6.2 平行四边形的判定（1）同步练习

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６．２ 平行四边形的判定（1）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ．
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ．
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB=CD，AD=BC B. AB=CD，AB∥CD
C. AB=CD，AD∥BC D. AB∥CD，AD∥BC
2．下列条件中，能判别四边形是平行四边形的是( )
A. 一组对边相等，另一组对边平行 B. 一组对边平行，一组对角互补
C. 一组对角相等，一组邻角互补 D. 一组对角互补，另一组对角相等
3．A、B、C、D在同一平面内，从①AB ( http: / / www.21cnjy.com )∥CD；②AB＝CD；③BC∥AD；④BC＝AD；这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法共有（ ）【出处：21教育名师】
A. 3种 B 4种 C 5种 D 6种
4．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，DC的中点，则图中共有平行四边形的个数是 （ ）
( http: / / www.21cnjy.com )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5．以长为5cm， 4cm， 7cm的三条 ( http: / / www.21cnjy.com )线段中的的两条为边，另一条为对角线画平行四边形，可以画出形状不同的平行四边形的个数是 （ ）www-2-1-cnjy-com
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
6．一个四边形的三个内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ）
A. 88°，108°，88° B. 88°，104°，88°
C. 88°，92°，92° D. 88°，92°，88°
7．在□ABCD中，AB≠AD，满足下列条件，不一定能构成平行四边形的是（ ）
A. 四个内角平分线围成的四边形
B. 过四个顶点作对边的高线围成的四边形
C. 以对角线的交点把对角线分成的四部分的中点为顶点的四边形
D. 以一条对角线上的两点，与另两个顶点为顶点的四边形．
二、填空题
8．四边形ABCD中，已知AB＝CD，若再增加一个_________条件（只填写一个）可得四边形ABCD是平行四边形．【来源：21·世纪·教育·网】
9．四边形ABCD中，AD//BC，AD＝BC，则四边形ABCD是_______四边形．
10．若四边形ABCD中，AD＝BC，AC是对角线，且∠CAD＝∠ACB，则这个四边形是________．
11．BD是□ABCD的对角线，点E，F在 ( http: / / www.21cnjy.com )BD上，要使四边形AECF是平行四边形，还需添加的条件是______（只添一个你认为正确的即可）．
12．M是△ABC的AB边上的中点，连接CM并延长到D，使MD＝CM，则AD与BC________，BD与AC________。
13．一个四边形的边长依次是a，b，c，d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是______，依据是________．
三、解答题
14．如图所示，已知D，E ( http: / / www.21cnjy.com )，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长至G，使FG＝2DF，连接AG，则ED，AG互相平分吗 请说明理由．
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15．如图所示，在 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，E，F，G，H分别是四条边上的点，且满足AE＝CF，BG＝DH，连接EF，GH．试说明EF和GH互相平分．
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16．如图所示，在 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD中，CE∥BD，EF⊥AB交BA延长线于点F，E，D，A在一条直线上，那么有DF＝AE，请你说明理由．(提示：直角三角形中斜边中线等于斜边的一半)
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17．如图，AC是□ABCD的一条对角 ( http: / / www.21cnjy.com )线，BM⊥AC， DN⊥AC，垂足分别为M，N，四边形BMDN是平行四边形吗 请选择一种你认为比较好的方法证明．
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18．如图所示，AD为△ABC的一条角平分线，E，F分别在AC，AB上，DE∥AB，BF＝AE．试说明EF＝BD．
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19．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB=BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；
（2）如果BC平分∠DBF，∠CDB=45°，BD=2，求AC的长．
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20．如图，平行四边形中，对角线、交于点．将直线绕点顺时针旋转分别交、于点、．
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（）在旋转过程中，线段与的数量关系是__________．
（）如图，若，当旋转角至少为__________时，四边形是平行四边形，并证明此时的四边形是是平行四边形．
参考答案
1．C
【解析】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断，
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选A．
2．C
【解析】解：A．一组对边相等，另一组对边平行，也有可能是等腰梯形；
B．一组对边平行，一组对角互补，也有可能是等腰梯形；
C．一组对角相等，一组邻角互补可得到两组对角分别相等，所以是平行四边形；
D．一组对角互补，另一组对角相等，可能是含两个直角的一般四边形．
故选C．
3．B
【解析】试题分析：根据一组对边平行 ( http: / / www.21cnjy.com )且相等、两组对边分别平行、两组对边分别相等来进行判定.则正确的选法为：①③、②④、①②、③④四种判定方法.21世纪教育网版权所有
4．B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD．
∵E，F分别AB，CD的中点，∴A ( http: / / www.21cnjy.com )E=EB=DF=FC，∴四边形AEFD是平行四边形，四边形EFCB是平行四边形，四边形BEDF是平行四边形，∴平行四边形的个数共有4个．故选B．
5．C
【解析】解：分别以4cm，5cm为边，7cm ( http: / / www.21cnjy.com )为对角线；或以4cm，7cm为边，5cm为对角线；或5cm，7cm为边，4cm为对角线共有三种情况．故选C．21cnjy.com
点睛：本题考查了平行四边形的判定，实质上只要三条线段的长符合构成三角形，就可以画不同形状的平行四边形．2·1·c·n·j·y
6．D
【解析】当三个内角度数依次是88°，108°，88°时,第四个角是76°，故A不是；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故B不是；
当三个内角度数依次是88°，92°，92°时，第四个角是88°，而C中相等的两个角不是对角故C错，
D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形。
故选：D.
7．D
【解析】解：∵ ABCD的四个内角平分线围成的四边形是平行四边形，∴选项A正确；
∵过 ABCD四个顶点作对边的高线围成的四边形是平行四边形，∴选项B正确；
∵以 ABCD各边中点为顶点的四边形是平行四边形，∴选项C正确；
∵以 ABCD一条对角线上的两点与另两个顶点为顶点的四边形不一定是平行四边形，∴选项D不正确．
故选D．
8．AB//CD等
【解析】解：∵在四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AB=CD，∴可添加的条件是：AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．www.21-cn-jy.com
故答案为：AB//CD．
9．平行
【解析】解：∵AD//BC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为：平行．
10．平行四边形
【解析】解：∵∠CAD＝∠ACB，∴AD∥BC．∵AD=BC，∴ABCD是平行四边形．故答案为：平行四边形．21教育名师原创作品
11．BE=DF等
【解析】解：如图，连接AC交BD于点O．
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∵四边形ABCD为平行四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形，∴AO=CO，BO=DO，∴当BE=DF时，可得OE=OF，则四边形AECF为平行四边形，∴可增加BE=DF．故答案为：BE=DF（答案不唯一）．【来源：21cnj*y.co*m】
点睛：本题主要考查了平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键．
12． 平行且相等 平行且相等
【解析】解：如图，∵M是△ABC的AB ( http: / / www.21cnjy.com )边上的中点，∴AM=MB．∵MD＝CM，∴四边形ADBC是平行四边形，∴AD=CB，AD∥CB，BD=AC，BD∥AC．故答案为：平行且相等，平行且相等．
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13． 平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
【解析】解：a2+b2+c2+d2=2 ( http: / / www.21cnjy.com )ac+2bd，（a2﹣2ac+c2）+（b2﹣2bd+d2）=0，（a﹣c）2+（b﹣d）2=0，∴a﹣c=0，b﹣d=0，∴a=c，b=d，∴四边形是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．故答案为：平行四边形，两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
点睛：本题考查了配方法的应用．用到 ( http: / / www.21cnjy.com )的知识点为：（a2﹣2ab+b2）=（a﹣b）2；两个非负数的和为0，这两个数均为0；两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
14．互相平分
【解析】试题分析：求ED与AG互相平分， ( http: / / www.21cnjy.com )只要证明四边形AEGD是平行四边形即可解答，由DE∥AC，DE=AF，可得四边形AEDF是平行四边形，所以，AE∥DF且AE=DF，又FG=2DF，则AE=GD，所以，四边形AEGD是平行四边形，即可得出ED与AG互相平分．21教育网
试题解析：证明：如图，连接AD，GE ( http: / / www.21cnjy.com )，∵DE∥AC，DE=AF，∴四边形AEDF是平行四边形，∴AE∥DF且AE=DF．又∵FG=2DF，∴AE=GD，∴四边形AEGD是平行四边形，∴ED与AG互相平分．21·cn·jy·com
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点睛：本题考查了平行四边形的判定与性质，要求两条线段互相平分，可以考虑证明以这个四个端点为顶点的四边形是平行四边形来解决．2-1-c-n-j-y
15．答案见解析
【解析】试题分析：如图，连接EG，GF，FH，HE，证明四边形EGFH是平行四边形，问题即可解决．
试题解析：解：连接EG，GF，FH，H ( http: / / www.21cnjy.com )E．如图，∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠B＝∠D，AD＝BC．又∵AE＝CF，∴AD－AE＝BC－CF，即DE=BF．又∵DH＝BG，∴△BFG≌△DEH(SAS)，∴GF＝EH，同理GE=FH，∴四边形EGFH平行四边形，∴EF和GH互相平分．
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16．答案见解析
【解析】试题分析：首先根据平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形的性质可得AD=BC，AD∥BC，再证明四边形EDBC是平行四边形，可得ED=CB，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得结论．
试题解析：证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC．∵CE∥BD，∴四边形EDBC是平行四边形，∴ED=CB，∴ED=AD．∵EF⊥AB，∴△EFA是直角三角形，∴DF=AE．
点睛：此题考查了平行四边形的性质和判定，以及直角三角形的性质，关键是正确证明ED=AD．
17．答案见解析
【解析】试题分析：由四边形ABCD是平 ( http: / / www.21cnjy.com )行四边形，可得AD=BC，AD∥BC，又由BM⊥AC，DN⊥AC，即可得BM∥DN，∠DNA=∠BMC=90°，然后利用AAS证得△ADN≌△CBM，即可得DN=BM，由有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，即可证得四边形BMDN是平行四边形．
试题解析：解：四边形BMDN是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC ( http: / / www.21cnjy.com )，AD∥BC，∴∠DAN=∠BCM．∵BM⊥AC，DN⊥AC，∴BM∥DN，∠DNA=∠BMC=90°，∴△ADN≌△CBM（AAS），∴DN=BM，∴四边形BMDN是平行四边形．
点睛：本题考查了平行四边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△ADN≌△CBM，得到DM∥BM且DN=BM是解此题的关键．21*cnjy*com
18．答案见解析
【解析】试题分析：由角平分线的定义和平 ( http: / / www.21cnjy.com )行线的性质可证明∠ADE=∠CAD，可得AE=DE，结合条件可证明四边形EFBD为平行四边形，可得EF=BD．【版权所有：21教育】
试题解析：证明：∵AD平分∠BAC，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAD=∠CAD．∵DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，∴∠CAD=∠ADE，∴AE=DE．又∵BF=AE，∴DE=BF．又∵DE∥AB，∴四边形EFBD是平行四边形，∴EF=BD．
19．（1）证明见解析；（2）AC=2．
【解析】整体分析：
(1)证明四边形DBCF的两组对边分别平行；(2)作CM⊥BF于F，△CFM是等腰直角三角形，求出CM的长即可得到AC的长.21*cnjy*com
解：(1)证明：∵AC⊥BD，∠FCA=90°，∠CBF=∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
(2)解：∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF=BD=2，∠F=∠CDB=45°，
∵AB=BC，AC⊥BD，∴AE=CE，
作CM⊥BF于F，
∵BC平分∠DBF，∴CE=CM，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM=CF=，∴AE=CE=，
∴AC=2．
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20．（）相等；（）
【解析】试题分析：（1）根据平行四边形的 ( http: / / www.21cnjy.com )对边平行可得AD∥BC，对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠1=∠2，然后利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE
（2）根据垂直的定义可得∠BAO=90°，然 ( http: / / www.21cnjy.com )后求出∠BAO=∠AOF，再根据内错角相等，两直线平行可得AB∥EF，然后根据平行四边形的对边平行求出AF∥BE，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；
试题解析：
（）相等,理由如下：
如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com )
在 ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠1=∠2，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；
（）证明：当旋转角为时，
，
又∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90° ( http: / / www.21cnjy.com )，
∠AOF=90°，
∴∠BAO=∠AOF，
∴AB∥EF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
即：AF∥BE，
∵AB∥EF，AF∥BE，
∴四边形ABEF是平行四边形；21·世纪*教育网
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