思想方法专题：勾股定理中的思想方法
类型一 分类讨论思想
一、直角边与斜边不明需分类讨论
1．一直角三角形的三边长分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为【易错3】( )
A．13 B．5
C．13或5 D．4
2．直角三角形的两边长是6和8，则这个三角形的面积是____________．
二、锐角或钝角三角形形状不明需分类讨论
3．★(2016·东营中考)在△ABC中，AB＝10，AC＝2，BC边上的高AD＝6，则BC的长为【易错4】( )21·世纪*教育网
A．10 B．8
C．6或10 D．8或10
4．在等腰△ABC中，已知AB＝AC＝5，△ABC的面积为10，则BC＝____________．【易错4】www-2-1-cnjy-com
类型二 方程思想
一、实际问题中结合勾股定理列方程求线段长
如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为________．
二、折叠问题中结合勾股定理列方程求线段长
6．如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．【方法4】21教育网
三、利用公共边相等结合勾股定理列方程求线段长
7．(2016·益阳中考)如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．21·cn·jy·com
类型三 利用转化思想求最值
(2017·涪陵区期末)一只蚂蚁从棱长为4cm的正方体纸箱的A点沿纸箱外表面爬到B点，那么它的最短路线的长是________cm.【方法5】2·1·c·n·j·y
9．如图，A，B两个村在河CD的同侧，且AB＝km，A，B两村到河的距离分别为AC＝1km，BD＝3km.现要在河边CD上建一水厂分别向A，B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需3000元．请你在河岸CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用W(元)．【方法5】2-1-c-n-j-y
参考答案与解析
1．C 2.24或6
3．C 解析：根据题意画出图形，如图所示，图①中，AB＝10，AC＝2，AD＝6.在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得BD＝＝＝8，CD＝＝＝2，此时BC＝BD＋CD＝8＋2＝10；图②中，同理可得BD＝8，CD＝2，此时BC＝BD－CD＝8－2＝6.综上所述，BC的长为6或10.故选C.
4．2或4 解析：如图①，△ABC为锐角三角形，过点C作CD⊥AB，交AB于点D.∵S△ABC＝10，AB＝5，∴AB·CD＝10，解得CD＝4.在Rt△ACD中，由勾股定理得AD＝＝＝3，∴BD＝AB－AD＝5－3＝2.在Rt△CBD中，由勾股定理得BC＝＝＝2；21世纪教育网版权所有
如图②，△ABC为钝角三角形，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D.同上可得CD＝4.在Rt△ACD中，AC＝5，由勾股定理得AD＝＝＝3.∴BD＝BA＋AD＝5＋3＝8.在Rt△BDC中，由勾股定理得BC＝＝＝4.综上所述，BC的长度为2或4.www.21-cn-jy.com
5．17m
6．解：∵折叠前后两个图形的对应线段相等，∴CF＝C′F.设BF＝x.∵BC＝9，∴C′F＝CF＝BC－BF＝9－x.∵C′是AB的中点，AB＝6，∴BC′＝AB＝3.在Rt△C′BF中，由勾股定理得C′F2＝BF2＋C′B2，即(9－x)2＝x2＋32，解得x＝4，即BF的长为4.
7．解：过A作AD⊥BC交BC于点D.在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，设BD＝x，则CD＝BC－BD＝14－x.在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.在Rt△ABD中，由勾股定理得AD＝＝＝12.∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.【来源：21·世纪·教育·网】
8．4
9．解：如图，作点A关于CD的对称点A′，连接BA′交CD于O，点O即为水厂的位置．过点A′作A′E∥CD交BD的延长线于点E，过点A作AF⊥BD于点F，则AF＝A′E，DF＝AC＝1km，DE＝A′C＝1km.∴BF＝BD－FD＝3－1＝2(km)．在Rt△ABF中，AF2＝AB2－BF2＝13－22＝9，∴AF＝3km.∴A′E＝3km.在Rt△A′BE中，BE＝BD＋DE＝4km，由勾股定理得A′B＝＝＝5(km)．∴W＝3000×5＝15000(元)．故铺设水管的总费用为15000元．21cnjy.com
核心素养专题：古代问题中的勾股定理
类型一 勾股定理应用中的实际问题
1．【“引葭赴岸”问题】如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是( )www.21-cn-jy.com
A．10尺 B．11尺
C．12尺 D．13尺
第1题图 第2题图
2．(2017·西城区期末)《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何．【来源：21·世纪·教育·网】
注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿比门高长出二尺，斜放恰好能出去．
解决下列问题：
(1)示意图中，线段CE的长为________尺，线段DF的长为________尺；
(2)设户斜长x，则可列方程为________________．
3．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为________尺．21世纪教育网版权所有
(2017·东营中考)我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度为________尺．
类型二 勾股定理的证明问题
5．(2017·丽水中考)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图①所示．在图②中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为________．21教育网
6．中国古代对勾股定理有深刻的认识．
(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图①所示的直角三角形拼成一个如图②所示的大正方形，中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a，b，求(a＋b)2的值；
(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究，他著有《积求勾股法》，用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3，4，5的整数倍，设其面积为S，则求其边长的方法：第一步＝m；第二步：＝k；第三步：分别用3，4，5乘以k，得三边长．当面积S＝150时，请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．21cnjy.com
参考答案与解析
1．D 2.(1)4 2 (2)(x－4)2＋(x－2)2＝x2 3.14.5
4．25 解析：将圆柱侧面展开，如图，AC＝3尺，CD＝＝4(尺)，∴AD＝＝5(尺)，∴葛藤的最短长度为5×5＝25(尺)．21·cn·jy·com
5．10
6．解：(1)根据勾股定理可得a2＋b2＝13，四个直角三角形的面积是ab×4＝13－1＝12，即2ab＝12，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝25，即(a＋b)2＝25.
(2)当S＝150时，k＝＝＝＝＝5，所以三边长分别为：3×5＝15，4×5＝20，5×5＝25，所以这个直角三角形的三边长为15，20，25.2·1·c·n·j·y
解题技巧专题：勾股定理与面积问题
类型一 三角形中利用面积法求高
1．直角三角形的两条直角边的长分别为5cm，12cm，则斜边上的高线的长为( )
A.cm B．13cm C.cm D.cm
2．(2017·乐山中考)点A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点C到线段AB所在直线的距离是________．21教育网
类型二 结合乘法公式巧求面积或长度
3．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝12cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是( )
A．48cm2 B．24cm2 C．16cm2 D．11cm2
4．若一个直角三角形的面积为6cm2，斜边长为5cm，则该直角三角形的周长是( )
A．7cm B．10cm
C．(5＋)cm D．12cm
5．(2017·襄阳中考)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为( )21cnjy.com
A．3 B．4 C．5 D．6
类型三 巧妙利用割补法求面积
6．如图，已知AB＝5，BC＝12，CD＝13，DA＝10，AB⊥BC，求四边形ABCD的面积．
7．如图，∠B＝∠D＝90°，∠A＝60°，AB＝4，CD＝2，求四边形ABCD的面积．【方法6】
类型四 利用“勾股树”或“勾股弦图”求面积
如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为9cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为________cm2.
参考答案与解析
1．D
解析：如图，连接AC，BC，设点C到线段AB所在直线的距离是h.∵S△ABC＝3×3－×2×1－×2×1－×3×3－1＝9－1－1－－1＝，AB＝＝，∴×h＝，∴h＝.故答案为.21世纪教育网版权所有
3．D 4.D 5.C
6．解：连接AC，过点C作CE⊥AD交AD于点E.∵AB⊥BC，∴∠CBA＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝＝＝13.∵CD＝13，∴AC＝CD.∵CE⊥AD，∴AE＝AD＝×10＝5.在Rt△ACE中，由勾股定理得CE＝＝＝12.∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△CAD＝AB·BC＋AD·CE＝×5×12＋×10×12＝90.
7．解：延长AD，BC交于点E.∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠E＝30°.∴AE＝2AB＝8.在Rt△ABE中，由勾股定理得BE＝＝＝4.∵∠ADC＝90°，∴∠CDE＝90°，∴CE＝2CD＝4.在Rt△CDE中，由勾股定理得DE＝＝＝2.∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE＝AB·BE－CD·DE＝×4×4－×2×2＝6.
8．81
