湖南省醴陵一中、攸县一中2017-2018学年高二下学期期中联考数学（理）试题

醴陵一中、攸县一中2018年上期期中高二联考数学(理)试题
总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2018年5月5日
姓名： 考号：
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.已知集合，集合，则(　　)
A. B. C. D.
2.设复数满足，则(　　)
A. B. C. D.
3.已知变量x,y之间具有线性相关关系,其散点图如图（1）所示,回归直线l的方程为。则下列说法正确的是(　　)　　　　 　　　　　　 　　　　　 　
A. 　　B. C. D.
4.一个几何体的三视图如图（2）所示，则该几何体的体积为(　　)
A. B. C. D.
图（1） 图（2） 图（3）
5.执行如图（3）所示的程序框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为(　　)
A.1 B.2 C. 3 D.4
6.已知sin(x-2017π)=，x∈，则tan2x=(　　)
A. B. C. D.
一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：
“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是(　　)
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
8.已知直线l：x+y+m=0与圆C：x2+y2-4x+2y+1=0相交于A，B两点，若△ABC为等腰直角三角形，则m=(　　)
A.1 B.2 C. D.1或
9.函数（其中＞0，＜ ）的图象如图（4）所示，为了得到的图象，只需将的图象(　　)
A.向右平移个单位长度 B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
图（4）
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos C＝，bcos A＋acos B＝2，则△ABC的外接圆的面积为(　　)
A．4π B．8π C．9π D．36π
11.已知F为双曲线 －＝1(a>0，b>0)的左焦点，点A为双曲线虚轴的一个顶点，过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B，若，则此双曲线的离心率是(　　)
A. B. C. D.
12.已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是(　)
A. B. C. D.
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知平面向量＝(1,2)，＝(－2，m)，且∥，则m= .
14.的展开式中的系数是=________.
15.设实数，满足约束条件，则目标函数为 .
16.已知偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0，1]时，f(x)=x，若区间[-1，3]上，函数有3个零点，则实数k的取值范围是________.
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
（一）必考题：共60分
17．（本小题满分12分）已知数列是等差数列，且满足：，；数列满足 ．
求和；
（2）记数列，若的前项和为，求证:．
18.（本小题满分12分）为选拔选手参加“中国诗词大会”，醴攸中学举行一次“诗词大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计.按照，，，，的分组作出频率分布直方图(5)，并作出样本分数的茎叶图(6)（图中仅列出了得分在，的数据）.
图（5） 图（6）
（1）求样本容量和频率分布直方图中、的值；
（2）在选取的样本中，从竞赛成绩在80分以上（含80分）的学生中随机抽取2名学生参加“中国谜语大会”，设随机变量表示所抽取的2名学生中得分在内的学生人数，求随机变量的分布列及数学期望.
19．（本小题满分12分）如图（7），在四棱锥中，底面，，∥，，．
（1）求证：平面平面;
棱上是否存在一点，使得二面角
的余弦值为.若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由。 图（7）
20．（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆经过点，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设斜率为的直线与以原点为圆心，半径为的圆交于两点，与椭圆 交于两点，且，当取得最小值时，求直线的方程．
21.（本题满分12分）已知函数
（1）求函数在处的切线方程；
（2）若至少存在一个使成立，求实数的取值范围；
（3）设且在时恒成立，求整数的最大值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22、（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)．在极坐标系(与直角坐标系取相同的单位长度，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴)中，圆的方程为.
(1)求圆的直角坐标方程；
(2)设圆与直线交于点，若点P的坐标为，求.
23、（本题满分10分）设．
(1)若时，解不等式；
(2)若，求的最小值.
醴陵一中 攸县一中2018年上期期中高二联考数学(理)试题
参考答案
一 选择题：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
C
A
D
B
C
C
B
D
C
C
A
A
二 填空题：
－4； 14. -20 ； 15. 4 ； 16.
1.C 因为，全集，所以
2.A 利用方程思想求解复数并化简.由(z－2i)(2－i)＝5，
得z＝2i＋＝2i＋＝2i＋2＋i＝2＋3i.
3.D　由题图可知,回归直线的斜率是正数,即>0;回归直线在y轴上的截距是负数,即<0,
4.B 由三视图可知，该几何体是四棱锥，以俯视图为底，高为1，俯视图的面积为，使用四棱锥的体积为
5.C 由题意知。当时，由，得，解得。当时，由，得，所以输入的实数值的个数为3个.
6.C 因为sin(x-2017π)=，所以sinx=-，又x∈，所以cosx=-，
所以tanx=，所以tan2x==.
7.B 假设乙是罪犯，那么甲和丙的供词是真话，乙和丁的供词是假话，符合题意；
假设丙是罪犯，那么说真话的就有甲、乙、丁三人；
假设丁是罪犯，那么说真话的只有甲；
假设甲是罪犯，那么说真话的只有丙.后面三个假设都与题目要求不符合，假设不成立，故罪犯是乙.
8.D △ABC为等腰直角三角形，等价于圆心到直线的距离等于圆的半径的.圆C的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=4，圆心到直线l的距离d=，依题意得=，解得m=1或-3.
9.C 由图象可知，，即，所以，所以，又，所以，即，又＜，所以，即。因为，所以只需将的图象向右平移个单位长度，即可得的图象，选C.
10.C ∵bcos A＋acos B＝2，∴b·＋a·＝2，
∴c＝2，由cos C＝，得sin C＝，∴2R＝＝＝6，R＝3，
S＝π×32＝9π，故选C.
11.A 过F，A的直线方程为y=(x+c)①，一条渐近线方程为y=x②，联立①②，
解得交点B，由=(-1)，得c=(-1)，c=a，e=.
12．A 已知错误！未找到引用源。，则错误！未找到引用源。，
当错误！未找到引用源。时，错误！未找到引用源。恒成立，即，令，
易知
－4 因为a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以m＋4＝0，m＝－4,
14.-20 由通项公式得Tr+1=(-2y)r，令r=3，所以T4=(-2y)3=-2x2y3，所以x2y3的系数为-20.
15.4 由得。作出不等式对应的区域，平移直线，由图象可知，当直线与圆在第一象限相切时，直线的截距最大，此时最大。直线与圆的距离，即，所以目标函数的最大值是。
16. 根据已知条件知函数f(x)是周期为2的周期函数；且x∈[-1，1]时，f(x)=|x|；而函数g(x)的零点个数便是函数f(x)和函数y=kx+k的交点个数.
所以①若k>0，如图所示，当y=kx+k经过点(1，1)时，k=；当经过点(3，1)时，k=.所以三 解答题
17.解：（1）因为，，所以
所以； ---------3分
又，所以，
得，所以。 ---------6分
因为， ----8分
所以---------10分
而 ------12分
18．解析（1）由题意可知，样本容量，
； ------4分
（2）分数在内的学生有人， 分数在内的学生有人
抽取的2名学生中得分在的人数X可能取值0，1，2， -----5分
则，， ，
则的分布列为 0 1 2
---------10分
所以． ------12分
19．解（1）证明: ∥
平面,平面
-----------------------------------------2分
平面
平面平面平面-- ------------------4分
（2）解: 以为坐标原点，以AD，AB，AP所在射线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系如图所示,由点C向AB作垂线CH, 则,所以
所以
设，因为E在棱PB上，
所以（）, 所以 ------------------------6分
设平面PAC的法向量,
, 则 -----------8分
设平面EAC的法向量,
，
取则，所以 --------------10分
所以，
解得, 所以存在 即E为PB中点时，使得二面角
的余弦值为. ---------12分
20．解（1）由的面积可得： ---------① ------2分
又椭圆C过点, ---------② ----------3分
由①②解得，所以椭圆C标准方程为 -------4分
（2）设直线l的方程为，则原点到直线l的距离
所以 ---------------------------------6分
将代入椭圆方程，得
由判别式，解得
由直线直圆相交得，所以 --------8分
设，则
所以 -----10分
所以 ---------------11分
因为，所以
则当时，取得最小值，此时直线方程为 --------12分
22、解：(1)由ρ＝10cosθ得x2＋y2－10x＝0，即(x－5)2＋y2＝ 25. ………4分
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(－3－t)2＋(6＋t)2＝25，即t2＋9t＋20＝0.由于Δ＝(9)2－4×20＝82>0，可设t1，t2是上述方程的两个实根．所以又直线l过点P(2，6)，
可得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝(－t1)＋(－t2)＝－(t1＋t2)＝9. ………10分
23、解：（Ⅰ）若a=1，f（x）=，
由f（x）的单调性及f（﹣3）=f（2）=5，得f（x）≤5 的解集为{x|﹣3≤x≤2}…5分
（Ⅱ）f（x）=，
当x∈（﹣∞，﹣2]时，f（x）单调递减；当x∈[，+∞）时，f（x）单调递增，
又f（x）的图象连续不断，所以f（x）≥2，当且仅当f（﹣2）=2a+1≥2，且f（）=+2≥2，求得a≥，故a的最小值为． ………………10分
醴陵一中、攸县一中2018年上期期中高二联考
数学（理）试题双向细目表
题型
题号
知识点
难度系数
了解识记
理解
简单运用
综合运用
选
择
题
1
集合的运算
0.9
√
2
复数的运算
0.9
√
3
线性回归分析
0.9
√
4
三视图及几何体体积计算
0.8
√
5
程序框图
0.8
√
6
三角函数诱导公式、倍角公式
0.8
√
7
推理
0.65
√
8
直线与圆
0.7
√
9
三角函数的图像变换
0.7
√
10
正弦、余弦定理的应用
0.6
√
11
双曲线离心率的求法
0.5
√
12
函数与导数的应用
0.4
√
填
空
题
13
平面向量平行的应用
0.9
√
14
二项式定理
0.8
√
15
线性规划思想的应用
0.65
√
16
函数性质与图像综合应用
0.4
√
解
答
题
17
数列通项公式与前n项和
0.7
√
18
概率与统计
0.7
√
19
立体几何
0.7
√
20
圆锥曲线的综合应用
0.4
√
21
函数与导数的综合应用
0.3
√
22
圆的极坐标方程与直线参数方程
0.7
√
23
绝对值不等式的解法及求参数最值
0.7
√