AC，AB的垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，则△ABC的腰和底边长分别为（ ）
A．24cm和22cm B．26cm和18cm C．22cm和26cm D．23cm和24cm
8．如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于 EMBED Equation.DSMT4 AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为( 　)
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A. 65° B. 60° C. 55° D. 45°
二、填空题
9．如图,MP,NQ分别垂直平分AB,AC,且BC=6 cm,则△APQ的周长为_____．
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10．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠C=65°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠DBC的度数是_____．
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11．如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝15°，DE是BC的垂直平分线，交AB于D，交BC于E，且BD＝18㎝，则AC＝_____㎝.
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12．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
尺规作图：作一条线段的垂直平分线．
已知：线段AB.
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小芸的作法如下：
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(1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；
(2)作直线CD.
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是_________________________________．
13．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分 ( http: / / www.21cnjy.com )线分别交AB、BC于点D、E，边AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．若BC=4cm，则△AEG的周长是________cm．
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14．如图，在△ABC中，AB=AC，BC ( http: / / www.21cnjy.com )=4，面积是12，AC的垂直平分线EF分别交AB，AC边于点E，F．若点D为BC边的中点，点P为线段EF上一动点，则△PCD周长的最小值为_____．
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三、解答题
15．如图,已知直线l是AB的垂直平分线,M是直线l上的一点,D,E是AB上不同的点,则AM=BM吗 MD=ME吗
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16．如图所示,AB-AC=2cm,BC的垂直平分线交AB于点D,交BC于点E,△ACD的周长是14cm,
求AB和AC的长.
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17．如图,已知点P为∠M ( http: / / www.21cnjy.com )ON内一点,点P与点A关于直线ON对称,点P与点B关于直线OM对称.连接AB,交ON于D点,交OM于C点,若AB长为15 cm,求△PCD的周长.
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18．敌军基地在三条公路围成的三角区域 ( http: / / www.21cnjy.com )内，我军一队战士在一条公路中点垂直射击，另一队战士在另一条公路中点垂直射击，均击中敌军基地，问第三队战士在公路何处垂直射击可击中目标？
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19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F．
求证：（1）FC＝AD；
（2）AB＝BC＋AD．
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20．如图,在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点N,交BC的延长线于点M.
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(1)若∠A=40°,求∠NMB的度数.
(2)如果将(1)中∠A的度数改为70°,其余条件不变,求∠NMB的度数.
(3)由(1)(2)你发现了什么规律 并说明理由.
21．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN交BC于点D.
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（1）如果∠CAD=20°，求∠B的度数；
（2）如果∠CAB=50°，求∠CAD的度数；
（3）如果∠CAD：∠DAB=1：2，求∠CAB的度数.
参考答案
1．B
【解析】由线段垂直平分线的定义，可得一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；线段的垂直平分线是一条直线．注意举反例来判断．21世纪教育网版权所有
解：①一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点，正确；
②线段的垂直平分线是一条直线；正确；
③一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴，错误，因为线段有2条对称轴：一条是这条线段的垂直平分线，另一条对称轴是这条线段所在的直线.www.21-cn-jy.com
故选B.
点睛：本题考查线段垂直平分线的知识.熟记线段垂直平分线的定义及定理是解题的关键.
2．B
【解析】因为线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，所以PA=PB，则PB=5.
故选B.
3．C
【解析】试题分析：根据AC垂直平分BD可得：△ABD为等腰三角形，即AB=AD，AC平分∠BAD，△BEC≌△DEC.【版权所有：21教育】
4．C
【解析】试题分析：由ED是AB的垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线，可得AD=BD，又由△BDC的周长=DB+BC+CD，即可得△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC． ∵ED是AB的垂直平分线， ∴AD=BD，
∵△BDC的周长=DB+BC+CD， ∴△BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．
5．B
【解析】首先连接BM，然后根据l1是线段AB的垂直平分线判定AM=BM；类似的方法可得BM与CM的关系，最后利用等量代换即可解答本题.
解：如图所示：连接BM，
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∵l1是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∵l2是线段BC的垂直平分线，
∴BM=CM，
∴AM=CM.
故选B.
点睛：本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题关键.
6．D
【解析】解：到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选D．
点睛：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．C
【解析】
试题分析：根据线段垂直平分线上的点 ( http: / / www.21cnjy.com )到线段两端点的距离相等可得AD=BD，然后求出△DBC的周长=AC+BC，再根据两个三角形的周长求出AB，然后BC的值即可．
解：∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，
∴AB=70﹣48=22cm，
∴BC=48﹣22=26cm，
即△ABC的腰和底边长分别为22cm和26cm．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等、三角形的周长公式，熟记性质并准确识图是解题的关键．21*cnjy*com
8．A
【解析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，
故选A．
9．B
【解析】由MP、NQ分别垂直平分AB、AC，根据线段垂直平分线的性质，可得BP=AP，CQ=AQ，继而求得△APQ的周长等于BC．21·世纪*教育网
解：∵MP、NQ分别垂直平分AB、AC，
∴BP=AP，CQ=AQ，
∵BC=6cm，
∴△APQ的周长为：AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC=6cm.
故选B.
10．15
【解析】∵△ABC中，AB=AC，∠C=65°，
∴∠ABC=∠C=65°，
∴∠A=180°-65°-65°=50°，
∵DM垂直平分AB，
∴DB=DA，
∴∠ABD=∠A=50°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.
故答案为：15°.
11．9
【解析】∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴CD=DB=18cm，
∴∠DCE=∠B=15°，
∴∠ADC=∠DCE+∠B=30°，
∵∠A=90°，
∴AC=CD=9cm.
故答案为：9.
12．到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线
【解析】解：小芸的作图依据是：到线段两个端点 ( http: / / www.21cnjy.com )距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．故答案为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，两点确定一条直线．21cnjy.com
13．4
【解析】因为AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D. E，
所以AE=BE，
因为AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F. G，
所以AG=GC，
△AEG的周长为AE+EG+AG=BE+EG+CG=BC=4cm.
故填4.
14．8
【解析】试题解析：连接AD，
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∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴
解得AD=6，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为的最小值，
∴的周长最短
故答案为：8.
15．AM=BM,无法判断MD是否等于ME.
【解析】由M在线段AB的垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线l上，根据“线段的垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”即可判断AM=BM成立；根据直线l不一定是DE的垂直平分线，则无法判断MD与ME的大小关系.21教育名师原创作品
解：∵l是AB的垂直平分线，
∴AM=BM．
由于D、E是AB上任意两点，所以MD不一定等于ME，只有当l经过DE的中点时，MD=ME．
16．AB=8,AC=6
【解析】试题分析：根据线 ( http: / / www.21cnjy.com )段垂直平分线性质求出BD=DC，根据三角形周长求出AB+AC=12cm，根据已知得出AC=AB-2cm，即可求出答案．
试题解析：
∵DE垂直平分BC,
∴BD=CD.
∴△ACD的周长=AD+AC+CD=AD+AC+BD=AB+AC=14cm.
解方程组
得
∴AC=6cm，AB=8cm.
点睛：本题考查了解二元一次方程组，线段 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直平分线性质的应用，能得出关于AB、AC的方程是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．
17．15 cm.
【解析】由点P与点A关于直线ON对称， ( http: / / www.21cnjy.com )点P与点B关于直线OM对称可得：ON垂直平分AP，OM垂直平分BP；根据垂直平分线的性质可得DA=DP，CP=CB，通过等量代换得到△PCD的周长与AB的数量关系，即可求解.【出处：21教育名师】
解：∵点P与点A关于直线ON对称，点P与点B关于直线OM对称，
∴ON垂直平分AP，OM垂直平分BP，
∴DA=DP，CP=CB，
∴△PCD的周长=PD+PC+CD=AD+DC+CB=AB=15cm.
18．第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标，理由见解析
【解析】试题分析：根据线段的垂直平分线的性质和判定定理进行解答即可．
试题解析：第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标，
∵一队战士在一条公路中点垂直射击，
∴敌军基地到这条公路与另两条公路交点的距离相等，
同理，敌军基地到第二条公路与另两条公路交点的距离相等，
∴敌军基地在第三条公路与另两条公路交点之间公路的垂直平分线上，
∴第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标。
19．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析:（1）根据AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根据E是CD的中点可求出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质即可解答．21教育网
（2）根据线段垂直平分线的性质判断出AB=BF即可．
证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E是CD的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE与△FCE中，
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∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）．
20．(1) 20°；(2) 35°；
(3)规律:∠NMB=∠A.
【解析】（1）根据等边对等角，由AB=AC可得到∠ABM=∠ACB，再结合已知∠A的度数，即可求出∠NMB的度数；21·cn·jy·com
（2）仿照第（1）问的求解过程即可得到∠NMB的度数；
（3）结合上述两问的解答，即可发现∠NMB和∠A之间的大小关系，然后仿照上述解答过程进行验证即可.
解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABM=∠ACB.
∵∠BAC=40°，∠ABM=∠ACB，
∴∠ABM=×(180°-∠BAC)=70°.
∵MN是AB的垂直平分线，∠ABM=70°，
∴∠NMB=90°-∠ABM=90°-70°=20°.
（2）与（1）同理可得∠B=×(180°-∠BAC)=55°，
∴∠NMB=90°-55°=35°.
（3）规律：在等腰△ABC中，当AB=AC，∠NMB的度数恰好为顶角∠A度数的一半，即∠NMB=∠A.理由如下：2·1·c·n·j·y
∵AB=AC，
∴∠ABM=∠ACB.
∴∠ABM= (180°-∠A)=90°-∠A.
∵∠ABM=90°-∠A，∠BNM=90°，
∴∠BMN=90°-∠ABM=∠A.
点睛：本题考查了等腰三角形的性质， ( http: / / www.21cnjy.com )线段垂直平分线的定义，三角形内角和定理的推论等知识.利用等腰三角形顶角与底角的关系及直角三角形两锐角互余并进行等量代换是解题的关键.【来源：21·世纪·教育·网】
21．（1）∠B＝35°；（2）∠CAD=10°；（3）∠CAB=54°.
【解析】试题分析：（1）根据直角三角形的性质求出∠ADC=70°，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，计算即可；2-1-c-n-j-y
（2）根据直角三角形的性质求出∠B的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB，计算即可；
（3）设∠CAD=x，根据题意列出方程，解方程即可．
试题解析：（1）∵∠C=90°，∠CAD=20°，
∴∠ADC=70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=35°，
答：∠B的度数是35°；
（2）∵∠C=90°，∠CAB=50°，
∴∠B=40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=40°，
∴∠CAD=10°；
（3）设∠CAD=x，则∠DAB=∠B=2x，
则x+2x+2x=90°，
解得x=18，
则∠CAB=54°．
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