6.4 多边形的内角和与外角和同步练习

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６．４ 多边形的内角和与外角和同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1. n边形的内角和等于 (n－２)１８０° ．
2. 多边形的外角和都等于３６０° ．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（ ）
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
2．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是（ ）边形.
A．7 B．6 C．5 D．4
3．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是( )
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
4．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5．中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（ ）
A. 50° B. 100° C. 180 ° D. 200°
6．某学生在计算四个多边形的内角和时，得到下列四个答案，其中错误的是（　　）
A. 180° B. 540° C. 1900° D. 1080°
7．n边形的边数增加一倍,它的内角和增加( )
A. 180° B. 360° C. (n-2)·180° D. n180°
8．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（　　）
A. 140米 B. 150米 C. 160米 D. 240米
二、填空题
9．若一个n边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这个多边形的边数为________.
10．若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是________.
11．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE的4个外角.若∠A＝120°，则∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝　　　　.
12．在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，则∠A＝_______．
13．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是_______，顶点的个数是________，对角线的条数是_______．
14．已知一个多边形的内角和与外角和共2160°，则这个多边形的边数是_____．
三、解答题
15．一个多边形的内角度数从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是，最大角是,求这个多边形的边数.
16．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．
17．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行进和旋转，某一指令规定：机器人先向前方行走2 m，然后左转60°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了多少米
18．已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC．BE与DF有怎样的位置关系？为什么？
19．如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．
20．已知：如图，AB∥CD，求图形中的x的值．
21.(１)如图①,已知△ABC为直角三角形,∠A＝９０°,若沿图中虚线剪去∠A,则∠１＋∠２等于( )
A．９０° B。１３５° C。２７０° D。３１５°
(２)如图②,已知 △ABC中,∠A＝４０°,剪去∠A 后成四边形,则∠１＋∠２＝___________ (３)如图②,根据(１)与(２)的求解过程,请你归纳猜想∠１＋∠２与∠A的关系是__________; (４)如图③,若没有剪掉∠A,而是把它折成如图 所示的形状,试探究∠１＋∠２与∠A的关系, 并说明理由．
参考答案
1．B
【解析】试题分析：根据多边形的内角和可得：（n-2）180°=540°，
解得：n=5，则这个多边形是五边形．
故选B．
2．B
【解析】
试题分析：由多边形的内角和为（n-2）·180°，外角和为360°，可根据题意外角和为内角和的一半，可列式为（n-2）·180°=2×360°，解之得n=6.
故选B
3．B
【解析】180 108=72，
多边形的边数是：360÷72=5.
则这个多边形是五边形。
故选：B.
4．C
【解析】设多边形原有边数为x，
则(2x 2)×180=2160，
2x 2=12，
解得x=7，
故本题选C.
5．C
【解析】如图，
∵∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，∠1+∠2+∠A=180°，
∴∠C+∠E+∠B+∠D+∠A=180°．
即五角星五个锐角的度数和是180°.
故选C．
6．C
【解析】多边形的内角和公式是(n-2) 180°，内角和是180°时候是三角形；内角和是540°时候是五边形；内角和是1080°的时候是十边形，内角和是1900°时候算出来的边数不是整数，所以错误的是C，
故选C.
7．D
【解析】∵n边形的内角和是（n-2） 180°，
∴2n边形的内角和是（2n-2） 180°，
∴将n边形的边数增加一倍，则它的内角和增加：（2n-2） 180°-（n-2） 180°=n180°，
故选D.
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，整式的化简，都是需要熟练掌握的内容．
8．B
【解析】试题分析：已知多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，可得多边形的边数为360°÷24°=15，所以小明一共走了：15×10=150米．故答案选B．
9．8
【解析】
试题分析：先根据内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3∶1，求得每一个外角的度数，再根据任意多边形的外角和是360°，即可求得结果.
∵每一个内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3∶1，
∴每一个外角的度数为45°，
∴这个多边形的边数为360°÷45°=8.
点评：解答本题的关键是熟练掌握任意多边形的外角和是360°，与边数无关.
10．9
【解析】
试题分析：设多边形的边数为n，先根据多边形的内角和求出多边形的边数，再根据周长即可求出边长.
设多边形的边数为n，由题意得
(n－2)·180°=900°
解得n=7，
则它的边长是63÷7=9.
点评：解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式：(n－2)·180°.
11．300°
【解析】由题意得，∠5＝180°－∠EAB＝60°
，
又∵多边形的外角和为360°，
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°－∠5＝300°.
12．120°
【解析】设∠C=x，根据∠A:∠B:∠C=3:2:1，可得∠A=∠D=3x，∠B=2x.
由四边形的内角和为360°可得3x+2x+x+3x=360°，解得x=40°.
所以∠A=3×40°=120°.故答案为：120°.
13． 10 10 35
【解析】设这个多边形是n边形，
则（n-2） 180°=360°×4，
解得n=10，
EMBED Equation.DSMT4 ，
故它的边数是10，顶点个数是10，对角线的条数是35.
点睛：解答本题的关键是记住多边形内角和公式为（n-2）×180°，任何多边形的外角和是360度，外角和与多边形的边数无关．另外熟练掌握n边形的对角线条数为： （n≥3，且n为整数）．
14．12
【解析】设这个多边形是n边形，于是可得
180°×n=2160°，
解得n=12.
即这个多边形是十二边形.故答案为：12.
15．6
【解析】本题考查的是多边形的性质
根据“依次增加相同的度数，其中最小角是，最大角是”即可解得结果，注意边数为正整数。
设多边形的边数是，依次增加，
则
解得符合题意的正整数解
答：这个多边形的边数为
16．360°．
【解析】试题分析：连接BE，根据三角形外角的性质可得∠1=∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，再由四边形的内角和定理可得∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°．
试题解析：解：如图，连接BE．
∵∠1=∠C+∠D，∠1=∠CBE+∠DEB，
∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F
=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠DEF+∠F
=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F．
又∵∠A+∠ABE+∠BEF+∠F=360°，
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F=360°．
17．机器人共走了12 m.
【解析】分析：第一次回到原处正好转了360°，正好构成一个正六边形，先理解题目意思，再去看关键字来思考问题，来解决问题，最终得出答案．
本题解析：
机器人转了一周共360度，360°÷60°=6，共走了6次，机器人走了6×2=12米．
故答案为：12米．
点睛：考查了多边形内角与外角，本题是一个实际问题，要理解“回到原处”就是转了360度，我们平时要多做这种类型的题目，学会抓住关键词即可快速得到正确答案．
18．BE∥DF，理由见解析．
【解析】分析：根据四边形的内角和定理和∠A=∠C=90°,得∠ABC+∠ADC=180°;根据角平分线定义、等角的余角相等易证明和BE与DF两条直线有关的一对同位角相等,从而证明两条直线平行.
本题解析：
BE∥DF，理由：
∵∠A=∠C=90°，
∴∠A+∠C=180°．
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°．
∵∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=（∠ABC+∠ADC）=×180°=90°．
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠ADF，
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
点睛：此题运用了四边形的内角和定理、角平分线定义、等角的余角相等和平行线的判定,难度中等.
19．1.5π
【解析】分析：根据图中的阴影部分形成的内角和度数为540°，相当于1.5个圆，便不难求出阴影部分的面积.
本题解析：
∵五边形内角和为：(5 2)×180=540°，
∴阴影部分的面积之和是1.5个圆,即 EMBED Equation.DSMT4 π×12=1.5π.
所以圆与五边形重合的阴影部分的面积为1.5π.
点睛：此题考查扇形的面积计算，正确记忆多边形的内角和公式，以及扇形的面积公式是解决本题的关键.
20．x＝85°
【解析】试题分析：先根据平行线的性质求得∠B的度数，再利用多边形的内角和定理进行求解即可.
试题解析：∵AB∥CD，∠C=60°，
∴∠B=180°-60°=120°，
∴（5-2）×180°=x+150°+125°+60°+120°，
∴x=85°．
21.解：(１)∵四边形的内角和为３６０°, 直角三角形中两个锐角和为９０°．
∴∠１＋∠２＝３６０°－(∠C＋∠B)＝３６０°－ ９０°＝２７０°．
故选 C．
(２)∠１＋∠２＝１８０°＋４０°＝２２０°,
故答案是２２０°．
(３)∠１＋∠２＝１８０°＋∠A．
(４)∵△EFP 是由△EFA 折叠得到的,
∴∠AFE＝∠PFE,∠AEF＝∠PEF,
∴∠１＝１８０°－２∠AFE,∠２＝１８０°－２∠AEF,
∴∠１＋∠２＝３６０°－２(∠AFE＋∠AEF)．
又∵∠AFE＋∠AEF＝１８０°－∠A,
∴∠１＋∠２＝３６０°－２(１８０°－∠A)＝２∠A．
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