第5章 生活中的轴对称单元检测B卷（含解析）

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第5章生活中的轴对称单元检测B卷
　班级__________姓名____________总分___________
一、选择题
1．观察下列平面图形：其中属于轴对称图形的有( )
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A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．下列说法正确的是( )
A. 两个全等的三角形一定关于某条直线对称
B. 关于某条直线的对称的两个三角形一定全等
C. 直角三角形是轴对称图形
D. 锐角三角形都是轴对称图形
3．下列说法中正确的有( )
①角的两边关于角平分线对称; ②两点关于连结它的线段的中垂线对称
③成轴对称的两个三角形的对应点,或对应线段,或对应角也分别成轴对称
④到直线l距离相等的点关于l对称
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
4．已知互不平行的两条线段AB，CD关于 ( http: / / www.21cnjy.com )直线l对称，AB，CD所在直线交于点P，下列结论中：①AB=CD；②点P在直线l上； ③若A、C是对称点，则l垂直平分线段AC； ④若B、D是对称点，则PB=PD.其中正确的结论有( )21教育网
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5．△ABC中，AB＝AC，点D与顶点A在直线BC同侧，且BD＝AD．则BD与CD的大小关系为( )
A. BD＞CD B. BD＝CD C. BD＜CD D. BD与CD大小关系无法确定
6．将一个正方形纸片依次按图a，图b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，最后将图d的纸再展开铺平，所看到的图案是（　　）www-2-1-cnjy-com
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A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
7．如图，在△ABC中，P，Q分别是BC， ( http: / / www.21cnjy.com )AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，则这四个结论中正确的有( )【出处：21教育名师】
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①PA平分∠BAC；②AS＝AR；③QP∥AR；④△BRP≌△CSP.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
8．如图，已知四边形ABCD中，AD∥BC ( http: / / www.21cnjy.com )，AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，它们的交点P在线段CD上，下面的结论：①AP⊥BP；②点P到直线AD，BC的距离相等；③PD＝PC.其中正确的结论有( )21*cnjy*com
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A. ①②③ B. ①② C. ① D. ②
9．如图， 中， ,, 的平分线与的垂直平分线交于点,将沿 (在上, 在上)折叠，点与点恰好重合，则的度数是（ ）
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A. B. C. D.
10．如图，已知AC﹣BC=3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（　　）21*cnjy*com
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A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
二、填空题
11．线段是轴对称图形，它有____________条对称轴．
12．如图，△ABC中，A ( http: / / www.21cnjy.com )C=10，AB=12，△ABC的面积为48，AD平分∠BAC，F，E分别为AC，AD上两动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为_________.
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13．如图，已知∠BAC＝130°，AB＝AC，AC的垂直平分线交BC于点D，则∠ADB＝____．
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14．如图，在△ABC中，AD是∠BA ( http: / / www.21cnjy.com )C的角平分线，AB＝6 cm，AC＝8 cm，则S△ABD∶S△ACD＝ ____________，BD∶CD＝ _______.
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15．如图，在△ABC中，AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠C＝60°，BD＝CE，AD与BE相交于点F，则∠AFE＝______.
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16．如图，△ABC中，∠BAC=75°，BC=7，△ABC的面积为14，D为 BC边上一动点
（不与B，C重合），将△ABD和△ACD分别沿直线AB，AC翻折得到△ABE与△ACF，那么
△AEF的面积最小值为_______________．
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三、解答题
17．如图，A与A′关于直线MN对 ( http: / / www.21cnjy.com )称，P是BA′与MN的交点.若P1为直线MN上任意一点（不与P重合），连结AP1、BP1，试说明 AP1+BP1>AP+BP.
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18．如图所示，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点D，DE垂直平分AC，垂足为点E，∠BAD=29°，求∠B的度数．
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19．如图，O为码头，A、B两个灯塔与码头O的距离相等，OA，OB为海岸线，一轮船P离开码头，计划沿∠AOB的平分线航行．
（1）用尺规作出轮船的预定航线OC；
（2）在航行途中，轮船P始终保持与灯塔A、B的距离相等，试问轮船航行时是否偏离了预定航线？请说明理由．
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20．如图，已知：AD平分∠CAE，AD∥BC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE等于多少度时△ABC是等边三角形？证明你的结论．
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21．（1）如图，在“4×4”正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形网格中，已有2个小正方形被涂黑．请你分别在下面2张图中再将若干个空白的小正方形涂黑，使得涂黑的图形成为轴对称图形．（图（1）要求只有1条对称轴，图（2）要求只有2条对称轴）．
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（只有1条对称轴） （只有2条对称轴）
图⑴ 图⑵
⑵如图，A、B为直线MN外两点，且到MN的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离不相等．分别在MN上求一点P，并满足如下条件：①在图⑶中求一点P使得PA+PB最小； ②在图⑷中求一点P使得｜PA－PB｜最大．
（不写作法，保留作图痕迹）
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22．如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．
求证：①AB=AD；
②CD平分∠ACE．
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23．如图， 中， 的平分线与的垂直平分线相交于点．
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（）请你利用尺规作图作出点．
（）过点作于， 于，若， ，则__________．
24．如图，已知Rt△AB ( http: / / www.21cnjy.com )C中，∠C=90°，∠BAC=30°，点D为边BC上的点，连接AD，∠BAD=α，点D关于AB的对称点为E，点E关于AC的对称点为G，线段EG交AB于点F，连接AE，DE，DG，AG.21教育名师原创作品
（1）依题意补全图形；
（2）求∠AGE的度数（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段EG与EF，AF之间的数量关系，并说明理由.
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参考答案
1．C
【解析】根据轴对称图形的定义可知，前三个图形分别有5条、5条、3条对称轴，最后一个图形三角形内的图案没有对称轴.21世纪教育网版权所有
故选C.
点睛:本题考查了轴对称图 ( http: / / www.21cnjy.com )形的识别.在平面内，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形.21cnjy.com
2．B
【解析】A.根据轴对称的定义，全等三角形不一定关于某直线对称，故错误；
B. 根据轴对称的性质,关于某条直线的对称的两个三角形一定全等,故正确;
C.直角三角形中，等腰直角三角形是轴对称图形，其它一般的直角三角形不是，故错误；
D.锐角三角形不一定是轴对称图形，如三个角分别是50°、60°、70°的三角形就不是轴对称图形，故错误.21·cn·jy·com
故选B.
3．B
【解析】①∵应该为角的两边关于“角平分线所在直线”对称,故不正确;
②“两点关于连结它的线段的中垂线对称”正确；
③“成轴对称的两个三角形的对应点,或对应线段,或对应角也分别成轴对称”正确；
④∵到直线l距离相等的点可以在l的同一侧,故不正确；
∴②和③正确.
故选B.
4．D
【解析】由抽对称的性质知，①②③④都正确.
故选D.
5．D
【解析】如下图，应该有三种情况：(1) BD＞CD，(2) BD＝CD ，3) BD＜CD.
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故选D
点睛：本题关键是考虑到，把点D放在线段AD的垂直平分线上，通过运动来研究BD与CD的大小关系，这样就不会出错了.【来源：21cnj*y.co*m】
6．D
【解析】因为两条对称轴互相垂直平分且四边相等的四边形是菱形，所以折纸左下角剪后便是菱形，在折纸中心，半圆左右对称，图案d符合题意
故：选D
7．B
【解析】①PA平分∠BAC，∵PR⊥A ( http: / / www.21cnjy.com )B，PS⊥AC，PR=PS，AP=AP，∴△APR≌△APS，∴∠PAR=∠PAS，∴PA平分∠BAC，故①正确；②由①中的全等也可得AS=AR，故②正确；③∵AQ=PQ，∴∠1=∠APQ，又∵PA平分∠BAC，∴∠BAP=∠1，∴∠APQ=∠BAP，∴PQ∥AR，故③正确；④∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠CSP，∵PR=PS，∴△BRP不一定全等与△CSP（只具备一角一边的两三角形不一定全等），故④错误，
故选B．
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【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；做题时利用了平行线的判定、等边对等角、三角形外角的性质，要熟练掌握这些知识并能灵活应用．
8．A
【解析】作PE⊥AD交AD的延长线于E，PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，
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∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AP平分∠DAB，BP平分∠ABC，
∴∠PAB=∠DAB,∠PBA=∠ABC，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴∠APB=90°，即AP⊥BP，①正确；
∵AP平分∠DAB，PE⊥AD，PG⊥AB，
∴PE=PG，
同理，PF=PG，
∴PE=PF，即点P到直线AD、BC的距离相等，②正确；
由题意得,△DPE≌△CPF，
∴PD=PC，③正确，
故选：A.
点睛：本题考查的是角平分线的定义和性质以及平行线的性质，掌握角平分线上的点到角的两边距离相等时解题的关键.
9．B
【解析】试题分析：如图，连接OB、OC，
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∵∠BAC＝54°，AO为∠BAC的平分线，
∴∠BAO＝∠BAC＝×54°＝27°，
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝ (180°－∠BAC)＝ (180°－54°)＝63°，
∵DO是AB的垂直平分线，
∴OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝27°，
∴∠OBC＝∠ABC－∠ABO＝63°－27°＝36°，
∵AO为∠BAC的平分线，AB＝AC，
∴OB＝OC，
∴点O在BC的垂直平分线上，
又∵DO是AB的垂直平分线，
∴点O是△ABC的外心，
∴∠OCB＝∠OBC＝36°，
∵将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE＝CE，
∴∠COE＝∠OCB＝36°，
在△OCE中，∠OEC＝180°－∠COE－∠OCB＝180°－36°－36°＝108°，
故选：B．
点睛：本题考查了线段垂直平分线上的点到 ( http: / / www.21cnjy.com )线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键．www.21-cn-jy.com
10．D
【解析】∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=15，
∵AC﹣BC=3，
∴AC=9，BC=6．
故选D．
点睛：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质并求出△BCE的周长=AC+BC是解题的关键．【来源：21·世纪·教育·网】
11．2
【解析】根据轴对称图形的概念，知线段有2条对称轴，即线段所在的直线和线段的垂直平分线．故答案为：2.
12．8
【解析】试题分析：作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，
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∵AD平分∠CAB，△ABC为锐角三角形，
∴M必在AC上，
∵F关于AD的对称点为M，
∴ME＝EF，
∴EF＋EC＝EM＋EC，
即EM＋EC＝MC≥PC（垂线段最短），
∵△ABC的面积是48，AB＝12，
∴×12×PC＝48，
∴PC＝8，
即CE＋EF的最小值为8．
故答案为：8．
点睛：本题考查了最短路线问题，关键是画出符合条件的图形，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
13．50°
【解析】∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠C=∠CAD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△ABC中，∠ABC+∠B+∠C=180°，∠BAC=130°，
∴130°+2∠C=180°，
∴∠C=25°，
∴∠ADB=∠CAD+∠C=25°+25°=50°，
故答案为：50°．
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14． 3∶4, 3∶4
【解析】∵AD是∠BAC的角平分线，
∴点D到AB、AC的距离相等，
∴S△ABD:S△ACD=6:8=3:4，
过A作AE⊥BC于E，
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∴S△ABD=BD AE,S△ACD=CD AE，
∴BD:CD=S△ABD:S△ACD=3:4.
故答案为：3:4.3:4.
15．60°
【解析】∵AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°.
∵AB=BC，∠DBA=∠ECB=60°，BD=CE，
∴△BCE≌△ABD，
∴∠BAD=∠CBE，
∴∠AFE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°，
∴∠AFE=60°.
16．4
【解析】试题解析：根据折叠的性质可知：
当最小时， 的面积取得最小值，
即当时， 的面积取得最小值，
解得：
过点作交的延长线于点
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故答案为：
17．见解析
【解析】试题分析：由三角形三条边的关系可得A′P1+BP1>A′B，再由轴对称的性质可得AP1=A′P1，然后通过等量代换可证明结论.21·世纪*教育网
解：如图，连结AP1，则在△A′P1B中，有A′P1+BP1>A′B
∴A′P1+BP1>A′P+PB
∵A与A′关于直线MN对称，
∴AP1与A′P1关于直线MN对称
∴AP1=A′P1
同理可得：AP=A′P
∴AP1+BP1>AP+BP
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点睛：本题考查了三角形三条边的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )，轴对称的性质.此题的关键是熟练运用轴对称的性质，把四条线段，转换成三条，再利用三角形的三边关系找到突破口.2-1-c-n-j-y
18．93°
【解析】试题分析：已知AD平分∠BAC， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAD=29°，根据角平分线的定义可得∠BAC=58°；再由DE垂直平分AC，根据线段垂直平分线的性质定理可得AD=DC，根据等腰三角形的性质可得∠DAE=∠DCA=29°，在△ABC中，根据三角形的内角和定理即可求得∠B=93°．
试题解析：
∵AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠DAE，
∵∠BAD=29°，
∴∠DAE=29°，
∴∠BAC=58°，
∵DE垂直平分AC，
∴AD=DC，
∴∠DAE=∠DCA=29°，
∵∠BAC+∠C+∠B=180°，
∴∠B=93°．
19．（1）见解析；（2）没有偏离预定航行，理由见解析
【解析】试题分析：（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的图形；
（2）利用全等三角形的判定与性质得出答案．【版权所有：21教育】
试题解析：(1)如图所示：OC即为所求，
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(2)没有偏离预定航线，
理由如下：
在△AOP与△BOP中，
EMBED Equation.DSMT4
∴△AOP≌△BOP(SSS).
∴∠AOC=∠BOC，
即点C在∠AOB的平分线上.
20．（1）证明见解析；（2）当∠CAE=120°时，△ABC是等边三角形，证明见解析.
【解析】试题分析：
（1）由已知条件易得∠EAD=∠CA ( http: / / www.21cnjy.com )D，∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，从而可得∠B=∠C，进一步可得AB=AC，由此即可得到△ABC是等腰三角形；
（2）由（1）可知△ABC是等腰三角形，因此当∠BAC=60°，即∠CAE=120°时，△ABC是等边三角形.
试题解析：
（1）∵AD平分∠CAE，
∴∠EAD=∠CAD，
∵AD∥BC，
∴∠EAD=∠B，∠CAD=∠C，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC．
故△ABC是等腰三角形．
（2）当∠CAE=120°时，△ABC是等边三角形，理由如下：
∵∠CAE=120°，
∴∠BAC=180°-∠CAE=180°-120°=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC是等边三角形．
21．见解析
【解析】试题分析：
(1) 对于图(1)，先选择一条直线作 ( http: / / www.21cnjy.com )为待作图形的对称轴，再将已有图形按所选择的对称轴作轴对称，若所得图形只有一条对称轴，则可按该图形填涂空白方格，若所得图形存在不只一条对称轴，则重新选择对称轴尝试. 对于图(2)，可以先分析原有图形的对称轴，再以原有图形的对称轴为参照，观察方格添加的位置是否引起原图形对称轴数量的变化，从而确定图形形状.2·1·c·n·j·y
(2) 对于图(3)，这一类型 ( http: / / www.21cnjy.com )题目的作法是利用轴对称的性质和三角形三边关系中的“两边之和大于第三边”得到的. 首先，作出点B关于直线MN的对称点B'；然后，连接点B'与点A，所得线段AB'与直线MN的交点即为所求点P. 对于图(4)，这一类型题目的作法是利用轴对称的性质和三角形三边关系中的“两边之差小于第三边”得到的. 首先，作出点B关于直线MN的对称点B'；然后，连接点B'与点A，并延长所得线段AB'至与直线MN相交，此交点即为所求点P.
试题解析：
(1) 如图所示：
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(2) 如图所示，点P即为所求：
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(注：图中给出了一种尺规作图的解法. 在题目中无明确要求的前提下，也可以使用三角板等工具进行相关的轴对称作图.)
点睛：
本题的第(1)小题考查了利用轴对称性质 ( http: / / www.21cnjy.com )进行图案设计的相关知识，重点在于能否准确地找到所设计图案的全部对称轴. 本题的第(2)小题是一个重点题目，这两种问题的作图解法可以灵活整合到多种类型题目中. 要对这两种问题的解法熟练掌握，对其推理过程也要充分了解.
22．详见解析.
【解析】(1)∵AD∥BE，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD；
（2）∵AD∥BE，
∴∠ADC=∠DCE，
由①知AB=AD，
又∵AB=AC，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∴∠ACD=∠DCE，
∴CD平分∠ACE；
点睛：角平分线问题的辅助线添加及其解题模型.
①垂两边：如图（1），已知平分，过点作， ，则.
②截两边：如图（2），已知平分，点 上，在上截取，则≌.
③角平分线+平行线→等腰三角形：
如图（3），已知平分， ，则；
如图（4），已知平分， ，则.
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(1) (2) (3) (4)
④三线合一（利用角平分线+垂线→等腰三角形）：
如图（5），已知平分，且，则， .
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(5)
23．1.5
【解析】试题分析：（1）先作角平分线，再作直线垂直平分线.(2)先利用HL证明,所以BE=CF,所以可以得到BE与已知两的关系，从而求得BE长.
试题解析：
（）如图：
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（）解：连接， ，
∵为的平分线， ， ，
∴， ，
∴，
∴，
∵为的垂直平分线，
∴，
∴≌，
∴，
∴．
∵， ，
∴．
24．（1）见解析；（2）60°－α；（3）见解析
【解析】试题分析：根据题意补全图形即可.
根据轴对称的性质得：AE=AG=AD. ∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α，
∠EAG=2∠EAC=60°+2α，根据等腰三角形的性质，即可求出∠AGE的度数.
设AC交EG于点H根据∠BAC=30°，∠AHF=90°，得到
又因点E，G关于AC对称EG=2EH
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试题解析：
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（2）由轴对称性可知，AB为ED的垂直平分线，AC为EG的垂直平分线.
∴AE=AG=AD.
∴∠AEG=∠AGE，∠BAE=∠BAD=α,
∴∠EAC=∠BAC+∠BAE=30°+α,
∴∠EAG=2∠EAC=60°+2α,
∴
或：∠AGE=∠AEG=90°－∠EAC=90°－（∠BAC+∠EAB）=90°－（30°+α）=60°－α,
（3）EG=2EF+AF,
法1：设AC交EG于点H,
∵∠BAC=30°，∠AHF=90°,
∴
又∵点E，G关于AC对称,
∴EG=2EH,
∴
法2：在FG上截取NG=EF，连接AN.
又∵AE=AG，
∴∠AEG=∠AGE,
∴△AEF≌△AGN,
∴AF=AN,
∵∠EAF=α，∠AEG=60°－α,
∴∠AFN=60°,
∴△AFN为等边三角形,
∴AF=FN,
∴EG=EF+FN+NG=2EF+AF.
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