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新北师大版八下数学《第4章 因式分解》
单元测试卷
温馨提示：本卷满分100分，考试时间120分钟
一、选择题（共12小题，每小题3分，计36分）
1．下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3=x（x﹣2）﹣3 B．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4
C．（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3 D．x2﹣2x﹣3=（x+1）（x﹣3）
2．多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是（ ）
A．a+3 B．a﹣3 C．a+1 D．a﹣1
3．下列多项式中，含有因式（y+1）的多项式是（ ）
A．y2﹣2xy﹣3x2 B．（y+1）2﹣（y﹣1）2
C．（y+1）2﹣（y2﹣1） D．（y+1）2+2（y+1）+1
4．下面运算正确的是（ ）
A．3ab+3ac=6abc B．4a2b﹣4b2a=0 C．2x2+7x2=9x4 D．3y2﹣2y2=y2
5．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（ ）
A．4 B．0 C．﹣3 D．﹣4
6．边长为a，b的长方形周长为12，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ）
A．120 B．60 C．80 D．40
7．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣2 B．x2+1 C．x2﹣4x+4 D．x2+4x+1
8．若代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，那么m的值是（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．16
9．把x2﹣4x+c分解因式得：x2﹣4x+c=（x﹣1）（x﹣3），则c的值为（ ）
A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4
10．下列多项式中，在实数范围内能进行因式分解的是（ ）
A．a﹣1 B．a2﹣1 C．x2﹣4y D．a2+1
11．对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（ ）
A．（a2﹣c2）+（﹣2ab+b2） B．（a2﹣2ab+b2）﹣c2
C．a2+（﹣2ab+b2﹣c2） D．（a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）
12．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华
二．填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
13．对多项式24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是 ．
14．分解因式：ax2﹣2axy+ay2= ．
15．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 ．21·cn·jy·com
16．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．
（1）二次项系数2=1×2；
（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；
1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5www.21-cn-jy.com
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12= ． 2·1·c·n·j·y
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．（6分）分解因式：（x+1）3﹣4（x+1）
18．（6分）在实数范围内分解因式：9a2﹣5．
19．（6分）已知：A=3x2﹣12，B=5x2y3+10xy3，C=（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
20．（6分）已知x+y=6，xy=4，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2
（2）x2+y2
21．（6分）先阅读以下材料，然后解答问题．
分解因式mx+nx+my+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）这种分解因式的方法称为分组分组法．请用分组分解法分解因式：
a2﹣b2+a2b﹣ab2．
22．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题；
例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．
23．（8分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 （填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？ ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 ．21世纪教育网版权所有
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
24．（8分）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）21教育网
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ；
（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．21cnjy.com
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新北师大版八下数学《第4章 因式分解》
单元测试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，计36分）
1．下列式子变形是因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣3=x（x﹣2）﹣3 B．x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4
C．（x+1）（x﹣3）=x2﹣2x﹣3 D．x2﹣2x﹣3=（x+1）（x﹣3）
解：A、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；
B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B错误；
C、是整式的乘法，故C次错误；
D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；
故选：D．
2．多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是（ ）
A．a+3 B．a﹣3 C．a+1 D．a﹣1
解：a2﹣9=（a﹣3）（a+3），
a2﹣3a=a（a﹣3），
故多项式a2﹣9与a2﹣3a的公因式是：a﹣3，
故选：B．
3．下列多项式中，含有因式（y+1）的多项式是（ ）
A．y2﹣2xy﹣3x2 B．（y+1）2﹣（y﹣1）2
C．（y+1）2﹣（y2﹣1） D．（y+1）2+2（y+1）+1
解：A、y2﹣2xy﹣3x2=（y﹣3x）（y+x），故不含因式（y+1）．
B、（y+1）2﹣（y﹣1）2=[（y+1）﹣（y﹣1）][（y+1）+（y﹣1）]=4y，故不含因式（y+1）．www.21-cn-jy.com
C、（y+1）2﹣（y2﹣1）=（y+1）2﹣（y+1）（y﹣1）=2（y+1），故含因式（y+1）．
D、（y+1）2+2（y+1）+1=（y+2）2，故不含因式（y+1）．
故选：C．
4．下面运算正确的是（ ）
A．3ab+3ac=6abc B．4a2b﹣4b2a=0 C．2x2+7x2=9x4 D．3y2﹣2y2=y2
解：A、3ab+3ac无法合并，故此选项错误；
B、4a2b﹣4b2a，无法合并，故此选项错误；
C、2x2+7x2=9x2，故此选项错误；
D、3y2﹣2y2=y2，故此选项正确；
故选：D．
5．当a，b互为相反数时，代数式a2+ab﹣4的值为（ ）
A．4 B．0 C．﹣3 D．﹣4
解：∵a，b互为相反数，
∴a+b=0，
∴a2+ab﹣4=a（a+b）﹣4
=0﹣4
=﹣4．
故选：D．
6．边长为a，b的长方形周长为12，面积为10，则a2b+ab2的值为（ ）
A．120 B．60 C．80 D．40
解：∵边长为a，b的长方形周长为12，面积为10，
∴a+b=6，ab=10，
则a2b+ab2=ab（a+b）=10×6=60．
故选：B．
7．下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣2x﹣2 B．x2+1 C．x2﹣4x+4 D．x2+4x+1
解：由完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2
x2﹣4x+4=（x﹣2）2
故选：C．
8．若代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，那么m的值是（ ）
A．4 B．8 C．±4 D．16
解：∵代数式x2+4x+m通过变形可以写成（x+n）2的形式，
∴x2+4x+4=（x+2）2，
则m=4．
故选：A．
9．把x2﹣4x+c分解因式得：x2﹣4x+c=（x﹣1）（x﹣3），则c的值为（ ）
A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4
解：（x﹣1）（x﹣3）=x2﹣4x+3
∴c=3
故选：A．
10．下列多项式中，在实数范围内能进行因式分解的是（ ）
A．a﹣1 B．a2﹣1 C．x2﹣4y D．a2+1
解：A、a﹣1不能分解，不符合题意；
B、原式=（a+1）（a﹣1），符合题意；
C、原式不能分解，不符合题意；
D、原式不能分解，不符合题意，
故选：B．
11．对于a2﹣2ab+b2﹣c2的分组中，分组正确的是（ ）
A．（a2﹣c2）+（﹣2ab+b2） B．（a2﹣2ab+b2）﹣c2
C．a2+（﹣2ab+b2﹣c2） D．（a2+b2）+（﹣2ab﹣c2）
解：a2﹣2ab+b2﹣c2=（a2﹣2ab+b2）﹣c2=（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c）．
故选：B．
12．小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a﹣b，x﹣y，x+y，a+b，x2﹣y2，a2﹣b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将（x2﹣y2）a2﹣（x2﹣y2）b2因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．我爱美 B．中华游 C．爱我中华 D．美我中华
解：原式=（x2﹣y2）（a2﹣b2）=（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）
由条件可知，（x﹣y）（x+y）（a﹣b）（a+b）可表示为“爱我中华”
故选：C．
二．填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
13．对多项式24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是 8ab ．
解：24ab2﹣32a2bc进行因式分解时提出的公因式是 8ab，
故答案为：8ab．
14．分解因式：ax2﹣2axy+ay2= a（x﹣y）2 ．
解：ax2﹣2axy+ay2，
=a（x2﹣2xy+y2），
=a（x﹣y）2．
故答案为：a（x﹣y）2．
15．观察图形，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 a2+2ab+b2=（a+b）2 ．2·1·c·n·j·y
解：首先用分割法来计算，即a2+2ab+b2；再用整体计算即为（a+b）2．
因此a2+2ab+b2=（a+b）2．
16．阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法．
（1）二次项系数2=1×2；
（2）常数项﹣3=﹣1×3=1×（﹣3），验算：“交叉相乘之和”；
1×3+2×（﹣1）=1 1×（﹣1）+2×3=5 1×（﹣3）+2×1=﹣1 1×1+2×（﹣3）=﹣5【来源：21·世纪·教育·网】
（3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果1×（﹣3）+2×1=﹣1，等于一次项系数﹣1．
即：（x+1）（2x﹣3）=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3，则2x2﹣x﹣3=（x+1）（2x﹣3）．
像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．仿照以上方法，分解因式：3x2+5x﹣12= （x+3）（3x﹣4） ．
解：3x2+5x﹣12=（x+3）（3x﹣4）．
故答案为：（x+3）（3x﹣4）
三．解答题（共8小题，满分52分）
17．（6分）分解因式：（x+1）3﹣4（x+1）
解：（x+1）3﹣4（x+1）
=（x+1）[（x+1）2﹣4]
=（x+1）（x+1+2）（x+1﹣2）
=（x+1）（x+3）（x﹣1）．
18．（6分）在实数范围内分解因式：9a2﹣5．
解：原式=（3a+）（3a﹣）．
19．（6分）已知：A=3x2﹣12，B=5x2y3+10xy3，C=（x+1）（x+3）+1，问多项式A、B、C是否有公因式？若有，求出其公因式；若没有，请说明理由．
解：多项式A、B、C有公因式．
∵A=3x2﹣12=3（x2﹣4）=3（x+2）（x﹣2），
B=5x2y3+10xy3=5xy3（x+2），
C=（x+1）（x+3）+1=x2+4x+3+1=x2+4x+4=（x+2）2．
∴多项式A、B、C的公因式是：x+2．
20．（6分）已知x+y=6，xy=4，求下列各式的值：
（1）x2y+xy2
（2）x2+y2
解：（1）当x+y=6、xy=4时，
原式=xy（x+y）=4×6=24；
（2）当x+y=6、xy=4时，
原式=（x+y）2﹣2xy
=62﹣2×4
=36﹣8
=28．
21．（6分）先阅读以下材料，然后解答问题．
分解因式mx+nx+my+ny=（mx+nx）+（my+ny）=x（m+n）+y（m+n）=（m+n）（x+y）这种分解因式的方法称为分组分组法．请用分组分解法分解因式a2﹣b2+a2b﹣ab2．21·cn·jy·com
解：原式=（a2﹣b2）+（a2b﹣ab2）
=（a+b）（a﹣b）+ab（a﹣b）
=（a﹣b）（a+b+ab）
22．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题；
例题，已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）
则x2﹣4x+m=x2+（n+3）x+3n
∴
解得：n=﹣7，m=﹣21
∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21
问题：仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式3x2+5x﹣m有一个因式是（3x﹣1），求另一个因式以及m的值．
解：设另一个因式为（x+n），得3x2+5x﹣m=（3x﹣1）（x+n），
则3x2+5x﹣m=3x2+（3n﹣1）x﹣n，
∴，
解得：n=2，m=2，
∴另一个因式为（x+2），m的值为2．
23．（8分）下面是某同学对多项式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4进行因式分解的过程
解：设x2﹣4x=y，
原式=（y+2）（y+6）+4 （第一步）
=y2+8y+16 （第二步）
=（y+4）2（第三步）
=（x2﹣4x+4）2（第四步）
（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的 C （填序号）．
A．提取公因式 B．平方差公式
C．两数和的完全平方公式 D．两数差的完全平方公式
（2）该同学在第四步将y用所设中的x的代数式代换，得到因式分解的最后结果．这个结果是否分解到最后？ 否 ．（填“是”或“否”）如果否，直接写出最后的结果 （x﹣2）4 ．21世纪教育网版权所有
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1进行因式分解．
解：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式；
故选：C；
（2）这个结果没有分解到最后，
原式=（x2﹣4x+4）2=（x﹣2）4；
故答案为：否，（x﹣2）4；
（3）（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1
=（x2﹣2x）2+2（x2﹣2x）+1
=（x2﹣2x+1）2
=（x﹣1）4．
24．（8分）如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小矩形，且m＞n．（以上长度单位：cm）21教育网
（1）观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 （m+2n）（2m+n） ；
（2）若每块小矩形的面积为10cm2，四个正方形的面积和为58cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．21cnjy.com
（2）依题意得，2m2+2n2=58，mn=10，
∴m2+n2=29，
∵（m+n）2=m2+2mn+n2，
∴（m+n）2=29+20=49，
∵m+n＞0，
∴m+n=7，
∴．图中所有裁剪线（虚线部分）长之和为42cm．
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