第5章 生活中的轴对称单元检测A卷（含解析）

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第5章生活中的轴对称单元检测A卷
　班级__________姓名____________总分___________
一、选择题
1．如图,通过轴对称变换能将甲图案变成乙图案的是 ( 　)
A. B. C. D.
2．(2017·湖北恩施州中考)下列图标是轴对称图形的是(　 )
A. B. C. D.
3．如图，将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，得到的图案是( )
A. B. C. D.
4．(2017·山东东平一模)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90° ,∠A=25° ,D是AB上一点,将Rt△ABC沿CD折叠,使点B落在AC边上的点B'处,则∠CDB'等于(　)
A. 40° B. 60° C. 70° D. 80°
5．(2017·山东滨州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则∠B的大小为( 　)
A. 40° B. 36° C. 30° D. 25°
6．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 EMBED Equation.DSMT4 MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=4，AB=15，则△ABD的面积是（ ）
A. 15 B. 30 C. 45 D. 60
7．（2016湖北省黄石市）如图所示，线段AC的垂直平分线交线段AB于点D，∠A=50°，则∠BDC=（　　）
A. 50° B. 100° C. 120° D. 130°
8．如图，已知等腰三角形ABC，AB=AC．若以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，则下列结论一定正确的是（　　）
A. AE=EC B. AE=BE C. ∠EBC=∠BAC D. ∠EBC=∠ABE
9．(2016·山东德州中考)如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于 EMBED Equation.DSMT4 AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为(　 )
A. 65° B. 60° C. 55° D. 45°
10．如图,锐角三角形ABC中,直线l为BC的垂直平分线,射线m平分∠ABC,l与m相交于P点.若∠A=60°,∠ACP=24°,则∠ABP等于( 　)
A. 24° B. 30° C. 32° D. 42°
二、填空题
11．小强从镜子中看到的电子表的读数是15：01，则电子表的实际读数是______。
12．如图,在△ABC中,AD⊥BC于D点,BD=CD,若BC=6,AD=5,则图中阴影部分的面积为__________ .
13．如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6，AC=9，则△ABD的周长是_____．
14．等腰三角形的一个内角为100° ,则顶角的度数是__________ .
15．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE=1，∠E=30°，则BC= ．
16．如图,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=8.对角线BD⊥CD,P是BC边上一动点,连接PD.若∠ADB=∠C,则PD长的最小值为__________ .
三、解答题
17．已知△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，用两种不同的分割方法画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
18．如图,△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称.
(1)画出直线EF;
(2)直线MN与EF相交于点O,试探究∠BOB″与直线MN,EF所夹锐角∠α的数量关系.
19．如图，在△ABC中， EMBED Equation.DSMT4 ， 是边上的中线， 于，试说明.
20．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．
（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；
（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．
21．如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠A=36°.
(1)利用尺规作∠B的平分线BD,交AC于点D;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)判断△BCD是否为等腰三角形,并说明理由.
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A＝60°，BE＝1，求△ABC的周长．
23．如图，BD=CD，∠ABD=∠ACD=90°，点E、F分别在AB、AC上，若ED平分∠BEF．
（1）求证：FD平分∠EFC．
（2）若EF=4，AF=6，AE=5，求BE和CF的和的长．
24．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．
（1）求作∠ABC的平分线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若∠ABC的平分线分别交AD，AC于P，Q两点，证明：AP=AQ．
参考答案
1．D
【解析】试题解析：对于D，经过轴对称变换将甲图案变成乙图案，故此选项正确.
故选D.
2．C
【解析】试题解析：A.不是轴对称图形.故错误.
B. 不是轴对称图形.故错误.
C. 是轴对称图形.故正确.
D. 不是轴对称图形.故错误.
故选C.
点睛：根据轴对称的概念进行判断即可.
3．A
【解析】试题分析：由题意可根据折叠的性质用排除法分析解答。
在对折后的三角形的三个角上各挖去一个洞，展开后会得到6个洞，排除了C、D；
在三角形的角上挖洞，展开后洞肯定还是在角上，排除了A；故选B．
考点：本题考查的是折叠的性质
点评：解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质．也可自己动手，亲自实践一下，由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解结合实际操作解题
4．C
【解析】试题解析：∵在Rt△ACB中, EMBED Equation.DSMT4
∵△B′CD由△BCD翻折而成，
故选C.
5．B
【解析】试题解析：
又
故选B.
点睛：等腰三角形的性质：等边对等角.
6．B
【解析】试题分析：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，又∵∠C=90°，∴DE=CD，∴△ABD的面积=AB DE=×15×4=30．故选B．
7．B
【解析】试题解析：∵DE是线段AC的垂直平分线，∴DA=DC，∴∠DCA=∠A=50°，∴∠BDC=∠DCA+∠A=100°，故选B．
8．C
【解析】试题分析：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵以点B为圆心，BC长为半径画弧，交腰AC于点E，∴BE=BC，∴∠ACB=∠BEC，∴∠BEC=∠ABC=∠ACB，∴∠A=∠EBC，故选C．
9．A
【解析】由题意可得：MN是AC的垂直平分线，
则AD=DC，故∠C=∠DAC，
∵∠C=30°，
∴∠DAC=30°，
∵∠B=55°，
∴∠BAC=95°，
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=65°，
故选A．
10．C
【解析】试题解析：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP=CP，
∴∠CBP=∠BCP，
∴∠ABP=∠CBP=∠BCP，
解得：
故选C.
11．10：51
【解析】由镜面对称的特点可知：该电子表的实际读数是：10：51.
故答案为：10：51.
12．7.5
【解析】试题解析：根据题意,阴影部分的面积为三角形面积的一半,
阴影部分面积为：
故答案为：
13．15
【解析】∵DE是BC的垂直平分线，
∴DB=DC，
∴△ABD的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=15，
故答案为：15．
14．100o
【解析】试题解析：
的角是顶角，
故答案为：
15．2.
【解析】试题分析：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，BA=BC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠E=30°，BD⊥AC，
∴∠BDC=90°，
∴BC=2DC，
∵∠ACB=∠E+∠CDE，
∴∠CDE=∠E=30°，
∴CD=CE=1，
∴BC=2CD=2，
故答案为2
16．8
【解析】试题解析：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小,
∵BD⊥CD,即∠BDC=又∠A=
∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，
∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，
∴AD=DP，又AD=8，
∴DP=8.
故答案为：8.
点睛：角平分线上的点到角两边的距离相等.
17．见解析
【解析】
试题分析：由题意得，可以从直角顶点A处剪也可从顶点B处剪，故应该分两种情况剪．
解：
18．（1）见解析；（2）∠BOB″=2∠α
【解析】试题分析：（1）找到并连接关键点，作出关键点的连线的垂直平分线；
（2）根据对称找到相等的角，然后进行推理．
试题解析：(1)如图,连接B'B″,作线段B'B″的垂直平分线EF,则直线EF是△A'B'C'和△A″B″C″的对称轴.
(2)连接B'O.
因为△ABC和△A'B'C'关于直线MN对称,
所以∠BOM=∠B'OM.
又因为△A'B'C'和△A″B″C″关于直线EF对称,
所以∠B'OE=∠B″OE.
所以∠BOB″=∠BOM+∠B'OM+∠B'OE+∠B″OE=2(∠B'OM+∠B'OE)=2∠α,
即∠BOB″=2∠α.
19．详见解析.
【解析】试题分析：利用三线合一，得到再利用已知垂直，三角形互余可证明.
试题解析：
证明：∵， 是边上的中线，
∴， ，
又∵，
∴，
∴，
∴．
20．（1）∠ABE＝∠ACD，理由见解析；（2）证明见解析
【解析】试题分析：（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；
（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．
解：（1）∠ABE=∠ACD；
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD；
（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
由（1）可知∠ABE=∠ACD，
∴∠FBC=∠FCB，
∴FB=FC，
∵AB=AC，
∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，
即直线AF垂直平分线段BC．
点睛：本题考查了等腰三角形的性质及垂直平分线段的性质的知识，解题的关键是能够从题目中整理出全等三角形，难度不大．
21．(1)见解析；（2）△BCD是等腰三角形.理由见解析
【解析】试题分析：（1）首先以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交两点，然后以这两个交点为圆心，大于两个交点之间的距离的一半为半径画弧，两弧的交点为P，最后画射线即可求解；
（2）由 求出的度数，能求出度数，即可求出．
试题解析： 如图所示.
(2)△BCD是等腰三角形.理由如下:
因为AB=AC,∠A=36°,
所以∠ABC=∠C=72°.
因为BD平分∠ABC,
所以
所以∠BDC=∠C=72°.
所以BC=BD.
所以是等腰三角形.
22．（1）证明见解析；（2）△ABC的周长为12.
【解析】试题分析：（1）利用等腰三角形的两个底角相等、全等三角形的判定定理ASA证得△BED≌△CFD；
（2）首先证得△ABC为等边三角形，然后由等边三角形的性质、直角△BED中“30°角所对的直角边是斜边的一半”求得BD=2BE，则△ABC的周长=3BC．
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°.∵D是BC的中点，∴BD＝CD∴△BED≌△CFD(AAS)．
(2)解：∵AB＝AC，∠A＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠B＝60°.又∵DE⊥AB，∴∠EDB＝30°，∴BD＝2BE＝2，∴BC＝2BD＝4，∴△ABC的周长为AB＋BC＋CD＝3BC＝12.
23．（1）证明见解析；（2）4．
【解析】试题分析：（1）过D作DM⊥EF，已知ED平分∠BEF，根据角平分线的性质定理可得BD=DM，又因BD=CD，可得DC=DM，根据角平分线的判定定理即可得FD平分∠EFC；（2）因为ED平分∠BEF，即可得∠BDE=∠MDE，利用SAS即可判定△BDE≌△MDE，根据全等三角形的性质即可得EB=EM，同理即可证得CF=MF，根据EF=BE+CF即可求得EF的长．
试题解析：
证明：（1）过D作DM⊥EF，
∵ED平分∠BEF，
∴BD=DM，
∵BD=CD，
∴DC=DM，
∴FD平分∠EFC；
（2）∵ED平分∠BEF，
∴∠BDE=∠MDE，
在△BDE和△MDE中，，
∴△BDE≌△MDE（SAS），
∴EB=EM，
同理CF=MF，
∴EF=BE+CF=4．
点睛：本题考查了角平分线的性质定理及判定定理、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
24．(1)(2)见解析
【解析】试题分析：（1）作出角平分线BQ即可．
（2）根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，据此可得出结论．
试题解析：解：（1）BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．
（2）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠BPD+∠PBD=90°．
∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°．
∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP．
∵∠BPD=∠APQ，∴∠APQ=∠AQP，∴AP=AQ．
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