6.2 平行四边形的判定（2）同步练习

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６．２ 平行四边形的判定（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．对角线互相平分的四边形是平行四边形．
２．如果两条直线互相平行,则其中一条直线上任意两点 到另一条直线的距离相等,这个距离称为平行线之间的距离 ．
３．综合运用平行四边形的性质与判定解决有关平行四边形问题．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AD∥BC B. OA=OC，OB=OD C. AD=BC，AB∥CD D. AB=CD，AD=BC
2．如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，那么图中和△ABD面积相等的三角形(不包含△ABD)有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3．如图，a∥b，若要使△ABC的面积与△DEF的面积相等，需增加条件( )
A. AB＝DE B. AC＝DF C. BC＝EF D. BE＝AD
4．到直线l的距离等于2 cm的点有( )
A. 0个 B. 1个 C. 无数个 D. 无法确定
5．(吉安永新县期末)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为(　　)
A. 4s B. 3s C. 2s D. 1s
6．下面几组条件中，能判断一个四边形是平行四边形的是（ ）
A．一组对边相等 B．两条对角线互相平分
C．一组对边平行 D．两条对角线互相垂直
7．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点，当E，F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形( )
A. AE＝CF B. DE＝BF C. ∠ADE＝∠CBF D. ∠AED＝∠CFB
8．如图，P是直线m上一动点，A，B是直线n上的两个定点，且直线m∥n.对于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB的周长；③△PAB的面积；④∠APB的大小. 其中会随点P的移动而变化的是(　　)
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
二、填空题
9．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件_________
（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形
10．如图，在□ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O中的任意四点）为顶点的平行四边形共有________个．
11．阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
已知：如图，及边的中点．
求作：平行四边形．
①连接并延长，在延长线上截取；
②连接、．
所以四边形就是所求作的平行四边形．
老师说：“小敏的作法正确．
请回答：小敏的作法正确的理由是__________．
12．如图，A、B是直线m上两个定点，C是直线n上一个动点，且m∥n．以下说法：
①△ABC的周长不变；
②△ABC的面积不变；
③△ABC中，AB边上的中线长不变．
④∠C的度数不变；
⑤点C到直线m的距离不变．
其中正确的有________ （填序号）．
13．如图，在平行四边形ABCD中，对角线交于点0，点E、F在直线AC上（不同于A、C），当E、F的位置满足_______的条件时，四边形DEBF是平行四边形．
14．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，直线l1、l2、l3分别通过A、B、C三点，且l1∥l2∥l3．若l1与l2的距离为5，l2与l3的距离为7，则Rt△ABC的面积为___________
三、解答题
15．（14分）如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC＝15cm，BC＝12cm，BE⊥AC于点E，BE＝10cm.求AD和BC之间的距离．
16．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AF⊥BD，CE⊥BD，垂足分别为E、F；连结AE、CF，求证：四边形AFCE是平行四边形.
17．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠CBD=90°，BC=4，BE=ED=3，AC=10，
（1）求证四边形ABCD是平行四边形
（2）求四边形ABCD的面积？
18．如图， ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．
19．如图,在△ABC中,D是BC边的中点,分别过点B、C作射线AD的垂线，垂足分别为E、F，连接BF、CE.
(1)求证：四边形BECF是平行四边形；
(2)若AF=FD,在不添加辅助线的条件下,直接写出与△ABD面积相等的所有三角形.
20．在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG．
（1）如图①，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG=AG+BG；
（2）如图②，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论．
参考答案
1．D
【解析】由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知A正确;
由对角线互相平分的四边形是平行四边形可知B正确;
由一组对边既平行又相等的四边形是平行四边形可知C不正确;
由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可知D正确;
故选C
2．B
【解析】试题分析：根据AB∥CD可得：△ABD和△ABC的面积相等；根据AE∥BD可得：△ABD和△BDE的面积相等；故本题选B．
点睛：本题主要考查的就是平行线之间的距离的性质，属于基础题型．两条平行线之间的距离是处处相等的，我们可以利用这个性质来求三角形面积之间的关系，面积之比就等于底之比．有时候会出现三条平行线，两个三角形的底相同，高不同，然后求面积，这个时候三角形的面积之比就等于高之比．
3．C
【解析】试题分析：两条平行线之间的距离处处相等，则△ABC和△DEF的高相等，则要使面积相等必须满足底相等，故本题选C．
4．C
【解析】试题解析：∵两条平行线间的距离相等，
∴到直线l的距离等于2cm的点有无数个.
故选C.
5．B
【解析】试题解析：设运动时间为t秒，则CP=12-3t，BQ=t，
根据题意得到12-3t=t，
解得：t=3，
故选B．
6．B
【解析】
试题分析：平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法，采用排除法，逐项分析判断．
解：A、一组对边相等，不能判断，故错误；
B、两条对角线互相平分，能判断，故正确；
C、一组对边平行，不能判断，故错误；
D、两条对角线互相垂直，不能判断，故错误．
故选：B．
7．B
【解析】A选项：∵在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD，
若AE=CF，则OE=OF，
∴四边形DEBF是平行四边形；
B选项：若DE与AC不垂直，则满足AC上一定有一点DM=DE，同理有一点N使BF=BN，则四边形DEBF不一定是平行四边形，则选项错误；
C选项：∵在平行四边形ABCD中，OB=OD，AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
若∠ADE=∠CBF，则∠DEB=∠FBO，
则△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
又∵DE∥BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确；
D选项：∵∠AED=∠CFB，
∴∠DEO=∠BFO，
∴DE∥BF，
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．故选项正确．
故选B．
8．C
【解析】∵直线m∥n，∴点P到直线n的距离不变．
∵PA，PB的长度随点P的移动而变化，
∴△PAB的周长会随点P的移动而变化．
∵点P到直线n的距离不变，AB的大小不变，∴△PAB的面积不变．
∵点P在直线m上移动，∴∠APB的大小随点P的移动而变化．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②④.
点睛：根据平行线间的距离不变从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据角的定义判断出④变化．
9．BO=DO
【解析】解：∵AO=CO，BO=DO，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为：BO=DO．
10．4
【解析】如图：
即□EFGH，□ABCD，□BEDG，□AFCH，
故答案为：4.
11．对角线互相平分的四边形是平行四边形
【解析】试题解析：∵是边的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
则依据：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
12．②⑤
【解析】①∵当点C运动时，AC+BC的值不固定，
∴△ABC的周长不确定，
∴①错误；
②∵m∥n，
∴C到AB的距离相等，
设距离为d，
则△ABC的面积=×AB×d，
∴△ABC的面积不变，
∴②正确；
③∵当点C运动时，
∴连接点C和AB的中点的线段的长不确定，
∴③错误；
④∵当点C运动时，
∴∠ACB的大小不确定，
∴④错误；
⑤∵m∥n，
∴点C到直线m的距离不变，
∴⑤正确；
故答案为：②⑤．
点睛：本题考查的是平行线之间的距离和三角形的面积的计算，掌握平行线间的距离处处相等是解题的关键．
13．AE=CF（答案不唯一）
【解析】试题解析: 当AE=CF时四边形DEBF是平行四边形；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO，AO=CO，
∵AE=CF，
∴EO=FO，
∴四边形DEBF是平行四边形，
故答案为：AE=CF．
14．37
【解析】
过点B作EF⊥l2，交l1于E，交l3于F，如 图，
∵EF⊥l2，l1∥l2∥l3，
∴EF⊥l1⊥l3，
∴∠ABE+∠EAB=90°,∠AEB=∠BFC=90°，
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠FBC=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF=5，AE=BF=7，
在Rt△ABE中，AB2=BE2+AE2，
∴AB2=74，
∴S△ABC=AB BC=AB2=37.
故答案是37.
点睛：本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线间的距离，三角形的面积公式，解题的关键是做辅助线，构造全等三角形，通过证明三角形全等对应边相等，再利用三角形的面积公式即可得解.
15．12.5cm
【解析】试题分析：首先过点A作出AD和BC之间的距离，然后根据AC和BE的长度求出△ABC的面积，然后根据 EMBED Equation.DSMT4 ×BC×AP=△ABC的面积求出AP的长度，即AD和BC 之间的距离．
试题解析：解：过点A作BC的垂线，交BC于P点，三角形ABC的面积为×AC×BE＝×15×10＝75(cm2)，又因为三角形ABC的面积为×BC×AP＝×12×AP＝75，所以AP＝12.5cm.因此AD和BC之间的距离为12.5cm.
点睛：本题主要考查的就是利用等积法求线段之间的距离，属于简单题型．在求直角三角形斜边上的高线时，我们也是利用等积法来进行计算的，很多同学会和斜边上的中线混淆在一起．等积法在几何求某线段长度的时候会经常用到，同学们一定要非常熟练地掌握这个方法．
16．见解析
【解析】整体分析：
用SAS证明△AOF≌△COE，得到OF=OE，由对角线互相平分的四边形是平行四边形求证.
证明：连接AE，CF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC.
∵AF⊥BD，CE⊥BD，
∴∠AFO＝∠CEO＝90°.
在△AOF与△COE中
∠AFO＝∠CFO＝90°，AO＝OC，∠AOF＝∠COE，
∴△AOF≌△COE(AAS)，
∴OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形.
17．（1）见解析；（2）面积=24
【解析】整体分析：
根据勾股定理，可得EC的长，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD的形状，根据平行四边形的面积公式，即可求解．
(1)证明：在Rt△BCE中，由勾股定理得：
CE===5．
∵BE=DE=3，AE=CE=5，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：平行四边形ABCD的面积为BC BD=4×（3+3）=24.
所以平行四边形ABCD的面积为24.
18．证明见解析.
【解析】试题分析: 由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，根据平行四边形的性质得到∠EAO=∠FCO，证出△OAE≌△OCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到结论．
试题解析:
∵四边形ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC.
∴∠EAO＝∠FCO.
∵O为AC的中点，
∴OA＝OC.
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF(ASA)．
∴OE＝OF.
同理可证得OG＝OH.
∴四边形EGFH是平行四边形．
点睛: 此题主要考查了平行四边形的性质与判定，关键是掌握平行四边形对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形．
19．（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】试题分析：（1）由D是BC中点，得到BD=CD，通过AAS证明△BED≌△CFD，得到ED=FD，再由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到结论；
（2）与△ABD面积相等的三角形有△ACD、△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．
试题解析：（1）证明：∵D是BC中点，∴BD=CD．
∵BE⊥AE，CF⊥AE，∴∠BED=∠CFD=900．在△BED与△CFD中，∵∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BD=CD，∴△BED≌△CFD（AAS），∴ED=FD ．∵BD=CD，∴四边形BFEC是平行四边形．
（2）与△ABD面积相等的三角形有△ACD、△CEF、△BEF、△BEC、△BFC．
20．（1）证明见解析；（2）EG= EMBED Equation.DSMT4 AG﹣BG，理由见解析．
【解析】试题分析：（1）如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H，易证△ABG≌△AEH ，再判定△AGH是等边三角形，即可得结论；（2）EG=AG-BG，如图②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H，类比（1）的方法证明△ABG≌△AEH，再判定△AGH是等腰直角三角形，即可得结论.
试题解析：
如图，作∠GAH=∠EAB交GE于点H
∴∠GAB=∠HAE
∵∠EAB =∠EGB,∠APE=∠BPG
∴∠ABG=∠AEH
又∵AB=AE
∴△ABG≌△AEH
∴BG=EH,AG=AH
∵∠GAH=∠EAB=60°
∴△AGH是等边三角形
∴AG=GH
∴EG=AG+BG
(2) EG=AG-BG,
如图②，作∠GAH=∠EAB交GE于点H
∴∠GAB=∠HAE
又∵∠EGB=∠EAB=90°
∴∠ABG+∠AEG=∠AEG+∠AEH=180°
∴∠ABG=∠AEH
又∵AB=AE
∴△ABG≌△AEH
∴BG=EH,AG=AH
又∵∠GAH =∠EAB=90°
∴△AGH是等腰直角三角形
∴AG=HG
∴EG=AG-BG
点睛：本题是一道四边形与三角形的综合题，主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、等腰三角形的判定等知识，难度适中，正确作出辅助线是解题的关键.
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