（浙江专用）2018版高中数学全一册学案（打包32套）新人教A版必修2

1.1　空间几何体的结构
第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征
目标定位　1.理解棱柱、棱锥、棱台的结构特征，能够识别和区分这些几何体.
2.了解棱柱、棱锥、棱台的底面、侧棱、侧面、顶点的意义.
自 主 预 习
1.空间几何体
(1)概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体.
(2)多面体与旋转体
多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体(如图)，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
2.几种常见的多面体
多面体
定义
图形及表示
相关概念
棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
如图可记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′
底面(底)：两个互相平行的面
侧面：其余各面..
侧棱：相邻侧面的公共边.
顶点：侧面与底面的公共顶点.
棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
如图可记作，
棱锥S－ABCD
底面(底)：多边形面.侧面：有公共顶点的各个三角形面
侧棱：相邻侧面的公共边.
顶点：各侧面的公共顶点.
棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.
如图可记作：棱台
ABCD－A′B′C′D′
上底面：原棱锥的截面
下底面：原棱锥的底面.
侧面：其余各面
侧棱：相邻侧面的公共边.
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.
即 时 自 测
1.判断题
(1)棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形.(√)
(2)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体.(×)
(3)正棱锥的侧面是等边三角形.(×)
(4)用一个平面去截棱锥；棱锥底面和截面之间的部分是棱台.(×)
提示　(1)由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形.
(2)上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体.
(3)正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形.
(4)该平面不一定平行于底面.
2.下列说法中正确的是(　　)
A.棱柱仅有一个底面 B.棱柱的顶点至少有6个
C.棱柱的侧棱至少有4条 D.棱柱的棱至少有4条
答案　B
3.下列棱锥有6个面的是(　　)
A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥
答案　C
4.一个棱柱至少有________个面，面数最少的一个棱锥有________个面，顶点最少的一个棱台有________条侧棱.
解析　面数最少的棱柱为三棱柱，有5个面；面数最少的棱锥为三棱锥，有4个面；顶点最少的棱台为三棱台，有3条侧棱.
答案　5　4　3
类型一　棱柱的结构特征
【例1】 下列关于棱柱的说法：
(1)所有的面都是平行四边形；
(2)每一个面都不会是三角形；
(3)两底面平行，并且各侧棱也平行；
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是________.
解析　(1)错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；
(2)错误，棱柱的底面可以是三角形；
(3)正确，由棱柱的定义易知；
(4)正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱，所以说法正确的序号是(3)(4).
答案　(3)(4)
规律方法　棱柱的结构特征：
(1)两个面互相平行；
(2)其余各面是四边形；
(3)相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.
【训练1】 下列关于棱柱的说法错误的是(　　)
A.所有的棱柱两个底面都平行
B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行
C.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱
D.棱柱至少有五个面
解析　对于A，B，D显然是正确的；对于C，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.
答案　C
类型二　棱锥、棱台的结构特征
【例2】 下列关于棱锥、棱台的说法：
(1)用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台；
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形；
(3)棱锥的侧面只能是三角形；
(4)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(5)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
解析　(1)错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；
(2)正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；
(3)正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形；
(4)正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥；
(5)错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
答案　(2)(3)(4)
规律方法　判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法：
结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法：
棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形，此面即为底面
两个互相平行的面，即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
【训练2】 棱台不具有的性质是(　　)
A.两底面相似 B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等 D.侧棱延长后相交于一点
解析　由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A，B，D都是棱台具有的性质，而侧棱长不一定相等.
答案　C
类型三　多面体的表面展开图(互动探究)
【例3】 画出如图所示的几何体的表面展开图.
[思路探究]
探究点一　(1)中如何展开？
提示　可沿一侧棱如CC1，上下底面的对边CA、C1A1、CB、C1B1剪开展平.
探究点二　(2)中如何展开？
提示　可沿四条侧棱AC、AB、AD、AE剪开展平.
解　表面展开图如图所示：
规律方法　多面体表面展开图问题的解题策略：
(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.
(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.
【训练3】 一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.
解析　将平面图形翻折，折成空间图形，如图.
答案　60°
[课堂小结]
1.棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例).
2.(1)各种棱柱之间的关系
①棱柱的分类
棱柱
②常见的几种四棱柱之间的转化关系
(2)棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：
名称
底面
侧面
侧棱
高
平行于底面的截面
棱柱
斜棱柱
平行且全等的两个多边形
平行四边形
平行且相等
与底面全等
直棱柱
平行且全等的两个多边形
矩形
平行、相等且垂直于底面
等于
侧棱
与底面全等
棱锥
正棱锥
一个正多边形
全等的等腰三角形
有一个公共顶点且相等
过底面中心
与底面相似
其他棱锥
一个多边形
三角形
有一个公共顶点
与底面相似
棱台
正棱台
平行且相似的两个正多边形
全等的等腰梯形
相等且延长后交于一点
与底面相似
其他棱台
平行且相似的两个多边形
梯形
延长后交于一点
与底面相似

1.棱柱的侧面都是(　　)
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.矩形
解析　由棱柱的性质可知，棱柱的侧面都是四边形.
答案　B
2.如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是(　　)
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
解析　可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.
答案　C
3.下列几何体中，________是棱柱，______是棱锥，________是棱台(仅填相应序号).
解析　结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知①③④是棱柱，⑥是棱锥，⑤是棱台.
答案　①③④　⑥　⑤
4.某多面体的面中有梯形和三角形，试画一个具有该特征的几何体.
解　如图(1)所示(或如图(2)所示，还有其他可能，答案不唯一).
基 础 过 关
1.三棱锥的四个面中可以作为底面的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　由于三棱锥的每一个面均可作为底面，应选D.
答案　D
2.四棱柱有几条侧棱，几个顶点(　　)
A.四条侧棱、四个顶点 B.八条侧棱、四个顶点
C.四条侧棱、八个顶点 D.六条侧棱、八个顶点
解析　四棱柱有四条侧棱、八个顶点(可以结合正方体观察求得).
答案　C
3.观察如图所示的四个几何体，其中判断不正确的是(　　)
A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台
解析　结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故B错误.
答案　B
4.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是________.
解析　由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.
答案　四棱柱
5.下列说法正确的有________(填序号).
①棱柱的侧面都是平行四边形；
②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；
③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；
④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；
⑤多面体至少有四个面.
解析　棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①对.
棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②对.
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错④对.⑤显然正确.
因而正确的有①②④⑤.
答案　①②④⑤
6.如图所示的几何体中，所有棱长都相等，分析此几何体的构成？有几个面、几个顶点、几条棱？
解　这个几何体是由两个同底面的四棱锥组合而成的八面体.有8个面，都是全等的正三角形；有6个顶点；有12条棱.
7.如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A、B、C重合，重合后记为点P.
问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
解　(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF＝a2，
S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，
S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.
能 力 提 升
8.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(　　)
解析　两个不能并列相邻，B、D错误；两个不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定.
答案　A
9.在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有(　　)
A.20 B.15 C.12 D.10
解析　正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到10条对角线，故选D.
答案　D
10.在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种空间图形的4个顶点，这些空间图形是________.(写出所有正确结论的编号)
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体.
解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种空间图形的4个顶点，这些空间图形是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A－A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A－CB1D1；
⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A－A1DC，所以填①③④⑤.
答案　①③④⑤
11.长方体ABCD－A1B1C1D1(如图所示)中，AB＝3，BC＝4，A1A＝5，现有一甲壳虫从A出发沿长方体表面爬行到C1来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值.
解　把长方体的部分面展开，如图所示.
对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得AC1的长分别为、、，由此可见乙是最短线路，所以甲壳虫可以先在长方形ABB1A1内由A到E，再在长方形BCC1B1内由E到C1，也可以先在长方形AA1D1D内由A到F，再在长方形DCC1D1内由F到C1，其最短路程为.
探 究 创 新
12.如图，在4×3的纸上用线条勾画出一个图形，使每一格作为一个面，能折成一个正方体.你能画出4个这样的图形吗？
解
1.1 空间几何体的结构
第2课时　圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征
目标定位　1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.能根据条件判断几何体的类型.2.了解圆柱、圆锥、圆台的底面、母线、侧面、轴的意义.3.了解与正方体、球有关的简单组合体及其结构特征.
自 主 预 习
1.旋转体
(1)圆柱
①定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.
②相关概念(图1)
③表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱O′O.
(2)圆锥
①定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.
②相关概念(图2)
③表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO.
(3)圆台
①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.
②相关概念(图3)
③表示法：圆台用表示轴的字母表示，图中圆台表示为圆台OO′.
(4)球
①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.
②相关概念(图4)
③表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O.
2.简单组合体
(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.
(2)基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.
即 时 自 测
1.判断题
(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线.(×)
(2)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.(×)
(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.(√)
(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.(×)
提示　(1)所取的两点与圆柱的轴OO′的连线所构成的四边形不一定是矩形，若不是矩形，则与圆柱母线定义不符.
(2)若绕斜边所在直线旋转得到的是两个圆锥构成的一个组合体.
(3)根据圆台的定义知，正确.
(4)旋转后形成的是球面.
2.以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是(　　)
A.球 B.圆台 C.圆锥 D.圆柱
解析　旋转过程中，与旋转轴垂直的线段形成垂直于旋转轴的圆面，与旋转轴平行的线段形成与旋转轴等距的曲面，所以其余三边旋转一周所围成的旋转体是圆柱.
答案　D
3.下列几何体是台体的是(　　)
解析　台体包括棱台和圆台两种，A的错误在于四条侧棱没有交于一点，B的错误在于截面与圆锥底面不平行.C是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D正确.
答案　D
4.等腰三角形绕底边上的高所在的直线旋转180°，所得几何体是________.
解析　结合旋转体及圆锥的特征知，所得几何体为圆锥.
答案　圆锥

类型一　旋转体的结构特征
【例1】 判断下列各命题是否正确：
(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；
(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；
(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；
(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.
解　(1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.
(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.
(3)正确.
(4)错.应为球面.
规律方法　1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.
2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.
【训练1】 下列叙述中正确的个数是(　　)
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台.故四句话全不正确.
答案　A
类型二　简单组合体的结构特征
【例2】 如图所示，已知AB是直角梯形ABCD与底边垂直的一腰.分别以AB，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.
解　(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图(1)所示.
(2)以CD边为轴旋转所得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥.如图(2)所示.
(3)以AD边为轴旋转得到一个组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥.如图(3)所示.
规律方法　1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成.
2.必要时作模型培养动手能力.
【训练2】 如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？
解　旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
类型三　有关几何体的计算问题(互动探究)
【例3】 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.
[思路探究]
探究点一　圆锥、圆台的轴截面是什么？
提示　圆锥的轴截面为等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形.
探究点二　解决此问题的关键是什么？
提示　解决此问题关键是，作出轴截面，然后利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.
解　设圆台的母线长为l cm，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r，4r.
过轴SO作截面，如图所示.
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝3 cm.∴＝.∴＝＝.
解得l＝9(cm)，即圆台的母线长为9 cm.
规律方法　用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.
【训练3】 一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：
(1)圆台的高；
(2)截得此圆台的圆锥的母线长.
解　如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm，截得该圆台的圆锥的母线为x cm，由条件可得圆台上底半径r′＝2 cm，下底半径r＝5 cm.
(1)由勾股定理得h＝＝3(cm).
(2)由三角形相似得：＝，解得x＝20(cm).
答：(1)圆台的高为3 cm，(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.
[课堂小结]
1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.
2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.
3.处理组合体问题常采用分割思想.
4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.
1.下图是由哪个平面图形旋转得到的(　　)
解析　组合体上半部分是圆锥，下半部分是一个圆台，因此应该是由上半部分为三角形，下半部分为梯形的平面图形旋转而成的，观察四个选项得D正确.
答案　D
2.下面几何体的截面一定是圆面的是(　　)
A.圆台 B.球 C.圆柱 D.棱柱
解析　截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球.
答案　B
3.一个圆锥的母线长为20 cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.
解析　h＝20cos 30°＝10 (cm).
答案　10
4.在半径等于13 cm的球内有一个截面，它的面积是25π cm2，求球心到截面的距离.
解　设截面圆半径为r cm，
∵πr2＝25π，∴r＝5(cm).
设球心到截面的距离为d cm，球的半径为R cm，则d＝＝
＝12(cm).
故球心到截面的距离为12 cm.
基 础 过 关
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周，所得几何体是(　　)
A.圆柱 B.圆锥 C.圆台 D.两个圆锥
解析　连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直，故绕对角线旋转一周形成两个圆锥.
答案　D
2.过球面上任意两点A、B作大圆，可能的个数是(　　)
A.有且只有一个 B.一个或无穷多个
C.无数个 D.以上均不正确
解析　当过A，B的直线经过球心时，经过A，B的截面所得的圆都是球的大圆，这时过A，B作球的大圆有无数个；当直线AB不经过球心O时，经过A，B，O的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.
答案　B
3.在日常生活中，常用到的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是(　　)
A.一个棱柱中挖去一个棱柱
B.一个棱柱中挖去一个圆柱
C.一个圆柱中挖去一个棱锥
D.一个棱台中挖去一个圆柱
解析　一个六棱柱挖去一个等高的圆柱.
答案　B
4.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8，则该圆锥的高是________.
解析　设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高h＝.
所以由题意可知·2r·h＝r＝8，
∴r2＝8，∴h＝2.
答案　2
5.圆台两底面的半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm，则它的轴截面的面积是________cm2.
解析　如图所示，作出轴截面，过点A作AM⊥BC于点M，则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9 cm，
∴S梯形ABCD＝×(4＋10)×9＝63(cm2).
答案　63
6.如图所示，几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴.
解　先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形.旋转前的平面图形如下：
7.用一个平行于圆锥底面的平面截一个圆锥得到一个圆台，这个圆台上、下底面半径的比为1∶3，截去的圆锥的母线长为3 cm，求圆台的母线长.
解　设圆台的母线长为y cm，截得的圆台上、下底面半径分别为x cm，3x cm，如图所示，根据相似三角形的性质得＝，解得y＝6.故圆台的母线长为6 cm.
能 力 提 升
8.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的(　　)
解析　由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.
答案　B
9.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.0.5
解析　如图所示，
∵两个平行截面的面积分别为5π、8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.∵球心到两个截面的距离d1＝，d2＝，
∴d1－d2＝－＝1，∴R2＝9，∴R＝3.
答案　B
10.长为8 cm，宽为6 cm的矩形绕其一边所在直线旋转而成的圆柱的底面面积为______cm2，母线长为______cm.
解析　若圆柱是矩形绕其宽所在直线旋转而成的，则其底面半径为8 cm，底面面积为64π cm2，其母线长为6 cm；若圆柱是矩形绕其长所在直线旋转而成的，则其底面半径为6 cm，底面面积为36π cm2，其母线长为8 cm.
答案　64π或36π；6或8
11.已知圆锥的底面半径为r，高为h，正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥，求这个正方体的棱长.
解　过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和
x.
因为△VA1C1∽VMN，
所以＝，即＝，
所以hx＝2rh－2rx，
即x＝.
故这个正方体的棱长为.
探 究 创 新
12.如图所示，已知圆锥SO中，底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一个点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A.求：
(1)绳子的最短长度的平方f(x)；
(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；
(3)f(x)的最大值.
解　将圆锥的侧面沿SA展开在平面上，如图所示，则该图为扇形，且弧AA′的长度L就是圆O的周长，
∴L＝2πr＝2π.
∴∠ASM＝×360°＝×360°＝90°.
(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的AM，其值为AM＝(0≤x≤4).
f(x)＝AM2＝x2＋16(0≤x≤4).
(2)绳子最短时，在展开图中作SR⊥AM，垂足为R，则SR的长度为顶点S到绳子的最短距离，
在△SAM中，∵S△SAM＝SA·SM＝AM·SR，
∴SR＝＝(0≤x≤4)，
即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为(0≤x≤4).
(3)∵f(x)＝x2＋16(0≤x≤4)是增函数，
∴f(x)的最大值为f(4)＝32.
1.2.1　中心投影与平行投影
1.2.2　空间几何体的三视图
目标定位　1.了解中心投影和平行投影的意义.2.理解三视图画法的规则，能画简单几何体的三视图.3.能识别三视图所表示的空间几何体.
自 主 预 习
1.投影
(1)投影的定义
由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面.
(2)投影的分类
(3)当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：
①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.
2.三视图
(1)定义：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图，三视图是正投影.
(2)基本特征：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样.
即 时 自 测
1.判断题
(1)正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度.(√)
(2)一个几何体的正视图和俯视图高度一样，正视图和侧视图长度一样，侧视图和俯视图宽度一样.(×)
提示　(2)一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样.
2.一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)
A.球 B.三棱锥
C.正方体 D.圆柱
解析　不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.
答案　D
3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　　)
A.①② B.①③ C.①④ D.②④
解析　①的三个视图都是相同的，都是正方形；②的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同；③的三个视图各不相同；④的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同.故选D.
答案　D
4.一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________(填序号).
①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体.
解析　线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点.
答案　②⑤
类型一　中心投影与平行投影
【例1】 下列说法中：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线.其中正确说法的个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线；③不正确.
答案　B
规律方法　判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断.
【训练1】 下列命题中，正确的是(　　)
A.矩形的平行投影一定是矩形
B.梯形的平行投影一定是梯形
C.两条相交直线的投影可能平行
D.如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点
解析　平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A，B不正确.两条相交直线的投影不可能平行，即C错.根据平行投影的性质，知D正确.故选D.
答案　D
类型二　画空间几何体的三视图(互动探究)
【例2】 画出图中正四棱锥和圆台的三视图.(尺寸不作严格要求)
[思路探究]
探究点一　画三视图时，三视图的排列方法如何？
提示　画三视图时，一般地，以正视图为准，侧视图在正视图的正右方，俯视图在正视图的正下方.
探究点二　三视图的画法规则是什么？
提示　三视图的画法规则如下：
(1)正、俯视图都反映物体的长度——长对正；
(2)正、侧视图都反映物体的高度——高平齐；
(3)俯、侧视图都反映物体的宽度——宽相等.
解　正四棱锥的三视图如图所示：
圆台的三视图如图所示：
规律方法　画三视图应遵循的原则和注意事项：
(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”.
(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方.
(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法.
(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性.
【训练2】 如图是截去一角的长方体，画出它的三视图.
解　物体三个视图的构成都是矩形，长方体截去一角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图如图.
类型三　由三视图还原空间几何体
【例3】 根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状.
解　图(1)对应的几何体是一个六棱锥，图(2)对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别为：
规律方法　由三视图还原空间几何体的步骤：
【训练3】 若将本例3(1)中的三视图改为如下三视图，试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图.
　
解　由三视图可知该几何体为四棱锥，对应空间几何体如右图：
[课堂小结]
1.理解平行投影和中心投影的概念时，可以从一束光线去照射一个物体所形成的影子，研究两者的不同之处.另外应注意平行投影的性质，尤其注意图形中的直线或线段不平行于投影线的情况.
2.空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可画出它的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间的相互转化，可以培养我们的几何直观能力和空间想象能力.
1.下列说法正确的是(　　)
A.任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关
B.任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关
C.有的物体的三视图与物体的摆放位置无关
D.正方体的三视图一定是三个全等的正方形
解析　对于A，球的三视图与物体摆放位置无关，故A错；对于B，D，正方体的三视图与摆放位置有关，故B，D错；故选C.
答案　C
2.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)
A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱
解析　如图，几何体为三棱柱.
答案　B
3.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的正视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图的面积为________.
解析　由正视图可知三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为2，所以侧视图的面积为4×2＝8.
答案　8
4.画出如图所示空间图形的三视图(阴影部分为正面).
解　如图所示.
基 础 过 关
1.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(　　)
A.棱柱 B.棱台
C.圆柱 D.圆台
解析　先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体.
由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.
答案　D
2.已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是(　　)
A.上部是一个圆锥，下部是一个圆柱
B.上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱
C.上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱
D.上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱
解析　由几何体的三视图可知，该组合体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱.
答案　A
3.某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(　　)
解析　由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.
答案　D
4.若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________.
解析　三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.
答案　2　4
5.图①为长方体木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由______块木块堆成；图②中的三视图表示的实物为______.
解析　①中下层有3块木块，上层有一块木块，共4块木块.
答案　4　圆锥
6.如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图.
解　三视图如图所示.
7.已知一个几何体的三视图如图，试根据三视图想象物体的原形，并试着画出实物草图.
解　由三视图知，该物体下部为长方体、上部为一个与长方体等高的圆柱，且圆柱的下底面圆相切于长方体的上底面正方形，由此可画出实物草图如图.
能 力 提 升
8.用□表示1个立方体，用表示2个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么如图所示，由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是图中的(　　)
答案　B
9.一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(　　)
解析　正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C.
答案　C
10.如果一个几何体的三视图如图所示，
其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为________.
解析　此几何体为一个正六棱锥，其顶点在底面上的正投影是底面的中心，由于正视图中△ABC是边长为2的正三角形，其高为＝，故侧视图中三角形的高为.又俯视图中各三角形均为正三角形，其边长为BC＝1，故底面中心到边的距离为.故侧视图中三角形的底边长为，故侧视图的面积S＝××＝.
答案　
11.如图所示是一些立体图形的视图，但观察的方向不同，试说明其可能是哪一种几何体的视图，并画出立体图形的草图.
解　从柱、锥、台、球和三视图各方面综合考虑.
(1)是一个圆，可能为球的正视图、侧视图、俯视图，也可能是圆柱的俯视图，其直观图如下图中①所示.
(2)是一个三角形，可能是棱锥、圆锥的正视图、侧视图，也可能是三棱柱的俯视图，其直观图如下图中②所示.
(3)是一个矩形，可能为四棱柱的正视图、侧视图、俯视图，也可能是圆柱的正视图、侧视图，也可能是三棱柱的正视图、俯视图，其直观图如下图中③所示.
探 究 创 新
12.一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：
(1)该物体有多少层？
(2)该物体的最高部分位于哪里？
(3)该物体一共由几个小正方体构成？
解　(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来.
(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排.
(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个.该物体一共由7个小正方体构成.
1.2.3　空间几何体的直观图
目标定位　1.掌握斜二测画法，能画简单几何体的直观图.2.理解三视图和直观图的联系，并能进行转化.
自 主 预 习
1.直观图的概念
(1)定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图.
(2)说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形.
2.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤
(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.
(2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.
(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
3.立体图形直观图的画法
画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变.其他同平面图形的画法.
即 时 自 测
1.判断题
(1)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来垂直的仍垂直.(×)
(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图中的线段，原来平行的仍平行.(√)
(3)正方形的直观图为平行四边形.(√)
(4)梯形的直观图不是梯形.(×)
提示　(1)由直观图的性质知，原来垂直的不一定垂直.
(2)斜二测画法中平行关系不变.
(4)利用斜二测画法，所得梯形的直观图仍是梯形.
2.利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，可以是下列选项中的(　　)
解析　正方形的直观图可以是含45°角的平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.
答案　C
3.用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′＝(　　)
A.45° B.135° C.45°或135° D.90°
解析　在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于x′轴、y′轴，而∠x′O′y′＝45°或135°.
答案　C
4.直角坐标系中一个平面图形上的一条线段AB的实际长度为4 cm，若AB∥x轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________，若AB∥y轴，则画出直观图后对应线段A′B′＝________.
解析　画直观图时，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.
答案　4 cm　2 cm

类型一　画水平放置的平面图形的直观图
【例1】 画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图.
解　画法：(1)如图所示，取AB所在直线为x轴，AB中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°.
　　　
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB，在y轴上取O′E′＝OE，以E′为中点画线段C′D′∥x′轴，并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′，D′A′，所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.
规律方法　1.本题巧借等腰梯形的对称性建系使“定点”、“画图”简便易行.
2.在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键，一般要使平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来完成.
【训练1】 用斜二测画法画如图所示边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图.
解　(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴.
(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.
在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝OB＝OC＝2 cm，在y′轴上取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，则三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示.
类型二　由直观图还原平面图形
【例2】 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为(　　)
A.a2 B.2a2 C.a2 D.2a2
解析　由直观图还原出原图，如图，所以S＝a·2a＝2a2.
答案　B
规律方法　由直观图还原平面图形关键有两点：
(1)平行x′轴的线段长度不变，平行y′轴线段扩大为原来的2倍；
(2)对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置.
【训练2】 一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形O′A′B′C′的面积为，则原梯形的面积为(　　)
A.2 B. C.2 　　　　D.4
解析　如图，由斜二测画法原理知，原梯形与直观图中的梯形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，
原梯形的高OC是直观图中O′C′长度的2倍，O′C′的长度是直观图中梯形的高的倍，
由此知原梯形的高OC的长度是直观图中梯形高的2倍，故其面积是梯形O′A′B′C′面积的2倍，梯形O′A′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4.
答案　D
类型三　空间几何体的直观图(互动探究)
【例3】 如图所示，由下列几何体的三视图画出直观图.
[思路探究]
探究点一　由三视图画几何体的直观图的关键是什么？
提示　由三视图画几何体的直观图时，首先要认清几何体的形状与大小，然后按斜二测画法规则及其步骤作出其直观图.
探究点二　画柱体的直观图的一般步骤是什么？
提示　画柱体的直观图一般分四步：
(1)画轴：通常以高所在的直线为z轴建系.
(2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面.
(3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点.
(4)连线成图.
解　由几何体的三视图可知该几何体是一个五棱柱，其直观图的画法如下：
(1)画轴.画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示.
(2)画底面.按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
(3)画侧棱.过点A、B、C、D、E分别作z′轴的平行线，
并在这些平行线上分别截取AA′、BB′、CC′、DD′、EE′都等于正视图的高.
(4)成图，顺次连接A′、B′、C′、D′、E′，去掉辅助线，改被挡部分为虚线，如图②所示.
规律方法　1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形，再画z轴，并确定竖直方向上的相关的点，最后连点成图便可.
2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不变”.
【训练3】 由如图所示几何体的三视图画出直观图.
解　(1)画轴.如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，
∠xOz＝90°.
(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.
(3)画侧棱.过A，B，C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′，BB′，CC′，且AA′＝BB′＝CC′.
(4)成图，顺次连接A′，B′，C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图.
[课堂小结]
1.斜二测画法是联系直观图和原图形的桥梁，可根据它们之间的可逆关系寻找它们的联系；在求直观图的面积时，可根据斜二测画法，画出直观图，从而确定其高和底边等，而求原图形的面积可把直观图还原为原图形.两者之间关系为：＝.
2.在用斜二测画法画直观图时，平行线段仍然平行，所画平行线段之比仍然等于它的真实长度之比，但所画夹角大小不一定是其真实夹角大小.
1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法错误的是(　　)
A.原来相交的仍相交 B.原来垂直的仍垂直
C.原来平行的仍平行 D.原来共点的仍共点
解析　根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.
答案　B
2.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为(　　)
A.平行四边形 B.梯形
C.菱形 D.矩形
解析　因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°，又因四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形.
答案　D
3.如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________.
解析　由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
答案　10
4.如图是一个几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图.
解　本题由几何体的三视图想象和画出实物原形是同学们学习中的一个难点，这类题型有助于培养同学们的空间想象力和分析问题、解决问题的能力.由三视图知该几何体是一个简单的组合体，它的下部是一个正四棱台，上部是一个正四棱锥.
画法：(1)画轴：如图(1)，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；
(2)画底面：利用斜二测画法画出底面ABCD，在z轴上取点O′，使OO′等于三视图中相应的高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′；
(3)画正四棱锥的顶点：在Oz上取点P，使PO′等于三视图中相应的高度；
(4)成图：连接PA′、PB′、PC′、PD′、A′A、B′B、C′C、D′D，整理得到三视图表示的几何体的直观图如图(2)所示.
基 础 过 关
1.如图所示是水平放置的三角形的直观图，A′B′∥y′轴，则原图中△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
解析　∵A′B′∥y′，所以由斜二测画法可知在原图形中BA⊥AC，故△ABC是直角三角形.
答案　B
2.如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是(　　)

解析　根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，且在直观图中平行于y′轴的边与底边垂直.
答案　C
3.下列说法正确的个数是(　　)
①相等的角在直观图中对应的角仍然相等；②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等；③最长的线段在直观图中对应的线段仍最长；④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点.
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　①②③错误，④正确.
答案　A
4.如图所示的直观图△A′O′B′，其平面图形的面积为________.
解析　由直观图可知其对应的平面图形△AOB中，∠AOB＝90°，OB＝3，OA＝4，∴S△AOB＝OA·OB＝6.
答案　6
5.水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为________.
解析　将直观图△A′B′C′复原，其平面图形为Rt△ABC，且AC＝3，BC＝4，故斜边AB＝5，所以AB边上的中线长为.
答案　
6.画出水平放置的四边形OBCD(如图所示)的直观图.
解　(1)过点C作CE⊥x轴，垂足为E，如图(1)所示，画出对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(2)所示.
(2)如图(2)所示，在x′轴上取点B′，E′，使得O′B′＝OB，O′E′＝OE；
在y′轴上取一点D′，使得O′D′＝OD；
过E′作E′C′∥y′轴，使E′C′＝EC.
(3)连接B′C′，C′D′，并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线，如图(3)所示，四边形O′B′C′D′就是所求的直观图.
7.某几何体的三视图如图所示，用斜二测画法画出它的直观图.
解　画法：(1)画轴.如图①，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
①
(2)
②
画圆台的两底面.利用斜二测画法，画出底面⊙O，在z轴上截取OO′，使OO′等于三视图中相应的高度，过点O′作Ox的平行线O′x′，作Oy的平行线O′y′，利用O′x′与O′y′画出上底面⊙O′.
(3)画圆锥的顶点.在Oz上取点P，使PO′等于三视图中相应的高度.
(4)成图.连接PA′，PB′，A′A，B′B，整理(去掉辅助线，并将被遮住的部分改为虚线)得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.
能 力 提 升
8.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是(　　)
A.AB B.AD C.BC D.AC
解析　还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长.
答案　D
9.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是(　　)
解析　选项B中几何体的侧视图与给出的侧视图不符，选项C，D中几何体的俯视图与给出的俯视图不符，故排除选项B，C，D，故选A.
答案　A
10.在如图直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在xOy坐标系中原四边形OABC为______(填形状)，面积为______cm2.
解析　由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，
其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，
∴四边形OABC的面积S＝2×4＝8 cm2.
答案　矩形　8
11.用斜二测画法画出正六棱柱(底面为正六边形，侧面为矩形的棱柱)的直观图(尺寸自定).
解　(1)画轴.画Ox轴，Oy轴，Oz轴，使∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图(1).
(2)画底面.以O为中心，在xOy平面内，画出正六边形的直观图ABCDEF.
(3)画侧棱.过A，B，C，D，E，F各点，分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′＝BB′＝CC′＝DD′＝EE′＝FF′，使它们都等于侧棱的长.
(4)成图.顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，A′，并擦去辅助线，遮挡住的部分改为虚线，就得到正六棱柱的直观图，如图(2).
探 究 创 新
12.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积.
解　四边形ABCD的真实图形如图所示，
∵A′C′在水平位置，
A′B′C′D′为正方形，
∴∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，
∴在原四边形ABCD中，
DA⊥AC，AC⊥BC，∵DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝，
∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2.
1.3.1　柱体、锥体、台体的表面积与体积
目标定位　1.了解表面与展开图的关系.2.了解柱、锥、台体的表面积和体积计算公式；能运用柱、锥、台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题.
自 主 预 习
1.多面体的表面积
多面体的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积.
2.旋转体的表面积
名称
图形
公式
圆柱
底面积：S底＝2πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πrl＋2πr2
圆锥
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πrl＋πr2
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝πl(r＋r′)
表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
3.体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝(S′＋＋S)h.
即 时 自 测
1.判断题
(1)直棱柱的侧面展开图是矩形，一边是棱柱的侧棱，另一边等于棱柱的底面周长.(√)
(2)圆锥的侧面展开图是一个等腰三角形.(×)
(3)柱体的底面积为S，高为h，其体积V＝Sh，特别地，圆柱的底面半径为r，高为h；其体积V＝πr2h.(√)
(4)已知圆锥SO的底面半径r＝2，高为4，则其体积为16π.(×)
提示　(2)圆锥的侧面展开图是一个扇形.
(4)V＝π×22×4＝π.
2.圆锥的母线长为5，底面半径为3，则其侧面积等于(　　)
A.15 B.15π C.24π D.30π
解析　S侧＝πrl＝π×3×5＝15π.
答案　B
3.将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的侧面积是(　　)
A.4π B.3π C.2π D.π
解析　底面圆半径为1，高为1，侧面积S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故选C.
答案　C
4.圆台OO′的上、下底面半径分别为1和2，高为6，则其体积等于________.
解析　V＝π(12＋1×2＋22)×6＝14π.
答案　14π
类型一　空间几何体的表面积
【例1】 如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积.
解　以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm，下底半径是16 cm，母线DC＝＝13(cm).
∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2).
规律方法　1.圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键.
2.棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解.
【训练1】 如图，已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S－ABC，求它的表面积.
解　先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D.
因为BC＝a，SD＝＝＝a.
所以S△SBC＝BC·SD
＝a×a＝a2.
因此，四面体S－ABC的表面积S＝4×a2＝a2.
类型二　空间几何体的体积(互动探究)
【例2】 如图，三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比.
[思路探究]
探究点一　题中三棱台与三棱锥有什么关系？
提示　题中三个三棱锥可看作是由三棱台分割而成的.
探究点二　求体积的常用方法有哪些？
提示　求几何体体积的常用方法有：公式法，等积变换法，补体法，分割法.
解　设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1－ABC＝S△ABC·h＝Sh，
VC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝Sh.
又V台＝h(S＋4S＋2S)＝Sh，
∴VB－A1B1C＝V台－VA1－ABC－VC－A1B1C1
＝Sh－－＝Sh，
∴体积比为1∶2∶4.
规律方法　求几何体体积的常用方法
【训练2】 如图，
在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d.
解　在三棱锥A1－ABD中，AA1⊥平面ABD，AB＝AD＝AA1＝a，
A1B＝BD＝A1D＝a，
∵VA1－ABD＝VA－A1BD，
∴×a2·a＝××a×·a·d.
∴d＝a.∴A到平面A1BD的距离为a.
类型三　与三视图有关的表面积、体积问题
【例3】 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是(　　)
A.4，8 B.4，
C.4(＋1)， D.8，8
解析　由正视图得出四棱锥的底面边长与高，进而求出侧面积与体积.
由正视图知：四棱锥的底面是边长为2的正方形，四棱锥的高为2，
∴V＝×22×2＝.四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底为2，高为，
∴S侧＝4××2×＝4.
答案　B
规律方法　1.解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据.
2.若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和.
【训练3】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．
解析　由三视图可大致画出三棱锥的直观图如图，
由正、俯视图可知，△ABC为等腰三角形，且AC＝2，AC边上的高为1，∴S△ABC＝×2×1＝.
由侧视图可知：三棱锥的高h＝1，∴VS－ABC＝S△ABCh＝.
答案　
[课堂小结]
1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键.
2.计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题.
3.在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”.
1.已知长方体的过一个顶点的三条棱长的比是1∶2∶3，对角线的长是2，则这个长方体的体积是(　　)
A.6 B.12 C.24 D.48
解析　设长方体的过一个顶点的三条棱长分别为x、2x、3x，又对角线长为2，则x2＋(2x)2＋(3x)2＝(2)2，解得x＝2.∴三条棱长分别为2、4、6.
∴V长方体＝2×4×6＝48.
答案　D
2.一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为(　　)
A.12π　　　　　　　　 B.18π
C.24π D.36π
解析　由三视图知该几何体为圆锥，底面半径r＝3，母线l＝5，
∴S表＝πrl＋πr2＝24π.故选C.
答案　C
3.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比为________.
解析　设底面半径为r，侧面积为4π2r2，表面积为2πr2＋4π2r2，其比为.
答案　
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，截下一个棱锥C－A1DD1求棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比.
解　已知长方体可以看成直四棱柱，设它的底面ADD1A1的面积为S，高为h，则它的体积为V＝Sh.
而棱锥C－A1DD1的底面积为S，高为h，故三棱锥C－A1DD1的体积：
VC－A1DD1＝×Sh＝Sh，余下部分体积为：Sh－Sh＝Sh.
所以棱锥C－A1DD1的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.
基 础 过 关
1.圆台的上、下底面半径分别是3和4，母线长为6，则其表面积等于(　　)
A.72 B.42π C.67π D.72π
解析　S圆台表＝S圆台侧＋S上底＋S下底
＝π(3＋4)·6＋π·32＋π·42＝67π.
答案　C
2.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则三棱锥D1－ACD的体积是(　　)
A. B. C. D.1
解析　三棱锥D1－ADC的体积V＝S△ADC×D1D＝××AD×DC×D1D＝××1×1×1＝.
答案　A
3.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如下图所示该四棱锥侧面和体积分别是(　　)
A.4，8 B.4，
C.4(＋1)， D.8，8
解析　由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为＝，所以S侧＝4×＝4，V＝×22×2＝.
答案　B
4.一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为________.
解析　S圆柱＝2·π＋2π··a＝πa2，
S圆锥＝π＋π··a＝πa2，∴S圆柱∶S圆锥＝2∶1.
答案　2∶1
5.一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
解析　根据三视图知，该几何体上部是一个底面直径为4 m，高为2 m的圆锥，下部是一个底面直径为2 m，高为4 m的圆柱.故该几何体的体积
V＝π×22×2＋π×12×4＝(m3).
答案　
6.如图是某几何体的三视图.
(1)画出它的直观图(不要求写画法)；
(2)求这个几何体的表面积和体积.
解　(1)这个几何体的直观图如图所示.
(2)这个几何体是一个简单组合体，它的下部是一个圆柱(底面半径为1，高为2)，它的上部是一个圆锥(底面半径为1，母线长为2，高为)，
所以所求表面积为S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×2＝7π，
体积为V＝π×12×2＋×π×12×＝2π＋π.
7.在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积.
解　过C点作CD⊥AB，垂足为D.以△ABC中边AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示，这两个圆锥的高的和为AB＝5，底面半径DC＝＝，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π。
V＝π·DC2·AD＋π·DC2·BD
＝π·DC2·(AD＋BD)＝π.
即所得旋转体的表面积为π，体积为π.
能 力 提 升
8.体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是(　　)
A.54 B.54π C.58 D.58π
解析　设上底面半径为r，则由题意求得下底面半径为3r，设圆台高为h1，
则52＝πh1(r2＋9r2＋3r·r)，
∴πr2h1＝12.令原圆锥的高为h，由相似知识得知＝，∴h＝h1，
∴V原圆锥＝π(3r)2×h＝3πr2×h1＝×12＝54.
答案　A
一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为(　　)
A.＋π B.＋π
C.＋π D．1＋π
解析　由三视图知，半球的半径R＝，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝×1×1×1＋×π×＝＋π，故选C.
答案　C
10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为10，则AA1＝________.
解析　由题意知VABCD－A1C1D1＝VABCD－A1B1C1D1－VB－A1B1C1＝2×2·AA1－××2×2·AA1＝AA1＝10，∴AA1＝3.
答案　3
11.若E，F是三棱柱ABC－A1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1E＝CF，三棱柱的体积为m，求四棱锥A－BEFC的体积.
解　如图所示，连接AB1，AC1.
∵B1E＝CF，∴梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积.
又四棱锥A－BEFC的高与四棱锥A－B1EFC1的高相等，
∴VA－BEFC＝VA－B1EFC1＝VA－BB1C1C.
又VA－A1B1C1＝S△A1B1C1·h，
VABC－A1B1C1＝S△A1B1C1·h＝m，∴VA－A1B1C1＝，
∴VA－BB1C1C＝VABC－A1B1C1－VA－A1B1C1＝m，
∴VA－BEFC＝×m＝，即四棱锥A－BEFC的体积是.
探 究 创 新
12.有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少？(精确到0.01秒)
解　圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为
S侧＝2πrl＝2π×0.1×0.5＝0.1π (m2)，
且圆柱形刷子以每秒5周的速度匀速滚动，
∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为0.5π m2.
∴油漆工完成任务所需的时间t＝＝≈6.37(秒).
1.3.2　球的体积和表面积
目标定位　1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题.
自 主 预 习
球的体积公式与表面积公式
(1)球的体积公式V＝πR3(其中R为球的半径)
(2)球的表面积公式S＝4πR2
即 时 自 测
1.判断题
(1)球的半径为R，那么它的体积V＝πR3.(√)
(2)半径为3的球的体积是36π.(√)
(3)球的半径为R，那么它的表面积S＝4πR2.(√)
(4)半径为的球的表面积等于2π.(×)
提示　(4)S球＝4π×()2＝8π.
2.两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为(　　)
A.1∶9 B.1∶27 C.1∶3 D.1∶1
解析　由表面积公式知，两球的表面积之比为R∶R＝1∶9.
答案　A
3.球的体积是，则此球的表面积是(　　)
A.12π B.16π C. D.
解析　设球的半径为R，则V＝πR3＝π，∴R＝2，
∴表面积S＝4πR2＝16π.
答案　B
4.两个半径为1的实心铁球，熔化成一个球，这个大球的半径是________.
解析　设大球的半径为R，则有πR3＝2×π×13，
R3＝2，∴R＝.
答案　

类型一　球的表面积和体积
【例1】 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积.
(2)已知球的体积为π，求它的表面积.
解　(1)设球的半径为R，则4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的体积V＝πR3＝π·(4)3＝π.
(2)设球的半径为R，则πR3＝π，解得R＝5，所以球的表面积S＝4πR2
＝4π×52＝100π.
规律方法　1.已知球的半径，可直接利用公式求它的表面积和体积.
2.已知球的表面积和体积，可以利用公式求它的半径.
【训练1】在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是(　　)
A．4π B. C．6π D.
解析　由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V的最大值为.
答案　B
类型二　球的截面问题(互动探究)
【例2】 平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)
A.π B.4π C.4π D.6π
[思路探究]
探究点一　用一个平面去截球，截面是什么？
提示　圆面.
探究点二　有关球的截面问题的解题策略如何？
提示　有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决，计算时，需要注意球心与截面圆心之间的距离，截面圆的半径及球的半径满足勾股定理.
解析　如图，设截面圆的圆心为O′，
M为截面圆上任一点，
则OO′＝，O′M＝1.
∴OM＝＝.
即球的半径为.∴V＝π()3＝4π.
答案　B
规律方法　有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题解决.
【训练2】 已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________.
解析　若两个平行截面在球心同侧，如图(1)，则两个截面间的距离为－＝1；
若两个平行截面在球心异侧，如图(2)，则两个截面间的距离为＋＝7.
答案　1或7
类型三　球的组合体与三视图
【例3】 某个几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积.
解　由三视图可知该几何体的下部是棱长为2的正方体，上部是半径为1的半球，该几何体的表面积为
S＝×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.
该几何体的体积为：V＝23＋×π×13＝8＋.
规律方法　1.由三视图求球与其他几何体的简单组合体的表面积和体积，关键要弄清组合体的结构特征和三视图中数据的含义.
2.求解表面积和体积时要避免重叠和交叉.
【训练3】 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是________.
解析　由三视图知组合体为球内接正方体，正方体的棱长为2，若球半径为R，则2R＝2，∴R＝.∴S球表＝4πR2＝4π×3＝12π.
答案　12π
[课堂小结]
1.球的表面积、体积公式是解决问题的重要依据，在球的轴截面图形中，球半径、截面圆半径、球心到截面的距离所构成的直角三角形，其量值关系是解决问题的主要方法.
2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.
1.直径为6的球的表面积和体积分别是(　　)
A.36π，144π B.36π，36π
C.144π，36π D.144π，144π
解析　球的半径为3，表面积S＝4π·32＝36π，体积V＝π·33＝36π.
答案　B
2.若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积增大到原来的(　　)
A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍
解析　设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3，当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为原来的23＝8倍.
答案　C
3. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为(　　)
A．12π B.π C．8π D．4π
解析　由题可知正方体的棱长为2，其体对角线2即为球的直径，所以球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π，故选A.
答案　A
4.在半径为R的球面上有A，B，C三点，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距离为球半径的一半，求球的表面积.
解　依题意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圆半径r＝×3＝.
由R2＝＋()2，得R＝2.所以球的表面积S＝4πR2＝16π.
基 础 过 关
1.一个正方体的八个顶点都在半径为1的球面上，则正方体的表面积为(　　)
A.8 B.8 C.8 D.4
解析　∵球的半径为1，且正方体内接于球，
∴球的直径即为正方体的对角线，即正方体的对角线长为2.不妨设正方体的棱长为a，则有3a2＝4，即a2＝.
∴正方体的表面积为6a2＝6×＝8.
答案　A
2.把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　)
A.R B.2R C.3R D.4R
解析　设圆柱的高为h，则πR2h＝3×πR3，∴h＝4R.
答案　D
3.若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(　　)
A.4π(r＋R)2 B.4πr2R2
C.4πRr D.π(R＋r)2
解析　法一　如图，设球的半径为r1，则在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面积为
S球＝4πr＝4πRr.
法二　如图，设球心为O，球的半径为r1，连接OA，OB，则在Rt△AOB中，OF是斜边AB上的高.由相似三角形的性质得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面积为S球＝4πRr.
答案　C
4.一个球的表面积是144π cm2，则它的体积是________.
解析　设球的半径为R，则4πR2＝144π，∴R＝6，
∴V＝πR3＝π×63＝288π(cm3).
答案　288π cm3
5.某几何体的三视图如图所示，则其表面积为________.
解析　由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球，其表面积为半个球面面积与截面圆面积的和，即×4π＋π＝3π.
答案　3π
6.盛有水的圆柱形容器的内壁底面半径为5 cm，两个直径为5 cm的玻璃小球都浸没于水中，若取出这两个小球，则水面将下降多少？
解　设取出小球后，容器中水面下降h cm，
两个小球的体积为V球＝2＝(cm3)，
此体积即等于它们在容器中排开水的体积V＝π×52×h，
所以＝π×52×h，
所以h＝，即若取出这两个小球，则水面将下降 cm.
7.某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积.
解　该组合体的表面积
S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝.
能 力 提 升
8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器厚度，则球的体积为(　　)
A. cm3 　　　 B. cm3
C. cm3 　　　 D. cm3
解析　利用球的截面性质结合直角三角形求解.
如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm).设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，
∴V球＝π×53＝π(cm3).
答案　A
9.过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为(　　)
A. B. C. D.
解析　过球心作球的截面，如图所示，设球的半径为R，截面圆的半径为r，则有r＝＝R，则球的表面积为4πR2，截面的面积为π＝πR2，所以截面的面积与球的表面积的比为＝.
答案　A
10.圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.
解析　设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为8 cm的水的体积为8πr2，3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4(cm).
答案　4
11.如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积.(其中∠BAC＝30°)
解　如图所示，过C作CO1⊥AB于O1.
在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，
∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R，∴S球＝4πR2，
S圆锥AO1侧＝π×R×R＝πR2，
S圆锥BO1侧＝π×R×R＝πR2，
∴S几何体表＝S球＋S圆锥AO1侧＋S圆锥BO1侧＝πR2＋πR2＝πR2.
故旋转所得几何体的表面积为πR2.
探 究 创 新
12.如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为8 cm的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？
解　设圆锥形杯子的高为h cm，
要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，
则必须V圆锥≥V半球，而V半球＝×πr3＝××43，
V圆锥＝Sh＝πr2h＝×42×h.
依题意：×42×h≥××43，解得h≥8，
即当圆锥形杯子杯口直径为8 cm，高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子.又因为S圆锥侧＝πrl＝πr，
当圆锥高取最小值8时，S圆锥侧最小，
所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料.
第一章 空间几何体
章末复习课
1.空间几何体的结构特征
(1)棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边互相平行.
棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.
棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的.
这三种几何体都是多面体.
(2)圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体.在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面.
(3)由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体.
2.空间几何体的三视图与直观图
(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
它包括正视图、侧视图、俯视图三种.画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则.
注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出.熟记常见几何体的三视图.画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验.
(2)斜二测画法：
主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：(1)画轴；(2)画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x′、y′、z′轴的线段；(3)截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.
三视图和直观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化，这也是高考考查的重点；根据三视图的画法规则理解三视图中数据表示的含义，从而可以确定几何体的形状和基本量.
3.几何体的侧面积和体积的有关计算
柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式
面积
体积
圆柱
S侧＝2πrh
V＝Sh＝πr2h
圆锥
S侧＝πrl
V＝Sh＝πr2h＝πr2
圆台
S侧＝π(r1＋r2)l
V＝(S上＋S下＋)h＝π(r＋r＋r1r2)h
直棱柱
S侧＝Ch
V＝Sh
正棱锥
S侧＝Ch′
V＝Sh
正棱台
S侧＝(C＋C′)h′
V＝(S上＋S下＋)h
球
S球面＝4πR2
V＝πR3
方法一　几何体的三视图和直观图
空间几何体的三视图、直观图以及两者之间的转化是本章的难点，也是重点.解题需要依据它们的概念及画法规则，同时还要注意空间想象能力的运用.
【例1】 将正方体如图(1)所示截去两个三棱锥，得到如图(2)所示的几何体，则该几何体的侧视图为(　　)
解析　还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线.D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线.
答案　B
【训练1】 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是(　　)
解析　所给选项中，A、C选项的正视图、俯视图不符合，D选项的侧视图不符合，只有B选项符合.
答案　B
方法二　几何体的表面积与体积
几何体的表面积和体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题，如制作物体的下料问题、材料最省问题等.这里应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系.在计算中，要充分利用平面几何知识，特别注意应用柱体、锥体、台体的侧面展开图.组合体的表面积和体积，可以通过割补法转化为柱体、锥体、台体等的表面积和体积.
【例2】 如图所示，已知三棱柱ABC－A′B′C′，侧面B′BCC′的面积是S，点A′到侧面B′BCC′的距离是a，求三棱柱ABC－A′B′C′的体积.
解　连接A′B，A′C，如图所示，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥.
设所求体积为V，显然三棱锥A′－ABC的体积是V.
而四棱锥A′－BCC′B′的体积为Sa，
故有V＋Sa＝V，即V＝Sa.
【训练2】 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)
A.16＋8π B.8＋8π
C.16＋16π D.8＋16π
解析　将三视图还原为原来的几何体，再利用体积公式求解.原几何体为组合体：上面是长方体，下面是圆柱的一半(如图所示)，其体积为V＝4×2×2＋π×22×4＝16＋8π.
答案　A
方法三　转化与化归思想
运用转化与化归的思想寻求解题途径，常用如下几种策略：
(1)已知与未知的转化.由已知想可知，由未知想需知，通过联想，寻找解题途径.(2)正面与反面的转化.在处理某一问题时，按照习惯思维方式从正面思考遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方式去解决，往往能达到以突破性的效果.(3)一般与特殊的转化.特殊问题的解决往往是比较容易的，可以利用特殊问题内含的本质联系，通过演绎，得出一般结论，从而使问题得以解决.(4)复杂与简单的转化.把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是解数学问题的一条重要原则.
【例3】 如图所示，圆台母线AB长为20 cm，上、下底面半径分别为5 cm和
10 cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳子长度的最小值.
解　如图所示，作出圆台的侧面展开图及其所在的圆锥.
连接MB′，P、Q分别为圆台的上、下底面的圆心.
在圆台的轴截面中，∵Rt△OPA∽Rt△OQB，
∴＝，∴＝.∴OA＝20(cm).
设∠BOB′＝α，
由扇形弧的长与底面圆Q的周长相等，
得2×10×π＝2×OB×π×，
即20π＝2×(20＋20)π×，
∴α＝90°.∴在Rt△B′OM中，
B′M＝＝＝50(cm)，
即所求绳长的最小值为50 cm.
【训练3】 圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，从A到C圆柱侧面上的最短距离为(　　)
A.10 cm B. cm
C.5 cm D.5 cm
解析　如图所示，沿母线BC展开，曲面上从A到C的最短距离为平面上从A到C的线段的长.
∵AB＝BC＝5，∴A′B＝＝×2π×＝π.
∴A′C＝＝＝5＝(cm).
答案　B
1.(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为(　　)
A．20π B．24π
C．28π D．32π
解析　由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.
答案　C
2．(2016·全国Ⅲ)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(　　)
A．18＋36 B．54＋18
C．90 D．81
解析　由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3××2＝54＋18.
答案　B
3.(2015·全国Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有(　　)
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
解析　由题意知：米堆的底面半径为(尺)，体积V＝×πR2·h≈(立方尺).所以堆放的米大约为≈22(斛).
答案　B
4.(2015·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是(　　)
A.8 cm3 B.12 cm3 C. cm3 D. cm3
解析　先由三视图还原几何体，再利用相应的体积公式计算.
由三视图可知，该几何体是由一个正方体和一个正四棱锥构成的组合体.下面是棱长为2 cm的正方体，体积V1＝2×2×2＝8(cm3)；上面是底面边长为2 cm，高为2 cm的正四棱锥，体积V2＝×2×2×2＝(cm3).所以该几何体的体积V＝V1＋V2＝(cm3).
答案　C
5.(2015·陕西高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)
A.3π B.4π
C.2π＋4 D.3π＋4
解析　由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为：
S＝2×π×12＋×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.
答案　D
6.(2014·浙江高考)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是(　　)
A.90 cm2 B.129 cm2
C.132 cm2 D.138 cm2
解析　该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm，4 cm，5 cm，所以表面积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋＝99＋39＝138(cm2).
答案　D
7．(2016·北京高考)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
解析　由三视图知该四棱柱为直四棱柱，底面积S＝＝，高h＝1，所以四棱柱体积V＝S·h＝×1＝.
答案　
8．(2016·浙江高考)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.
解析　由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2 cm，下面长方体是底面边长为4 cm，高为2 cm，其直观图如右图：其表面积S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)．体积V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．
答案　80　40
9.(2013·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于________cm3.
解析　由三视图可知该几何体为一个直三棱柱被截去了一个小三棱锥，如图所示.三棱柱的底面为直角三角形，且直角边长分别为3和4，三棱柱的高为5，故其体积V1＝×3×4×5＝30(cm3)，小三棱锥的底面与三棱柱的上底面相同，高为3，故其体积V2＝××3×4×3＝6(cm3)，所以所求几何体的体积为30－6＝24(cm3).
答案　24
3.1.1　倾斜角与斜率
目标定位　1.理解直线的倾斜角的定义，掌握直线倾斜角的范围.2.理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式.能利用斜率解决具体问题.3.掌握直线斜率和倾斜角之间的关系：k＝tan α＝.
自 主 预 习
1.直线的倾斜角
(1)定义：一条直线l与x轴相交，我们取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.一条直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)取值范围：0°≤α<180°.
2.直线的斜率
定义
倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，记为k，即k＝tan__α.
取值范围
当α＝0°时，k＝0；
当0°<α<90°时，k>0；
当90°<α<180°时，k<0；
当α＝90°时，斜率不存在.
3.斜率公式
直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(其中x1≠x2).
即 时 自 测
1.判断题
(1)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.(√)
(2)直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.(×)
(3)直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α.(×)
(4)一条直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线的斜率k＝.(×)
提示　(2)当α＝90°时，直线的斜率不存在.
(3)当0°≤α＜180°时，α才是此直线的倾斜角.
(4)当x1≠x2时，k＝，当x1＝x2时，k不存在.
2.下图中α能表示直线l的倾斜角的是(　　)
A.① B.①② C.①③ D.②④
解析　结合直线l的倾斜角的概念可知①可以，选A.
答案　A
3.已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(　　)
A. B. C.1 D.
解析　由题意可知，k＝tan 30°＝.
答案　A
4.过点P1(3，－1)和P2(4，2)的直线的斜率k＝________.
解析　k＝＝3.
答案　3
类型一　直线的倾斜角
【例1】 设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A.α＋45°
B.α－135°
C.135°－α
D.当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135°
解析　根据题意，画出图形，如图所示：
因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，
不合题意.通过画图(如图所示)可知：
当0°≤α<135°，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α<180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D.
答案　D
规律方法　1.解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答.
2.求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论.
【训练1】 一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)
A.α B.180°－α
C.180°－α或90°－α D.90°＋α或90°－α
解析　如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.
答案　D
类型二　直线的斜率
【例2】 已知直线l过P(－2，－1)，且与以A(－4，2)，B(1，3)为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.
解　根据题中的条件可画出图形，如图所示，
又可得直线PA的斜率kPA＝－，
直线PB的斜率kPB＝，
结合图形可知当直线l由PB变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角逐渐增大到90°，故斜率的取值范围为，
当直线l由与y轴平行的位置变化到PA位置时，它的倾斜角由90°增大到PA的倾斜角，故斜率的变化范围是.
综上可知，直线l的斜率的取值范围是∪.
规律方法　(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式k＝tan α(α≠90°)解决
(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式
k＝(x1≠x2)求解.
(3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解.
【训练2】 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点.
(1)求直线l的斜率k的取值范围；
(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.
解　如图所示，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1.
(1)要使直线l与线段AB有公共点，则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1，或k≥1.
(2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间，又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°，所以α的取值范围是45°≤α≤135°.
类型三　斜率公式的应用(互动探究)
【例3】 已知实数x，y满足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值.
[思路探究]
探究点一　y＝－2x＋8，且2≤x≤3与的几何意义是什么？
提示　y＝－2x＋8，且2≤x≤3表示一线段AB，其中A(2，4)，B(3，2)；表示点(x，y)与点(0，0)连线的斜率.
探究点二　解决此题的一般思路是什么？
提示　这类题的一般解法是借助图形，用运动变化的观点看问题.注意倾斜角为90°的“跨越”.
解　如图所示，由于点(x，y)满足关系式2x＋y＝8，且2≤x≤3，可知点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标可分别求得为A(2，4)，B(3，2).
由于的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝，
所以可求得的最大值为2，最小值为.
规律方法　若所求最值或范围的式子可化为的形式，则联想其几何意义，利用图形数形结合来求解.
【训练3】 已知实数x，y满足y＝x2－x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值.
解　由的几何意义可知，它表示经过定点P(－2，－3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，由图可知kPA≤k≤kPB，由已知可得A(1，2)，B(－1，4).
则kPA＝＝，kPB＝＝7.
∴≤k≤7，∴的最大值为7，最小值为.
[课堂小结]
1.倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度.
2.直线的斜率和倾斜角都反映了直线的倾斜程度，二者紧密相连，如下表：
直线情况
平行于x轴
垂直于x轴
α的大小
0°
0°＜α＜90°
90°
90°＜α＜180°
k的范围
0
k＞0
不存在
k＜0
k的增减情况
k随α的增大而增大
k随α的增大而增大
3.运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝应注意的问题：
(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应).
(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在.
1.直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角范围是(　　)
A.0°≤α<90° B.90°≤α<180°
C.90°<α<180° D.0°<α<180°
解析　直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角范围是90°<α<180°.
答案　C
2.若过两点A(4，y)，B(2，－3)的直线的倾斜角为45°.则y＝(　　)
A.－ B. C.－1 D.1
解析　tan 45°＝kAB＝，即＝1，所以y＝－1.
答案　C
3.如图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3之间的大小关系为________.
解析　设l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，则由图可知0°<α3<α2<90°<α1<180°，所以tan α2>tan α3>0，tan α1<0，故k1答案　k14.已知点B在坐标轴上，点A(3，4)，kAB＝2，求点B的坐标.
解　若点B在x轴上，则设点B的坐标为(x，0).
由题意知＝2.解得x＝1，即B(1，0)；
若点B在y轴上，则设点B的坐标为(0，y).
由题意知＝2.解得y＝－2，即B(0，－2).
∴点B的坐标为(1，0)或(0，－2).
基 础 过 关
1.若A、B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是(　　)
A.45°，1 B.135°，－1
C.90°，不存在 D.180°，不存在
解析　由于A、B两点的横坐标相等，所以直线与x轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在.故选C.
答案　C
2.直线l的斜率为k，倾斜角为α，若－1＜k＜1，则α的范围是(　　)
A. B.∪
C.∪ D.∪
解析　当－1＜k＜0时，则α∈；当0≤k＜1时，则α∈.
答案　B
3.直线l过原点(0，0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是(　　)
A.0°≤α≤90° B.90°≤α<180°
C.90°≤α<180°或α＝0° D.90°≤α≤135°
解析　倾斜角的取值范围为0°≤α<180°，直线过原点且不过第三象限，切勿忽略x轴和y轴.
答案　C
4.如果过点P(－2，m)和Q(m，4)的直线的斜率等于1，则m＝______.
解析　由斜率公式知＝1，解得m＝1.
答案　1
5.一条光线从A(3，2)发出，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(－1，6)，则反射光线所在直线的斜率为____________.
解析　如图所示，作A点关于x轴的对称点A′，
所以点A′在直线MB上.由对称性可知A′(3，－2)，
所以光线MB所在直线的斜率为kA′B＝＝－2.
故反射光线所在直线的斜率为－2.
答案　－2
6.求经过下列两点的直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角.
(1)(－3，0)，(－2，)；
(2)(1，－2)，(5，－2)；
(3)(3，4)，(－2，9)；
(4)(3，0)，(3，).
解　(1)直线的斜率k＝＝＝tan 60°，
此直线的斜率为，倾斜角为60°.
(2)直线的斜率k＝＝0，此直线的斜率为0，倾斜角为0°.
(3)直线的斜率k＝＝－1＝tan 135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°.
(4)因为两点横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°.
7.已知A(1，1)，B(3，5)，C(a，7)，D(－1，b)四点在同一条直线上，求直线的斜率k及a、b的值.
解　由题意可知kAB＝＝2，
kAC＝＝，kAD＝＝，
所以k＝2＝＝，
解得a＝4，b＝－3，
所以直线的斜率k＝2，a＝4，b＝－3.
能 力 提 升
8.斜率为2的直线经过点A(3，5)、B(a，7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为(　　)
A.a＝4，b＝0 B.a＝－4，b＝－3
C.a＝4，b＝－3 D.a＝－4，b＝3
解析　由题意，得，即解得a＝4，b＝－3.
答案　C
9.已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1，1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是(　　)
A.k≥2或k≤ B.≤k≤2
C.k≥ D.k≤2
解析　直线PA的斜率kPA＝2，直线PB的斜率kPB＝，结合图象，如图所示，可知直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤.故选A.
答案　A
10.若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围为________.
解析　∵k＝且直线的倾斜角为钝角，∴<0，解得－2答案　(－2，1)
11.已知A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)，
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围.
解　(1)由斜率公式得kAB＝＝0，kAC＝＝.
(2)如图所示.kBC＝＝.
设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.
探 究 创 新
12.光线从点A(2，1)射到y轴上的点Q，经y轴反射后过点B(4，3)，试求点Q的坐标及入射光线的斜率.
解　法一　设Q(0，y)，则由题意得kQA＝－kQB.
∵kQA＝，kQB＝，∴＝－.
解得y＝，即点Q的坐标为，∴k入＝kQA＝＝－.
法二　如图，点B(4，3)关于y轴的对称点为B′(－4，3)，
kAB′＝＝－，由题意得，A、Q、B′三点共线.
从而入射光线的斜率为kAQ＝kAB′＝－.设Q(0，y)，则k入＝kQA＝＝－.
解得y＝，即点Q的坐标为.
3.1.2　两条直线平行与垂直的判定
目标定位　1.掌握用斜率判定两条直线平行和垂直的方法.2.能根据两条直线平行或垂直的关系确定两条直线斜率的关系.
自 主 预 习
1.两条直线平行与斜率的关系
(1)如图①设两条不重合的直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若l1∥l2，则k1＝k2；反之，若k1＝k2，则l1∥l2.
(2)如图②若两条不重合的直线的斜率不存在，则这两条直线也平行.
2.两条直线垂直与斜率的关系
(1)如图①，如果两条直线都有斜率且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于
－1；反之，如果它们的斜率之积等于－1，那么它们互相垂直.即k1k2＝－1?l1⊥l2，l1⊥l2?k1k2＝－1.
(2)如图②，若l1与l2中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是垂直.
即 时 自 测
1.判断题
(1)若两条直线斜率相等，则两直线平行(×)
(2)若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交.(√)
(3)若两直线的斜率之积等于－1，则两直线互相垂直.(√)
(4)若直线l1⊥l2，则直线l1与l2的斜率互为负倒数.(×)
提示　(1)当两直线斜率相等时，两直线平行或重合.
(4)当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线垂直.
2.已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k＝(　　)
A.－3 B.3 C.－ D.
解析　因为直线l∥AB，所以k＝kAB＝＝3.
答案　B
3.已知直线l1的斜率为0，且l1⊥l2，则l2的倾斜角为(　　)
A.0° B.135° C.90° D.180°
解析　∵kl1＝0且l1⊥l2∴kl2不存在，直线l2的倾斜角为90°.
答案　C
4.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝2，l1⊥l2，则k2＝________.
解析　l1⊥l2，k1·k2＝－1，∴k2＝－＝－.
答案　－
类型一　两条直线平行的判定
【例1】 根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系.
(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8，－7)；
(2)l1的倾斜角为60°，l2经过点M(3，2)，N(－2，－3).
解　(1)由题意知k1＝＝－，k2＝＝－.
因为k1＝k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
(2)由题意知k1＝tan 60°＝，k2＝＝.
因为k1＝k2，所以l1∥l2或l1与l2重合.
规律方法　1.判断两直线是否平行，应首先看两直线的斜率是否存在，即看两点的横坐标是否相等，若存在再看斜率是否相等.
2.判断斜率是否相等实际是看倾斜角是否相等，归根结底是充分利用两直线平行的条件.
【训练1】 根据给定的条件，判断直线l1与直线l2的位置关系.
(1)l1平行于y轴，l2经过点P(0，－2)，Q(0，5)；
(2)l1经过点E(0，1)，F(－2，－1)，l2经过点G(3，4)，H(2，3).
解　(1)由题意知l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率也不存在，恰好是y轴，所以l1∥l2.
(2)由题意知k1＝＝1，k2＝＝1，
虽然k1＝k2，但是E，F，G，H四点共线，所以l1与l2重合.
类型二　两条直线垂直的判定
【例2】 判断下列各组中的直线l1与l2是否垂直：
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1，2)，l2经过点M(－2，－1)，N(2，1)；
(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3)；
(3)l1经过点A(3，4)，B(3，100)，l2经过点M(－10，40)，N(10，40).
解　(1)直线l1的斜率k1＝＝2，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝1，故l1与l2不垂直.
(2)直线l1的斜率k1＝－10，直线l2的斜率k2＝＝，k1k2＝－1，故l1⊥l2.
(3)l1的倾斜角为90°，则l1⊥x轴.
直线l2的斜率k2＝＝0，则l2∥x轴.故l1⊥l2.
规律方法　使用斜率公式判定两直线垂直的步骤：
(1)一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；
(2)二用：就是将点的坐标代入斜率公式；
(3)三求值：计算斜率的值，进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论.
【训练2】 已知直线l1⊥l2，若直线l1的倾斜角为30°，则直线l2的斜率为________.
解析　由题意可知直线l1的斜率k1＝tan 30°＝，
设直线l2的斜率为k2，则k1·k2＝－1，
∴k2＝－.
答案　－
类型三　平行与垂直关系的综合应用(互动探究)
【例3】 已知A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点，若顺次连接ABCD四点，试判定图形ABCD的形状.
[思路探究]
探究点一　判定图形的形状的基本思路是什么？
提示　先由图形判断四边形各边的关系，猜测四边形的形状，再由斜率之间的关系完成证明.
探究点二　利用斜率判定平行与垂直时需要注意什么？
提示　要注意考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.
解　由题意知A，B，C，D四点在坐标平面内的位置，
如图，由斜率公式可得kAB＝＝，
kCD＝＝，kAD＝＝－3，kBC＝＝－.
所以kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，所以AB∥CD，
由kAD≠kBC，所以AD与BC不平行.
又因为kAB·kAD＝×(－3)＝－1，
所以AB⊥AD，故四边形ABCD为直角梯形.
规律方法　(1)利用直线的斜率判定平面图形的形状一般要运用数形结合的方法，先由图形作出猜测，然后利用直线的斜率关系进行判定.
(2)由几何图形的形状求参数(一般是点的坐标)时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要考虑斜率是否存在，又要考虑到图形可能出现的各种情形.
【训练3】 已知△ABC的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值.
解　若∠A为直角，则AC⊥AB，
所以kAC·kAB＝－1，即·＝－1，得m＝－7；
若∠B为直角，则AB⊥BC，所以kAB·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝3；
若∠C为直角，则AC⊥BC，
所以kAC·kBC＝－1，
即·＝－1，得m＝±2.
综上可知，m＝－7或m＝3或m＝±2.
[课堂小结]
1.两直线平行或垂直的判定方法.
斜率
直线
斜率均不存在
平行或重合
一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在
垂直
斜率均存在
相等
平行或重合
积为－1
垂直
2.在两条直线平行或垂直关系的判断中体会分类讨论的思想.
1.下列说法正确的有(　　)
①若两直线斜率相等，则两直线平行；
②若l1∥l2，则k1＝k2；
③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交；
④若两直线斜率都不存在，则两直线平行.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确.只有③正确.
答案　A
2.过点(，)，(0，3)的直线与过点(，)，(2，0)的直线的位置关系为(　　)
A.垂直 B.平行
C.重合 D.以上都不正确
解析　过点(，)，(0，3)的直线的斜率k1＝＝－；过点(，)，(2，0)的直线的斜率k2＝＝＋.因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直.
答案　A
3.直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3，5)，N(x，7)，P(－1，y)，若l1⊥l2，则x＝________，y＝________.
解析　∵l1⊥l2，且l1的斜率为2，则l2的斜率为－，
∴＝＝－，∴x＝－1，y＝7.
答案　－1　7
4.已知A(m，1)，B(－3，4)，C(1，m)，D(－1，m＋1).
(1)当m为何值时，AB∥CD?
(2)当m为何值时，AB⊥CD?
解　(1)AB∥CD?kAB＝kCD≠kBC，∴－＝－≠，解得m＝3，
∴当m＝3时，AB∥CD.
(2)AB⊥CD?kAB·kCD＝－1，∴＝－1，解得m＝－，
∴当m＝－时，AB⊥CD.
基 础 过 关
1.经过两点A(2，3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为(　　)
A.0 B.－6 C.6 D.3
解析　直线l1的斜率k1＝＝，由题意可知＝－1，∴x＝6.
答案　C
2.以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是(　　)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.以A点为直角顶点的直角三角形
D.以B点为直角顶点的直角三角形
解析　kAB＝＝－，kAC＝＝，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角.
答案　C
3.已知?ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(1，0)，C(4，3)，则顶点D的坐标为(　　)
A.(3，4) B.(4，3)
C.(3，1) D.(3，8)
解析　设D(m，n)，由题意得AB∥DC，AD∥BC，则有kAB＝kDC，kAD＝kBC，
∴解得∴点D的坐标为(3，4).
答案　A
4.已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2∥l1，且l2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a的值为________.
解析　∵l2∥l1，且l1的倾斜角为45°，∴kl2＝kl1＝tan 45°＝1，即＝1，所以a＝4.
答案　4
5.已知直线l1的斜率为3，直线l2经过点A(1，2)，B(2，a)，若直线l1∥l2，则a＝________；若直线l1⊥l2，则a＝________.
解析　l1∥l2时，＝3，则a＝5；l1⊥l2时，＝－，则a＝.
答案　5　
6.当m为何值时，过两点A(1，1)，B(2m2＋1，m－2)的直线：
(1)倾斜角为135°；
(2)与过两点(3，2)，(0，－7)的直线垂直；
(3)与过两点(2，－3)，(－4，9)的直线平行.
解　(1)由kAB＝＝－1，
解得m＝－或1.
(2)由kAB＝，且＝3，
∴＝－，解得m＝或－3.
(3)令＝＝－2，
解得m＝或－1.
7.已知直线l1经过点A(3，m)，B(m－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，m＋2).
(1)若l1∥l2，求m的值；
(2)若l1⊥l2，求m的值.
解　由题意知直线l2的斜率存在且k2＝＝－.
(1)若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2，
得＝－，解得m＝1或m＝6，
经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2.
(2)若l1⊥l2.
当k2＝0时，此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意；
当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0，则直线l1的斜率也存在，则k1·k2＝－1，即－·＝－1，
解得m＝3或m＝－4，
所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2.
能 力 提 升
8.已知A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为(　　)
A.1 B.0 C.0或2 D.0或1
解析　当AB与CD斜率均不存在时，m＝0，此时AB∥CD，当kAB＝kCD时，m＝1，此时AB∥CD.
答案　D
9.若点P(a，b)与Q(b－1，a＋1)关于直线l对称，则l的倾斜角为(　　)
A.135° B.45° C.30° D.60°
解析　kPQ＝＝－1，kPQ·kl＝－1，∴l的斜率为1，倾斜角为45°.
答案　B
10.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－4k＋m＝0的两根，若l1⊥l2，则m＝________，若l1∥l2，则m＝________.
解析　由一元二次方程根与系数的关系得k1·k2＝，若l1⊥l2则＝－1，
∴m＝－2.
若l1∥l2则k1＝k2即关于k的二次方程2k2－4k＋m＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝(－4)2－4×2×m＝0，∴m＝2.
答案　－2　2
11.已知△ABC三个顶点坐标分别为A(－2，－4)，B(6，6)，C(0，6)，求此三角形三边的高所在直线的斜率.
解　由斜率公式可得kAB＝＝，
kBC＝＝0，kAC＝＝5.
由kBC＝0知直线BC∥x轴，
∴BC边上的高线与x轴垂直，其斜率不存在.
设AB、AC边上高线的斜率分别为k1、k2，
由k1·kAB＝－1，k2·kAC＝－1，
即k1·＝－1，k2·5＝－1，
解得k1＝－，k2＝－.
∴BC边上的高所在直线的斜率不存在；
AB边上的高所在直线的斜率为－；
AC边上的高所在直线的斜率为－.
探 究 创 新
12.已知四边形ABCD的顶点A(m，n)，B(5，－1)，C(4，2)，D(2，2)，求m和n的值，使四边形ABCD为直角梯形.
解　(1)当∠A＝∠D＝90°时，如图①所示，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AB∥DC且AD⊥AB.易求得m＝2，n＝－1.
(2)当∠A＝∠B＝90°时，如图②所示，
∵四边形ABCD为直角梯形，
∴AD∥BC且AB⊥BC，∴kAD＝kBC，kAB·kBC＝－1，
∴解得m＝，n＝－.
综上所述，m＝2，n＝－1或m＝，n＝－.
3.2.1　直线的点斜式方程
目标定位　1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在y轴上的截距的含义.3.会根据斜截式方程判断两直线的位置关系.
自 主 预 习
1.直线的点斜式方程
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
点斜式
点P(x0，y0)和斜率k
y－y0＝k(x－x0)
斜率存在的直线
2.直线l在坐标轴上的截距
(1)直线在y轴上的截距：直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b.
(2)直线在x轴上的截距：直线l与x轴的交点(a，0)的横坐标a.
3.直线的斜截式方程
名称
已知条件
示意图
方程
使用范围
斜截式
斜率k和在y轴上的截距b
y＝kx＋b
斜率存在的直线
即 时 自 测
1.判断题
(1)经过点P(x0，y0)的直线，都可以用y－y0＝k(x－x0)来表示.(×)
(2)经过A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示.(×)
(3)直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示不与x轴垂直的直线.(√)
(4)直线l在y轴上的截距b一定是正数.(×)
提示　(1)经过点P(x0，y0)垂直于x轴的直线方程为x＝x0.
(2)当直线与x轴垂直时，直线不能用斜截式表示，其方程可表示为x＝0.
(4)直线l在y轴上的截距b实际上是直线l与y轴交点的纵坐标，因此b可以是正数，也可以是负数，还可以是0.
2.已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则(　　)
A.直线经过点(－1，2)，斜率为－1
B.直线经过点(2，－1)，斜率为－1
C.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
D.直线经过点(－2，－1)，斜率为1
解析　方程可变形为y＋2＝－(x＋1)，
∴直线过点(－1，－2)，斜率为－1.
答案　C
3.直线经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则它的点斜式方程为(　　)
A.y＝x＋1 B.y＋3＝x－2
C.y＝x－1 D.y－3＝x＋2
解析　直线的倾斜角为45°，则它的斜率k＝tan 45°＝1，所以由点斜式方程，得y－(－3)＝1×(x－2)，即y＋3＝x－2.
答案　B
4.已知直线l的斜率为2，在y轴上的截距为－3，则直线l的斜截式方程为________.
解析　由斜截式方程，得y＝2x－3.
答案　y＝2x－3
类型一　直线的点斜式方程(互动探究)
【例1】 求满足下列条件的直线的点斜式方程.
(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；
(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；
(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点.
[思路探究]
探究点一　直线的点斜式方程的适用条件是什么？
提示　点P(x0，y0)和斜率k.
探究点二　求直线的点斜式方程的方法步骤是什么？
提示　在直线的斜率存在时，先确定所过定点，再确定直线的斜率，然后代入公式.
解　(1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，
由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)，
(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为
y－(－4)＝0×(x－3)，即y＋4＝0.
(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率kPQ＝＝＝－1.
又∵直线过点P(－2，3).∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2).
规律方法　(1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0).
(2)点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外.
【训练1】 (1)过点(－1，2)，且倾斜角为135°的直线方程为________.
(2)已知直线l过点A(2，1)且与直线y－1＝4x－3垂直，则直线l的方程为________.
解析　(1)k＝tan 135°＝－1，
由直线的点斜式方程得y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.
(2)方程y－1＝4x－3可化为y－1＝4，
由点斜式方程知其斜率k＝4.又因为l与直线y－1＝4x－3垂直，所以直线l的斜率为－.又因为l过点A(2，1)，所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，
即x＋4y－6＝0.
答案　(1)x＋y－1＝0　(2)x＋4y－6＝0
类型二　直线的斜截式方程
【例2】 根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
解　(1)由直线方程的斜截式方程可知，所求直线方程为y＝2x＋5.
(2)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k＝tan 150°＝－.
由斜截式可得方程为y＝－x－2.
(3)∵直线的倾斜角为60°，∴其斜率k＝tan 60°＝，
∵直线与y轴的交点到原点的距离为3，
∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.
∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.
规律方法　1.本题(3)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解“y＝x－3”.
2.截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可负、可为零.
【训练2】 写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
(3)倾斜角是30°，在y轴上的截距是0.
解　(1)由直线方程的斜截式可得，所求直线方程为y＝3x－3.
(2)由题意可知，直线的斜率k＝tan 60°＝，所求直线的方程为y＝x＋5.
(3)由题意可知所求直线的斜率k＝tan 30°＝，
由直线方程的斜截式可知，直线方程为y＝x.
类型三　直线过定点问题
【例3】 求证：不论m为何值时，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.
证明　法一　直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)，
∴直线l过定点(－2，3)，
由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限.
法二　直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
令解得
∴无论m取何值，直线l总经过点(－2，3).
∵点(－2，3)在第二象限，∴直线l总过第二象限.
规律方法　本例两种证法是证明直线过定点的基本方法，法一体现了点斜式的应用，法二体现代数方法处理恒成立问题的基本思想.
【训练3】 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限.
证明　法一　由已知，得直线l的点斜式方程为y－＝a.
故直线l的斜率为a，且过定点，而该点在第一象限，因而结论成立.
法二　直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
∴必有即
即直线l过定点，而该点在第一象限，
∴结论成立.
[课堂小结]
1.建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有＝k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为y－y1＝k(x－x1)才是整条直线的方程.当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为x＝x1.
2.斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过(0，b)点、斜率为k的直线y－b＝k(x－0)，即y＝kx＋b，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数.如y＝c是直线的斜截式方程，而2y＝3x＋4不是直线的斜截式方程.
1.直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　)
A.60°，2 B.120°，2－
C.60°，2－ D.120°，2
解析　该直线的斜率为－，当x＝0时，y＝2－，
∴其倾斜角为120°，在y轴上的截距为2－.
答案　B
2.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有(　　)
A.k＞0，b＞0 B.k＞0，b＜0
C.k＜0，b＞0 D.k＜0，b＜0
解析　∵直线经过一、三、四象限，∴图形如图所示，由图知，k＞0，b＜0.
答案　B
3.已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋1的倾斜角的2倍，且过定点P(3，3)，则直线l的方程为________.
解析　直线y＝x＋1的斜率为1，所以倾斜角为45°，又所求直线的倾斜角是已知直线倾斜角的2倍，所以所求直线的倾斜角为90°，其斜率不存在.又直线过定点P(3，3)，所以直线l的方程为x＝3.
答案　x＝3
4.直线l经过点P(3，4)，它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程和斜截式方程.
解　∵直线y＝x＋的斜率k＝，∴其倾斜角为60°，
∴直线l的倾斜角为60°×2＝120°，
∴直线l的斜率k′＝tan 120°＝－，
又∵直线l过点P(3，4)，
∴直线l的点斜式方程为y－4＝－(x－3)，
化为斜截式方程为y＝－x＋4＋3
基 础 过 关
1.直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可以表示(　　)
A.任何一条直线 B.不过原点的直线
C.不与坐标轴垂直的直线 D.不与x轴垂直的直线
解析　点斜式方程适用的前提条件是斜率存在，故其可表示不与x轴垂直的直线.
答案　D
2.经过点(－1，1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是(　　)
A.x＝－1 B.y＝1
C.y－1＝(x＋1) D.y－1＝2(x＋1)
解析　由方程知，已知直线的斜率为，
∴所求直线的斜率是，由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝(x＋1)，
∴选C.
答案　C
3.与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是(　　)
A.y＝x＋4 B.y＝2x＋4
C.y＝－2x＋4 D.y＝－x＋4
解析　直线y＝2x＋1的斜率为2，∴与其垂直的直线的斜率是－，
∴直线的斜截式方程为y＝－x＋4，故选D.
答案　D
4.已知直线l的倾斜角为60°，在y轴上的截距为6，则直线l的斜截式方程为________.
解析　因为直线l的倾斜角为60°，故其斜率为，由斜截式方程，
得y＝x＋6.
答案　y＝x＋6
5.过点(1，2)且与直线y＝－2x垂直的点斜式方程是________.
解析　设所求直线的斜率为k，则－2·k＝－1，∴k＝.
∴直线的点斜式方程为y－2＝(x－1).
答案　y－2＝(x－1)
6.根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式；
(2)求过点A(6，－4)，斜率为－的直线方程的斜截式.
解　(1)易知所求直线的斜率k＝－1，在y轴上的截距b＝－2，
由直线方程的斜截式知，所求直线方程为y＝－x－2.
(2)所求直线的斜率k＝－，且过点A(6，－4)，
根据直线方程的点斜式得直线方程为y＋4＝－(x－6)，
化为斜截式为y＝－x＋4.
7.已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(－5，0)，B(3，－3)，C(0，2)，求BC边上的高所在的直线方程.
解　设BC边上的高为AD，则BC⊥AD，
∴kAD·kBC＝－1，∴·kAD＝－1，解得kAD＝.
∴BC边上的高所在的直线方程为y－0＝(x＋5)，即y＝x＋3.
能 力 提 升
8.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0
解析　直线x－2y－2＝0的斜率为，又所求直线过点(1，0)，故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
答案　A
9.方程y＝ax＋表示的直线可能是图中的(　　)
解析　直线y＝ax＋的斜率是a，在y轴上的截距.
当a＞0时，斜率a＞0，在y轴上的截距＞0，则直线y＝ax＋过第一、二、三象限，四个选项都不符合；当a＜0时，斜率a＜0，在y轴上的截距＜0，则直线y＝ax＋过第二、三、四象限，仅有选项B符合.故正确答案为B.
答案　B
10.已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________.
解析　令y＝0，则x＝－2k.令x＝0，则y＝k，则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2.
由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，所以k的范围是k≥1或k≤－1.
答案　k≥1或k≤－1
11.已知位于第一象限的△ABC中，A(1，1)，B(5，1)，∠A＝60°，∠B＝45°.
求：(1)AB边所在直线的方程；
(2)AC边与BC边所在直线的方程.
解　如图，
(1)∵A(1，1)，B(5，1)，∴直线AB与x轴平行.
∴直线AB的斜率为0，从而该直线的方程为y－1＝0.
(2)∵∠A＝60°，∴kAC＝，
AC边所在直线方程为y－1＝(x－1)，即x－y＋1－＝0.
又∵∠B＝45°，∴直线BC的倾斜角为135°，其斜率为－1.
∴BC边所在直线方程为y－1＝－(x－5)，即x＋y－6＝0.
探 究 创 新
12.已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－3(1)证明　由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2).
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2，1).
(2)解　设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3需满足
即解得－≤k≤1.
所以，实数k的取值范围是－≤k≤1.
3.2.2　直线的两点式方程
3.2.3　直线的一般式方程
目标定位　1.掌握直线方程的两点式的形式，了解其适用范围.2.了解直线方程截距式的形式，特征及其适用范围.3.能正确理解直线方程一般式的含义，会进行直线方程不同形式的转化.
自 主 预 习
1.两点确定一条直线.经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)且x1≠x2，y1≠y2的直线方程＝，叫做直线的两点式方程.
2.直线l与x轴交点A(a，0)；与y轴交点B(0，b)，其中a≠0，b≠0，则得直线方程＋＝1，叫做直线的截距式方程.
3.若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的中点M的坐标为(x，y)，则.
4.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.
5.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－，在y轴上的截距为－；当B＝0时，在x轴上的截距为－；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－，－.
即 时 自 测
1.判断题
(1)经过任意两点的直线都可以用(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)来表示.(√)
(2)不经过原点的直线都可以用方程＋＝1表示.(×)
(3)一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程可以写成两点式或斜截式或点斜式.(√)
(4)若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A·B≠0.(×)
提示　(2)若直线垂直于坐标轴，此时a或b不存在，不能用＋＝1表示.
(4)方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件是A，B不同时为0，若A＝0，B≠0，或A≠0，B＝0时，方程也表示直线.
2.过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为(　　)
A.y＝x＋3 B.y＝－x＋1
C.y＝x＋2 D.y＝－x－2
解析　代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3.
答案　A
3.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为(　　)
A.A≠0 B.B≠0
C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0
解析　方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.
答案　D
4.直线3x－2y＝4的截距式方程是________.
解析　将3x－2y＝4两边同除以4得，－＝1，化成截距式方程为＋＝1.
答案　＋＝1
类型一　直线的两点式方程
【例1】 已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解　(1)∵BC边过两点B(5，－4)，C(0，－2)，
∴由两点式得＝，
即2x＋5y＋10＝0.
故BC边的方程为2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).
(2)设BC的中点为M(x0，y0)，
则x0＝＝，y0＝＝－3.∴M，
又BC边上的中线经过点A(－3，2).
∴由两点式得＝，即10x＋11y＋8＝0.
故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
规律方法　(1)首先要鉴别题目条件是否符合直线方程相应形式的要求，对含有字母的则需分类讨论；(2)注意问题叙述的异同，本题中第一问是表示的线段，所以要添加范围；第二问则表示的是直线.
【训练1】 已知△ABC三个顶点坐标A(2，－1)，B(2，2)，C(4，1)，求三角形三条边所在的直线方程.
解　∵A(2，－1)，B(2，2)，A、B两点横坐标相同，
∴直线AB与x轴垂直，故其方程为x＝2.
∵A(2，－1)，C(4，1)，由直线方程的两点式可得直线AC的方程为＝，
即x－y－3＝0.
同理可由直线方程的两点式得直线BC的方程为＝，即x＋2y－6＝0.
类型二　直线的截距式方程
【例2】 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程.
解　设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b.
①当a≠0，b≠0时，设l的方程为＋＝1.
∵点(4，－3)在直线上，∴＋＝1，
若a＝b，则a＝b＝1，直线的方程为x＋y－1＝0.
若a＝－b，则a＝7，b＝－7，直线的方程为x－y－7＝0.
②当a＝b＝0时，直线过原点，且过点(4，－3)，
∴直线的方程为3x＋4y＝0.
综上知，所求直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－7＝0或3x＋4y＝0.
规律方法　(1)当直线与两坐标轴相交时，一般可考虑用截距式表示直线方程，用待定系数法求解.
(2)选用截距式时一定要注意条件，直线不能过原点.
【训练2】 求过定点P(2，3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程.
解　设直线的两截距都是a，则有
①当a＝0时，直线为y＝kx，将P(2，3)代入得k＝，
∴l∶3x－2y＝0；
②当a≠0时，直线设为＋＝1，即x＋y＝a，把P(2，3)代入得a＝5，∴l：x＋y＝5.∴直线l的方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
类型三　直线的一般式与其他形式的转化(互动探究)
【例3】 已知直线l经过点A(－5，6)和点B(－4，8)，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图形.
[思路探究]
探究点一　两点式方程的适用条件是什么？两点的坐标满足什么条件？
提示　两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，两点的坐标应满足x1≠x2且y1≠y2.
探究点二　直线Ax＋By＋C＝0能化为截距式的条件是什么？
提示　当A，B，C≠0时，直线Ax＋By＋C＝0能化为截距式.
解　因为直线l经过点A(－5，6)，B(－4，8)，所以由两点式，得＝，
整理得2x－y＋16＝0，化为截距式得＋＝1，
所以直线l的一般式方程为2x－y＋16＝0，截距式方程为＋＝1.
图形如图所示：
规律方法　(1)一般式化为斜截式的步骤：
①移项得By＝－Ax－C；
②当B≠0时，得斜截式：y＝－x－.
(2)一般式化为截距式的步骤：
方法一：
①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；
②当C≠0时，方程两边同除以－C，得＋＝1；
③化为截距式：＋＝1.
方法二：
①令x＝0求直线在y轴上的截距b；
②令y＝0求直线在x轴上的截距a；
③代入截距式方程＋＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.
【训练3】 (1)下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　)
A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0
C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0
(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于(　　)
A. B.－5 C. D.－3
解析　(1)将一般式化为斜截式，斜率为－的有：B、C两项.又y＝－x＋14过点(0，14)即直线过第一象限，所以只有B项正确.
(2)令y＝0则x＝－3.
答案　(1)B　(2)D
[课堂小结]
1.求直线的两点式方程的策略以及注意点
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不垂直于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.
2.截距式方程应用的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式方程，用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
(3)要注意截距式方程的逆向应用.
3.一般式方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)的特殊情况
特殊直线
系数满足的条件
垂直x轴
B＝0
垂直y轴
A＝0
与x，y轴都相交
A·B≠0
过原点
C＝0
1.经过P(4，0)，Q(0，－3)两点的直线方程是(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析　因为由点坐标知直线在x轴，y轴上截距分别为4，－3，所以直线方程为
＋＝1.
答案　C
2.已知ab＜0，bc＜0，则直线ax＋by＝c通过(　　)
A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限
C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限
解析　由ax＋by＝c，得y＝－x＋，∵ab＜0，∴直线的斜率k＝－＞0，
∵bc＜0，∴直线在y轴上的截距＜0.
由此可知直线通过第一、三、四象限.
答案　C
3.直线mx＋3y－5＝0经过连接点A(－1，－2)，B(3，4)的线段的中点，则m＝________.
解析　线段AB的中点坐标是(1，1)，代入直线方程得m＋3－5＝0，所以m＝2.
答案　2
4.求过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.
解　①若直线过原点，则k＝－，
∴y＝－x，即4x＋3y＝0.
②若直线不过原点，设＋＝1，即x＋y＝a.
∴a＝3＋(－4)＝－1，∴x＋y＋1＝0.
故直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.

基 础 过 关
1.一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程(　　)
A.可以写成两点式或截距式
B.可以写成两点式或斜截式或点斜式
C.可以写成点斜式或截距式
D.可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
解析　由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式.由于直线在坐标轴上的截距有可能为0，所以直线不一定能写成截距式.故选B.
答案　B
2.直线＋＝1过第一、二、三象限，则(　　)
A.a＞0，b＞0 B.a＞0，b＜0
C.a＜0，b＞0 D.a＜0，b＜0
解析　因为直线l在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，且经过第一、二、三象限，故a＜0，b＞0.
答案　C
3.在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是(　　)
A.30° B.60°
C.150° D.120°
解析　直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
答案　C
4.已知A(3，0)，B(0，4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0的值等于________.
解析　AB所在直线方程为＋＝1，则＋＝1，即4x0＋3y0＝12.
答案　12
5.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________.
解析　把(3，0)代入已知方程得：(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6.
∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－.
答案　－
6.求过点P(－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的条数.
解　设过点P(－2，3)且与两坐标轴围成的三角形面积为12的直线的斜率为k，则有直线的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，它与坐标轴的交点分别为M(0，2k＋3)、N.
再由12＝|OM|·|ON|＝|2k＋3|×，可得＝24，即4k＋＋12＝24，或4k＋＋12＝－24.解得k＝或k＝或k＝，故满足条件的直线有3条.
7.根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率为，且经过点A(5，3)；
(2)过点B(－3，0)，且垂直于x轴；
(3)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(4)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
(5)经过C(－1，5)，D(2，－1)两点；
(6)在x轴，y轴上截距分别是－3，－1.
解　(1)由点斜式方程得y－3＝(x－5)，
即x－y＋3－5＝0.
(2)x＝－3，即x＋3＝0.
(3)y＝4x－2，即4x－y－2＝0.
(4)y＝3，即y－3＝0.
(5)由两点式方程得＝，
即2x＋y－3＝0.
(6)由截距式方程得＋＝1，即x＋3y＋3＝0.
能 力 提 升
8.已知△ABC三顶点坐标A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M为AB中点，N为AC中点，则中位线MN所在直线方程为(　　)
A.2x＋y－8＝0 B.2x－y＋8＝0
C.2x＋y－12＝0 D.2x－y－12＝0
解析　由中点坐标公式可得M(2，4)，N(3，2)，再由两点式可得直线MN的方程为＝，即2x＋y－8＝0.
答案　A
9.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是(　　)
解析　将l1与l2的方程化为斜截式得：
y＝ax＋b，y＝bx＋a，
根据斜率和截距的符号可得选C.
答案　C
10.已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________.
解析　由条件知易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求.
答案　2x＋3y＋4＝0
11.设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值.
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(－1，－1).
解　(1)∵直线过点P′(1，0)，
∴m2－2m－3＝2m－6.解得m＝3或m＝1.
当m＝3时不合题意，故m＝1.
(2)由斜率为1，得解得m＝.
(3)直线过定点P(－1，－1)，
则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，
解得m＝或m＝－2.
探 究 创 新
12.已知直线l：y＝－x＋1，试求：
(1)点P(－2，－1)关于直线l的对称点坐标；
(2)直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线l2的方程；
(3)直线l关于点A(1，1)对称的直线方程.
解　(1)设点P关于直线l的对称点为P′(x0，y0)，则线段PP′的中点M在直线l上，且PP′⊥l.
∴解得
即P′点的坐标为.
(2)法一　由
得l与l1的交点A(2，0)，
在l1上任取一点B(0，－2)，设B关于l的对称点B′为(x0，y0)，则
即∴
即B′，∴l2的斜率为kAB′＝＝7.
∴l2的方程为y＝7(x－2)，即7x－y－14＝0.
法二　直线l1：y＝x－2关于直线l对称的直线为l2，则l2上任一点P1(x，y)关于l的对称点P1′(x′，y′)一定在直线l1上，反之也成立.
由得
把(x′，y′)代入方程y＝x－2并整理，得：7x－y－14＝0，
即直线l2的方程为7x－y－14＝0.
(3)设直线l关于点A(1，1)的对称直线为l′，直线l上任一点P2(x1，y1)关于点A的对称点P2′(x，y)一定在直线l′上，反之也成立.
由得
将(x1，y1)代入直线l的方程得：x＋2y－4＝0，
∴直线l′的方程为x＋2y－4＝0.
3.3.1　两条直线的交点坐标
3.3.2　两点间的距离
目标定位　1.会求两条直线的交点坐标.2.理解两条直线的平行、相交与相应的直线方程所组成的二元一次方程组的解的对应关系.3.掌握平面上两点间的距离公式并会应用.
自 主 预 习
1.两条直线的交点
已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.若两直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线相交；若方程组无解，则两条直线平行.若方程组有无穷多个解，则两条直线重合.
2.过定点的直线系方程
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0交于点P(x0，y0)，则方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0表示过点P的直线系，不包括直线l2.
3.两点间的距离
平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式
|P1P2|＝.
4.两点间距离的特殊情况
(1)原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝.
(2)当P1P2∥x轴(y1＝y2)时，|P1P2|＝|x2－x1|.
(3)当P1P2∥y轴(x1＝x2)时，|P1P2|＝|y2－y1|.
即 时 自 测
1.判断题
(1)求两直线的交点就是解由两直线方程组成的方程组.(√)
(2)两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的充要条件是A1B2－A2B1≠0.(√)
(3)方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，表示经过直线l1：∴A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的所有直线.(×)
(4)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.(√)
提示　(3)无论λ取什么实数，都得不到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.
2.直线x＝1与直线y＝2的交点坐标是(　　)
A.(1，2) B.(2，1) C.(1，1) D.(2，2)
答案　A
3.已知M(2，1)，N(－1，5)，则|MN|等于(　　)
A.5 B. C. D.4
解析　|MN|＝＝5.
答案　A
4.已知两条直线l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若l1与l2相交，则实数a满足的条件是________.
解析　l1与l2相交则有：≠，∴a≠2.
答案　a≠2

类型一　两直线的交点问题
【例1】 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
解　法一　由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(－2，2).
∵直线过坐标原点，∴其斜率k＝＝－1.
故直线方程为y＝－x，即x＋y＝0.
法二　∵l2不过原点，∴可设l的方程为3x＋4y－2＋
λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
规律方法　(1)方法一是解方程组方法，思路自然，但计算量稍大，法二运用了交点直线系，是待定系数法，计算简单，但要注意判断原点(0，0)不能在直线2x＋y＋2＝0上.否则，会出现λ的取值不确定的情形.
(2)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系有两种：①λ1(A1x＋B1y＋C1)＋λ2(A2x＋B2y＋C2)＝0可表示过l1、l2交点的所有直线；
②A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0不能表示直线l2.
【训练1】 求经过直线l1：x＋3y－3＝0，l2：x－y＋1＝0的交点且平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程.
解　法一　由得
∴直线l1与l2的交点坐标为(0，1)，
再设平行于直线2x＋y－3＝0的直线方程为2x＋y＋C＝0，
把(0，1)代入所求的直线方程，得C＝－1，
故所求的直线方程为2x＋y－1＝0.
法二　设过直线l1、l2交点的直线方程为
x＋3y－3＋λ(x－y＋1)＝0(λ∈R)，
即(λ＋1)x＋(3－λ)y＋λ－3＝0，
由题意可知，＝－2，解得λ＝，
所以所求直线方程为x＋y－＝0，
即2x＋y－1＝0.
类型二　两点间距离公式的应用(互动探究)
【例2】 已知△ABC三顶点坐标A(－3，1)、B(3，－3)、C(1，7)，试判断△ABC的形状.
[思路探究]
探究点一　如何判断三角形的形状？
提示　判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.
探究点二　从哪几个方面分析三角形的形状？
提示　在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或满足勾股定理.
解　法一　∵|AB|＝＝2，
|AC|＝＝2，
又|BC|＝＝2，
∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.
法二　∵kAC＝＝，kAB＝＝－，
则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.
又|AC|＝＝2，
|AB|＝＝2，
∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.
规律方法　1.判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向.
2.在分析三角形的形状时，要从两方面考虑：一是要考虑角的特征，主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形边的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理.
【训练2】 已知点A(3，6)，在x轴上的点P与点A的距离等于10，求点P的坐标.
解　设点P的坐标为(x，0)，由|PA|＝10，
得＝10，
解得：x＝11或x＝－5.
所以点P的坐标为(－5，0)或(11，0).
类型三　坐标法的应用
【例3】 证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和.
证明　如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在的直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0).
设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)，
因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，
|BD|2＝(b－a)2＋c2.
所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2).
所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.
规律方法　坐标法解决几何问题时，关键要结合图形的特征，建立平面直角坐标系.坐标系建立的是否合适，会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有两点：
①让尽可能多的点落在坐标轴上，这样便于运算；
②如果条件中有互相垂直的两条线，要考虑将它们作为坐标轴；如果图形为中心对称图形，可考虑将中心作为原点；如果有轴对称性，可考虑将对称轴作为坐标轴.
【训练3】 已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.
求证：|AC|＝|BD|.
证明　如图所示，建立直角坐标系，设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，则点D的坐标是(a－b，c).
∴|AC|＝＝，
|BD|＝＝.故|AC|＝|BD|.
[课堂小结]
1.方程组有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0.亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0.直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线(不含l2).
2.解析法又称为坐标法，它就是通过建立直角坐标系，用坐标代替点、用方程代替曲线、用代数的方法研究平面图形的几何性质的方法.
3.两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想.
1.直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是(　　)
A.(4，1) B.(1，4)
C. D.
解析　由方程组得即直线x＋2y－2＝0与直线2x＋y－3＝0的交点坐标是.
答案　C
2.经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是(　　)
A.2x＋y－8＝0 B.2x－y－8＝0
C.2x＋y＋8＝0 D.2x－y＋8＝0
解析　首先解得交点坐标为(1，6)，再根据垂直关系得斜率为－2，可得方程y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
答案　A
3.已知点A(－2，－1)，B(a，3)，且|AB|＝5，则a的值为________.
解析　由题意得＝5，解得a＝1或a＝－5.
答案　1或－5
4.求经过两条直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程.
解　由方程组解得
∵所求直线l和直线3x＋y－1＝0平行，
∴直线l的斜率k＝－3，
根据点斜式可得y－＝－3，
即所求直线方程为15x＋5y＋16＝0.
基 础 过 关
1.已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)，则的值为(　　)
A. B. C.3 D.2
解析　由两点间的距离公式，
得|AC|＝＝4，
|CB|＝＝2，故＝＝2.
答案　D
2.两直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值为(　　)
A.－24 B.6 C.±6 D.24
解析　在2x＋3y－k＝0中，令x＝0得y＝，将代入x－ky＋12＝0，解得k＝±6.
答案　C
3.以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
解析　∵|AB|＝，|AC|＝，|BC|＝3，
∴三角形为等腰三角形.故选B.
答案　B
4.设点A在x轴上，点B在y轴上，AB的中点是P(2，－1)，则|AB|等于________.
解析　设A(x，0)，B(0，y)，∵AB中点P(2，－1)，
∴＝2，＝－1，∴x＝4，y＝－2，
即A(4，0)，B(0，－2)，∴|AB|＝＝2.
答案　2
5.若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则k的取值范围是________.
解析　由得由于交点在第一象限，故x>0，y>0，解得k>.
答案　
6.在直线l：3x－y＋1＝0上求一点P，使点P到两点A(1，－1)，B(2，0)的距离相等.
解　法一　设P点坐标为(x，y)，
由P在l上和点P到A，B的距离相等建立方程组
解得所以P点坐标为(0，1).
法二　设P(x，y)，两点A(1，－1)、B(2，0)连线所得线段的中垂线方程为x＋y－1＝0.①
又3x－y＋1＝0，②
解由①②组成的方程组得
所以所求的点为P(0，1).
7.求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标.
证明　法一　对于方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，令m＝0，得x－3y－11＝0；令m＝1，得x＋4y＋10＝0.
解方程组得两条直线的交点坐标为(2，－3).
将点(2，－3)代入直线方程，得(2m－1)×2＋(m＋3)×(－3)－(m－11)＝0.
这表明不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).
法二　将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0.
由于m取值的任意性，有解得
所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3).
能 力 提 升
8.已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互为垂直，垂足为(1，p)，则m－n＋p为(　　)
A.24 B.20 C.0 D.－4
解析　由垂直性质可得2m－20＝0，m＝10.由垂足可得得∴m－n＋p＝20.
答案　B
9.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为(　　)
A. B. C. D.
解析　直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0，过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|＝.
答案　C
10.过点P(3，0)作一直线l，使它被两直线l1：2x－y－2＝0和l2：x＋y＋3＝0所截的线段AB以P为中点，则此直线l的方程是________.
解析　法一　显然直线l的斜率不存在时，不满足题意，当斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－3)，
将此方程分别与l1，l2的方程联立，
得和
解得xA＝和xB＝，
∵P(3，0)是线段AB的中点，∴xA＋xB＝6，
即＋＝6，解得k＝8.
故直线l的方程为y＝8(x－3)，即8x－y－24＝0.
法二　设l1上的点A的坐标为(x1，y1)，
∵P(3，0)是线段AB的中点，
∴l2上的点B的坐标为(6－x1，－y1)，
∴解得
∴点A的坐标为，由两点式可得l的方程为8x－y－24＝0.
答案　8x－y－24＝0
11.已知直线l1过点A(2，1)，B(0，3)，直线l2的斜率为－3且过点C(4，2).
(1)求l1，l2的交点D的坐标；
(2)已知点M(－2，2)，N，若直线l3过点D且与线段MN相交，求直线l3的斜率k的取值范围.
解　(1)∵直线l1过点A(2，1)，B(0，3)，
∴直线l1的方程为＝，即y＝－x＋3.
∵直线l2的斜率为－3且过点C(4，2)，
∴直线l2的方程为y－2＝－3(x－4)，
即y＝－3x＋14.联立解得
即l1，l2的交点D的坐标为.
(2)由题设知kMD＝＝－.kND＝＝3.
因为过点D的直线与线段MN相交，故直线l3的斜率k的取值范围为：
∪[3，＋∞).
探 究 创 新
12.某县相邻两镇在一平面直角坐标系下的坐标为A(1，2)，B(4，0)，一条河所在直线方程为l：x＋2y－10＝0，若在河边l上建一座供水站P使之到A，B两镇的管道最省，问供水站P应建在什么地方？此时|PA|＋|PB|为多少？
解　如图所示，过A作直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，因为若P′(异于P)在直线l上，则|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|.
因此，供水站只能在点P处，才能取得最小值.
设A′(a，b)，则AA′的中点在l上，且AA′⊥l，
即解得即A′(3，6).
所以直线A′B的方程为6x＋y－24＝0，
解方程组得
所以P点的坐标为.
故供水站应建在点P处，
此时|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝.
3.3.3　点到直线的距离
3.3.4　两条平行直线间的距离
目标定位　1.掌握点到直线的距离公式，会用公式解决有关问题.2.掌握两平行线之间的距离公式，并会求两平行线之间的距离.
自 主 预 习
1.点到直线的距离
(1)概念：过一点向直线作垂线，则该点与垂足之间的距离，就是该点到直线的距离.
(2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
2.两平行直线间的距离
(1)概念：夹在两条平行直线间的公垂线段的长度就是两条平行直线间的距离.
(2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离
d＝.
即 时 自 测
1.判断题
(1)点到直线的距离是直线上的点与直线外一点的连线的最短距离.(√)
(2)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝y0；到y轴的距离d＝x0.(×)
(3)两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离.(√)
(4)运用两平行线间的距离公式时，要求的l1与l2两直线中x，y的系数必须分别对应相等.(√)
提示　(2)点P(x0，y0)到x轴的距离d＝|y0|；到y轴的距离d＝|x0|.
2.点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(　　)
A. B. C. D.
解析　d＝＝.
答案　A
3.两条平行直线x＋y＋2＝0与x＋y－3＝0的距离等于(　　)
A. B. C.5 D.
解析　d＝＝.故选A.
答案　A
4.点P(m，1)到直线l：2x＋y－1＝0的距离d＝1，则实数m的值等于________.
解析　由已知＝1，即|m|＝，∴m＝±.
答案　±
类型一　点到直线的距离
【例1】 求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋；
(2)y＝6；
(3)x＝4.
解　(1)把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.
(2)法一　把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝8.
法二　因为直线y＝6平行于x轴，
所以d＝|6－(－2)|＝8.
(3)因为直线x＝4平行于y轴，
所以d＝|4－3|＝1.
规律方法　1.求点到直线的距离，首先要把直线化成一般式方程，然后再套用点到直线的距离公式.
2.当点与直线有特殊位置关系时，也可以用公式求解，但是这样会把问题变复杂了，要注意数形结合.
3.几种特殊情况的点到直线的距离：
(1)点P0(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；
(2)点P0(x0，y0)到直线x＝b的距离d＝|x0－b|.
【训练1】 若点(a，2)到直线l：y＝x－3的距离是1，则
a＝________.
解析　直线l：y＝x－3可变形为x－y－3＝0.
由点(a，2)到直线l的距离为1，得＝1，解得a＝5±.
答案　5±
类型二　两平行线间的距离
【例2】 求两平行线l1：2x－y－1＝0与l2：4x－2y＋3＝0之间的距离.
解　法一　在直线l1：2x－y－1＝0上任取一点，不妨取点P(0，－1)，
则点P到直线l2：4x－2y＋3＝0的距离为
d＝＝.∴l1与l2间的距离为.
法二　将直线l2的方程化为：2x－y＋＝0.
又l1的方程为：2x－y－1＝0，∴C1＝－1，C2＝，
又A＝2，B＝－1，
由两平行直线间的距离公式得：d＝＝.
规律方法　1.针对这个类型的题目一般有两种思路：
(1)利用“化归”思想将两平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
(2)利用两条平行直线间距离公式d＝.
2.当两直线都与x轴(或y轴)垂直时，可利用数形结合来解决.
(1)两直线都与x轴垂直时，l1：x＝x1，l2：x＝x2，
则d＝|x2－x1|；
(2)两直线都与y轴垂直时，l1：y＝y1，l2：y＝y2，
则d＝|y2－y1|.
【训练2】 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程.
解　∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
根据两平行直线间的距离公式得＝3，
解得b＝45或b＝－33.
∴所求直线方程为：5x－12y＋45＝0
或5x－12y－33＝0.
类型三　距离公式的综合应用(互动探究)
【例3】 已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点.
(1)若点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程；
(2)求点A(5，0)到l的距离的最大值.
[思路探究]
探究点一　经过一已知点且到另一已知点的距离为定值的直线有几条？求直线方程时需注意什么？
提示　有且仅有两条，在解决直线方程的问题时，要注意直线斜率是否存在，以免漏解或错解.
探究点二　如何求几何最值问题？
提示　几何最值问题的求法有两种：
(1)利用解析几何知识，可设一个函数，然后用函数求最值的方法求解.
(2)利用几何定理，如两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边等，找出最值.
解　法一　联立?得交点P(2，1)，
当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0，
∴＝3，解得k＝，∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0.
而直线斜率不存在时直线x＝2也符合题意，
故所求l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
法二　经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，
即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，∴＝3，
即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或，
∴l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2.
(2)由解得交点P(2，1)，
过P任意作直线l，设d为A到l的距离，
则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)，∴dmax＝|PA|＝.
规律方法　1.经过一已知点且到另一已知点的距离为定值的直线有且仅有两条.一定要注意直线斜率是否存在.
2.数形结合、运动变化的思想方法在解题中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围.
【训练3】 两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(－3，－1)，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程.
解　(1)如图，当两条平行直线与AB垂直时，两平行直线间的距离最大，为d＝|AB|＝＝3，当两条平行线各自绕点B，A逆时针旋转时，距离逐渐变小，越来越接近于0，所以0(2)当d取最大值3时，两条平行线都垂直于AB，
所以k＝－＝－＝－3，
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝－3(x＋3)，
即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
[课堂小结]
1.应用点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为零)距离公式d＝的前提是直线方程为一般式.特别地，当直线方程中A＝0或B＝0时，上述公式也适用，且可以应用数形结合思想求解.
2.两条平行线间的距离处理方法有两种：
一是转化为点到直线的距离，其体现了数学上的转化与化归思想.
二是直接套用公式d＝，其中l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，需注意此时直线l1与l2的方程为一般式且x，y的系数分别相同.

1.两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0间的距离为(　　)
A.3 B.2 C.1 D.
解析　d＝＝1.
答案　C
2.若点(1，a)到直线x－y＋1＝0的距离是，则实数a为(　　)
A.－1 B.5
C.－1或5 D.－3或3
解析　由点到直线距离公式：＝，∴a＝－1或5，故选C.
答案　C
3.分别过点A(－2，1)和点B(3，－5)的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________.
解析　d＝|3－(－2)|＝5.
答案　5
4.求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且到l的距离为2的直线方程.
解　设所求直线的方程为5x－12y＋m＝0(m≠6)，
由两条直线间的距离为2，知＝2.
则m＝32或m＝－20，
故所求直线方程为5x－12y＋32＝0或5x－12y－20＝0.
基 础 过 关
1.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(　　)
A. B. C. D.
解析　l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，
由平行线间的距离公式得d＝＝.
答案　C
2.点P(a，0)到直线3x＋4y－6＝0的距离大于3，则实数a的取值范围为(　　)
A.a>7 B.a<－3
C.a>7或a<－3 D.a>7或－3解析　根据题意，得>3，解得a>7或a<－3.
答案　C
3.已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0的距离相等，则m等于(　　)
A.0或 B.或－6
C.－或 D.0或－
解析　由题意知直线mx＋y＋3＝0与AB平行或过线段AB的中点，则有－m＝或m×＋＋3＝0，所以m＝或m＝－6.
答案　B
4.倾斜角为60°，且与原点的距离是5的直线方程为________.
解析　因为直线斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5?|b|＝10.所以b＝±10.所以直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.
答案　x－y＋10＝0或x－y－10＝0
5.若点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值是________.
解析　|OP|的最小值，即为点O到直线x＋y－4＝0的距离.d＝＝2.
答案　2
6.直线l过原点，且点(2，1)到l的距离为1，求l的方程.
解　由题意可知，直线l的斜率一定存在.
又直线l过原点，设其方程为y＝kx，即kx－y＝0.
由点(2，1)到l的距离为1，得＝1.
解得k＝0或k＝.
∴直线l的方程为y＝0或4x－3y＝0.
7.求直线3x－y－4＝0关于点P(2，－1)对称的直线l的方程.
解　法一　设直线l上任一点为M(x，y)，则此点关于点P(2，－1)的对称点为M1(4－x，－2－y)，且M1在直线3x－y－4＝0上，所以3(4－x)－(－2－y)－4＝0，即3x－y－10＝0，所以所求直线l的方程为3x－y－10＝0.
法二　在直线3x－y－4＝0上任取两点A(0，－4)，B(1，－1)，则点A(0，－4)关于点P(2，－1)的对称点为A1(4，2)，点B(1，－1)关于点P(2，－1)对称点为B1(3，－1)，由两点式方程，可得直线l的方程为3x－y－10＝0.
法三　直线l与已知直线平行，可设l的方程为3x－y＋m＝0，点P(2，－1)到直线3x－y－4＝0的距离d＝，由于点P(2，－1)到两直线距离相等，
所以＝，解得m＝－10或m＝－4(舍去)，
所以直线l的方程为3x－y－10＝0.
能 力 提 升
8.已知直线l过点P(3，4)且与点A(－2，2)，B(4，－2)等距离，则直线l的方程为(　　)
A.2x＋3y－18＝0 B.2x－y－2＝0
C.3x－2y＋18＝0或x＋2y＋2＝0 D.2x＋3y－18＝0或2x－y－2＝0
解析　设所求直线方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由已知，
得＝，∴k＝2或k＝－.
∴所求直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0.
答案　D
9.两平行线分别经过点A(5，0)，B(0，12)，它们之间的距离d满足的条件是(　　)
A.0C.0解析　当两平行线与AB垂直时，两平行线间的距离最大，为|AB|＝13，所以0答案　B
10.若直线的被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°，②30°，③45°，④60°，⑤75°，其中正确答案的序号是________.(写出所有正确答案的序号)
解析　两平行线间的距离为d＝＝，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30＝15°.
答案　①⑤
11.已知点P(a，b)在线段AB上运动，其中A(1，0)，B(0，1).试求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范围.
解　由(a＋2)2＋(b＋2)2联想两点间距离公式，设Q(－2，－2)，又P(a，b)则|PQ|＝，于是问题转化为|PQ|的最大、最小值.
如图所示：当P与A或B重合时，|PQ|取得最大值：
＝.
当PQ⊥AB时，|PQ|取得最小值，此时|PQ|为Q点到直线AB的距离，由A、B两点坐标可得直线AB的方程为x＋y－1＝0.
则Q点到直线AB的距离d＝＝＝，
∴≤(a＋2)2＋(b＋2)2≤13.
探 究 创 新
12.已知直线l：3x－y－1＝0及点A(4，1)，B(0，4)，C(2，0).
(1)试在l上求一点P，使|AP|＋|CP|最小；
(2)试在l上求一点Q，使||AQ|－|BQ||最大.
解　(1)如图①，设点C关于l的对称点为C′(a，b)，则＝－，且3·－－1＝0，解得C′(－1，1)，所以直线AC′的方程为y＝1.
由得l与直线AC′的交点P，此时|AP|＋|CP|取最小值为5.
(2)如图②，设点B关于l的对称点为B′(m，n)，则＝－，且3·－－1＝0，解得B′(3，3)，所以直线AB′的方程为2x＋y－9＝0，由得AB′与l的交点Q(2，5)，此时||AQ|－|BQ||取最大值为.
第三章 直线与方程习题课
目标定位　1.了解直线和直线方程之间的对应关系.2.掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式，能根据条件熟练地求出直线的方程.3.能将直线方程的点斜式、斜截式、两点式等几种形式转化为一般式，知道这几种形式的直线方程的局限性.
1.经过M(3，2)与N(6，2)两点的直线方程为(　　)
A.x＝2 B.y＝2 C.x＝3 D.x＝6
解析　由M，N两点的坐标可知，直线MN与x轴平行，所以直线方程为y＝2，故选B.
答案　B
2.直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为(　　)
A.－2 B.2 C.－3 D.3
解析　由已知得m2－4≠0，且＝1，
解得：m＝3或m＝2(舍去).
答案　D
3.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和二、四象限，则(　　)
A.C＝0，B>0 B.A>0，B>0，C＝0
C.AB<0，C＝0 D.AB>0，C＝0
解析　通过直线的斜率和截距进行判断.
答案　D
4.直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1，－1)，则直线的斜率k等于(　　)
A.－3 B.3 C. D.－
解析　由点(1，－1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0)，解得m＝a，故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0)，即x＋3y＋2＝0，其斜率k＝－.
答案　D
5.已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为(　　)
A.－6 B.6 C.－ D.
解析　直线2x＋3y＋5＝0的斜率为k＝－，则a≠0，直线(a－2)x＋ay－1＝0的斜率为k1＝－，∴－＝－，解得a＝6.
答案　B
6.直线l：ax＋(a＋1)y＋2＝0的倾斜角大于45°，则a的取值范围是________________.
解析　当a＝－1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；
当a≠－1时，直线l的斜率为－，只要－>1或者－<0即可，
解得－10.
综上可知，实数a的取值范围是(－∞，－)∪(0，＋∞).
答案　(－∞，－)∪(0，＋∞)
题型一　由含参一般式方程求参数的值或取值范围
【例1】 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________.
(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.
①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.
(1)解析　若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.
解方程组得m＝－3.
所以m≠－3时，方程表示一条直线.
答案　m≠－3
(2)解　①因为已知直线的倾斜角为45°，
所以此直线的斜率是1，所以－＝1，
所以
解得所以m＝－1.
②因为已知直线在x轴上的截距为1，
令y＝0得x＝，所以＝1，
所以解得
所以m＝－或m＝2.
规律方法　已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤
【训练1】 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围.
(1)证明　直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).
(2)解　由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解之得k＞0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.
故k的取值范围为{k|k≥0}.
题型二　利用直线系方程求直线方程
【例2】 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′方程，
(1)过点(－1，3)，且与l平行；
(2)过点(－1，3)，且与l垂直.
解　法一　由题设l的方程可化为y＝－x＋3，∴l的斜率为－.
(1)由l′与l平行，∴l′的斜率为－.
又∵l′过(－1，3)，由点斜式知方程为y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，∴l′的斜率为，
又过(－1，3)，由点斜式可得方程为y－3＝(x＋1)，
即4x－3y＋13＝0.
法二　(1)由l′与l平行，可设l′方程为3x＋4y＋m＝0.
将点(－1，3)代入上式得m＝－9.
∴所求直线方程为3x＋4y－9＝0.
(2)由l′与l垂直，可设其方程为4x－3y＋n＝0.
将(－1，3)代入上式得n＝13.
∴所求直线方程为4x－3y＋13＝0.
规律方法　一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧.
【训练2】 已知A(2，2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程.
解　(1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C1＝0，
又过点A(2，2)，
所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.
所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，
又过点A(2，2)，
所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，
所以直线方程为4x－3y－2＝0.
题型三　直线的平行与垂直问题
【例3】 a为何值时，直线(a－1)x－2y＋4＝0与x－ay－1＝0.
(1)平行；(2)垂直.
解　当a＝0或1时，两直线既不平行，也不垂直；
当a≠0且a≠1时，直线(a－1)x－2y＋4＝0的斜率为k1＝，b1＝2；
直线x－ay－1＝0的斜率为k2＝，b2＝－.
(1)当两直线平行时，由k1＝k2，b1≠b2，
得＝，a≠－，解得a＝－1或a＝2.
(2)当两直线垂直时，(a－1)×1＋(－2)×(－a)＝0，解得a＝.
规律方法　1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法
(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合.
(2)可直接采用如下方法：
一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.
这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.
2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法
(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.
(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.
第二种方法可避免讨论，减小失误.
【训练3】 (1)直线l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值.
(2)已知直线(a＋2)x＋(1－a)y－3＝0与直线(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直，则a为(　　)
A.－1 B.1 C.±1 D.－
(1)解　法一　∵l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0，l2：mx＋3y－2＝0，∴当m＝0时，显然l1不平行于l2.
当m≠0时，若l1∥l2，则有＝≠，即m2＋m－6＝0.
解得m＝2或m＝－3.显然m＝2或m＝－3符合条件.
法二　若l1∥l2，则2×3－m(m＋1)＝0，
解得m＝2或m＝－3.当m＝2或m＝－3时，
(m＋1)×(－2)－3×4＝－2m－14≠0，
∴m＝2或m＝－3为所求.
(2)解析　∵两直线垂直，∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1.
答案　C
[课堂小结]
1.直线方程五种形式的比较
名称
方程
常数的几何意义
适用条件
点斜式
一般情况
y－y0＝k(x－x0)
(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率
直线不垂直于x轴
斜截式
y＝kx＋b
k是斜率，b是直线在y轴上的截距
直线不垂直于x轴
两点式
一般情况
＝
(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点
直线不垂直于x轴和y轴
截距式
＋＝1
a，b分别是直线在x轴、y轴上的两个非零截距
直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式
Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)
A，B为系数
任何情况
特殊直线
x＝a(y轴：x＝0)
垂直于x轴且过点(a，0)
斜率不存在
y＝b(x轴：y＝0)
垂直于y轴且过点(0，b)
斜率k＝0
2.关于五种形式的直线方程及其转化形式要注意：
(1)直线斜率往往是求直线的关键，若不能断定直线有无斜率，必须分两种情况讨论；
(2)在直线的斜截式或截距式中，其“截距”不等于“距离”；
(3)当斜率不存在时，会正确选择直线的表示形式，同时注意直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式表示直线的局限性.
基 础 过 关
1.已知直线(2＋m－m2)x－(4－m2)y＋m2－4＝0的斜率不存在，则m的值是(　　)
A.1 B. C.－2 D.2
解析　由题意得解得m＝－2.
答案　C
2.已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为(　　)
A.，1 B.，－1
C.－，1 D.－，－1
解析　原方程化为＋＝1，∴＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－＝a，且x－y－＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan 120°，∴a＝－，故选D.
答案　D
3.过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　)
A.x－2y－1＝0 B.x－2y＋1＝0
C.2x＋y－2＝0 D.x＋2y－1＝0
解析　设所求直线方程为x－2y＋C＝0，又经过(1，0)，
∴1－0＋C＝0，故C＝－1，∴所求直线方程为x－2y－1＝0.
答案　A
4.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：x－2y－1＝0和直线l2：2x－ay－a＝0平行，则常数a的值为________.
解析　由于l1∥l2，所以1×(－a)－(－2)×2＝0且－2×(－a)－(－a)×(－1)≠0，得a＝4.
答案　4
5.若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.
解析　由已知，得1×2－2m＝0，解得m＝1.
答案　1
6.已知直线l1：(k－3)·x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0.
(1)若这两条直线垂直，求k的值；
(2)若这两条直线平行，求k的值.
解　(1)根据题意，得(k－3)×2(k－3)＋(4－k)×(－2)＝0，解得k＝.
∴若这两条直线垂直，则k＝.
(2)根据题意，得(k－3)×(－2)－2(k－3)×(4－k)＝0，解得k＝3或k＝5.经检测，均符合题意.
∴若这两条直线平行，则k＝3或k＝5.
7.已知在△ABC中，A，B的坐标分别为(－1，2)，(4，3)，AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上.
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程.
解　(1)设顶点C(m，n)，AC中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，
由中点坐标公式解得
∴C点的坐标为(1，－3).
(2)由(1)知：点M，N的坐标分别为M，N，由直线的截距式方程得直线MN的方程是＋＝1，即y＝x－，即2x－10y－5＝0.
能 力 提 升
8.两条直线l1：－＝1和l2：－＝1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
解析　化为截距式＋＝1，＋＝1.
假定l1，判断a，b，确定l2的位置，知A项符合.
答案　A
9.两条直线mx＋y－n＝0和x＋my＋1＝0互相平行的条件是(　　)
A.m＝1 B.m＝±1
C. D.或
解析　令m×m＝1×1，得m＝±1.当m＝1时，要使x＋y－n＝0与x＋y＋1＝0平行，需n≠－1.当m＝－1时，
要使－x＋y－n＝0与x－y＋1＝0平行，需n≠1.
答案　D
10.垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________.
解析　设直线方程是4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线在两坐标轴上的截距分别是－，－，∴6＝××＝，∴d＝±12，则直线在x轴上的截距为3或－3.
答案　3或－3
11.直线过点P且与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，是否存在这样的直线同时满足下列条件：(1)△AOB的周长为12；(2)△AOB的面积为6.若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.
解　设所求直线方程为＋＝1(a＞0，b＞0).
若满意条件(1)，由题意可知，a＋b＋＝12①.
∵直线过点P，∴＋＝1②.
由①②可得5a2－32a＋45＝0，解得或
∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，
即满足条件(1)的直线方程为：3x＋4y－12＝0或15x＋8y－36＝0.
若满足条件(2)，由题意知ab＝12，＋＝1.
整理，得a2－6a＋8＝0，解得或∴所求直线的方程为＋＝1或＋＝1，即满足条件(2)的直线方程为：3x＋4y－12＝0或3x＋y－6＝0.
故同时满足(1)(2)的直线方程为：3x＋4y－12＝0.
探 究 创 新
12.某小区内有一块荒地ABCDE，今欲在该荒地上划出一块长方形地面(不改变方位)进行开发(如图所示).问如何设计才能使开发的面积最大？最大开发面积是多少？(已知BC＝210 m，CD＝240 m，DE＝300 m，EA＝180 m)
解　以BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴建立平面直角坐标系(如图)，由已知可知A(0，60)，B(90，0)，
∴AB所在直线的方程为＋＝1，
即y＝60(1－).∴y＝60－x.
从而可设P(x，60－x)，其中0∴所开发部分的面积为S＝(300－x)(240－y).
故S＝(300－x)(240－60＋x)
＝－x2＋20x＋54 000(0∴当x＝－＝15
且y＝60－×15＝50时，
S取最大值为－×152＋20×15＋54 000＝54 150(m2).
因此点P距AE 15 m，距BC 50 m时所开发的面积最大，最大面积为54 150 m2.
第三章 直线与方程
章末复习课
1.直线的倾斜角与斜率
(1)倾斜角与斜率从“形”和“数”两方面刻画了直线的倾斜程度，但倾斜角α是角度(0°≤α<180°)，是倾斜度的直接体现；斜率k是实数(k∈(－∞，＋∞))，是倾斜程度的间接反映.在解题的过程中，用斜率往往比用倾斜角更方便.
(2)倾斜角与斜率的对应关系：当α＝90°时，直线的斜率不存在；当α≠90°时，斜率k＝tan α，且经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率kAB＝.
(3)当α由0°→90°→180°(不含180°)变化时，k由0(含0)逐渐增大到＋∞(不存在)，然后由－∞(不存在)逐渐增大到0(不含0).
2.直线的五种方程及比较
名称
方程
常数的几何意义
适用条件
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率
直线不垂直于x轴
斜截式
y＝kx＋b
k是斜率，b是直线在y轴上的截距
直线不垂直于x轴
两点式
＝
(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点
直线不垂直于x轴和y轴
截距式
＋＝1
a，b分别是直线在x轴，y轴上的非零截距
直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式
Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)
A，B，C为系数
任何情况
特殊直线
x＝a(y轴：x＝0)
垂直于x轴且过点(a，0)
斜率不存在
y＝b (x轴：y＝0)
垂直于y轴且过点(0，b)
斜率k＝0
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论.
3.两直线的平行与垂直
直线方程
l1：y＝k1x＋b1，
l2：y＝k2x＋b2
l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0
平行的等价条件
l1∥l2? k1＝k2且
b1≠b2
l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)
垂直的等价条件
l1⊥l2? k1·k2＝－1
l1⊥l2? A1A2＋B2B1＝0
由两直线的方程判断两条直线是否平行或垂直时，要注意条件的限制；同时已知平行或垂直关系求直线的方程或确定方程的系数关系时，要根据题目条件设出合理的直线方程.
4.距离问题
类型
已知条件
公式
两点间的距离
A(x1，y1)，B(x2，y2)
d＝
点到直线的距离
P(x0，y0)
l：Ax＋By＋C＝0
d＝
两条平行直线间的距离
l1：Ax＋By＋C1＝0，
l2：Ax＋By＋C2＝0 (A，B不同时为0)
d＝
学习时要注意特殊情况下的距离公式，并注意利用它的几何意义，解题时往往将代数运算与几何图形直观分析相结合.
5.直线系方程
直线系方程是解析几何中直线方程的基本内容之一，它把具有某一共同性质的直线族表示成一个含参数的方程，然后根据直线所满足的其他条件确定出参数的值，进而求出直线方程.直线系方程的常见类型有：
(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：y－y0＝k(x－x0)(k是参数，直线系中未包括直线x＝x0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；
(2)平行于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：
Ax＋By＋λ＝0(λ是参数，λ≠C)；
(3)垂直于已知直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程是：
Bx－Ay＋λ＝0(λ是参数)；
(4)过两条已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程是：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ是参数，当λ＝0时，方程变为A1x＋B1y＋C1＝0，恰好表示直线l1；当λ≠0时，方程表示过直线l1和l2的交点，但不含直线l2).
6.“对称”问题的解题策略
对称问题主要有两大类：一类是中心对称，一类是轴对称.
(1)中心对称
①两点关于点对称，设P1(x1，y1)，P(a，b)，则P1(x1，y1)关于P(a，b)对称的点为P2(2a－x1，2b－y1)，即P为线段P1P2的中点.特别地，P(x，y)关于原点对称的点为P′(－x，－y).
②两直线关于点对称，设直线l1，l2关于点P对称，这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另一条直线上，并且l1∥l2，P到l1，l2的距离相等.
(2)轴对称
①两点关于直线对称，设P1，P2关于直线l对称，则直线P1P2与l垂直，且线段P1P2的中点在l上，这类问题的关键是由“垂直”和“平分”列方程.
②两直线关于直线对称，设l1，l2关于直线l对称.
当三条直线l1，l2，l共点时，l上任意一点到l1，l2的距离相等，并且l1，l2中一条直线上任意一点关于l对称的点在另外一条直线上；
当l1∥l2∥l时，l1与l间的距离等于l2与l间的距离.
方法一　分类讨论思想
分类讨论思想其实质就是将整体问题化为部分问题来解决.在解题过程中，需选定一个标准，根据这个标准划分成几个能用不同形式解决的小问题，从而使问题得到解决.
在本章中涉及到分类讨论的问题主要是由直线的斜率是否存在及直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式的局限性引起的分类讨论问题.
【例1】 设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.
解　①当2－a＝0，即a＝2时，直线经过原点，满足条件，此时直线的方程为：3x＋y＝0.
②当a＝－1时，直线在x轴上无截距，不符合题意，故当a≠－1且a≠2时，
由题意得：＝a－2，解得：a＝0.
此时直线的方程为：x＋y＋2＝0.
综上，所求直线方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.
【训练1】 直线l经过点P(2，3)，且在x，y轴上的截距互为相反数，试求该直线的方程.
解　①当截距都为0时，直线过原点，此时k＝，所以直线方程为y＝x.
②当截距都不为0时，根据题意，
设所求直线的方程为＋＝1.
∵直线过点P(2，3)，∴＋＝1，得a＝－1.
∴直线方程x－y＋1＝0.
综上，所求直线方程为x－y＋1＝0或y＝x.
方法二　数形结合思想
“数形结合”是把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法，是人们一种普遍思维习惯在数学上的具体表现.数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”和以“数”解“形”.
数形结合思想是解析几何的灵魂，两点间的距离公式和点到直线的距离公式是数形结合常见的结合点，常用这两个公式把抽象的代数问题转化为几何问题来解决，也能把几何问题转化为代数问题来解决.用数形结合思想解题，主要通过三种途径：①坐标系；②转化；③构造图形，构造函数.
【例2】 已知f(x)＝|－|，求f(x)的最大值及相应的x值.
解　由题意，得f(x)＝|－|
＝|－
|.
如图所示，在直角坐标平面内，设点P(x，0)，A(1，)，B(2，).
∴f(x)＝||PA|－|PB||≤|AB|，当P，A，B三点共线时，等号成立，此时＝，∴x＝＝.故当x＝时，f(x)max＝.
【训练2】 过点M(0，－3)的直线l与以点A(3，0)、B(－4，1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.
解　如图，直线l过点A(3，0)时，就是直线MA，倾斜角α1为最小，此时有tan α1＝＝1，∴α1＝.
直线l过点B(－4，1)时，就是直线MB，倾斜角α2为最大，此时有tan α2＝＝－1，∴α2＝.
故直线l过点M，并绕M转动时，倾斜角α的取值范围是.
当α＝时，直线l无斜率；
当α∈时，直线l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)；
当α∈时，直线l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1].
∴直线l的斜率k的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞).
方法三　转化与化归思想
把代数问题几何化、几何问题代数化，可使较繁问题直观化、具体化、简单化，从而使问题快速得到解决.
【例3】 在直线2x＋3y＝6上求一点P(x，y)，使S＝xy的值最大.
解　∵点P(x，y)在2x＋3y－6＝0上，∴y＝.
∴S＝xy＝＝(－2x2＋6x)＝－＋.
∴当x＝时，S取最大值，此时y＝1，即点P为.
【训练3】 已知在△ABC中，A(1，1)，B(m，)，C(4，2)，其中1＜m＜4，求m为何值时，△ABC的面积S最大？
解　∵A(1，1)，C(4，2)，∴|AC|＝＝.
又直线AC的方程为x－3y＋2＝0，
∴点B(m，)到直线AC的距离d＝.
∴S＝|AC|·d＝|m－3＋2|＝.
∵1＜m＜4，∴1＜＜2，∴－＜－＜，∴0≤＜.∴0＜S≤，当－＝0，即m＝时S取得最大值.
方法四　待定系数法
(1)求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况.
(2)运用直线系方程的主要作用在于能使计算简单.
【例4】 过点P(－1，0)，Q(0，2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程.
解　(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x＝－1，x＝0，它们在x轴上截距之差的绝对值为1，满足题意；
(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为k，则两条直线的方程分别为y＝k(x＋1)，
y＝kx＋2.令y＝0，分别得x＝－1，x＝－.
由题意得＝1，即k＝1.
则直线的方程为y＝x＋1，y＝x＋2，
即x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
综上可知，所求的直线方程为x＝－1，x＝0，或x－y＋1＝0，x－y＋2＝0.
【训练4】 求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程.
解　∵l2不过原点，
∴可设l的方程为3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ＝R)，
即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.
将原点坐标(0，0)代入上式，得λ＝1，
∴直线l的方程为5x＋5y＝0，即x＋y＝0.
1.(2013·安徽高考)函数y＝f(x)的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值范围为(　　)
A.{3，4} B.{2，3，4}
C.{3，4，5} D.{2，3}
解析　由题意，函数y＝f(x)上的任一点坐标为(x，f(x))，故表示曲线上任一点与坐标原点连线的斜率.若 ＝＝…＝，则曲线上存在n个点与原点连线的斜率相等，即过原点的直线与曲线y＝f(x)有n个交点.如图，数形结合可得n的取值可为2，3，4.
答案　B
2.(2013·四川高考)在平面直角坐标系内，到点A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距离之和最小的点的坐标是________.
解析　由题意可知，若P为平面直角坐标系内任意一点，则|PA|＋|PC|≥|AC|，等号成立的条件是点P在线段AC上；|PB|＋|PD|≥|BD|，等号成立的条件是点P在线段BD上.
所以到A，B，C，D四点的距离之和最小的点为AC与BD的交点.
直线AC方程为2x－y＝0，直线BD方程为x＋y－6＝0.
∴解得即所求点的坐标为(2，4).
答案　(2，4)
2.1.1　平　面
目标定位　1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.2.了解平面的基本性质，即公理1，2，3.3.会进行“文字语言”“符号语言”“图形语言”之间的转化.4.掌握空间中点与直线、点与平面位置关系的分类与表示.
自 主 预 习
1.平面的概念
(1)几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是无限延展的.
(2)平面的画法
①水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍，如图①.
②如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.
(3)平面的表示法
图①的平面可表示为平面α，平面ABCD，平面AC或平面BD.
2.点、线、面之间的关系
(1)直线在平面内的概念：
如果直线l上的所有点都在平面α内，就说直线l在平面α内，或者说平面α经过直线l.
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达
数学符号表示
文字语言表达
数学符号表示
点A在直线l上
A∈l
点A在直线l外
A?l
点A在平面α内
A∈α
点A在平面α外
A?α
直线l在平面α内
l?α
直线l在平面α外
l?α
直线l，m相交于点A
l∩m＝A
平面α、β相交于直线l
α∩β＝l
3.平面的基本性质及作用
公理
内容
图形
符号
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
既可判定直线和点是否在平面内，又能说明平面是无限延展的
公理2
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
一是确定平面；二是证明点、线共面问题；三是判断两个平面重合的依据
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
一是判断两个平面相交的依据；二是证明点共线问题的依据；三是证明线共点问题的依据
即 时 自 测
1.判断题
(1)A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线?α与β重合.(√)
(2)梯形一定是平面图形.(√)
(3)三个平面可以将空间分为4部分或6部分或8部分.(×)
(4)空间中有四个点，如果其中任意三个点都不在同一直线上，那么过其中三个点的平面有四个.(×)
提示　(3)三个平面可以将空间分为4部分或6部分或7部分或8部分.
(4)当这四个点共面时，只有一个平面；当这四个点不共面时，有四个平面.
2.下列图形中，不一定是平面图形的是(　　)
A.三角形 B.菱形
C.梯形 D.四条边相等的四边形
解析　三角形的三个顶点为不共线的三点，因此一定是平面图形；菱形、梯形分别有两组、一组对边平行，故为平面图形；四边相等的四边形可能为空间四边形.
答案　D
3.用符号表示“点A在直线l上，直线l在平面α外”，正确的表示是(　　)
A.A∈l，l?α B.A∈l，l?α
C.A?l，l?α D.A?l，l?α
解析　点与直线、点与平面之间的关系是元素与集合之间的关系，直线与平面之间的关系是集合与集合之间的关系，故选B.
答案　B
4.两两平行的三条直线最多可以确定________个平面.
解析　如图此时确定的平面个数最多.
答案　3
类型一　三种语言的转换
【例1】 用符号语言表示下列语句，并画出图形.
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
解　(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示如图①.
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图②.
规律方法　(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
【训练1】 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B?α；(2)l?α，m∩α＝A，A?l；(3)P∈l，P?α，Q∈l，Q∈α.
解　(1)点A在平面α内，点B不在平面α内，如图①.
(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上，如图②.
(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q，如图③.
类型二　点线共面问题(互动探究)
【例2】 证明：两两相交且不过同一点的三条直线在同一平面内.
[思路探究]
探究点一　确定平面的基本条件有哪些？
提示　确定平面的基本条件有4个：不在同一直线上的三点、两条相交直线、两条平行直线、直线及直线外一点.
探究点二　纳入法证明点、线共面的思路是什么？
提示　先由公理2确定一个平面，再由公理1证明有关点、线在此平面内.
证明　法一　(纳入法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2?α，
∴B∈α.
同理可证C∈α.
又∵B∈l3，C∈l3，∴l3?α.
∴直线l1、l2、l3在同一平面内.
法二　(重合法)
∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，
∴l2、l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2?α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2?β，∴A∈β.
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内.
∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内.
规律方法　在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：
(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.
(2)重合法：即先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.
【训练2】 已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面.
证明　如图所示.由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l?α.即过a，b，l有且只有一个平面.
类型三　点共线与线共点问题
【例3】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N、E、F分别是棱CD、AB、DD1、AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D、A、Q三点共线.
证明　∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，
又∵M∈直线CD，N∈直线AB，
CD?平面ABCD，AB?平面ABCD.
∴M、N∈平面ABCD，
∴MN?平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.
同理，可得EF?平面ADD1A1.
∴Q∈平面ADD1A1.
又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，
∴Q∈直线AD，即D、A、Q三点共线.
规律方法　点共线与线共点的证明方法：
(1)点共线：证明多点共线通常利用公理3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在
相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上.
(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.
【训练3】 如图所示，已知四面体A－BCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且＝＝2.求证：直线EG，FH，AC相交于同一点.
证明　∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF∥BD且EF＝BD.又∵＝＝2，
∴GH∥BD且GH＝BD，∴EF∥GH且EF>GH，
∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必相交，
设两腰EG，FH的延长线相交于一点P，
∵EG?平面ABC，FH?平面ACD，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD，
又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，故直线EG，FH，AC相交于同一点.
[课堂小结]
1.解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚.
2.在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时要体会三个公理的作用，体会先部分再整体的思想.
1.下列命题中正确的个数是(　　)
①一个平面长4米，宽2米；
②2个平面重叠在一起比一个平面厚；
③一个平面的面积是25平方米；
④将一个平面内的一条直线延长，它就会伸出这个平面.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　几何中的平面是无限延展的，不可进行所有类型的度量，容易判断所有命题都不对.
答案　A
2.若点Q在直线b上，b在平面β内，则Q，b，β之间的关系可记作(　　)
A.Q∈b∈β B.Q∈b?β
C.Q?b?β D.Q?b∈β
解析　∵点Q(元素)在直线b(集合)上，∴Q∈b.又∵直线b(集合)在平面β(集合)内，∴b?β，∴Q∈b?β.
答案　B
3.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.
解析　∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.
答案　C
4.用文字语言和符号语言表示如图.
解　文字语言：平面α内的两直线m和n相交于点A.符号语言：m?α，n?α，且m∩n＝A.
基 础 过 关
1.已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是(　　)
①A∈a，a?α?A?α；②A∈a，a∈α?A∈α；③A?a，a?α?A?α；④A∈a，a?α?A?α.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A?a，a?α，但A∈α；④不正确，“A?α”表述错误.
答案　A
2.在下列命题中，不是公理的是(　　)
A.平行于同一个平面的两个平面相互平行
B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内
D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
解析　A.不是公理，是个常用的结论，需经过推理论证；B、C、D都是平面的基本性质公理.
答案　A
3.已知α、β为平面，A、B、M、N为点，a为直线，下列推理错误的是(　　)
A.A∈a，A∈β，B∈a，B∈β?a?β
B.M∈α，M∈β，N∈α，N∈β?α∩β＝MN
C.A∈α，A∈β?α∩β＝A
D.A、B、M∈α，A、B、M∈β，且A、B、M不共线?α、β重合
解析　∵A∈α，A∈β，∴A∈α∩β.
由公理可知α∩β为经过A的一条直线而不是A.
故α∩β＝A的写法错误.
答案　C
4.(1)空间任意4点，没有任何3点共线，它们最多可以确定________个平面.
(2)空间5点，其中有4点共面，它们没有任何3点共线，这5个点最多可以确定________个平面.
解析　(1)可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.
(2)可以想象四棱锥的5个顶点，它们总共确定7个平面.
答案　(1)4　(2)7
5.设平面α与平面β相交于l，直线a?α，直线b?β，a∩b＝M，则M________l.
解析　因为a∩b＝M，a?α，b?β，所以M∈α，M∈β.
又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案　∈
6.(1)用数学符号表示图中的点、直线、平面之间的位置关系.
(2)画出满足下列条件的图形(其中α，β为平面，a，b，l为直线)：α∩β＝l，a?α，b?β，a∥l，b∩l＝A，B∈a.
解　(1)α∩β＝l，a?β，a∩l＝A，
b∩α＝B，b∩β＝C.
(2)如图所示
7.如图，直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.
解　很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上.由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，
∵E∈AC，AC?平面SAC，
∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.
能 力 提 升
8.空间四点A、B、C、D共面而不共线，那么这四点中(　　)
A.必有三点共线 B.必有三点不共线
C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线
解析　如图(1)(2)所示，A、C、D均不正确，只有B正确，如图(1)中A、B、D不共线.
答案　B
9.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是(　　)
A.C1，M，O三点共线 B.C1，M，O，C四点共面
C.C1，O，A，M四点共面 D.D1，D，O，M四点共面
解析　在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，
A1C∩平面C1BD＝M.
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，
即C1，M，O三点共线，
∴选项A，B，C均正确，D不正确.
答案　D
10.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是________.
解析　∵AC∥BD，
∴AC与BD确定一个平面，记作平面β，则α∩β＝直线CD.
∵l∩α＝O，∴O∈α.
又∵O∈AB?β，∴O∈直线CD，∴O，C，D三点共线.
答案　共线
11.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点，求证：(1)E，F，D1，C四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点.
证明　(1)如图，分别连接EF，A1B，D1C.
∵E，F分别是AB和AA1的中点，
∴EF綉A1B.又A1D1綉B1C1綉BC，
∴四边形A1D1CB为平行四边形.
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴EF与CD1确定一个平面，∴E，F，D1，C四点共面.
(2)∵EF綉CD1，∴直线D1F和CE必相交.设D1F∩CE＝P.
∵D1F?平面AA1D1D，P∈D1F，∴P∈平面AA1D1D.
又CE?平面ABCD，P∈EC，∴P∈平面ABCD.
∴P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点.
又平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，
∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三线共点.
探 究 创 新
12.在棱长是a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1、D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.
(1)画出交线l；
(2)设l∩A1B1＝P，求PB1的长；
(3)求点D1到l的距离.
解　(1)如图，延长DM交D1A1的延长线于点Q，则点Q是平面DMN与平面A1B1C1D1的一个公共点.连接QN，则直线QN就是两平面的交线l.
(2)∵M是AA1的中点，MA1∥DD1，∴A1是QD1的中点，
又∵A1P∥D1N，∴A1P＝D1N.
∵N是D1C1的中点，∴A1P＝D1C1＝，
∴PB1＝A1B1－A1P＝a.
(3)过点D1作D1H⊥PN于点H，则D1H的长度就是点D1到l的距离.
∵QD1＝2A1D1＝2a，D1N＝，
∴D1H＝＝＝a.
即点D1到l的距离是a.
2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系
目标定位　1.理解异面直线的定义，并能正确画出两条异面直线.2.会用反证法证明两条直线是异面直线，会求两异面直线所成的角.3.理解公理4和等角定理.
自 主 预 习
1.空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系有且只有三种.
(1)若从公共点的数目分，可以分为
①只有一个公共点——相交.
②没有公共点
(2)若从平面的基本性质分，可以分为
①在同一平面内
②不同在任何一个平面内——异面.
2.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法
3.平行公理(公理4)
文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行，这一性质叫做空间平行线的传递性.
符号表述：?a∥c.
4.等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
5.异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°].
(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.
即 时 自 测
1.判断题
(1)若两条直线无公共点，则这两条直线平行.(×)
(2)若两直线不是异面直线，则必相交或平行.(√)
(3)过平面外一点与平面内一点的直线：与平面内的任意一条直线均构成异面直线.(×)
(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.(×)
提示　(1)空间两直线无公共点，则这两条直线可能平行，也可能异面.
(3)过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线.
(4)和两条异面直线都相交的两直线有可能是相交直线也有可能是异面直线.
2.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
解析　若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.
答案　D
3.两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(　　)
A.全等 B.不相似
C.仅有一个角相等 D.相似
解析　由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，故应选D.
答案　D
4.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________.
解析　取A1B1的中点M，连接GM、HM，因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、H、G为A1B1、B1C1、B1B的中点，所以△GMH为正三角形，∠MGH为EF与GH所成的角，所以∠MGH＝60°.
答案　60°
类型一　空间两条直线位置关系的判断
【例1】 如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；
④直线AB与直线B1C的位置关系是________.
解析　直线D1D与直线D1C显然相交于D1点，所以③应该填“相交”；直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，且B1?A1B，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”.
答案　①平行　②异面　③相交　④异面
规律方法　1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断.
2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.
【训练1】 (1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则(　　)
A.a∥c B.a、c是异面直线
C.a、c相交 D.a、c平行或相交或异面
(2)若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c(　　)
A.一定是异面直线 B.一定是相交直线
C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线
解析　(1)若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面.
(2)若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.
答案　(1)D　(2)C
类型二　公理4、等角定理的应用
【例2】 在如图所示的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点，
求证：(1)EF綉E1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
证明　(1)连接BD，B1D1，
在△ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点，
所以EF綉BD.
同理，E1F1綉B1D1.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1綉DD1，
所以四边形BB1D1D为平行四边形，
因此，BD綉B1D1，
又EF綉BD，E1F1綉B1D1，
所以EF綉E1F1.
(2)取A1B1的中点M，
连接F1M，BM，则MF1綉B1C1，
又B1C1綉BC，
所以MF1綉BC.
所以四边形BMF1C为平行四边形，
因此，BM∥CF1.
因为A1M＝A1B1，BE＝AB，
且A1B1綉AB，
所以A1M綉BE，
所以四边形BMA1E为平行四边形，
则BM∥A1E.因此，CF1∥A1E，同理可证A1F∥CE1.
因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，
所以∠EA1F＝∠E1CF1.
规律方法　(1)空间两条直线平行的证明：一是定义法：即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形中位线，平行四边形等关于平行的性质；三是利用公理4：找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
(2)求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似.
【训练2】 如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
证明　(1)在△ABD中，
∵E，H分别是AB，AD的中点，∴EH∥BD.
同理FG∥BD，则EH∥FG.
故E，F，G，H四点共面.
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH.故AC⊥BD.
类型三　求异面直线所成的角(互动探究)
【例3】 如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝，求异面直线AD、BC所成角的大小.
[思路探究]
探究点一　异面直线所成的角的范围是多少？
提示　(0°，90°]
探究点二　求异面直线所成的角分哪三步？三角形的中位线有什么作用？
提示　求异面直线所成的角分三步：作，证，求.三角形的中位线是立体几何中常用到的线段，是解决立体几何问题最重要的辅助线，三角形中位线的性质是求两条异面直线所成角的基础.
解　如图，取BD的中点M，连接EM、FM.
因为E、F分别是AB、CD的中点，
所以EM綉AD，FM綉BC，
则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角.
AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，
在等腰△MEF中，过点M，作MH⊥EF于H，
在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝EF＝，
则sin∠EMH＝，于是∠EMH＝60°，则∠EMF＝2∠EMH＝120°.
所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°.
规律方法　1.异面直线一般依附于某几何体，所以在求异面直线所成的角时，首先将异面直线平移成相交直线，而定义中的点O常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点.
2.求异面直线所成的角的一般步骤为：(1)作角：平移成相交直线.(2)证明：用定义证明前一步的角为所求.(3)计算：在三角形中求角的大小，但要注意异面直线所成的角的范围.
【训练3】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)AC和DD1所成的角是________；
(2)AC和D1C1所成的角是________；
(3)AC和B1D1所成的角是________；
(4)AC和A1B所成的角是________.
解析　(1)根据正方体的性质可得AC和DD1所成的角是90°.
(2)∵D1C1∥DC，所以∠ACD即为AC和D1C1所成的角，
由正方体的性质得∠ACD＝45°.
(3)∵BD∥B1D1，BD⊥AC，
∴B1D1⊥AC，即AC和B1D1所成的角是90°.
(4)∵A1B∥D1C，△ACD1是等边三角形，
所以AC和A1B所成的角是60°.
答案　(1)90°　(2)45°　(3)90°　(4)60°
[课堂小结]
1.判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.很多情况下，定义就是一种常用的判定方法.
2.在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强调的是，两条异面直线所成角为θ，且0°<θ≤90°，解题时经常结合这一点去求异面直线所成的角的大小.
1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是(　　)
A.平行或异面 B.相交或异面
C.异面 D.相交
解析　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.
答案　B
2.设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A.有无数条 B.有两条
C.至多有两条 D.有一条
解析　我们现在研究的平台是锥空间.如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角.
答案　A
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与A1B1所成的角的余弦值为________.
解析　设棱长为1，因为A1B1∥C1D1，
所以∠AED1就是异面直线AE与A1B1所成的角.
在△AED1中，cos∠AED1＝＝＝.
答案　
4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为棱AA1，CC1的中点.求证：BF∥ED1.
证明　如图，取棱BB1的中点G，连接GC1，GE.
∵F为棱CC1的中点，
∴BG∥C1F，且BG＝C1F，
∴四边形BGC1F为平行四边形，
∴BF∥GC1，且BF＝GC1.
同理，可得EG∥A1B1，且EG＝A1B1，
又A1B1∥C1D1，且A1B1＝C1D1，
∴EG∥C1D1，且EG＝C1D1，
∴四边形EGC1D1为平行四边形.
∴ED1∥GC1.∴BF∥ED1.
基 础 过 关
1.a、b为异面直线是指
①a∩b＝?，且a不平行于b；②a?平面α，b?平面α，且a∩b＝?；③a?平面α，b?平面β，且α∩β＝?；④不存在平面α能使a?α，且b?α成立.(　　)
A.①②③ B.①③④
C.②③ D.①④
解析　②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义.
答案　D
2.下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是(　　)
解析　易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线.
答案　C
3.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)
A.CC1与B1E是异面直线 B.C1C与AE共面
C.AE，B1C1是异面直线 D.AE与B1C1所成的角为60°
解析　由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误.综上所述，故选C.
答案　C
4.若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论：
①∠BAC＝∠B′A′C′；
②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°；
③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.
一定成立的是________(填序号).
解析　∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，
∴∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°.
答案　③
5.如图，在三棱锥A－BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH是正方形.
解析　由图易证：EF綊AC綊HG，∴四边形EFGH为平行四边形，故当EF＝FG，即AC＝BD时，四边形EFGH为菱形；EF⊥FG且EF＝FG，即AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH为正方形.
答案　AC＝BD　AC＝BD且AC⊥BD
6.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角.
解　如图，连接BD、A1D，
∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，
∴DD1綉BB1，∴四边形DBB1D1为平行四边形，
∴BD∥B1D1.∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，
∴A1B＝BD＝A1D，△A1BD是正三角形，
∴∠A1BD＝60°.∵∠A1BD是锐角，
∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，
∴A1B与B1D1所成的角为60°.
7.如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′、BB′、CC′交于同一点O，且＝＝＝.
(1)求证：A′B′∥AB，A′C′∥AC，B′C′∥BC；
(2)求的值.
(1)证明　∵AA′∩BB′＝O，且＝＝，
∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
(2)解　∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′、
AC和A′C′方向相反，∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′且＝＝，
∴＝＝.
能 力 提 升
8.在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且异面直线AB与CD所成的角为30°，E、F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成的角等于(　　)
A.15° B.30°
C.75° D.15°或75°
解析　如图，设G是AC中点，分别连接EG、GF，由已知得EG綉AB，FG綉CD，∴∠EGF是AB和CD所成角或是其补角，∠GEF是EF与AB所成的角.
∵AB＝CD，∴EG＝GF.
当∠EGF＝30°时，AB和EF所成角∠GEF＝75°，
当∠EGF＝150°时，AB和EF所成角∠GEF＝15°.
答案　D
9.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M、N分别为AB、CD的中点，则下列结论正确的是(　　)
A.MN≥(AC＋BD) B.MN≤(AC＋BD)
C.MN＝(AC＋BD) D.MN＜(AC＋BD)
解析　如图所示，取BC的中点E，连接ME、NE，则ME＝AC，NE＝BD，
所以ME＋EN＝(AC＋BD).在△MNE中，有ME＋NE＞MN，
所以MN＜(AC＋BD).
答案　D
10.一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的是________(填序号).
解析　把正方体平面展开图还原为原来的正方体，如图所示，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确.
答案　①③
11.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点，求异面直线BE与CD所成角的余弦值.
解　取AC的中点F，连接EF，BF，
在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，
∴∠BEF即为所求的异面直线BE与CD所成的角(或其补角).
在Rt△ABC中，BC＝，AB＝AC，∴AB＝AC＝1，
在Rt△EAB中，AB＝1，AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△AEF中，AF＝AC＝，AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝，
∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
探 究 创 新
12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由.
解　如图，取AB的中点F，连接EF，A1B，CF.
又∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B.
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形.
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1.
∴E，F，C，D1四点共面.
∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，
F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，
∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.
∴过D1，C，E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.
2.1.3　空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4　平面与平面之间的位置关系
目标定位　1.掌握直线与平面之间的三种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.2.掌握平面与平面之间的两种位置关系，会用图形语言和符号语言表示.
自 主 预 习
1.直线与平面的位置关系
位置关系
定义
图形语言
符号语言
直线在平面内
有无数个公共点
a?α
直线与平面相交
有且只有一个公共点
a∩α＝A
直线与平面平行
没有公共点
a∥α
2.两个平面的位置关系
位置关系
图形表示
符号表示
公共点
平面α与平面β平行
α∥β
没有公共点
平面α与平
面β相交
α∩β＝l
有一条公共直线
即 时 自 测
1.判断题
(1)若直线a在平面α外，则直线a∥α.(×)
(2)若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥β.(×)
(3)若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β.(√)
(4)与两相交平面的交线平行的直线必平行于这两个相交平面.(×)
提示　(1)直线a在平面α外，则直线a∥α或a与α相交.
(2)α与β可能平行，也可能相交.
(4)若α∩β＝b，且a∥b，则有a∥α且a∥β，或a?α，或a?β.
2.若直线l与平面α不平行，则(　　)
A.l与α相交 B.l?α
C.l与α相交或l?α D.以上结论都不对
解析　若l与α不平行，则l与α相交或l?α.
答案　C
3.若两个平面互相平行，则其中一个平面内的一条直线与另一个平面的位置关系是(　　)
A.线面平行 B.线面相交
C.线在面内 D.无法确定
解析　两面平行时，两个平面没有公共点，在一个平面的直线与另一个平面也没有公共点，所以它们平行.
答案　A
4.两条直线不相交，则两条直线可能平行或者异面；如果两个平面不相交，则两个平面________.
解析　两个平面之间的位置关系有且只有两种：平行或相交.
答案　平行
类型一　直线与平面的位置关系(互动探究)
【例1】 以下命题(其中a，b表示直线，α表示平面)，①若a∥b，b?α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b?α，则a∥b.其中正确命题的个数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
[思路探究]
探究点一　空间中直线与平面的位置关系有哪几种？
提示　空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行.
探究点二　判断直线与平面的位置关系的策略是什么？
提示　判断直线与平面的位置关系时可借助几何模型判断，通过特例排除错误命题.对于正确命题，根据线、面位置关系的定义或反证法进行判断.要注意多种可能情形.
解析　如图所示在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB∥CD，AB?平面ABCD，但CD?平面ABCD，故①错误；A′B′∥平面ABCD，B′C′∥平面ABCD，但A′B′与B′C′相交，故②错误；AB∥A′B′，A′B′∥平面ABCD，但AB?平面ABCD，故③错误；A′B′∥平面ABCD，BC?平面ABCD，但A′B′与BC异面，故④错误.
答案　A
规律方法　1.本题在求解时，常受思维定势影响，误以为直线在平面外就是直线与平面平行.
2.判断直线与平面位置关系的问题，其解决方式除了定义法外，还可以借助模型(如长方体)和举反例两种行之有效的方法.
【训练1】 下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α
②若直线a在平面α外，则a∥α
③若直线a∥b，直线b?α，则a∥α
④若直线a∥b，直线b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线
其中假命题的序号是________.
解析　对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，∴①是假命题；对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，∴②是假命题；对于③，
∵直线a∥b，b?α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，∴③是假命题；对于④，∵a∥b，b?α，那么a?α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题.
答案　①②③
类型二　平面与平面的位置关系
【例2】 给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是(　　)
①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合.
A.0 B.1 C.3 D.4
解析　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，在平面A1D1DA中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1、DD1的中点E，F，连接EF，则知EF∥平面A1B1C1D1.但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；
对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D中，与A1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故②是错误的；
对于③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别取AA1，DD1，BB1，CC1的中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而△A1BC与平面EFHG相交，故③是错误的；
对于④，两平面位置关系中不存在重合，若重合则为一个平面，故命题④错.
答案　A
规律方法　(1)判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体(或正方体)进行判断.
(2)反证法也用于相关问题的证明.
【训练2】 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　　)
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不能确定
解析　如图所示，由图可知C正确.
答案　C
[课堂小结]
1.空间中直线与平面的位置关系有两种分类方式
(1)
(2)
2.判断直线与平面及平面与平面位置关系常用定义和反证法.
1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(　　)
A.一条直线不相交 B.两条直线不相交
C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交
解析　直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.
答案　D
2.若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
解析　∵M∈平面α，M∈平面β，∴α与β相交于过点M的一条直线.
答案　B
3.下列命题：
①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；
②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.
其中错误命题的序号为________.
解析　对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.
答案　①②
4.如图所示，平面ABC与三棱柱ABC－A1B1C1的其他面之间有什么位置关系？
解　∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行.
∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，
∴平面ABC与平面ABB1A1相交.
同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.
基 础 过 关
1.若a，b是异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是(　　)
A.b∥α B.相交
C.b?α D.b?α、相交或平行
解析　如图所示，选D.
答案　D
2.如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是(　　)
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.AB?α
解析　结合图形可知选项C正确.
答案　C
3.α、β是两个不重合的平面，下面说法正确的是(　　)
A.平面α内有两条直线a、b都与平面β平行，那么α∥β
B.平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥β
C.若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥β
D.平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β
解析　A、B都不能保证α、β无公共点，如图①；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图②；只有D说明α、β一定无公共点，故选D.
答案　D
4.若a与b异面，则过a与b平行的平面有________个.
解析　当a与b异面时，如图，过a上任意一点M作b′∥b，则a与b′确定了唯一的平面α，且b∥α，故过a与b平行的平面有1个.
答案　1
5.空间三个平面如果每两个都相交，那么它们的交线有________条.
解析　以打开的书页或长方体为模型，观察可得结论.
答案　1或3
6.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1和BB1的中点，则下列直线与平面的位置关系是什么？
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1的位置关系.
解　(1)AM所在的直线与平面ABCD相交.
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交.
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行.
(4)CN所在的直线与平面CDD1C1相交.
7.已知一条直线与一个平面平行，求证：经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内.
解　已知：a∥α，A∈α，A∈b，b∥a.求证：b?α.
证明　如图，∵a∥α，A∈α，∴A?a，
∴由A和a可确定一个平面β，则A∈β，
∴α与β相交于过点A的直线，设α∩β＝c，
由a∥α知，a与α无公共点，而c?α，∴a与c无公共点.
∵a?β，c?β，∴a∥c.又已知a∥b，且A∈b，A∈c，
∴b与c重合.∴b?α.
能 力 提 升
8.以下四个命题：
①三个平面最多可以把空间分成八部分；
②若直线a?平面α，直线b?平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价；
③若α∩β＝l，直线a?平面α，直线b?平面β，且a∩b＝P，则P∈l；
④若n条直线中任意两条共面，则它们共面.
其中正确的是(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.①③
解析　对于①，正确；对于②，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于③，正确；对于④，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故④错.所以正确的是①③.
答案　D
9.在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有(　　)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
解析　如图所示，结合图形可知AA1∥平面BB1C1C，AA1∥平面DD1C1C，AA1∥平面BB1D1D.
答案　B
10.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).
①不可能只有两条交线
②必相交于一点
③必相交于一条直线
④必相交于三条平行线
解析　空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.
答案　①
11.如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A?l，B?l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.
解　平面ABC与β的交线与l相交.证明如下：
∵AB与l不平行，且AB?α，l?α，
∴AB与l一定相交.设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.
又∵AB?平面ABC，l?β，∴P∈平面ABC，P∈β.
∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，
且P，C是不同的两点，
∴直线PC就是平面ABC与β的交线，
即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，
∴平面ABC与β的交线与l相交.
探 究 创 新
12.试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？
解　三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分.
2.2.1　直线与平面平行的判定
2.2.2　平面与平面平行的判定
目标定位　1.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面、平面与平面平行的判定定理.2.会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用.3.能运用直线与平面平行的判定定理、平面与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题.
自 主 预 习
1.直线与平面平行的判定定理
语言叙述
符号表示
图形表示
平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行
?a∥α
2.平面与平面平行的判定定理
语言叙述
符号表示
图形表示
平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行
?α∥β
即 时 自 测
1.判断题
(1)直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α.(×)
(2)若直线a∥b，b?α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.(√)
(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(×)
(4)如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.(√)
提示　(1)直线l可以在平面α内.
(3)如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行.
2.三棱台ABC－A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行 C.在平面内 D.不确定
解析　AB∥A1B1，AB?平面A1B1C1，A1B1?平面A1B1C1，∴AB∥平面A1B1C1.
答案　B
3.点P是平面α外一点，过P作直线a∥α，过P作直线b∥α，且直线a，b确定一个平面β，则(　　)
A.α∥β B.α与β相交
C.α与β异面 D.α与β的位置关系不确定
解析　a∩b＝P，a?β，b?β，b∥α，a∥α，∴α∥β.
答案　A
4.平面α内任意一条直线均平行于平面β，则平面α与平面β的位置关系是________.
解析　平面α内任意一条直线均平行于平面β，所以平面α与平面β无公共点，所以平面α与平面β平行.
答案　平行
类型一　线面平行判定定理的应用
【例1】 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：(1)EH∥平面BCD；(2)BD∥平面EFGH.
证明　(1)∵EH为△ABD的中位线，∴EH∥BD.
∵EH?平面BCD，BD?平面BCD，∴EH∥平面BCD.
(2)∵BD∥EH，BD?平面EFGH，EH?平面EFGH，∴BD∥平面EFGH.
规律方法　1.利用直线与平面平行的判定定理证明线面平行，关键是寻找平面内与已知直线平行的直线.
2.证线线平行的方法常用三角形中位线定理、平行四边形性质、平行线分线段成比例定理、平行公理等.
【训练1】 如图，四边形ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点，求证：SA∥平面MDB.
证明　连接AC交BD于点O，连接OM.
∵M为SC的中点，O为AC的中点，∴OM∥SA
∵OM?平面MDB，SA?平面MDB，
∴SA∥平面MDB.
类型二　面面平行判定定理的应用
【例2】 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1.
证明　由棱柱性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC，
又D，E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E綉DB，则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D，又C1D?平面ADC1，EB?平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1.
连接DE，同理，EB1綉BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，则ED綉B1B.
因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，
所以ED綉A1A，则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD，又A1E?平面ADC1，AD?平面ADC1，所以A1E∥平面ADC1.
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，
A1E?平面A1EB，EB?平面A1EB，
且A1E∩EB＝E，
所以平面A1EB∥平面ADC1.
规律方法　1.要证明两平面平行，只需在其中一个平面内找到两条相交直线平行于另一个平面.
2.判定两个平面平行与判定线面平行一样，应遵循先找后作的原则，即先在一个面内找到两条与另一个平面平行的相交直线，若找不到再作辅助线.
【训练2】 如图，三棱锥P－ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP的中点.证明平面GFE∥平面PCB.
证明　因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP.
因为EF，GF?平面PCB，BC，CP?面PCB.
所以EF∥平面PCB，GF∥平面PCB.
又EF∩GF＝F，所以平面GFE∥平面PCB.
类型三　线面平行、面面平行判定定理的综合应用(互动探究)
【例3】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC和SC的中点，求证：
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
(2)平面EFG∥平面BDD1B1.
[思路探究]
探究点一　判定线面平行与面面平行的思路原则是什么？
提示　判定线面平行与面面平行的思路原则是找作一条直线与平面平行或在一个面内找作两条与另一个平面平行的相交直线，应遵循先找后作的原则，若找不到再作辅助线.
探究点二　如何判定(2)中平面EFG∥平面BDD1B1?
提示　根据面面平行的判定定理，结合(1)的结论，故在平面EFG内找到另一条直线与平面BDD1B1平行即可.
证明　(1)如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.
又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
(2)连接SD，
∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.
又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1.
又EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1.
规律方法　要证明面面平行，由面面平行的判定定理知需在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线.要证明线面平行，又需根据线面平行的判定定理，在平面内找与已知直线平行的直线，即：
【训练3】 如图，S是平行四边形ABCD在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
求证：MN∥平面SBC.
证明　连接AN并延长交BC于P，连接SP，
因为AD∥BC，所以＝，又因为＝，
所以＝，所以MN∥SP.
又MN?平面SBC，SP?平面SBC，所以MN∥平面SBC.
[课堂小结]
1.直线与平面平行的关键是在已知平面内找一条直线和已知直线平行，即要证直线和平面平行，先证直线和直线平行，即由立体向平面转化，由高维向低维转化.
2.证明面面平行的一般思路：线线平行?线面平行?面面平行.
3.准确把握线面平行及面面平行两个判定定理，是对线面关系及面面关系作出正确推断的关键.
1.能保证直线a与平面α平行的条件是(　　)
A.b?α，a∥b
B.b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C.b?α，A、B∈a，C、D∈b，且AC＝BD
D.a?α，b?α，a∥b
解析　A错误，若b?α，a∥b，则a∥α或a?α；B错误，若b?α，c∥α，a∥b，a∥c，则a∥α或a?α；C错误，若满足此条件，则a∥α或a?α或a与α相交；D正确.
答案　D
2.在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是(　　)
A.平面E1FG1与平面EGH1
B.平面FHG1与平面F1H1G
C.平面F1H1H与平面FHE1
D.平面E1HG1与平面EH1G
解析　如图，∵EG∥E1G1，EG?平面E1FG1，E1G1?平面E1FG1，
∴EG∥平面E1FG1，又G1F∥H1E，同理可证H1E∥平面E1FG1，
又H1E∩EG＝E，∴平面E1FG1∥平面EGH1.
答案　A
3.梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，则直线CD与平面α的位置关系是________.
解析　因为AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，由线面平行的判定定理可得CD∥α.
答案　CD∥α
4.如图所示，E，F分别为三棱锥A－BCD的棱BC，BA上的点，且BE ∶BC＝BF∶BA＝1∶3.
求证：EF∥平面ACD.
证明　在△BEF和△BCA中，
∵BE∶BC＝BF∶BA＝1∶3，∴EF∥AC.
又EF?平面ACD，AC?平面ACD，∴EF∥平面ACD
基 础 过 关
1.下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a?α，b?β，
a∥β”的是(　　)
解析　A中不能正确表达b?β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β.D正确.
答案　D
2.已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的(　　)
A.l∥α，l∥β，且l∥γ B.l?γ，且l∥α，l∥β
C.α∥γ，且β∥γ D.l与α，β所成的角相等
解析　?α与β无公共点?α∥β.
答案　C
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.异面 D.相交或平行
解析　如图，MC1?平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.
答案　B
4.若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________.
解析　三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行.
答案　平行或相交
5.给出下列结论：①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α；②若直线a与平面α内的无数条直线平行，则a∥α；③若平面α，β都与直线a平行，则α∥β；④若平面α内存在无数条直线平行于平面β，则α∥β.其中错误的是______(填序号).
解析　①中直线a与平面α可能相交；②中直线a∥α或a?α；③中，α∥β或α与β相交；④中，平面α内无数条直线互相平行时，α∥β或α与β相交 .故①②③④均错误.
答案　①②③④
6.如图所示的几何体中，△ABC是任意三角形，AE∥CD，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F为BE的中点，求证：DF∥平面ABC.
证明　如图所示，取AB的中点G，连接FG，CG，
∵F，G分别是BE，AB的中点，
∴FG∥AE，FG＝AE.
又∵AE＝2a，CD＝a，
∴CD＝AE.又AE∥CD，∴CD∥FG，CD＝FG，
∴四边形CDFG为平行四边形，
∴DF∥CG.又CG?平面ABC，DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC.
7.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，CC1，AA1，C1D1的中点.求证：平面CEM∥平面BFN.
证明　因为E，F，M，N分别为其所在各棱的中点，如图连接CD1，A1B，易知FN∥CD1.
同理，ME∥A1B.
易证四边形A1BCD1为平行四边形，所以ME∥NF.
连接MD1，同理可得MD1∥BF.
又BF，NF为平面BFN中两相交直线，ME，MD1为平面CEM中两相交直线，故平面CEM∥平面BFN.
能 力 提 升
8.点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　如图，由线面平行的判定定理可知，
BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.
答案　C
9.已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是(　　)
A.l∥β，l?α?α∥β
B.l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥β
C.l∥m，l?α，m?β?α∥β
D.l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β
解析　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，
则AB∥平面DC1，AB?平面AC，
但是平面AC与平面DC1不平行，
所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，
B1C1∥平面AC.EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确.
答案　D
10.如图是正方体的平面展开图.在这个正方体中，
①BM∥平面DE；
②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________.
解析　以ABCD为下底面还原正方体，如图：
则易判定四个命题都是正确的.
答案　①②③④
11.在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE.
证明　因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，所以△ABC∽△EFG，由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.如图，连接AF，
由于FG∥BC，FG＝BC，在?ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝BC，
因此FG∥AM且FG＝AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA.
又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
探 究 创 新
12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是棱A1B1的中点.
(1)求证：A1C∥面BEC1.
(2)求异面直线A1C与B1C1所成的角的正切值.
(1)证明　连接B1C，交BC1于点O，连接OE，如图.
因为几何体是正方体，
所以O是B1C的中点.
又点E是棱A1B1的中点，所以OE∥A1C.
因为OE?平面BEC1，A1C?平面BEC1，
所以A1C∥平面BEC1.
(2)解　连接A1B，因为BC∥B1C1，
所以异面直线A1C与B1C1所成的角为∠BCA1.
因为几何体是正方体，
所以BC⊥A1B，
所以tan∠BCA1＝＝.
2.2.3　直线与平面平行的性质
2.2.4　平面与平面平行的性质
目标定位　1.证明并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.2.能应用文字语言、符号语言、图形语言准确描述直线与平面平行，两平面平行的性质定理.3.能用两个性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题.
自 主 预 习
线面平行的性质定理
面面平行的性质定理
文字
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
符号
?a∥b
?a∥b
图形
作用
线面平行?线线平行
面面平行?线线平行
即 时 自 测
1.判断题
(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行.(√)
(2)如果直线a∥平面α，直线b?α，则a与b平行.(×)
(3)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(√)
(4)过直线外一点，有且只有一个平面和已知直线平行.(×)
提示　(2)a与b平行或异面.
(4)过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，但过直线外一点可以作无数个平面与已知直线平行.
2.如图所示，过正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，则BB1与EE1的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定
解析　BB1∥平面CDD1C1，平面BB1E1E∩平面CDD1C1＝E1E，BB1?平面BB1E1E，由线面平行的性质定理知，BB1∥EE1.
答案　A
3.若平面α∥平面β，直线a?α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　　)
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行
C.存在无数多条直线与a平行
D.存在唯一一条直线与a平行
解析　设点B与直线a确定一平面为γ，γ∩β＝b，∴a∥b.
答案　D
4.已知直线l∥平面α，l?平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.
解析　由直线与平面平行的性质定理知l∥m.
答案　平行
类型一　线面平行性质定理的应用
【例1】 求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行.
解　已知直线a，l，平面α，β满足α∩β＝l，a∥α，a∥β.
求证：a∥l.
证明：如图所示，过a作平面γ交平面α于b，
∵a∥α，∴a∥b.同样过a作平面δ交平面β于c，
∵a∥β，∴a∥c.则b∥c.
又∵b?β，c?β，∴b∥β.
又∵b?α，α∩β＝l，∴b∥l.又∵a∥b，∴a∥l.
规律方法　在空间平行关系中，交替使用线线平行、线面平行的判定定理与性质定理是解决此类问题的关键.
【训练1】 若两个相交平面分别过两条平行直线，则它们的交线和这两条平行直线平行.
解　已知：a∥b，a?α，b?β，α∩β＝l.求证：a∥b∥l.
证明：如图所示，
∵a∥b，b?β，a?β，∴a∥β，
又a?α，α∩β＝l，∴a∥l，又a∥b，∴a∥b∥l.
类型二　面面平行性质定理的应用
【例2】 已知AB、CD是夹在两个平行平面α、β之间的线段，M、N分别为AB、CD的中点，求证：MN∥平面α.
证明　(1)若AB、CD在同一平面内，则平面ABDC与α、β的交线为BD、AC.
∵α∥β，∴AC∥BD.
又M、N为AB、CD的中点，∴MN∥BD.
又BD?平面α，MN?平面α，∴MN∥平面α.
(2)若AB、CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE中点P，连接MP、PN、BE、ED.
∵AE∥CD.∴AE、CD确定平面AEDC.
则平面AEDC与α、β的交线分别为ED、AC，∵α∥β，∴ED∥AC.
又P、N分别为AE、CD的中点，
∴PN∥ED，又ED?平面α，PN?平面α，∴PN∥平面α.
同理可证MP∥BE，又MP?平面α，BE?平面α，∴MP∥平面α，
∵AB、CD异面，∴MP、NP相交.
∴平面MPN∥平面α.
又MN?平面MPN，∴MN∥平面α.
规律方法　1.利用面面平行的性质定理证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，往往需要有三个平面，即有两平面平行，再构造第三个面与两平行平面都相交.
2.面面平行?线线平行，体现了转化思想与判定定理的交替使用，可实现线线、线面及面面平行的相互转化.
【训练2】 如图，已知α∥β，点P是平面α、β外的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别与α、β相交于点A、B和C、D.
(1)求证：AC∥BD；
(2)已知PA＝4 cm，AB＝5 cm，PC＝3 cm，求PD的长.
(1)证明　∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.
(2)解　由(1)得AC∥BD，∴＝，∴＝，
∴CD＝(cm)，∴PD＝PC＋CD＝(cm).
类型三　平行关系的综合应用(互动探究)
【例3】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，
求证：GH∥平面PAD.
[思路探究]
探究点一　证明平行关系的基本思路是什么？
提示　证明平行关系时，应综合应用线线平行、线面平行及面面平行之间的相互转化.
探究点二　解本题的关键是什么？
提示　关键是连接AC交BD于O，结合PC中点M，利用中位线，进行平行转化，进而作出判断.
证明　如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO.
∵ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点，又M是PC的中点，
∴PA∥MO，而AP?平面BDM，OM?平面BDM，
∴PA∥平面BMD，又∵PA?平面PAHG，
平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴PA∥GH.
又PA?平面PAD，GH?平面PAD，∴GH∥平面PAD.
规律方法　1.本题证明线面平行，利用了线面平行的性质定理和判定定理进行转化，即线线平行?线面平行?线线平行?线面平行.
2.在将线面平行转化为线线平行时，注意观察图形中是否是性质定理中符合条件的平面.
【训练3】 在长方体ABCD－A1B1C1D1，E为棱DD1上的点，试确定点E的位置，使B1D∥平面A1C1E.
解　如图，连接B1D1，设A1C1∩B1D1＝M，连接ME.
若B1D∥平面A1C1E，则B1D平行于过B1D的平面与平面A1C1E的交线.
由于B1D?平面B1DD1，平面B1DD1∩平面A1C1E＝ME，所以B1D∥ME.
又因为M为B1D1的中点，所以E为DD1的中点.
[课堂小结]
1.三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：
2.证明线与线、线与面的平行关系的一般规律是：“由已知想性质，由求证想判定”，是分析和解决问题的一般思维方法，而作辅助线和辅助面往往是沟通已知和未知的有效手段.
1.已知：α∩β＝b，a∥α，a∥β，则a与b的位置关系是(　　)
A.a∥b B.a⊥b
C.a，b相交但不垂直 D.a，b异面
解析　利用结论：若一直线与两个相交平面平行则此直线与交线平行.
答案　A
2.已知a，b表示直线，α、β、γ表示平面，下列推理正确的是(　　)
A.α∩β＝a，b?α?a∥b
B.α∩β＝a，a∥b?b∥α且b∥β
C.a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥β
D.α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
解析　由面面平行的性质定理知D正确.
答案　D
3.过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们
分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若PA＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________.
解析　两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以＝，又PA＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.
答案　12
4.如图，已知E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱A1B1、CC1的中点，过D1、E、F作平面D1EGF交BB1于G.求证：EG∥D1F.
证明　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，因为平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面D1EGF∩平面ABB1A1＝EG，平面D1EGF∩平面DCC1D1＝D1F，∴EG∥D1F.
基 础 过 关
1.a∥α，b∥β，α∥β，则a与b位置关系是(　　)
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行或异面或相交
解析　如图(1)，(2)，(3)所示，a与b的关系分别是平行、异面或相交.
答案　D
2.已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线(　　)
A.只有一条，不在平面α内
B.只有一条，在平面α内
C.有两条，不一定都在平面α内
D.有无数条，不一定都在平面α内
解析　如图所示，∵l∥平面α，P∈α，
∴直线l与点P确定一个平面β，
α∩β＝m，∴P∈m，∴l∥m且m是唯一的.
答案　B
3.如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　)
A.MN∥PD B.MN∥PA
C.MN∥AD D.以上均有可能
解析　∵MN∥平面PAD，MN?平面PAC，
平面PAD∩平面PAC＝PA，∴MN∥PA.
答案　B
4.过正方体ABCD－A1B1C1D1的三个顶点A1、C1、B的平面与底面ABCD所在平面的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________.
解析　由面面平行的性质可知第三平面与两平行平面的交线是平行的.
答案　平行
5.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________.
解析　∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，
∴AC＝2.又E为AD的中点，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，
∴EF∥AC，∴F为DC的中点，
∴EF＝AC＝.
答案　
6.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过A1，B，C1的平面与平面ABC的交线为l，试判断l与直线A1C1的位置关系，并给以证明.
解　l∥A1C1
证明　在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1∥AC，A1C1?平面ABC，AC?平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC.
又∵A1C1?平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面ABC＝l，
∴A1C1∥l.
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，求证：MN∥平面AA1B1B.
证明　如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP.
∵MP∥BB1，∴＝.
∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴＝，
∴＝，∴NP∥CD∥AB.
∵NP?平面AA1B1B，AB?平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.
∵MP∥BB1，MP?平面AA1B1B，BB1?平面AA1B1B，
∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP?平面MNP，NP?平面MNP，MP∩NP＝P，
∴平面MNP∥平面AA1B1B.
∵MN?平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.
能 力 提 升
8.下列说法正确的是(　　)
A.平行于同一条直线的两个平面平行
B.平行于同一个平面的两个平面平行
C.一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
D.若三直线a，b，c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有一个平面与b，c均平行
解析　平行于同一条直线的两个平面可以平行也可以相交，所以A错；B正确；C中没有指明这三个点在平面的同侧还是异侧，不正确；D不正确，因为过直线a的平面中，只要b，c不在其平面内，则与b，c均平行.
答案　B
9.过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为(　　)
A.都平行
B.都相交且一定交于同一点
C.都相交但不一定交于同一点
D.都平行或交于同一点
解析　∵l?α，∴l∥α或l与α相交.
(1)若l∥α，则由线面平行的性质可知l∥a，l∥b，l∥c，…
∴a，b，c，…这些交线都平行.
(2)若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确.
答案　D
10.如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA、PB、PC于A′、B′、C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则＝________.
解析　由平面α∥平面ABC，得AB∥A′B′，BC∥B′C′，AC∥A′C′，
由等角定理得∠ABC＝∠A′B′C′，
∠BCA＝∠B′C′A′，∠CAB＝∠C′A′B′，
从而△ABC∽△A′B′C′，△PAB∽△PA′B′，
＝＝＝.
答案　
11.如图所示，已知P是?ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.
(1)求证：l∥BC；
(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论.
法一　(1)证明　因为BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BC∥平面PAD.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，所以BC∥l.
(2)解　平行.证明如下：
取PD的中点E，连接AE，NE，可以证得NE∥AM且NE＝AM.
可知四边形AMNE为平行四边形.
所以MN∥AE，又因为MN?平面APD，AE?平面APD，所以MN∥平面APD.
法二　(1)证明　由AD∥BC，AD?平面PBC，
BC?平面PBC，所以AD∥平面PBC.
又因为平面PBC∩平面PAD＝l，
所以l∥AD，l∥BC.
(2)解　平行.证明如下：
设Q是CD的中点，连接NQ，MQ，
则MQ∥AD，NQ∥PD，而MQ∩NQ＝Q，
所以平面MNQ∥平面PAD.MN?平面MNQ，
所以MN∥平面PAD.
探 究 创 新
12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积.
解　能.取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1，
∵A1N∥PC1且A1N＝PC1，
PC1∥MC，PC1＝MC，A1N綉MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形，
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，
A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1，
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形.
连接MN，作A1H⊥MN于点H，
∵A1M＝A1N＝，MN＝2，∴A1H＝.
∴S△A1MN＝×2×＝.
故S?A1MCN＝2S△A1MN＝2.
2.3.1　直线与平面垂直的判定
目标定位　1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理.3.理解直线与平面所成的角的概念，并能解决简单的线面角问题.
自 主 预 习
1.直线与平面垂直的有关概念
(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.
(2)相关概念：若直线l与平面α垂直，其中直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
(3)图形语言：(画直线与平面垂直时，通常把直线画成与平面的平行四边形的一边垂直)如图所示.
(4)符号语言：任意a?α，都有l⊥a?
l⊥α.
其中“任意直线”等同于“所有直线”.
2.直线和平面垂直的判定定理
(1)文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
(2)图形语言：如图所示.
(3)符号语言：a?α，b?α，a∩b＝A，
l⊥a，l⊥b?l⊥α.
3.直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0°.综上，直线与平面所成的角的范围[0°，90°].
即 时 自 测
1.判断题
(1)若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α.(×)
(2)若直线l与平面α内任意一条直线垂直，则l⊥α.(√)
(3)若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线.(×)
(4)过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.(√)
提示　(1)当直线l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l与α不一定垂直.
(3)当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直.
2.长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列不是平面ABCD的垂线的是(　　)
A.AA1 B.BB1
C.CC1 D.AD1
解析　由长方体的性质可知AD1不垂直于平面ABCD.
答案　D
3.下列条件中，能判定直线l⊥平面α的是(　　)
A.l与平面α内的两条直线垂直
B.l与平面α内的无数条直线垂直
C.l与平面α内的某一条直线垂直
D.l与平面α内的任意一条直线垂直
解析　根据线面垂直的定义，可知l垂直于α内的所有直线时，l⊥α.
答案　D
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________.
解析　BB1⊥平面ABCD，∴∠BAB1即为直线AB1与平面ABCD所成的角，且∠BAB1＝45°.
答案　45°
类型一　直线和平面垂直的定义
【例1】 下列命题中，正确的序号是________.
①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；③若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平面α内有一条直线与直线l不垂直，则直线l与平面α不垂直.
解析　当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确；根据线面垂直的定义，若l⊥α则l与α的所有直线都垂直，所以④正确.
答案　③④
规律方法　1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
2.由定义可得线面垂直?线线垂直，即若a⊥α，b?α，则a⊥b.
【训练1】 设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
A.若l⊥m，m?α，l⊥α
B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C.若l∥α，m?α，则l∥m
D.若l∥α，m∥α，则l∥m
解析　对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面.
答案　B
类型二　线面垂直的判定
【例2】 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点.
求证：AD⊥平面A1DC1.
证明　∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，
∴AA1⊥平面A1B1C1，显然A1C1?平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.
又∠B1A1C1＝90°，∴A1C1⊥A1B1而A1B1∩AA1＝A1，
∴A1C1⊥平面AA1B1B，AD?平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.
由已知计算得AD＝，A1D＝，AA1＝2.
∴AD2＋A1D2＝AA，∴A1D⊥AD.
∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.
规律方法　证线面垂直的方法有三类
(1)线线垂直证明线面垂直：①定义法(不常用，但由线面垂直可得出线线垂直)；②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线(有时作辅助线)；结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α?b⊥α；
②α∥β，a⊥α?a⊥β.
【训练2】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.
证明　∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO.
又∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，
又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.
类型三　直线与平面所成的角(互动探究)
【例3】 如图所示，三棱锥A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角.
[思路探究]
探究点一　直线与平面所成角的范围是什么？
提示　直线和平面垂直时，直线与平面所成的角是直角，为90°；直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面所成角为0°；直线是平面的斜线时，直线与平面所成的角是锐角，范围(0°，90°).所以直线与平面所成角的范围是[0°，90°].
探究点二　求斜线与平面所成角的步骤是什么？
提示　求斜线与平面所成角的步骤：一作，找出射影，作出角；二证，证明作出的角即为所求；三算，在三角形中求角；四答，作答.
解　因为∠ASB＝∠ASC＝60°，
SA＝SB＝SC，
所以△ASB与△SAC都是等边三角形.
因此AB＝AC.
如图所示，取BC的中点D，
连接AD，SD，则AD⊥BC.
设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，
CD＝SD＝a.
在Rt△ADC中，AD＝＝a.
则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.
又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.
因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角.
在Rt△ASD中，SD＝AD＝a，
所以∠ASD＝45°，
即直线AS与平面SBC所成的角为45°.
规律方法　1.求直线和平面所成角的步骤：(1)寻找过斜线上一点与平面垂直的直线；(2)连接垂足和斜足得到斜线在平面上的射影，斜线与其射影所成的锐角即为所求的角；(3)把该角归结在某个三角形中，通过解三角形，求出该角.
2.在上述步骤中，作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的关键，几何图形的特征是找射影的依据，图形中的特殊点是突破口.
【训练3】 如图所示，Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
解　由题意知，A是M在平面ABC内的射影，∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB内的射影为AC.
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3.
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.
即MC与平面CAB所成角的正弦值为.
[课堂小结]
1.直线和平面垂直的判定方法：
(1)利用线面垂直的定义；
(2)利用线面垂直的判定定理；
(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β.
2.线线垂直的判定方法：
(1)异面直线所成的角是90°；
(2)线面垂直，则线线垂直.
3.求线面角的常用方法：
(1)直接法(一作(或找)二证(或说)三计算)；
(2)转移法(找过点与面平行的线或面)；
(3)等积法(三棱锥变换顶点，属间接求法).
1.一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是(　　)
A.平行 B.垂直
C.相交不垂直 D.不确定
解析　由题意可知，该直线垂直于三角形所确定的平面，故这条直线和三角形的第三边也垂直.
答案　B
2.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是(　　)
①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边.
A.①③ B.② C.②④ D.①②④
解析　由线面垂直的判定定理知，直线垂直于①③图形所在的平面，对于②④图形中的两边不一定是相交直线，所以该直线与它们所在的平面不一定垂直.
答案　A
3.矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角是________.
解析　tan∠PCA＝＝＝，∴∠PCA＝30°.
答案　30°
4.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：AC⊥平面BDD1B1.
证明　∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面AC，
又AC?平面AC，∴BB1⊥AC.
∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC.
∵BD?平面BDD1B1，BB1?平面BDD1B1，BB1∩BD＝B，
∴AC⊥平面BDD1B1.
基 础 过 关
1.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是(　　)
A.平行 B.垂直相交
C.垂直但不相交 D.相交但不垂直
解析　连接AC，因为ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，则BD⊥MC.因为AC∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC.又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
答案　C
2.下列表述正确的个数为(　　)
①若直线a∥平面α，直线a⊥b，则b⊥α；
②若直线a?平面α，b?α，且a⊥b，则a⊥α；
③若直线a平行于平面α内的两条直线，则a∥α；
④若直线a垂直于平面α内的两条直线，则a⊥α.
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　①中b与α还可能平行、斜交或b在平面α内；②中a与α还可能平行或斜交；③中a还可能在平面α内；由直线与平面垂直的判定定理知④错.
答案　A
3.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　)
A.30° B.45° C.60° D.120°
解析　如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝
AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角.
答案　C
4.已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的________(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”).
解析　P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心.
答案　外心
5.如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________.
解析　??BC⊥平面PAC?BC⊥PC，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
答案　4
6.如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥BC，PD＝1，PC＝.求证：PD⊥平面ABCD.
证明　∵PD＝DC＝1，PC＝，∴PD2＋DC2＝PC2，∴PD⊥CD.
又∵PD⊥BC，BC∩CD＝C，且BC?平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.
7.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
证明　(1)∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM?平面ABM.∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平 PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.
又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.
能 力 提 升
8.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　)
A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交
解析　取BD中点O，连接AO，CO，
则BD⊥AO，BD⊥CO，且AO∩CO＝O，
∴BD⊥面AOC，又AC?平面AOC，∴BD⊥AC，
又BD、AC异面，∴选C.
答案　C
9.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
解析　如右图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连接A1C1、B1D1，交于O点，连接OB，由已知A1B1C1D1是正方形，∴A1C1⊥B1D1.
又∵BB1⊥平面A1B1C1D1，OC1?平面A1B1C1D1，
∴OC1⊥BB1.而BB1∩B1D1＝B1，∴OC1⊥平面BB1D1D.
∴OB是BC1在平面BB1D1D内的射影.
∴∠C1BO是BC1与平面BB1D1D所成的角.
在正方形A1B1C1D1中，OC1＝A1C1＝＝.
在矩形BB1C1C中，BC1＝＝＝.
∴sin∠C1BO＝＝＝.
答案　D
10.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为A1B1的中点，则AE与平面ABC1D1所成角的正弦值为________.
解析　如图，取CD的中点F，连接EF交平面ABC1D1于O，连接AO.
由已知正方体易知EO⊥平面ABC1D1，所以∠EAO为AE与平面ABC1D1所成的角，设正方体棱长为1，在Rt△EOA中，EO＝EF＝A1D＝，
AE＝＝，sin∠EAO＝＝.所以直线AE与平面ABC1D1所成的角的正弦值为.
答案　
11.如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明　(1)如图，取PD的中点E，连接NE、AE，
又∵N是PC的中点，
∴NE綊DC.
又∵DC綊AB，AM＝AB，
∴AM綊CD，∴NE綊AM，
∴四边形AMNE是平行四边形，∴MN∥AE.
∵AE?平面PAD，MN?平面PAD，∴MN∥平面PAD.
(2)∵PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD内的射影，∴∠PDA是PD与平面ABCD所成的角，
∴∠PDA＝45°，∴AP＝AD，∴AE⊥PD.又∵MN∥AE，∴MN⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.
又∵CD⊥AD，PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.
∵AE?平面PAD，∴CD⊥AE.又MN∥AE，∴CD⊥MN.
又CD∩PD＝D，∴MN⊥平面PCD.
探 究 创 新
12.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上移动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P满足的条件是什么？并说明理由.
解　点P在线段B1C上时，可以总是保持AP⊥BD1.
证明：因为ABCD－A1B1C1D1是正方体，所以BB1⊥平面ABCD.
又AC?平面ABCD，所以BB1⊥AC.
又四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.
又BD?平面BDD1B1，BB1?平面BDD1B1，BB1∩BD＝B，
所以AC⊥平面BDD1B1.又BD1?平面BDD1B1，
所以BD1⊥AC.同理可证BD1⊥AB1.
又AC?平面AB1C，AB1?平面AB1C，AC∩AB1＝A，所以BD1⊥平面AB1C.
因为点P在线段B1C上，所以AP?平面AB1C，所以AP⊥BD1.
2.3.2　平面与平面垂直的判定
目标定位　1.了解二面角及其平面角的概念，会求简单的二面角的大小.2.通过直观感知、操作确认，归纳平面与平面垂直的判定定理.3.能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题.
自 主 预 习
1.二面角
(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.这两个半平面叫做二面角的面.
如图(1)可记作：二面角α－l－β或P－AB－Q或P－l－Q.
如图(2)对二面角α－l－β若有：
①O∈l；
②OA?α，OB?β；
③OA⊥l，OB⊥l.
则∠AOB就叫做二面角α－l－β的平面角.
2.平面与平面的垂直
(1)定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
(2)画法：
记作：α⊥β.
(3)面面垂直的判定定理
文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
图形语言：如图所示
符号语言：?α⊥β.
即 时 自 测
1.判断题
(1)若α∩β＝a，b?α，a⊥b，则α⊥β.(×)
(2)若直线l⊥平面α，l?平面β，则α与β相交且垂直.(√)
提示　(1)当b⊥β时，才能推出α⊥β.
2.已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　)
A.有1个 B.有2个 C.有无数个 D.不存在
解析　由面面垂直的判定定理知，凡过l的平面都垂直于平面α，这样的平面有无数个.
答案　C
3.从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角的平面角的大小是(　　)
A.60° B.120° C.60°或120° D.不确定
解析　若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.
答案　C
4.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面C1D1AB与底面ABCD所成二面角
C1－AB－C的大小为________.
解析　∵AB⊥BC，AB⊥BC1，
∴∠C1BC为二面角C1－AB－C的平面角，其大小为45°.
答案　45°
类型一　二面角及其平面角的概念
【例1】 下列命题中：
①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是(　　)
A.①③ B.②④ C.③④ D.①②
解析　由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确.故选B.
答案　B
规律方法　(1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致.
(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别.
(3)可利用实物模型，作图帮助判断.
【训练1】 若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角(　　)
A.相等 B.互补
C.相等或互补 D.关系无法确定
解析　如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，故二面角H－DG－F的大小不确定.
答案　D
类型二　面面垂直的判定与证明
【例2】 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上异于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.
证明　连接AC，BC，因为C是圆周上异于A、B的任一点，且AB是⊙O直径.
则BC⊥AC，又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴PA⊥BC，而PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，
又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥面PBC.
规律方法　面面垂直的判定定理是证明面面垂直的常用方法，即要证面面垂直，只需转证线面垂直，关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直.
【训练2】 如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上.求证：平面AEC⊥平面PDB.
证明　∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
又PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，
又PD，BD为平面PDB内两条相交直线，
∴AC⊥平面PDB.又∵AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.
类型三　二面角(互动探究)
【例3】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值.
[思路探究]
探究点一　求二面角的大小关键是什么？
提示　求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.
探究点二　二面角的两种常见求法是什么？
提示　1.定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线.
2.垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角.
解　取A1C1的中点O，连接B1O，BO.由题意知B1O⊥A1C1，
又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角.
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a，则OB1＝a，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，
所以二面角B－A1C1－B1的正切值为.
规律方法　1.求二面角的大小关键是要找出或作出平面角.再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值，其步骤为作角→证明→计算.
2.为在适当位置作出平面角要注意观察二面角两个面的图形特点，如是否为等腰三角形等.
【训练3】 已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12，底面对角线的长为2，求侧面与底面所成的二面角.
解　设正四棱锥为S－ABCD，如图所示，高为h，底面边长为a，
则2a2＝(2)2，∴a2＝12.又a2h＝12，∴h＝＝3.
设O为S在底面上的射影，作OE⊥CD于E，连接SE，
可知SE⊥CD，∠SEO为所求二面角的平面角.
tan∠SEO＝＝＝＝，∴∠SEO＝60°.
∴侧面与底面所成二面角的大小为60°.
[课堂小结]
1.证明两个平面垂直的主要途径：
(1)利用面面垂直的定义；
(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.
2.证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化.每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的.
3.下面的结论，有助于判断面面垂直：
(1)m∥n，m⊥α，n?β?α⊥β；
(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n?α⊥β；
(3)α∥β，γ⊥α?γ⊥β.
1.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A.m⊥n，m∥α，n∥β B.m⊥n，α∩β＝m，n?α
C.m∥n，n⊥β，m?α D.m∥n，m⊥α，n⊥β
解析　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m?α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.
答案　C
2.空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(　　)
A.平面ABC⊥平面ADC B.平面ABC⊥平面ADB
C.平面ABC⊥平面DBC D.平面ADC⊥平面DBC
解析　∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD?平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.
答案　D
3.如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为________.
解析　PA⊥平面ABC，
∴∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角，
又∠BAC＝90°，∴二面角B－PA－C的大小为90°.
答案　90°
4. (2016·江苏)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.
求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
证明　(1)由已知，DE为△ABC的中位线，
∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，
∴DE∥A1C1，
且DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，
∴DE∥平面A1C1F.
(2)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
∴AA1⊥A1C1，又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A，
∴A1C1⊥平面ABB1A1，∵B1D?平面ABB1A1，
∴A1C1⊥B1D，又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，
∴B1D⊥平面A1C1F，又∵B1D?平面B1DE，
∴平面B1DE⊥平面A1C1F.
基 础 过 关
1.如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m?α和m⊥γ，那么必有(　　)
A.α⊥γ且l⊥m B.α⊥γ且m∥β
C.m∥β且l⊥m D.α∥β且α⊥γ
解析　B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交.
答案　A
2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图所示)，图中互相垂直的平面有(　　)
A.1对 B.2对 C.3对 D.5对
解析　∵DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，
∴DA⊥平面PAB，同样BC⊥平面PAB，
又易知AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD.
∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面PAD，共5对.
答案　D
3.如图，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P－BC－A的大小为(　　)
A.60° B.30° C.45° D.15°
解析　由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，
∴BC⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，∴PC⊥BC，
∴∠PCA为二面角P－BC－A的平面角.
在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，所以C对.
答案　C
4.已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，则二面角D－BC－A的大小为________.
解析　如图由题意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2.
取BC的中点E，连接DE，AE，则AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA为所求二面角的平面角.
易得AE＝DE＝，又AD＝2，所以AE2＋DE2＝AD2.即∠DEA＝90°.
答案　90°
5.E是正方形ABCD的边AB中点，将△ADE与△BCE沿DE，CE向上折起，使得A，B重合于点P，那么二面角D－PE－C的大小为________.
解析　易得∠CPD即为二面角D－PE－C的平面角.在△PCD中，PC＝PD＝DC，∴∠CPD＝60°.
答案　60°
6.如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PA⊥平面ABCD，AC∩BD＝E，AD＝2，AB＝2，BC＝6.求证：平面PBD⊥平面PAC.
证明　∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥PA.又tan∠ABD＝＝，tan∠BAC＝＝，
∴∠ABD＝30°，∠BAC＝60°，
∴∠AEB＝90°，即BD⊥AC.
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PBD，
∴平面PBD⊥平面PAC.
7.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.
(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；
(2)求二面角A－BE－P的大小.
(1)证明　如图所示，连接BD，
由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，
△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.
又AB∥CD，所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD，BE?平面ABCD，
所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，
因此BE⊥平面PAB.又BE?平面PBE，
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解　由(1)知BE⊥平面PAB，PB?平面PAB，
所以PB⊥BE.又AB⊥BE，
所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角.
在Rt△PAB中，tan∠PBA＝＝，∠PBA＝60°，
故二面角A－BE－P的大小是60°.
能 力 提 升
8.在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是(　　)
A.BC∥面PDF B.DF⊥面PAE
C.面PDF⊥面ABC D.面PAE⊥面ABC
解析　如图所示，∵BC∥DF，
BC?平面PDF，DF?平面PDF，∴BC∥平面PDF.∴A正确.
由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.
又BC∥DF，∴DF⊥平面PAE.∴B正确.
∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE).∴D正确.
答案　C
9.如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　　)
A.PB⊥AD
B.平面PAB⊥平面PBC
C.直线BC∥平面PAE
D.直线PD与平面ABC所成的角为45°
解析　∵PA⊥平面ABC，
∴∠ADP是直线PD与平面ABC所成的角.
∵六边形ABCDEF是正六边形，∴AD＝2AB，
即tan∠ADP＝＝＝1，
∴直线PD与平面ABC所成的角为45°，选D.
答案　D
10.如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB?α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________.
解析　如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ，
由图得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝.
答案　
11.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点.
(1)求证：平面MNF⊥平面ENF；
(2)求二面角M－EF－N的平面角的正切值.
(1)证明　连接MN，∵N，F均为所在棱的中点，
∴NF⊥平面A1B1C1D1.而MN?平面A1B1C1D1，
∴NF⊥MN.又∵M，E均为所在棱的中点，
∴△C1MN和△B1NE均为等腰直角三角形.∴∠MNC1＝∠B1NE＝45°，
∴∠MNE＝90°，∴MN⊥NE.又NE∩NF＝N，∴MN⊥平面NEF.
而MN?平面MNF，∴平面MNF⊥平面NEF.
(2)解　在平面NEF中，过点N作NG⊥EF于点G，连接MG.由(1)得MN⊥平面NEF，
又EF?平面NEF，∴MN⊥EF.
又MN∩NG＝N，∴EF⊥平面MNG，又MG?平面MNG，∴EF⊥MG.
∴∠MGN为二面角M－EF－N的平面角.
设该正方体的棱长为2.
在Rt△NEF中，NG＝＝，
∴在Rt△MNG中，tan∠MGN＝＝＝.
∴二面角M－EF－N的平面角的正切值为.
探 究 创 新
12.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2.
(1)求证：AE∥平面DCF；
(2)当AB的长为何值时，二面角A－EF－C的大小为60°？
(1)证明　过点E作EG⊥CF交CF于点G，连接DG.
由题意，得四边形BCGE为矩形.
∵四边形ABCD为矩形，所以AD綊EG，∴四边形ADGE为平行四边形，
∴AE∥DG.
∵AE?平面DCF，DG?平面DCF，
∴AE∥平面DCF.
(2)解　过点B作BH⊥FE的延长线于点H，连接AH.
∵平面ABCD⊥平面BEFC，AB⊥BC，平面ABCD∩平面BEFC＝BC，
AB?平面ABCD，
∴AB⊥平面BEFC，∴AH⊥EF，
∴∠AHB为二面角A－EF－C的平面角.在Rt△EFG中，
∵EG＝AD＝，EF＝2，
∴∠CFE＝60°，FG＝1，
又∵CE⊥EF，CF＝4.
∴BE＝CG＝3，∴BH＝BE·sin∠BEH＝.
∵AB＝BH·tan∠AHB＝tan∠AHB＝，
故当AB＝时，二面角A－EF－C的大小为60°.
2.3.3　直线与平面垂直的性质
2.3.4　平面与平面垂直的性质
目标定位　1.证明并掌握直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，并能用文字、符号和图形语言描述定理.2.能运用性质定理证明一些空间位置关系的简单命题.3.理解“平行”与“垂直”之间的相互转化.
自 主 预 习
1.直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
作用
①线面垂直?线线平行
②作平行线
2.平面与平面垂直的性质定理
文字语言
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
符号语言
?a⊥β
图形语言
作用
①面面垂直?线面垂直
②作面的垂线
即 时 自 测
1.判断题
(1)两条平行直线中的一条垂直于一个平面，另一条也垂直于这个平面.(√)
(2)垂直于同一平面的两个平面平行.(×)
(3)如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内一点且垂直于第二个平面的直 线在第一个平面内.即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β?b?α.(√)
(4)如果平面α⊥平面β，那么平面α内的所有直线都垂直于平面β.(×)
提示　(2)垂直于同一平面的两个平面可以相交也可以平行.
(4)直线与平面β位置关系不确定.
2.△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是(　　)
A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定
解析　因为l⊥AB，l⊥AC，AB?α，AC?α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可证m⊥α，所以l∥m.
答案　C
3.在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是(　　)
A.平行 B.EF?平面A1B1C1D1
C.相交但不垂直 D.相交且垂直
解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF?面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确.
答案　D
4.已知a、b为直线，α、β为平面.在下列四个命题中，正确的命题是________(填序号).
①若a⊥α，b⊥α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若α∥b，β∥b，则α∥β.
解析　由“垂直于同一平面的两直线平行”知①真；由“平行于同一平面的两直线平行或异面或相交”知②假；由“垂直于同一直线的两平面平行”知③真；易知④假.
答案　①③
类型一　直线与平面垂直的性质及应用
【例1】 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直相交.
求证：EF∥BD1.
证明　如图所示，连接AB1、B1D1、B1C、BD，
∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，
又BD1?平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.
同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.
∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.
又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，
∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.
规律方法　证明线线平行常有如下方法：
(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；
(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；
(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；
(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；
(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.
【训练1】 如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a?β，a⊥AB.求证：a∥l.
证明　因为EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.
类型二　平面与平面垂直的性质及应用
【例2】 已知：α、β、γ是三个不同平面，l为直线，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：l⊥γ.
证明　法一　设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内任取一点P，过P在γ内作直线m⊥a，n⊥b，如图.
∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β，
又∵α∩β＝l，
∴m⊥l，n⊥l，又m∩n＝P，∴l⊥γ.
法二　如图，α∩γ＝a，
β∩γ＝b，在α内作m⊥a，
在β内作n⊥b.
∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n.
又∵n?β，m?β，∴m∥β，
又α∩β＝l，m?α，∴m∥l，∴l⊥γ.
规律方法　1.证明或判定线面垂直的常用方法有：
(1)线面垂直的判定定理；
(2)面面垂直的性质定理；
(3)若a∥b，a⊥α则b⊥α；(a，b为直线，α为平面).
(4)若a⊥α，α∥β则a⊥β；(a为直线，α，β为平面).
2.两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作(找)与交线垂直的直线.
【训练2】 设平面α⊥平面β，点P在平面α内，过点P作平面β的垂线a，试判断直线a与平面α的位置关系.
解　如图，设α∩β＝c，过点P在平面α内作直线b⊥c.
根据平面与平面垂直的性质定理有b⊥β.
因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，
所以直线a与直线b重合，因此a?α.
类型三　线线、线面、面面垂直的综合应用(互动探究)
【例3】 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，且∠DAB＝60°，侧面PAD为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.
(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
[思路探究]
探究点一　运用面面垂直的性质定理的一般策略是什么？
提示　运用面面垂直的性质定理时，一般要作辅助线：过其中一个平面内一点作交线的垂线.这样就把面面垂直转化成线面垂直或线线垂直了.
探究点二　线线、线面、面面垂直关系之间有怎样的转化关系？
提示　
证明　(1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，
∴△ABD为正三角形，又G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，BG?平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.
(2)连接PG，如图，
∵△PAD为正三角形，G为AD的中点，∴PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，
∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.
规律方法　证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理.本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理.利用面面垂直的性质定理.证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直于它们的交线.
【训练3】 如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.PA与BD是否相互垂直？请证明你的结论.
解　PA与BD相互垂直.证明如下：
如图，取BC的中点O，连接PO、AO.
∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD，
平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴PO⊥底面ABCD，
又BD?平面ABCD.∴PO⊥BD，
在直角梯形ABCD中，易证△ABO ≌△BCD，
∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，
∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，
又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，即PA与BD相互垂直.
[课堂小结]
1.线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据.
2.面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的转化与化归思想，其转化关系如下：
1.下列说法正确的是(　　)
A.垂直于同一条直线的两直线平行
B.垂直于同一条直线的两直线垂直
C.垂直于同一个平面的两直线平行
D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行
解析　由线面垂直的性质定理知C正确.
答案　C
2.设α－l－β是直二面角，直线a?α，直线b?β，a，b与l都不垂直，那么(　　)
A.a与b可能垂直，但不可能平行
B.a与b可能垂直，也可能平行
C.a与b不可能垂直，但可能平行
D.a与b不可能垂直，也不可能平行
解析　当a，b都与l平行时，则a∥b，所以A、D错，
如图，若a⊥b过a上一点P在α内作a′⊥l，
因为α⊥β，所以a′⊥β，
又b?β，∴a′⊥b，∴b⊥α，
而l?α，∴b⊥l，与b和l不垂直矛盾，所以B错.
答案　C
3.如图，在三棱锥P－ABC内，侧面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，则PB＝________.
解析　∵侧面PAC⊥底面ABC，交线为AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，PA?平面PAC，∴PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC，
∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝.
答案　
4.如图所示，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：平面SCD⊥平面SBC.
证明　∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面SCD.又∵BC?平面SBC，
∴平面SCD⊥平面SBC
基 础 过 关
1.下列命题中错误的是(　　)
A.如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ
D.如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析　由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误.
答案　D
2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是(　　)
A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC⊥平面ABC
解析　如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，故CD⊥平面ABD，又AB?平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC，
又AB?平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.
答案　D
3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)
A.若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n
B.若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
C.若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β
D.若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β
解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1?平面BCC1B1，BC?平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误.平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1?平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误.AB⊥A1D1，AB?平面ABCD，A1D1?平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误.故选D.
答案　D
4.a，b是两条不同直线，α为平面，以下命题中正确的是________(填序号).
①?a∥α；②?b⊥α；③?a∥b；
④?b⊥α.
解析　①中a可能在α内；②中b也可能与α平行，③④正确 .
答案　③④
5.若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，则a与β的关系为________.
解析　如图，过a作平面γ，设γ∩α＝b，
∵a∥α，∴a∥b.又∵a⊥AB，∴b⊥AB.
又∵α⊥β，α∩β＝AB，b?α，∴b⊥β，∴a⊥β.
答案　a⊥β
6.如图三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.
证明　∵平面PAC⊥平面ABC，
平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，
PA?平面PAC，∴PA⊥平面ABC.
又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.
又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.
7.如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点.求证：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
证明　(1)因为平面PAD⊥底面ABCD，
且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA?平面PAD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四边形ABED为平行四边形.所以BE∥AD.
又因为BE?平面PAD，AD?平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
所以PA⊥CD.
又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD.
又PD?平面PAD，所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点，
所以PD∥EF.所以CD⊥EF.
又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，
所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
能 力 提 升
8.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在(　　)
A.直线AB上 B.直线BC上
C.直线AC上 D.△ABC内部
解析　连接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.
答案　A
9.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：
①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；
④EF⊥平面SEG.其中成立的有(　　)
A.①与② B.①与③ C.②与③ D.③与④
解析　由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.
答案　B
10.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.
解析　取CD的中点G，连接MG，NG.
因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.
因为平面ABCD⊥平面DCEF，
平面ABCD∩平面DCEF＝CD，
所以MG⊥平面DCEF，由于GN?平面CDEF，可得MG⊥NG，
所以MN＝＝.
答案　
11.如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角.
求证：(1)AB⊥平面BCD；
(2)平面ACD⊥平面ABD.
证明　(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝a，
∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.
又∵平面ABD⊥平面BCD，
平面ABD∩平面BCD＝BD，AB?平面ABD，
∴AB⊥平面BCD.
(2)∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，
且AB⊥BD，∴CD⊥BD.
∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD.∴AB⊥CD.
∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD.
又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD.
探 究 创 新
12.在如图所示的多面体中，四边形ABB1A1和ACC1A1都为矩形.
(1)若AC⊥BC，证明：直线BC⊥平面ACC1A1；
(2)设D，E分别是线段BC，CC1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
(1)证明　因为四边形ABB1A1和ACC1A1都是矩形，
所以AA1⊥AB，AA1⊥AC.
因为AB，AC为平面ABC内两条相交的直线，
所以AA1⊥平面ABC.
因为直线BC?平面ABC，所以AA1⊥BC.
又由已知，AC⊥BC，AA1，AC为平面ACC1A1内两条的相交直线，所以BC⊥平面ACC1A1.
(2)解　取线段AB的中点M，连接A1M，MC，A1C，AC1，设O为A1C，AC1的交点.
由已知，O为AC1的中点.
连接MD，OE，则MD，OE分别为△ABC，△ACC1的中位线，所以MD綉AC，OE綉AC，
因此MD綉OE.
连接OM，从而四边形MDEO为平行四边形，
则DE∥MO.
因为直线DE?平面A1MC，MO?平面A1MC，
所以直线DE∥平面A1MC.
即线段AB上存在一点M(线段AB的中点)，
使直线DE∥平面A1MC.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系习题课
目标定位　1.理解直线与平面、平面与平面平行的判定定理.2.证明并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理.3.能运用上述定理证明一些空间位置关系的简单命题.
1.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面(　　)
A.不可能作出 B.只能作出一个
C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在
解析　设直线外两点为A、B，若直线AB∥l，则过A、B可作无数个平面与l平行；若直线AB与l异面，则只能作一个平面与l平行；若直线AB与l相交，则过A、B没有平面与l平行.
答案　D
2.三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)
A.EF与BC相交 B.EF与BC平行
C.EF与BC异面 D.以上均有可能
解析　由线面平行的性质定理可知EF∥BC.
答案　B
3.若直线l不平行于平面α，且l?α，则(　　)
A.α内的所有直线与l异面
B.α内不存在与l平行的直线
C.α内存在唯一的直线与l平行
D.α内的直线与l都相交
解析　直线l不平行于平面α，且l?α，所以l与α相交，故选B.
答案　B
4.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为(　　)
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.可能重合
解析　若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交.
答案　C
5.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行或异面
解析　由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.
答案　A
6.已知直线a，b，平面α，且a∥α.
(1)如果a，b相交，那么b与α的位置关系是________.
(2)如果b∥α，那么b与a的位置关系是________.
答案　(1)b∥α，或b与α相交
(2)b∥a，或b与a相交，或b与a异面
题型一　利用平行关系的转化证题
【例1】 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是面对角线AB1，BC1上两点，且＝.
求证：MN∥平面A1B1C1D1.
证明　法一　由“面面平行?线面平行”来证明.
在平面A1B内，作MK∥A1B1，交BB1于点K，连接KN(如图).
∵A1B1∥AB，∴MK∥AB.
由平行线截线段成比例定理知＝.
而＝(已知)，
∴＝，∴KN∥B1C1.
∵A1B1∩B1C1＝B1，MK∩KN＝K，
∴平面MKN∥平面A1B1C1D1.
而MN?平面MKN，∴MN∥平面A1B1C1D1.
法二　添加辅助线，由“线线平行?线面平行”来证明.
连接BM并延长交A1B1于点P，连接PC1，则可证△B1MP∽△AMB，
∴＝.而＝(已知)，∴＝.
由平行线截线段成比例定理得MN∥PC1.
而PC1?平面A1B1C1D1，MN?平面A1B1C1D1，∴MN∥平面A1B1C1D1.
规律方法　常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，证明线面平行时，可以先转化为线线平行，再根据线面平行的判定定理证明.证明平面与平面平行时，关键是证明直线与平面平行.
【训练1】 如图，三棱柱ABC－A′B′C′中，M、N分别为BB′，A′C′的中点.求证：MN∥平面ABC′.
证明　取B′C′的中点P，连接MP，NP，则MP∥BC′，
NP∥A′B′.
因为A′B′∥AB，所以NP∥AB.
又因为AB?平面ABC′，NP?平面ABC′，
所以NP∥平面ABC′.
同理MP∥平面ABC′.
又因为NP∩MP＝P，所以平面MNP∥平面ABC′.
因为MN?平面MNP，所以MN′平面ABC′.
题型二　平行中的探索性问题
【例2】 已知底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置.
解　如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.
∵BG∥OE，BG?平面AEC，OE?平面AEC，
∴BG∥平面AEC.同理，GF∥平面AEC.
又BG∩GF＝G，∴平面BGF∥平面AEC，
又BF?平面BGF.∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE，O是BD的中点，∴E是GD的中点.
又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE的中点.
而GF∥CE，∴F为PC的中点.
因此，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.
规律方法　对于探索性问题，一是可直接运用题中条件，结合所学过的知识探求；二是可先猜想，然后证明猜想的正确性.这两种方法都可培养创造性思维.
【训练2】 如图所示，已知正三棱柱ABC－A′B′C′，D是AA′上的点，E是B′C′的中点，且A′E∥平面DBC′.试判断D点在AA′上的位置，并给出证明.
解　D点为AA′的中点.证明如下：
取BC的中点F，连接AF，EF，
设EF与BC′交于点O，易证A′E∥AF，A′E＝AF.
易知A′，E，F，A共面于平面A′EFA.
因为A′E∥平面DBC′，A′E?平面A′EFA，
且平面DBC′∩平面A′EFA＝DO，所以A′E∥DO.
在平行四边形A′EFA中，
因为O是EF的中点(因为EC′∥BF，且EC′＝BF)，
所以D点为AA′的中点.
[课堂小结]
在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意，转化的方法总是受具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，遵循规律而不受制于规律，如图是平行关系相互转化的示意图.
基 础 过 关
1.已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是(　　)
A.b∥α B.b与α相交
C.b?α D.b∥α或b与α相交
解析　当a，b直线所确定的平面与α相交时，b与α相交；当a，b直线所确定的平面与α平行时，b∥α.
答案　D
2.下列命题：
①若直线l平行于平面α内的无数要直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若a∥b，b?α，则a∥α；
④若直线a∥b，b?α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线.
其中正确的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　因为直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以l不一定平行于α，所以①是错的.
因为直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，所以a和α不一定平行，所以②是错的.
因为直线a∥b，b?α则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，所以a 不一定平行于α，所以③是错的.
因为a∥b，b?α，所以a?α或a∥α，所以a可以与平面α内的无数条直线平行，所以④是正确的.
综上，正确的命题的个数为1.
答案　A
3.如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F分别为边AB、AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H、G分别为BC、CD的中点，则(　　)
A.BD∥平面EFGH，且四边形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
解析　由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，知EF綊BD，∴EF∥面BCD.
又H、G分别为BC、CD的中点，∴HG綊BD，
∴EF∥HG且EF≠BD，∴四边形EFGH是梯形，故选B.
答案　B
4.正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过A，C，E三点的平面的位置关系是________.
解析　如右图所示，连接BD交AC于点O.在正方体中容易得到点O为BD的中点.又因为E为DD1的中点，所以OE∥BD1.
又∵OE?平面ACE，BD1?平面ACE，∴BD1∥平面ACE.
答案　平行
5.已知a，b，c是三条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，下列说法中：
①a∥c，b∥c?a∥b；②a∥γ，b∥γ?a∥b；③c∥α，c∥β?α∥β；④γ∥α，γ∥β?α∥β；⑤a∥c，c∥α?a∥α；⑥a∥γ，α∥γ?a∥α.
其中正确的说法有________(填序号).
解析　根据平行线的传递性知①正确；②③显然是错误的；通过平行平面的传递性知④正确；⑤⑥中，a可能在α内，所以都是错误的.
答案　①④
6.如图，已知?ABCD与?ABEF共边于AB，M，N分别在对角线AC，BF上，且AM∶AC＝FN∶FB.
求证：MN∥平面ADF.
证明　如下图所示，
作MP∥AB交AD于P，NQ∥AB交AF于Q，连接PQ，则MP∥NQ.
由于＝＝＝＝，所以MP＝NQ.
又∵MP∥NQ，∴四边形MPQN是平行四边形，∴MN∥PQ.
又∵MN?平面ADF，PQ?平面ADF，∴MN∥平面ADF.
7.两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM＝FN，过M作MH⊥AB于点H.求证：平面MNH∥平面BCE.
证明　∵正方形ABCD中，MH⊥AB，BC⊥AB，
∴MH∥BC.∵BF＝AC，FN＝AM，∴＝.
∵MH∥BC，∴＝，
∴＝，∴NH∥AF∥BE.
又∵MH?平面MNH，
NH?平面MNH，MH∩NH＝H，
BC?平面BCE，BE?平面BCE，
BC∩BE＝B，∴平面MNH∥平面BCE.
能 力 提 升
8.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线.则α∥β的一个充分而不必要条件是(　　)
A.m∥β且l1∥α B.m∥l1且n∥l2
C.m∥β且n∥β D.m∥β且n∥l2
解析　∵m∥l1且n∥l2，又l1，l2是平面β内的两条相交直线，∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2.
答案　B
9.已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为(　　)
A.16 B.24或 C.或16 D.
解析　画出图形易得＝，当点P在α与β之间时，BD＝24；当点P在α与β之外时，BD＝.
答案　B
10.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱A1B1，B1C1的中点，P是棱AD上一点，AP＝，过点P，E，F的平面与棱CD交于Q，则PQ＝________.
解析　∵EF∥平面ABCD，PQ＝平面PEF∩平面ABCD，∴EF∥PQ，∴DP＝DQ＝，故PQ＝＝DP＝.
答案　
11.如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形.
(1)求证：CD∥平面EFGH；
(2)如果AB⊥CD，AB＝a，CD＝b且F为AC的中点.求截面EFGH的面积.
(1)证明　∵EFGH是平行四边形，∴EF∥GH.
又∵EF?平面BDC，GH?平面BDC，
∴EF∥平面BDC.∵EF?平面ADC，平面ADC∩平面BDC＝DC，∴EF∥DC.
又∵CD?平面EFGH，EF?平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.
(2)解　同(1)可证GF∥BA，又AB⊥CD，∴GF⊥EF，
∴四边形EFGH是矩形.
∵F为AC的中点，∴GF＝AB＝a，EF＝CD＝b，
∴S四边形EFGH＝a·b＝ab.故截面EFGH的面积为ab.
探 究 创 新
12.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，点E，M分别为A1B，C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.
(1)求证：EM∥平面A1B1C1D1；
(2)设截面A1BMN把该正四棱柱截成两个几何体的体积分别为V1，V2(V1＜V2)，求V1∶V2的值.
(1)证明　设A1B1的中点为F，连接EF，FC1.
∵E为A1B的中点，∴EF綊B1B.
又∵MC1綊B1B，∴EF綊MC1.
∴四边形EMC1F为平行四边形，∴EM∥FC1.
∵EM?平面A1B1C1D1，FC1?平面A1B1C1D1，∴EM∥平面A1B1C1D1.
(2)解　延长A1N与B1C1交于点P，
则P∈平面A1BMN，且P∈平面BB1C1C.
又∵平面A1BMN∩平面BB1C1C＝BM，
∴P∈BM，即直线A1N，B1C1，BM交于一点P.
又∵平面MNC1∥平面BA1B1，
∴几何体MNC1－BA1B1为棱台.
设AB＝2a，则S△A1B1B＝·2a·a＝a2，
S△MNC1＝·a·a＝a2.
∵棱台MNC1－BA1B1的高为B1C1＝2a，
∴V1＝·2a·＝a3，
∴V2＝2a·2a·a－a3＝a3，∴V1∶V2＝7∶17.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
章末复习课
1.线线关系
空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种.
两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况.
(1)证明线线平行的方法
①线线平行的定义；
②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；
③线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；
④线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；
⑤面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.
(2)证明线线垂直的方法
①线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角，在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；
②线面垂直的性质：a⊥α，b?α?a⊥b；
③线面垂直的性质：a⊥α，b∥α?a⊥b.
2.线面关系
直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种.
(1)证明直线与平面平行的方法
①线面平行的定义；
②判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；
③平面与平面平行的性质：α∥β，a?α?a∥β.
(2)证明直线与平面垂直的方法
①线面垂直的定义；
②判定定理1：?l⊥α；
③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；
④面面平行的性质定理：α∥β，a⊥α?a⊥β；
⑤面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.
3.面面关系
两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种.
(1)证明面面平行的方法
①面面平行的定义；
②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a?α，b?α，
a∩b＝A?α∥β；
③线面垂直的性质定理：a⊥α，a⊥β?α∥β；
④公理4的推广：α∥γ，β∥γ?α∥β.
(2)证明面面垂直的方法
①面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；
②面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β.
4.证明空间线面平行或垂直需注意的三点
(1)由已知想性质，由求证想判定.
(2)适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一.
(3)用定理时要先明确条件，再由定理得出相应结论.
5.“升降维”思想
用降维的方法把空间问题转化为平面或直线问题，可以使问题得到解决.用升维的方法把平面或直线中的概念、定义或方法向空间推广，可以从已知探索未知，是“学会学习”的重要方法.
平面图形的翻折问题的分析与解决，就是升维与降维思想方法的不断转化运用的过程.
方法一　转化与化归思想
立体几何中最重要、最常用的思想就是转化与化归思想.
(1)线线、线面、面面的位置关系，由转化思想使它们建立联系，如面面平行、线面平行、线线平行的互化，面面垂直、线面垂直、线线垂直的互化，有关线面位置关系的论证往往就是通过这种联系和转化得到解决的.
(2)通过“平移”，将一些线面关系转化为平面内的线线关系，通过线面平行，将空间角最终转化为平面角，并构造三角形，借助于三角形的知识解决问题.
(3)通过添加辅助线而将立体问题转化为平面问题.
【例1】 (2016·山东)在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.
(1)已知AB＝BC，AE＝EC.求证：AC⊥FB；
(2)已知G，H分别是EC和FB的中点．求证：GH∥平面ABC.
证明　(1)因为EF∥DB，所以EF与DB确定平面BDEF，
连接DE.因为AE＝EC，D为AC的中点，
所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.
又BD∩DE＝D，
所以AC⊥平面BDEF.
因为FB?平面BDEF，所以AC⊥FB.
(2)设FC的中点为I，连接GI，HI.
在△CEF中，因为G是CE的中点，
所以GI∥EF.又EF∥DB，
所以GI∥DB.
在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC.
又HI∩GI＝I，所以平面GHI∥平面ABC，
因为GH?平面GHI，所以GH∥平面ABC.
【例2】 (2016·全国Ⅰ文)如图，已知正三棱锥P－ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
(1)证明：G是AB的中点；
(2)作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体P－DEF的体积．
(1)证明　因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE.
所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.
又由已知可得，PA＝PB，从而G是AB的中点．
(2)解　在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．
理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．
连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心．由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝CG.
由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，
所以DE∥PC，因此PE＝PG，DE＝PC.
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2.
在等腰直角三角形EFP中，
可得EF＝PF＝2.
所以四面体P－DEF的体积V＝××2×2×2＝.
【训练1】 如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆O所在的平面，C是圆O上的点.
(1)求证：BC⊥平面PAC；
(2)设Q为PA的中点，G为△AOC的重心，求证：QG∥平面PBC.
证明　(1)由AB是圆O的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
(2)连接OG并延长交AC于点M，
连接QM，QO，由G为△AOC的重心，得M为AC中点.
由Q为PA中点，得QM∥PC，
又O为AB中点，得OM∥BC.
因为QM∩MO＝M，QM?平面QMO，MO?平面QMO，BC∩PC＝C，BC?平面PBC，PC?平面PBC，
所以平面QMO∥平面PBC.
因为QG?平面QMO，所以QG∥平面PBC.
方法二　函数与方程思想
函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系.对立体几何中的有关最值问题，处理的方法常常是以最值为函数，选择恰当的自变量建立函数关系，通过分析函数关系性质，使问题得到解决.
【例3】 如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜).
(1)求MN的长；
(2)求a为何值时，MN的长最小.
解　(1)如图所示，作MP∥AB交BC于点P，NQ∥AB交BE于点Q，连接PQ，依题意可得四边形MNQP是平行四边形，∴MN＝PQ.
∵CM＝BN＝a，CB＝AB＝BE＝1，
∴AC＝BF＝，∴由MP∥AB，NQ∥EF得，
＝，＝，即CP＝BQ＝.
∴MN＝PQ＝＝
＝＝(0＜a＜).
(2)由(1)得MN＝，
又0＜a＜，
所以，当a＝时，MNmin＝.故M，N分别移动到AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为.
【训练2】 三棱锥有五条棱长为2，当第六条棱长为多少时，四面体的体积最大？并求其最大值.
解　如图，不妨设AB＝BC＝AC＝CD＝BD＝2，取BC的中点E，连接AE，DE，
则BC⊥平面ADE，且AE＝ED＝.
在△ADE中，设AD＝x，则AD边上的高h＝，
∴S△ADE＝x·(0＜x＜2)，
∴VA－BCD＝VB－ADE＋VC－ADE＝BE·S△ADE＋EC·S△ADE
＝BC·S△ADE＝＝.
故当x2＝6，即x＝时，Vmax＝1.
方法三　分类讨论思想
分类讨论的思想方法是指在研究和解决数学问题时，根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后分类进行研究和解决，从而达到研究和解决全部问题的目的.
【例4】 已知平面α∥平面β，AB，CD是夹在平面α和平面β间的两条线段，点E，F分别在AB，CD上，且＝＝.求证：EF∥α∥β.
证明　①若AB与CD共面，设AB与CD确定平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.
∵α∥β，∴AC∥BD.
又∵＝＝，∴EF∥AC∥BD.
又∵EF?α，EF?β，AC?α，BD?β，∴EF∥α∥β.
②若AB与CD异面，过点A作AA′∥CD，在AA′截一点O，使＝＝＝，∴EO∥BA′，OF∥A′D.
又∵EO?α，EO?β，BA′?β，α∥β，∴EO∥α，EO∥β.
同理OF∥α，OF∥β.
∵EO∩OF＝O，∴平面EOF∥α∥β.
又∵EF?平面EOF，∴EF∥α∥β.
综上所述，无论AB与CD是异面还是共面，都有EF∥α∥β.
【训练3】 如图所示，矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a＞0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，问BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由.
解　连接AQ，因为PA⊥平面AC，QD?平面AC，所以PA⊥QD.
又因为PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，所以QD⊥平面PAQ.所以AQ⊥QD.
(1)当0＜a＜2时，由四边形ABCD是矩形且AB＝1知，以AD为直径的圆与BC无交点，即对BC上任一点Q，都有∠AQD＜90°，此时BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD.
(2)当a＝2时，以AD为直径的圆与BC相切于BC的中点Q，此时∠AQD＝90°，所以BC边上存在一点Q，使PQ⊥QD.
(3)当a＞2时，以AD为直径的圆与BC相交于点Q1、Q2，此时∠AQ1D＝∠AQ2D＝90°，故BC边上存在两点Q(即Q1与Q2)，使PQ⊥QD.
方法四　探究性问题的解法
解决开放问题一般用分析法，即从结论入手，分析得到该结论所需的条件或与其等价的条件，此种类型题考查空间想象能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.
【例5】 (2016·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.
(1)求证：DC⊥平面PAC；
(2)求证：平面PAB⊥平面PAC；
(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
(1)证明　∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
∴PC⊥DC.又AC⊥DC，PC∩AC＝C，PC?平面PAC，AC?平面PAC，∴CD⊥平面PAC.
(2)证明　∵AB∥CD，CD⊥平面PAC，
∴AB⊥平面PAC，AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC.
(3)解　棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF.
证明如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF，又因为E为AB的中点，∴EF为△PAB的中位线，∴EF∥PA.又PA?平面CEF，EF?平面CEF，∴PA∥平面CEF.
【训练4】 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.
解　当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，那么PF＝PB.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点.∴OF∥PD.又OF?平面PMD，PD?平面PMD，∴OF∥平面PMD.又MA綉PB，∴PF綉MA.∴四边形AFPM是平行四边形.∴AF∥PM.又AF?平面PMD，PM?平面PMD.∴AF∥平面PMD.又AF∩OF＝F，AF?平面AFC，OF?平面AFC.∴平面AFC∥平面PMD.
1．(2016·浙江高考)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(　　)
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
解析　由已知，α∩β＝l，∴l?β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确．故选C.
答案　C
2.(2015·浙江高考)设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l?α，m?β(　　)
A.若l⊥β，则α⊥β B.若α⊥β，则l⊥m
C.若l∥β，则α∥β D.若α∥β，则l∥m
解析　选项A：∵l⊥β，l?α，∴α⊥β，A正确；选项B：α⊥β，l?α，m?β，l与m位置关系不确定；选项C，∵l∥β，l?α，∴α∥β或α与β相交.选项D：∵α∥β，l?α，m?β.此时，l与m位置关系不确定，故选A.
答案　A
3.(2015·福建高考)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　m垂直于平面α，当l?α时，也满足l⊥m，但直线l与平面α不平行，∴充分性不成立，反之，l∥α，一定有l⊥m，必要性成立.故选B.
答案　B
4.(2015·浙江高考)如图，三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________.
解析　如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.
∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角.
∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2，∴MK＝.
在Rt△CKN中，CK＝＝.
在△CKM中，由余弦定理，得
cos∠KMC＝＝.
答案　
(2016·浙江高考)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.
(1)求证：BF⊥平面ACFD；
(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．
(1)证明　
延长AD，BE，CF相交于一点K，
如图所示，因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，
因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，
所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则
BF⊥CK.
所以BF⊥平面ACFD.
(2)解　因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角．
在Rt△BFD中，BF＝，DF＝，
得cos ∠BDF＝.
所以，直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.
6.(2015·浙江高考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D为B1C1的中点.
(1)证明：A1D⊥平面A1BC；
(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值.
(1)证明　设E为BC的中点，连接AE，
由题意得A1E⊥平面ABC，AE?平面ABC，
所以A1E⊥AE，
因为AB＝AC，所以AE⊥BC.
又BC∩A1E＝E，故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得
DE∥B1B且DE＝B1B，
从而DE∥A1A且DE＝A1A，
所以AA1DE为平行四边形.于是A1D∥AE.
又因为AE⊥平面A1BC，
所以A1D⊥平面A1BC.
(2)解　作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.
因为A1E⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥A1E.
因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，
所以BC⊥平面AA1DE，又A1F?平面AA1DE.
所以BC⊥A1F，又DE∩BC＝E，∴A1F⊥平面BB1C1C.
所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角.
由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝.
由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝.
由DE＝BB1＝4.DA1＝EA＝，∠DA1E＝90°，
得A1F＝.所以sin ∠A1BF＝.
7.(2014·浙江高考)如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.
(1)证明：AC⊥平面BCDE；
(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.
(1)证明　连接BD，在直角梯形BCDE中，
由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，
由AC＝，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.
又平面ABC⊥平面BCDE，且AC?平面ABC，平面ABC∩平面BCDE＝BC，
从而AC⊥平面BCDE.
(2)解　在直角梯形BCDE中，由BD＝BC＝，DC＝2.
得BD⊥BC，又平面ABC⊥平面BCDE，且BD?平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE＝BC，
所以BD⊥平面ABC.
作EF∥BD，与CB延长线交于F，连接AF，则EF⊥平面ABC.所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角.
在Rt△BEF中，由EB＝1，∠EBF＝，得EF＝，
BF＝；
在Rt△ACF中，由AC＝，CF＝，得AF＝.
在Rt△AEF中，由EF＝，AF＝，得tan ∠EAF＝.
所以，直线AE与平面ABC所成的角的正切值是.
4.1.1　圆的标准方程
目标定位　1.探索并掌握圆的标准方程的特点，会根据圆的方程求出圆心坐标和半径.2.会根据已知条件求圆的标准方程.3.会用待定系数法求圆的方程.
自 主 预 习
1.圆的定义及圆的标准方程
(1)圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
其中定点是圆的圆心；定长是圆的半径.
(2)圆的标准方程
2.点与圆的位置关系
点与圆有三种位置关系，即点在圆外、点在圆上、点在圆内，判断点与圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法：将所给的点M与圆心C的距离跟半径r比较：
若|CM|＝r，则点M在圆上；
若|CM|>r，则点M在圆外；
若|CM|(2)代数法：可利用圆C的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2来确定：
点M(m，n)在圆C上?(m－a)2＋(n－b)2＝r2；
点M(m，n)在圆C外?(m－a)2＋(n－b)2>r2；
点M(m，n)在圆C内?(m－a)2＋(n－b)2即 时 自 测
1.判断题
(1)确定圆的标准方程需要三个独立的条件，即圆心的横、纵坐标及半径.(√)
(2)圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.(√)
(3)点与圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上和点在圆外.(√)
(4)圆(x＋1)2＋(y－2)2＝m(m＞0)的圆心坐标为(－1，2)，半径为m.(×)
提示　(4)圆的半径为.
2.圆(x－1)2＋(y＋2)2＝2的半径为(　　)
A.1 B. C.2 D.4
答案　B
3.已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，点P(x0，y0)在圆C内部，且d＝(x0－1)2＋(y0＋2)2，则有(　　)
A.d＞2 B.d＜2 C.d＞4 D.d＜4
解析　点P(x0，y0)在圆C内部可知，(x0－1)2＋(y0＋2)2＜4，所以d＜4.
答案　D
4.给出以下五个点的坐标：①(1，1)，②(2，1)，③(0，0)，④(，)，⑤(2，0).以上各点在圆(x－1)2＋(y－1)2＝2上的是________.(写出所有可能的序号)
解析　分别将五个点的坐标代入圆的方程检验可知③⑤适合圆的方程.
答案　③⑤
类型一　点与圆的位置关系
【例1】 已知点A(1，2)不在圆C：(x－a)2＋(y＋a)2＝2a2的内部，求实数a的取值范围.
解　由题意，点A在圆C上或圆C的外部，
∴(1－a)2＋(2＋a)2≥2a2，
∴2a＋5≥0，∴a≥－，又a≠0，
∴a的取值范围是∪(0，＋∞).
规律方法　判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小.
对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下：
①当(x0－a)2＋(y0－b)2②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上，
③当(x0－a)2＋(y0－b)2>r2时，点在圆外.
【训练1】 点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是(　　)
A.在圆外 B.在圆内
C.在圆上 D.不确定
解析　把点P(m2，5)代入圆的方程x2＋y2＝24得m4＋25>24，故点P在圆外.
答案　A
类型二　求圆的标准方程(互动探究)
【例2】 求过点A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程.
[思路探究]
探究点一　如何确定该圆圆心？
提示　由已知该圆圆心为线段AB的垂直平分线与直线x＋y－2＝0的交点，可通过解方程组求出圆心坐标.
探究点二　待定系数法求圆的标准方程的一般步骤是什么？
提示　(1)根据题意，设出标准方程；
(2)根据条件，列关于a，b，r的方程组；
(3)解出a，b，r，代入标准方程.
解　法一　设点C为圆心，
∵点C在直线x＋y－2＝0上，
∴可设点C的坐标为(a，2－a).
又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|＝|CB|.
∴＝，
解得a＝1.
∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r＝|CA|＝2.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二　由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB＝＝－1，所以弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，所以AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，
由得即圆心为(1，1)，圆的半径为
＝2，
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
规律方法　直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程.
【训练2】 以两点A(－3，－1)和B(5，5)为直径端点的圆的方程是(　　)
A.(x－1)2＋(y－2)2＝10 B.(x－1)2＋(y－2)2＝100
C.(x－1)2＋(y－2)2＝5 D.(x－1)2＋(y－2)2＝25
解析　∵点A(－3，－1)和B(5，5)的中点坐标为(1，2)，
∴以A、B为直径的圆的圆心坐标为(1，2)，
半径r＝＝5.
∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
答案　D
类型三　圆的方程的综合应用
【例3】 已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值.
解　(1)由已知，得C(3，0)r＝＝2
∴所求方程为(x－3)2＋y2＝4
(2)圆心C到直线x－y＋1的距离
d＝＝2＞2.
∴P到直线的最大距离为2＋2，最小距离为2－2.
规律方法　解答本题应用了圆的性质，即圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题.
【训练3】 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0，1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值.
解　设P(x，y)，
则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
∵|CO|2＝32＋42＝25，
∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.
即16≤x2＋y2≤36.
∴d的最小值为2×16＋2＝34.
最大值为2×36＋2＝74.
[课堂小结]
1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率.
2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷.
1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别是(　　)
A.(－2，3)，1 B.(2，－3)，3
C.(－2，3)， D.(2，－3)，
解析　由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为.
答案　D
2.点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是(　　)
A.－1＜a＜1 B.0＜a＜1
C.a＜－1或a＞1 D.a＝±1
解析　∵(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴2a2＋2＜4，∴a2＜1，
∴－1＜a＜1.
答案　A
3.已知两圆C1：(x－5)2＋(y－3)2＝9和C2：(x－2)2＋(y＋1)2＝5，则两圆圆心间的距离为________.
解析　C1圆心为(5，3)，C2圆心为(2，－1)，则d＝＝5.
答案　5
4.求满足下列条件的圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
(2)圆心坐标为(3，4)，半径是；
(3)经过点(5，1)，圆心坐标为(8，－3).
解　(1)x2＋y2＝9.
(2)(x－3)2＋(y－4)2＝5.
(3)∵圆的半径r＝＝5，
圆心在点(8，－3)，
∴圆的方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
基 础 过 关
1.圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是(　　)
A.(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B.(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C.(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D.(x－1)2＋(y＋2)2＝9
解析　由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.
答案　D
2.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)
A.x＋y－2＝0 B.x－y＋2＝0
C.x＋y－3＝0 D.x－y＋3＝0
解析　圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0，3)，
又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，
所以直线l的斜率k＝1.
由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.
答案　D
3.若点(4a－1，3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是(　　)
A.－＜a＜ B.－1＜a＜1
C.－≤a≤ D.－1≤a≤1
解析　由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25.
∴a2≤1，∴|a|≤1，即－1≤a≤1.
答案　D
4.圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为________.
解析　设圆心(0，b)，设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝1，
把(1，2)代入得12＋(2－b)2＝1，∴b＝2.
∴圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.
答案　x2＋(y－2)2＝1
5.若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________.
解析　由题意知圆C的圆心为(0，1)，半径为1，所以圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
答案　x2＋(y－1)2＝1
6.已知圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝10，试判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)与圆C的位置关系.
解　圆心C(5，6)，半径r＝.
|CM|＝＝，
|CN|＝＝＞，
|CQ|＝＝3＜.
因此点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内.
7.已知直线l与圆C相交于点P(1，0)和点Q(0，1).
(1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C的半径为1，求圆C的方程.
解　(1)PQ的方程为x＋y－1＝0，
PQ中点M，kPQ＝－1，
所以圆心所在的直线方程为y＝x.
(2)由条件设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝1.
由圆过P，Q点得：
解得或
所以圆C方程为：x2＋y2＝1或(x－1)2＋(y－1)2＝1.
能 力 提 升
8.若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圆心位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析　(－a，－b)为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0，再由各象限内点的坐标的性质得解.
答案　D
9.已知一圆的圆心为点A(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的方程是(　　)
A.(x＋2)2＋(y－3)2＝13 B.(x－2)2＋(y＋3)2＝13
C.(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D.(x＋2)2＋(y－3)2＝52
解析　如图，结合圆的性质可知，圆的半径r＝＝.
故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
答案　B
10.已知实数x，y满足y＝，则t＝的取值范围是________.
解析　y＝表示上半圆，t可以看作动点(x，y)与定点(－1，－3)连线的斜率.如图：
A(－1，－3)，B(3，0)，C(－3，0)，则kAB＝，kAC＝－，∴t≤－或t≥.
答案　t≤－或t≥
11.求圆＋(y＋1)2＝关于直线x－y＋1＝0对称的圆的方程.
解　圆＋(y＋1)2＝的圆心为M.
设所求圆的圆心为(m，n)，它与关于直线x－y＋1＝0对称，
∴
∴所求圆的圆心坐标为，半径r＝.
∴对称圆的方程是(x＋2)2＋＝.
探 究 创 新
12.已知点A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值.
解　设P(x，y)，则x2＋y2＝4.|PA|2＋|PB|2＋|PC|2
＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2
＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.
4.1.2　圆的一般方程
目标定位　1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.3.体验求曲线方程(点的轨迹)的基本方法，概括其基本步骤.
自 主 预 习
1.圆的一般方程的定义
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为.
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点.
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形.
2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点M在圆外
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0
即 时 自 测
1.判断题
(1)方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的是一个圆.(×)
(2)点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，满足x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＞0.(√)
(3)给出圆上三个点的坐标时，用一般方程求圆的方程.(√)
(4)二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是A＝B≠0，C＝0，D2＋E2－4F＞0.(√)
提示　(1)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点，当D2＋E2－4F＜0时，不表示任何几何图形，当D2＋E2－4F＞0时，表示以点为圆心，半径为的圆.
2.圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A.(2，3) B.(－2，3)
C.(－2，－3) D.(2，－3)
解析　－＝2，－＝－3，∴圆心坐标是(2，－3).
答案　D
3.方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)
A.以(a，b)为圆心的圆 B.以(－a，－b)为圆心的圆
C.点(a，b) D.点(－a，－b)
解析　原方程可化为：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示点(－a，－b).
答案　D
4.圆x2＋y2＋2x－4y＋m＝0的直径为3，则m的值为________.
解析　因(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝＝，∴m＝.
答案　
类型一　圆的一般方程的概念
【例1】 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径.
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
解　(1)∵方程2x2＋y2－7y＋5＝0中x2与y2的系数不相同，∴它不能表示圆.
(2)∵方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0中含有xy这样的项.
∴它不能表示圆.
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5，∴它不能表示圆.
(4)方程2x2＋2y2－5x＝0化为＋y2＝，
∴它表示以为圆心，为半径长的圆.
规律方法　二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，应满足的条件是：①A＝C≠0，②B＝0，③D2＋E2－4AF>0.
【训练1】 如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________.
解析　由题意可知(－2)2＋12－4k>0，
即k<.
答案　
类型二　求圆的一般方程
【例2】 已知△ABC的三个顶点为A(1，4)，B(－2，3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.
解　法一　设△ABC的外接圆方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
∵A，B，C在圆上，∴∴
∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
∴圆心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.
法二　设△ABC的外接圆方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵A、B、C在圆上，
∴
解得即外接圆的圆心为(1，－1)，半径为5，
∴圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25，展开易得其一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
法三　∵kAB＝＝，kAC＝＝－3，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.
∴△ABC是以角A为直角的直角三角形.
∴圆心是线段BC的中点，
坐标为(1，－1)，r＝|BC|＝5.
∴外接圆方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝25.
展开得一般方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
规律方法　应用待定系数法求圆的方程时：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.
【训练2】 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，－1)，求三角形ABC的外接圆的方程.
解　设三角形ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
由题意得解得
即三角形ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
类型三　求动点的轨迹方程(互动探究)
【例3】 等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.
[思路探究]
探究点一　直接法求轨迹方程的一般步骤是什么？
提示　求轨迹方程的一般步骤：
①建系：建立适当的平面直角坐标系；
②设点：用(x，y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标；
③列式：列出关于x，y的方程；
④化简：把方程化简为最简形式；
⑤证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以步骤⑤可以不写，如果有特殊情况，可适当予以说明.
探究点二　动点的轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？
提示　(1)求动点的轨迹往往是先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时会根据已知条件先判断出轨迹图形，然后再由图形求方程.
(2)“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.
解　设另一端点C的坐标为(x，y).依题意，得|AC|＝|AB|.
由两点间距离公式，得＝，
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
这是以点A(4，2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A、B、C为三角形的三个顶点，所以A、B、C三点不共线.即点B、C不能重合且B、C不能为圆A的一直径的两个端点.
因为点B、C不能重合，所以点C不能为(3，5).
又因为点B、C不能为一直径的两个端点，
所以≠4，且≠2，即点C不能为(5，－1).
故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4，2)为圆心，
为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点.
规律方法　求与圆有关的轨迹问题常用的方法.
①直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式.
②定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程.
③相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程.
【训练3】 已知直角△ABC的两个顶点A(－1，0)和B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.
解　法一　设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，
所以x≠3且x≠－1.又kAC＝，kBC＝.
且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1).
法二　△ABC是以C为直角顶点的直角三角形，设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.
由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2＝16，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1).
[课堂小结]
1.圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，来源于圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件.
2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程.
3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.
1.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为(　　)
A.k≤ B.k＝
C.k≥ D.k<
解析　方程表示圆?1＋1－4k>0?k<.
答案　D
2.若方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2>4F)表示的曲线关于直线y＝x对称，那么必有(　　)
A.D＝E B.D＝F
C.E＝F D.D＝E＝F
解析　方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y＝x对称，所以圆心在直线y＝x上，即点在直线y＝x上，所以D＝E.故选A.
答案　A
3.圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
解析　圆心(1，2)到直线3x＋4y＋4＝0的距离为＝3.
答案　3
4.求过三点A(0，5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的方程.
解　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为点A，B，C在圆上，把它们的坐标依次代入上面的方程，整理得到关于D，E，F的三元一次方程组
解这个方程组，得
于是得到所求圆的方程为x2＋y2＋6x－2y－15＝0.
基 础 过 关
1.已知圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0，则圆心坐标，半径的长分别是(　　)
A.(2，－1)，3 B.(－2，1)，3
C.(－2，－1)，3 D.(2，－1)，9
解析　圆x2＋y2－4x＋2y－4＝0可化为(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3.
答案　A
2.若圆x2＋y2－2x－4y＝0的圆心到直线x－y＋a＝0的距离为，则a的值为(　　)
A.－2或2 B.或
C.2或0 D.－2或0
解析　由圆的方程得圆心坐标为(1，2).再由点到直线的距离公式得＝，解得a＝2或a＝0.
答案　C
3.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)
A.x2＋y2－2x＋4y＝0 B.x2＋y2＋2x＋4y＝0
C.x2＋y2＋2x－4y＝0 D.x2＋y2－2x－4y＝0
解析　直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，
由得C(－1，2).
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.
答案　C
4.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________.
解析　由表示圆的条件知a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，
即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.
答案　－2＜a＜
5.点P(x0，y0)是圆x2＋y2＝16上的动点，点M是OP(O为原点)的中点，则动点M的轨迹方程是________.
解析　设M(x，y)，则即
又P(x0，y0)在圆上，∴4x2＋4y2＝16，即x2＋y2＝4.
答案　x2＋y2＝4
6.设圆的方程为x2＋y2－4x－5＝0，
(1)求该圆的圆心坐标及半径；
(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3，1)，求直线AB的方程.
解　(1)将x2＋y2－4x－5＝0配方得：(x－2)2＋y2＝9.∴圆心坐标为C(2，0)，半径为r＝3.
(2)设直线AB的斜率为k.由圆的几何性质可知：CP⊥AB，
∴kCP·k＝－1.又kCP＝＝1，∴k＝－1.
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即：x＋y－4＝0.
7.已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A(3，0)距离的比为的点的轨迹，求出曲线的方程.
解　在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条件是＝.
由两点的距离公式，上式用坐标表示为
＝.
两边平方并化简，得曲线方程x2＋y2＋2x－3＝0.
将方程配方，得(x＋1)2＋y2＝4.
∴所求曲线是圆心C(－1，0)，半径为2的圆(如图).
能 力 提 升
8.圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则圆心在直线上，求得a＋b＝1，ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋≤，ab的取值范围是，故选A.
答案　A
9.已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是(　　)
A.3－ B.3＋
C.3－ D.
解析　lAB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到l的距离
d＝＝，∴AB边上的高的最小值为－1.
∴Smin＝×2×＝3－.
答案　A
10.光线从点A(1，1)出发，经y轴反射到圆C：(x－5)2＋(y－7)2＝4的最短路程等于________.
解析　∵A(1，1)关于y轴对称点为A′(－1，1)，
∴所求的最短路程为|A′C|－2，|A′C|＝＝6.
∴所求的最短路程为6－2.
答案　6－2
11.动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半，求：
(1)动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹.
解　(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M适合的条件可表示为
＝
平方后再整理，得x2＋y2＝16.
可以验证，这就是动点M的轨迹方程.
(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1).
由于A(2，0)，且N为线段AM的中点，
所以x＝，y＝.
所以有x1＝2x－2，y1＝2y.①
由(1)知，M是圆x2＋y2＝16上的点，
所以M的坐标(x1，y1)满足x＋y＝16.②
将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4.
所以M的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆.
探 究 创 新
12.已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的图形是圆.
(1)求t的取值范围；
(2)求其中面积最大的圆的方程；
(3)若点P(3，4t2)恒在所给圆内，求t的取值范围.
解　(1)已知方程可化为(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝(t＋3)2＋(1－4t2)2－16t4－9，
∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，
由二次函数的图象解得－＜t＜1.
(2)由(1)知r＝＝，
∴当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大，
所对应的圆的方程是＋＝.
(3)当且仅当32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·(4t2)＋16t4＋9＜0时，
点P恒在圆内，∴8t2－6t＜0，∴0＜t＜，
即t的取值范围是.
4.2.1　直线与圆的位置关系
目标定位　1.理解直线和圆的三种位置关系.2.会用代数与几何两种方法判断直线和圆的位置关系.
自 主 预 习
直线与圆的位置关系及判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定方法
几何法：设圆心到直线的距离
d＝
dd＝r
d>r
代数法：由
消元得到一元二次方程的判别式Δ
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
图形
即 时 自 测
1.判断题
(1)直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离.(√)
(2)直线和圆相切，有且只有一个公共点.(√)
(3)过圆外一点作圆的切线有两条.(√)
(4)解决有关直线与圆的位置关系问题有两种思路：一是代数法，二是几何法.(√)
2.直线3x＋4y＋12＝0与圆(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置关系是(　　)
A.过圆心 B.相切
C.相离 D.相交但不过圆心
解析　圆心(1，－1)到直线3x＋4y＋12＝0的距离d＝＝答案　D
3．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　)
A．－ B．－
C. D．2
解析　由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1，4)，由点到直线的距离公式得d＝＝1，解之得a＝－.
答案　A
4.由点P(1，3)引圆x2＋y2＝9的切线的长是________.
解析　点P到原点O的距离为|PO|＝，∵r＝3，
∴切线长为＝1.
答案　1
类型一　直线与圆的位置关系的判断
【例1】 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线
(1)有两个公共点；
(2)只有一个公共点；
(3)没有公共点.
解　法一　将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当Δ<0时，即－法二　已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，
即圆心为C(2，1)，半径r＝2.
圆心C(2，1)到直线mx－y－m－1＝0的距离d＝＝.
当d<2时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当d＝2时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
当d>2时，即－规律方法　直线与圆位置关系判断的三种方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断.
(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断点与圆的位置关系判断，但有一定的局限性，必须是过定点的直线系.
【训练1】 已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则(　　)
A.l与C相交 B.l与C相切
C.l与C相离 D.以上三个选项均有可能
解析　将点P(3，0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3，0)在圆内.
∴过点P的直线l必与圆C相交.
答案　A
类型二　圆的切线问题(互动探究)
【例2】 过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程.
[思路探究]
探究点一　过定点A作已知圆的切线，有关切线条数有几种情况？
提示　有三种：
①当点A在圆内时，无切线；
②当点A在圆上时，有且只有一条切线；
③当点A在圆外时，有两条切线.
探究点二　求经过一点的圆的切线方程的解题策略是什么？
提示　求经过一点的圆的切线方程，要先判断点和圆的位置关系，若点在圆上，则切线只有一条，若点在圆外，则切线方程有两条，应注意切线斜率不存在的情况.
解　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外.
(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4).即kx－y－3－4k＝0，
因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1.解得k＝－.
所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
(2)若直线斜率不存在，
圆心C(3，1)到直线x＝4的距离也为1，
这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
规律方法　1.过一点P(x0，y0)求圆的切线方程问题，首先要判断该点与圆的位置关系，若点在圆外，切线有两条，一般设点斜式y－y0＝k(x－x0)用待定系数法求解，但要注意斜率不存在的情况，若点在圆上，则切线有一条，用切线垂直于过切点的半径求切线的斜率，再由点斜式可直接得切线方程.
2.一般地圆的切线问题，若已知切点则用k1·k2＝－1(k1，k2分别为切线和圆心与切点连线的斜率)列式，若未知切点则用d＝r(d为圆心到切线的距离，r为半径)列式.
【训练2】 求过点(1，－7)且与圆x2＋y2＝25相切的直线方程.
解　由题意知切线斜率存在，设切线的斜率为k，则切线方程为y＋7＝k(x－1)，
即kx－y－k－7＝0.∴＝5.解得k＝或k＝－.
∴所求切线方程为y＋7＝(x－1)或y＋7＝－(x－1)，
即4x－3y－25＝0或3x＋4y＋25＝0.
类型三　圆的弦长问题
【例3】 求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长.
解　法一　由
得交点A(1，3)，B(2，0)，
∴弦AB的长为|AB|＝＝.
法二　由
消去y得x2－3x＋2＝0.
设两交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)
则由根与系数的关系得x1＋x2＝3，x1·x2＝2.
∴|AB|＝
＝
＝
＝
＝＝，
即弦AB的长为.
法三　圆C：x2＋y2－2y－4＝0可化为x2＋(y－1)2＝5，其圆心坐标为(0，1)，半径r＝，
点(0，1)到直线l的距离为d＝＝，
所以半弦长为＝＝＝，
所以弦长|AB|＝.
规律方法　求直线与圆相交时弦长的两种方法
(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有＋d2＝r2.
即|AB|＝2.
(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|，
其中k为直线l的斜率.
【训练3】 若直线2x－y＝0与圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝9交于A、B两点，则△ABC(点C为圆心)的面积等于(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
解析　过圆心C(2，－1)向AB作垂线，垂足为D，
则|CD|＝＝，
所以|AB|＝2＝2×2＝4，
所以S△ABC＝×4×＝2.
答案　A
[课堂小结]
1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单.而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷.
2.一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形.还可以联立方程组，消去y，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l＝·＝
|x1－x2|.
3.研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在.过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上.当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条.
1.直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m(m>0)相切，则m的值为(　　)
A.0或2 B.2 C. D.无解
解析　由圆心到直线的距离d＝＝，解得m＝2.
答案　B
2.设A、B为直线y＝x与圆x2＋y2＝1的两个交点，则
|AB|＝(　　)
A.1 B. C. D.2
解析　直线y＝x过圆x2＋y2＝1的圆心C(0，0)，则|AB|＝2.
答案　D
3.过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________.
解析　设所求直线方程为y＝kx，即kx－y＝0.由于直线kx－y＝0被圆截得的弦长等于2，圆的半径是1，因此圆心到直线的距离等于＝0，即圆心(1，2)位于直线kx－y＝0上.于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直线方程是2x－y＝0.
答案　2x－y＝0
4.求过点P(3，2)的圆x2＋y2＝9的切线方程.
解　∵点P(3，2)到圆心(0，0)的距离为＝＞3，∴点P在圆x2＋y2＝9外.
①若所求的切线的斜率存在，设所求切线的方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y＋2－3k＝0.
又圆心为O(0，0)，半径r＝3，而圆心到切线的距离为d＝＝3，即
|3k－2|＝3，所以k＝－，
所以方程为－x－y＋2＋3×＝0，
即5x＋12y－39＝0.
②若切线斜率不存在，则切线方程为x＝3，圆心(0，0)到切线的距离为3，与半径相等，符合题意，∴另一条切线方程是x＝3.
综上所述，所求切线方程为
x＝3或5x＋12y－39＝0.
基 础 过 关
1.若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)
A.－1或 B.1或3
C.－2或6 D.0或4
解析　由弦长为2得圆心(a，0)到直线x－y＝2的距离为d＝＝得a＝0或4.
答案　D
2.圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＋2＝0的距离的最大值为(　　)
A.2＋ B.2－
C. D.0
解析　圆心(0，0)到直线x－y＋2＝0的距离d＝，∴所求最大距离为2＋.
答案　A
3.已知过点P(2，2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a等于(　　)
A.－ B.1 C.2 D.
解析　由题意知圆心为(1，0)，由圆的切线与直线ax－y＋1＝0垂直，可设圆的切线方程为x＋ay＋c＝0，由切线x＋ay＋c＝0过点P(2，2)，∴c＝－2－2a，∴＝，解得a＝2.
答案　C
4.在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________.
解析　圆心为(2，－1)，半径r＝2.
圆心到直线的距离d＝＝，
所以弦长为2＝2＝.
答案　
5.设直线过点(0，a)，其斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，则a的值为________.
解析　由题意知直线方程为y＝x＋a，即x－y＋a＝0，圆x2＋y2＝2的圆心为(0，0)，半径为.
因为直线x－y＋a＝0与圆x2＋y2＝2相切，所以＝，解得a＝±2.
答案　±2
6.求实数m的取值范围，使直线x－my＋3＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0分别满足：
(1)相交；(2)相切；(3)相离.
解　圆的方程化为标准式为(x－3)2＋y2＝4，
故圆心(3，0)到直线x－my＋3＝0的距离d＝，圆的半径r＝2.
(1)若相交，则d所以m<－2或m>2；
(2)若相切，则d＝r，即＝2，
所以m＝±2；
(3)若相离，则d>r，即>2，
所以－27.圆C与直线2x＋y－5＝0切于点(2，1)，且与直线2x＋y＋15＝0也相切，求圆C的方程.
解　设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵两切线2x＋y－5＝0与2x＋y＋15＝0平行，
∴2r＝＝4，∴r＝2，
∴＝r＝2，即|2a＋b＋15|＝10，①
＝r＝2，即|2a＋b－5|＝10，②
又∵过圆心和切点的直线与过切点的切线垂直，∴＝，③
由①②③解得
∴所求圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝20.
能 力 提 升
8.在圆x2＋y2＋2x＋4y－3＝0上且到直线x＋y＋1＝0的距离为的点共有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　圆心为(－1，－2)，半径r＝2，而圆心到直线的距离d＝＝，故圆上有3个点满足题意.
答案　C
9.直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)
A. B.∪[0，＋∞)
C. D.
解析　
设圆心为C，弦MN的中点为A，当|MN|＝2时，
|AC|＝＝＝1.∴当|MN|≥2时，圆心C到直线y＝kx＋3的距离d≤1.∴≤1，∴(3k＋1)2≤k2＋1.∴－≤k≤0.
答案　A
10.过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________.
解析　设A(3，1)，易知圆心C(2，2)，半径r＝2，当弦过点A(3，1)且与CA垂直时为最短弦.
|CA|＝＝.∴半弦长＝＝＝.
∴最短弦长为2.
答案　2
11.已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R).
(1)求证不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时的l的方程.
(1)证明　因为l的方程为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0(m∈R)，
所以解得
即l恒过定点A(3，1).
因为圆心为C(1，2)，|AC|＝<5(半径)，
所以点A在圆C内，
从而直线l与圆C恒交于两点.
(2)解　由题意可知弦长最小时，l⊥AC.
因为kAC＝－，所以l的斜率为2.
又l过点A(3，1)，所以l的方程为2x－y－5＝0.
探 究 创 新
12.如图，圆C与y轴切于点T(0，2)，与x轴正半轴交于两点M，N(点M在点N的左侧)，且|MN|＝3.
(1)求圆C的方程；
(2)过点M任作一直线与圆O：x2＋y2＝4相交于A，B，连接AN，BN，求证：kAN＋kBN＝0.
(1)解　因为圆C与y轴切于点T(0，2)，可设圆心坐标为C(m，2)，则圆的半径为m，所以m2＝4＋＝，得m＝，所以所求圆的方程为＋(y－2)2＝.
(2)证明　由(1)知N(4，0).设直线AB：x＝1＋ty，代入x2＋y2－4＝0，并整理得(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
设A(x1，y1)，b(x2，y2)，
由根与系数的关系，得
则kAN＋kBN＝＋＝＋＝＝0.
4.2.2　圆与圆的位置关系
4.2.3　直线与圆的方程的应用
目标定位　1.掌握圆与圆的位置关系及判定方法.2.能利用直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.3.理解坐标法解决几何问题的一般步骤.
自 主 预 习
1.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
位置关系
外离
外切
相交
内切
内含
图示
d与r1、r2的关系
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|<
dd＝|r1－r2|
d<|r1－r2|

(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判断.
一元二次方程
2.用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”：
即 时 自 测
1.判断题
(1)两圆无公共点，则两圆外离.( ×)
(2)两圆有且只有一个公共点，则两圆内切和外切.(√)
(3)设两圆的圆心距为l，两圆半径长分别为r1，r2，则当|r1－r2|＜l＜r1＋r2时，两圆相交.(√)
(4)两圆外切时，有三条公切线：两条外公切线，一条内公切线.(√)
提示　(1)两圆无公共点，则两圆外离和内含.
2.圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系为(　　)
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
解析　圆O1的圆心坐标为(1，0)，半径长r1＝1；圆O2的圆心坐标为(0，2)，半径长r2＝2；1＝r2－r1<|O1O2|＝答案　B
3.圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　两圆的圆心坐标和半径分别为(－2，2)，(2，－5)，1，4，圆心距d＝＞8，1＋4＝5＜8，∴两圆相离，公切线有4条.
答案　D
4.两圆x2＋y2＝r2与(x－3)2＋(y＋1)2＝r2(r>0)外切，则r的值是________.
解析　由题意可知＝2r，∴r＝.
答案　
类型一　与两圆相切有关的问题
【例1】 求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程.
解　设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则＝r＋1，①
＝，②
＝r.③
联立①②③解得a＝4，b＝0，r＝2，或a＝0，b＝－4，r＝6，即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
规律方法　两圆相切时常用的性质有：
(1)设两圆的圆心分别为O1、O2，半径分别为r1、r2，
则两圆相切
(2)两圆相切时，两圆圆心的连线过切点(两圆若相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦).
【训练1】 求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程.
解　设所求圆的圆心为P(a，b)，则
＝1.①
(1)若两圆外切，则有＝1＋2＝3，②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；
(2)若两圆内切，则有＝|2－1|＝1，③
联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
综上所述，所求圆的方程为
(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.
类型二　与两圆相交有关的问题(互动探究)
【例2】 已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.
(1)判断两圆的位置关系；
(2)求公共弦所在的直线方程；
(3)求公共弦的长度.
[思路探究]
探究点一　当两圆相交时，其公共弦所在直线的方程是什么？
提示　两圆的方程相减即可得公共弦所在直线的方程.
探究点二　如何求公共弦长？
提示　(1)代数法：将两圆的方程联立，求出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求弦长.
(2)几何法：求出公共弦所在的直线方程，半径、弦心距、半弦长构成直角三角形的三边长，利用勾股定理求弦长.
解　(1)将两圆方程配方化为标准方程，
C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，
则圆C1的圆心为(1，－5)，半径r1＝5，
圆C2的圆心为(－1，－1)，半径r2＝.
又∵|C1C2|＝2，r1＋r2＝5＋，r1－r2＝5－，
∴r1－r2＜|C1C2|＜r1＋r2，∴两圆相交.
(2)将两圆方程相减，得公共弦所在直线方程为x－2y＋4＝0.
(3)法一　由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离
d＝＝3，
∴公共弦长l＝2＝2＝2.
法二　设两圆相交于点A，B，则A，B两点满足方程组
解得或即A(－4，0)，B(0，2).
所以|AB|＝＝2，
即公共弦长为2.
规律方法　1.两圆相交时，公共弦所在的直线方程
若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
2.公共弦长的求法
(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解.
【训练2】 已知圆C1：x2＋y2＋2x－6y＋1＝0，圆C2：x2＋y2－4x＋2y－11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.
解　设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组的解，
①－②得：3x－4y＋6＝0.
∵A，B两点坐标都满足此方程，
∴3x－4y＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆C1的圆心(－1，3)，半径r1＝3.
又C1到直线AB的距离为d＝＝.
∴|AB|＝2＝2＝.
即两圆的公共弦长为.
类型三　直线与圆的方程的应用
【例3】 一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
解　以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km为单位长度，
则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x2＋y2＝9，
港口所对应的点的坐标为(0，4)，
轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7，0)，
则轮船航线所在直线l的方程为＋＝1，
即4x＋7y－28＝0.
圆心(0，0)到航线4x＋7y－28＝0的距离
d＝＝，而半径r＝3，∴d>r，
∴直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响.
规律方法　解决直线与圆的方程的实际应用题时应注意以下几个方面：
【训练3】 台风中心从A地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为(　　)
A.0.5小时 B.1小时
C.1.5小时 D.2小时
解析　以台风中心A为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y＝x上移动，又B(40，0)到y＝x的距离为d＝20，由|BE|＝|BF|＝30知|EF|＝20，即台风中心从E到F时，B城市处于危险区内，时间为t＝＝1小时.故选B.
答案　B
[课堂小结]
1.判断圆与圆位置关系的方式通常有代数法和几何法两种，其中几何法较简便易行、便于操作.
2.直线与圆的方程在生产、生活实践以及数学中有着广泛的应用，要善于利用其解决一些实际问题，关键是把实际问题转化为数学问题；要有意识用坐标法解决几何问题，用坐标法解决平面几何问题的思维过程：
1.圆x2＋y2＝1与圆x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0的交点坐标为(　　)
A.(1，0)和(0，1) B.(1，0)和(0，－1)
C.(－1，0)和(0，－1) D.(－1，0)和(0，1)
解析　由解得或
答案　C
2.圆x2＋y2－2x－5＝0和圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A、B，则线段AB的垂直平分线方程为(　　)
A.x＋y－1＝0 B.2x－y＋1＝0
C.x－2y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
解析　直线AB的方程为：4x－4y＋1＝0，因此它的垂直平分线斜率为－1，过圆心(1，0)，方程为y＝－(x－1)，即两圆连心线.
答案　A
3.已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A、B两点，则直线AB的方程是________.
解析　?2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.
答案　x＋3y＝0
4.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，当m的取值满足什么条件时，圆C1与圆C2相切？
解　对于圆C1与圆C2的方程，化为标准方程得C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，所以两圆的圆心分别为C1(m，－2)，C2(－1，m)，半径分别为r1＝3，r2＝2，且|C1C2|＝.
当圆C1与圆C2相外切时，则|C1C2|＝r1＋r2，即＝3＋2，解得m＝－5或m＝2.
当圆C1与圆C2相内切时，则|C1C2|＝|r1－r2|，
即＝|3－2|，解得m＝－1或m＝－2.
综上可知，当m＝－5或m＝2或m＝－1或m＝－2时，两圆相切.
基 础 过 关
1.圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解析　两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.∵3－2答案　B
2.若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m等于(　　)
A.21 B.19 C.9 D.－11
解析　圆C2的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.
又圆C1：x2＋y2＝1，∴|C1C2|＝5.
又∵两圆外切，∴5＝1＋，解得m＝9.
答案　C
3.一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过(　　)
A.1.4米 B.3.5米 C.3.6米 D.2米
解析　建立如图所示的平面直角坐标系.如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)半圆所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝4≈3.5(米).
答案　B
4.两圆x2＋y2－x＋y－2＝0和x2＋y2＝5的公共弦长为________.
解析　由
②－①得两圆的公共弦所在的直线方程为x－y－3＝0，
∴圆x2＋y2＝5的圆心到该直线的距离为d＝＝，
设公共弦长为l，∴l＝2＝.
答案　
5.已知圆C1：x2＋y2＝4和圆C2：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为________.
解析　圆C2可化为(x＋2)2＋(y－2)2＝4，则圆C1，C2的圆心为C1(0，0)，C2(－2，2)，所以C1C2的中点为(－1，1)，kC1C2＝＝－1，所以所求直线的斜率为1，所以直线l的方程为y－1＝x＋1，即x－y＋2＝0.
答案　x－y＋2＝0
6.求与圆O：x2＋y2＝1外切，切点为P，半径为2的圆的方程.
解　设所求圆的圆心为C(a，b)，则所求圆的方程为
(x－a)2＋(y－b)2＝4.
∵两圆外切，切点为P，
∴|OC|＝1＋2＝3，|CP|＝2.
∴解得
∴圆心C的坐标为，
故所求圆的方程为＋＝4.
7.已知圆C1：x2＋y2－10x－10y＝0和圆C2：x2＋y2＋6x－2y－40＝0.求：
(1)它们的公共弦所在直线的方程；
(2)公共弦长.
解　(1)由
两方程相减，得公共弦所在直线方程为2x＋y－5＝0.
(2)圆x2＋y2－10x－10y＝0的圆心C1的坐标为(5，5)，
半径r＝5，又点C1到相交弦的距离d＝＝2.
∴公共弦长为2＝2.
能 力 提 升
8.设两圆C1，C2都和两坐标轴相切，且都过点(4，1)，则两圆心的距离|C1C2|等于(　　)
A.4 B.4 C.8 D.8
解析　∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4，1)，
∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等.
设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)，
则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2，
即a，b为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2的两个根，
整理得x2－10x＋17＝0，∴a＋b＝10，ab＝17.
∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32，
∴|C1C2|＝＝＝8.
答案　C
9.以圆C1：x2＋y2＋4x＋1＝0与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0相交的公共弦为直径的圆的方程为(　　)
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.＋＝ D.＋＝
解析　两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为x－y＝0，因此所求圆的圆心的横、纵坐标相等，排除C，D选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象限，排除A.故选B.
答案　B
10.与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是________.
解析　曲线化为(x－6)2＋(y－6)2＝18，其圆心C1(6，6)到直线x＋y－2＝0的距离为d＝＝5.过点C1且垂直于x＋y－2＝0的直线为y－6＝x－6，即y＝x，所以所求的最小圆的圆心C2在直线y＝x上，如图所示，圆心C2到直线x＋y－2＝0的距离为＝，则圆C2的半径长为.
设C2的坐标为(x0，x0)，则＝，
解得x0＝2(x0＝0舍去)，所以圆心坐标为(2，2)，
所以所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝2.
答案　(x－2)2＋(y－2)2＝2
11.已知隧道的截面是半径为4 m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7 m，高为3 m的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为a m，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少？
解　以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，那么半圆的方程为x2＋y2＝16(y≥0).将x＝2.7代入，得y＝＝<3，所以，在离中心线2.7 m处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.将x＝a代入x2＋y2＝16(y≥0)得y＝.
所以，货车要正常驶入这个隧道，最大高度(即限高)为m.
探 究 创 新
12.已知圆C1：x2＋y2－4x－2y－5＝0与圆C2：x2＋y2－6x－y－9＝0.
(1)求证：两圆相交；
(2)求两圆公共弦所在的直线方程；
(3)在平面上找一点P，过点P引两圆的切线并使它们的长都等于6.
(1)证明　圆C1：(x－2)2＋(y－1)2＝10，
圆C2：(x－3)2＋＝.
∵|C1C2|＝＝.
且－＜＜＋，
∴圆C1与圆C2相交.
(2)解　联立两圆方程，得
∴两圆公共弦所在的直线方程为2x－y＋4＝0.
(3)解　设P(x，y)，由题意，得
解方程组，得点P的坐标为(3，10)或.
4.3.1　空间直角坐标系
4.3.2　空间两点间的距离公式
目标定位　1.了解空间直角坐标系的概念，理解三维空间的点可以用三个量来表示.2.通过所有棱分别与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.3.会用空间两点间的距离公式，求两点间的距离，比较线段的长度.
自 主 预 习
1.空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系：从空间某一定点引三条两两垂直，且有相同单位长度的数轴：x轴、y轴、z轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O－xyz.
②相关概念：点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.
2.空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z).其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标.
3.空间两点间的距离公式
(1)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝.
(2)在空间中，P1(x1，y1，z1)与P2(x2，y2，z2)的距离
|P1P2|＝.
4.空间中的中点坐标公式
在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点坐标是.
即 时 自 测
1.判断题
(1)在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点的坐标一定是(0，b，0).(×)
(2)在空间直角坐标系中，在yOz平面上点的坐标一定可写成(0，b，c).(√)
(3)在空间直角坐标系中，在Oz轴上的点的坐标可记为(0，0，c).(√)
(4)在空间直角坐标系中点P(a，b，c)，关于坐标原点的对称点为P′(－a，－b，－c).(√)
提示　(1)由定义可知，在Ox轴上的点(x，y，z)，有y＝z＝0，所以点的坐标可记为(a，0，0).
2.点(2，0，3)在空间直角坐标系中的(　　)
A.y轴上 B.xOy平面上
C.xOz平面上 D.第一象限内
解析　点(2，0，3)的纵坐标为0，所以该点在xOz平面上.
答案　C
3.点A在z轴上，它到点(2，，1)的距离是，则A点的坐标是(　　)
A.(0，0，－1) B.(0，1，1)
C.(0，0，1) D.(0，0，13)
解析　设A(0，0，c)，则＝，解得c＝1，所以点A的坐标为(0，0，1).
答案　C
4.点P(－3，2，－1)关于平面xOy的对称点是________，关于平面yOz的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于y轴的对称点是________.
答案　(－3，2，1)　(3，2，－1)　(－3，－2，1)　(3，2，1)

类型一　求空间中点的坐标
【例1】 建立适当的坐标系，写出底边长为2，高为3的正三棱柱的各顶点的坐标.
解　以BC的中点为原点，BC所在的直线为y轴，以射线OA所在的直线为x轴，建立空间直角坐标系，如图.
由题意知，AO＝×2＝，从而可知各顶点的坐标分别为A(，0，0)，B(0，1，0)，C(0，－1，0)，A1(，0，3)，B1(0，1，3)，
C1(0，－1，3).
规律方法　(1)题目若未给出坐标系，建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)确定第三个坐标.
【训练1】 画一个正方体ABCD－A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB，AD，AA1所在的直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系.
(1)求各顶点的坐标；
(2)求棱C1C中点的坐标；
(3)求面AA1B1B对角线交点的坐标.
解　建立空间直角坐标系如图所示，且正方体的棱长为1.
(1)各顶点坐标分别是A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，
A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(1，1，1)，D1(0，1，1).
(2)棱CC1的中点为M.
(3)面AA1B1B对角线交点为N.
类型二　求空间中对称点的坐标
【例2】 在空间直角坐标系中，点P(－2，1，4).
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标.
解　(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4).
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4).
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，
所以P3(6，－3，－12).
规律方法　任意一点P(x，y，z)，关于原点对称的点是P1(－x，－y，－z)；关于x轴(横轴)对称的点是P2(x，－y，－z)；关于y轴(纵轴)对称的点是P3(－x，y，－z)；关于z轴(竖轴)对称的点是P4(－x，－y，z)；关于xOy平面对称的点是P5(x，y，－z)；关于yOz平面对称的点是P6(－x，y，z)；关于xOz平面对称的点是P7(x，－y，z).
求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.
【训练2】 求点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy及x轴的对称点的坐标.
解　如图所示，过点A作AM⊥坐标平面xOy交平面于点M，并延长到点C，使AM＝CM，则点A与点C关于坐标平面xOy对称，且点C(1，2，1).
过点A作AN⊥x轴于点N并延长到点B，使AN＝NB，
则点A与B关于x轴对称且点B(1，－2，1).
∴点A(1，2，－1)关于坐标平面xOy对称的点为
C(1，2，1)；
点A(1，2，－1)关于x轴对称的点为B(1，－2，1).
(本题也可直接利用点关于坐标面、坐标轴对称的规律写出)
类型三　空间中两点间的距离(互动探究)
【例3】 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，
|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离.
[思路探究]
探究点一　解决空间中的距离问题基本思路是什么？
提示　求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是解题的关键.
探究点二　空间的中点坐标公式是什么？
提示　设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB中点为P.
解　如图所示，分别以AB，AD，AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
由题意可知C(3，3，0)，D(0，3，0)，
∵|DD1|＝|CC1|＝|AA1|＝2，
∴C1(3，3，2)，D1(0，3，2)，
∵N为CD1的中点，∴N.
M是A1C1的三分之一分点且靠近A1点，∴M(1，1，2).
由两点间距离公式，得
|MN|＝＝.
规律方法　求空间两点间的距离时，一般使用空间两点间的距离公式，应用公式的关键在于建立适当的坐标系，确定两点的坐标.确定点的坐标的方法视具体题目而定，一般说来，要转化到平面中求解，有时也利用几何图形的特征，结合平面直角坐标系的知识确定.
【训练3】 已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5).
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度.
解　(1)由空间两点间距离公式得
|AB|＝＝3，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴△ABC中最短边是BC，其长度为.
(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为.
∴AC边上中线的长度为＝.
[课堂小结]
1.结合长方体的长宽高理解点的坐标(x，y，z)，培养立体思维，增强空间想象力.
2.学会用类比联想的方法理解空间直角坐标系的建系原则，切实体会空间中点的坐标及两点间的距离公式同平面内点的坐标及两点间的距离公式的区别和联系.
3.在导出空间两点间的距离公式中体会转化与化归思想的应用，突出化空间为平面的解题思想.
1.在空间直角坐标系中，点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的位置关系是(　　)
A.关于x轴对称 B.关于xOy平面对称
C.关于坐标原点对称 D.以上都不对
解析　点P(3，4，5)与Q(3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x轴对称.
答案　A
2.已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是(　　)
A.－3或4 B.6或2
C.3或－4 D.6或－2
解析　由题意得＝2解得x＝－2或x＝6.
答案　D
3.已知A(3，2，－4)，B(5，－2，2)，则线段AB中点的坐标为________.
解析　设中点坐标为(x0，y0，z0)，
则x0＝＝4，y0＝＝0，z0＝＝－1，
∴中点坐标为(4，0，－1).
答案　(4，0，－1)
4.已知两点P(1，0，1)与Q(4，3，－1).
(1)求P、Q之间的距离；
(2)求z轴上的一点M，使|MP|＝|MQ|.
解　(1)|PQ|＝＝.
(2)设M(0，0，z)由|MP|＝|MQ|，
得12＋02＋(z－1)2＝42＋32＋(z＋1)2，∴z＝－6.
∴M(0，0，－6).

基 础 过 关
1.空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是(　　)
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于z轴对称 D.关于原点对称
解析　由A，B两点的坐标可知关于y轴对称.
答案　B
2.在空间直角坐标系中，点M的坐标是(4，7，6)，则点M关于y轴的对称点在坐标平面xOz上的射影的坐标为(　　)
A.(4，0，6) B.(－4，7，－6)
C.(－4，0，－6) D.(－4，7，0)
解析　点M关于y轴的对称点是M′(－4，7，－6)，点M′在坐标平面xOz上的射影是(－4，0，－6).
答案　C
3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，A1C的中点E到AB的中点F的距离为(　　)
A.a B.a C.a D.a
解析　由题意得F，A1(a，0，a)，C(0，a，0)，
∴E，则|EF|＝＝a.
答案　B
4.在空间直角坐标系中，点A(1，0，1)与点B(2，1，－1)间的距离为________.
解析　|AB|＝＝.
答案　
5.已知三角形的三个顶点A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2).则
(1)过A点的中线长为________；
(2)过B点的中线长为________；
(3)过C点的中线长为________.
解析　设BC的中点为D，则D(4，1，－2)，可得
|AD|＝＝2；
设AC的中点为E，则E，可得
|BE|＝＝；
设AB的中点为F，则F，可得
|CE|＝＝.
答案　2　　
6.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝4，|AD|＝3，|AA1|＝5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.
(1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标；
(2)求点N的坐标.
解　(1)显然D(0，0，0)，
因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|＝3，
所以A(3，0，0).同理，可得C(0，4，0)，D1(0，0，5).
因为点B在坐标平面xOy内，BC⊥CD，BA⊥AD，
所以B(3，4，0).
同理，可得A1(3，0，5)，C1(0，4，5)，与B的坐标相比，点B1的坐标中只有竖坐标不同，|BB1|＝|AA1|＝5，则B1(3，4，5).
(2)由(1)知C(0，4，0)，C1(0，4，5)，则C1C的中点N为，即N.
7.如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度.
解　以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图
所示的空间直角坐标系.
∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，
∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，
由中点坐标公式可得，
D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，
∴|DE|＝＝，
|EF|＝＝.
能 力 提 升
8.△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则BC边上的中线的长是(　　)
A. B.2 C. D.3
解析　BC的中点坐标为M(1，1，0)，又A(0，0，1)，
∴|AM|＝＝.
答案　C
9.在空间直角坐标系中，一定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是(　　)
A. B. C. D.
解析　设P(x，y，z)，由题意可知
∴x2＋y2＋z2＝.∴＝.
答案　A
10.已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)(a∈R)则|AB|的最小值是________.
解析　|AB|2＝(2a－1)2＋(－7－a)2＋(－2＋5)2
＝5a2＋10a＋59＝5(a＋1)2＋54.
∴a＝－1时，|AB|2的最小值为54.
∴|AB|min＝＝3.
答案　3
11.如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝4，DE⊥AC，垂足为E，求B1E的长.
解　如图，以点D为原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.
则D(0，0，0)，B1(2，4，2)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，
设点E的坐标为(x，y，0)，
在坐标平面xOy内，直线AC的方程为＋＝1，
即2x＋y－4＝0，又DE⊥AC，直线DE的方程为x－2y＝0.
由得∴E.
∴|B1E|＝＝，
即B1E的长为.
探 究 创 新
12.已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0求：(1)MN的长；
(2)a为何值时，MN的长最小.
解　∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE，
BE?平面ABEF，∴BE⊥平面ABCD，
∴AB、BC、BE两两垂直.
过点M作MG⊥AB，MH⊥BC，
垂足分别为G、H，连接NG，易证NG⊥AB.
∵CM＝BN＝a，∴CH＝MH＝BG＝GN＝a，
∴以B为原点，以BA、BE、BC所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则M，N.
∴|MN|＝＝
＝(0(2)∵|MN|＝，故当a＝时，|MN|min＝.
这时M、N恰好为AC，BF的中点.
第四章 圆与方程习题课
目标定位　1.能根据条件求直线或圆的方程. 2.能利用坐标法解决一些简单的位置关系问题.3.通过研究圆上任意一点与直线上任意一点之间距离的最值问题及两圆关于直线对称问题，体会数形结合.化归的思想方法及解析法思想.
自 主 预 习
1.直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是(　　)
A.相离 B.相切或相交
C.相交 D.相切
解析　l过定点A(1，1)，∵12＋12－2×1＝0，∴点A在圆上，∵直线x＝1过点A且为圆的切线，又l斜率存在，∴l与圆一定相交，故选C.
答案　C
2.已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，则a等于(　　)
A. B.2－
C.－1 D.＋1
解析　因为圆的半径为2，且截得弦长的一半为，所以圆心到直线的距离为1，即＝1，解得a＝±－1，因为a>0所以a＝－1，故选C.
答案　C
3.与圆(x－3)3＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为(　　)
A.(x＋5)2＋(y＋2)2＝4 B.(x－3)2＋(y＋2)2＝4
C.(x－5)2＋(y＋2)2＝4 D.(x－3)2＋y2＝4
解析　已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.
答案　A
4.已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
A.(x－5)2＋(y－7)2＝25
B.(x－5)2＋(y－7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C.(x－5)2＋(y－7)2＝9
D.(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
解析　设动圆圆心为(x，y)，若动圆与已知圆外切，则＝4＋1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则＝4－1，∴(x－5)2＋(y＋7)2＝9.
答案　D
5．(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
解析　∵圆M：x2＋(y－a)2＝a2，∴圆心坐标为M(0，a)，半径r1为a，圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝，由几何知识得＋()2＝a2，解得a＝2.
∴M(0，2)，r1＝2.
又圆N的圆心坐标N(1，1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.
∴r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，∴两圆相交，故选B.
答案　B
6.两圆相交于点A(1，3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为________.
解析　由圆的几何性质得直线垂直平分AB，
有解得∴m＋c＝3.
答案　3
题型一　与圆有关的最值问题
【例1】 已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.
(1)求的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值；
解　(1)原方程表示以点(2，0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.
(2)设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，最小值为－2－.
(3)x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，
故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
规律方法　在解决有关直线与圆的最值和范围问题时，最常用的方法是函数法，把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式，用函数或方程的知识，尤其是配方的方法求出最值或范围；除此之外，数形结合的思想方法也是一种重要方法，直接根据图形和题设条件，应用图形的直观位置关系得出要求的范围.
【训练1】 过直线x－y＋4＝0上任意一点P(x，y)向圆x2＋y2＝1引切线，求切线长的最小值.
解　如图，过O点向直线x－y＋4＝0引垂线，垂足为P，过P作圆x2＋y2＝1的一条切线PA，A为切点，此时P点是直线上所有点中到O点的距离最小的点，
又|PA|2＝|PO|2－|PA|2，|AO|＝r，
∴|PA|2＝－1＝7，∴|PA|＝，∴切线长的最小值为.
题型二　与圆有关的轨迹问题
【例2】 已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.
解　法一　设点M(x，y)，点P(x0，y0)，则∴
∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，
∴x＋y－8x0－6×y0＋21＝0.
∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0.
即点M的轨迹方程为x2＋y2－4x－3y＋＝0.
法二　设点M的坐标为(x，y)，连接OC，PC，取线段OC的中点A，连接MA.
圆C的方程可化为(x－4)2＋(y－3)2＝4，圆心C(4，3)，
|CP|＝2.则点A的坐标为.
如图，在△OCP中，M，A分别是OP，OC的中点，则|MA|＝|CP|，即|MA|＝1.
又当O，C，P三点共线时，|MA|＝1.
∴点M的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆.
∴点M的轨迹方程为(x－2)2＋＝1.
规律方法　本题法一为代入法：它用于处理一个主动点与一个被动点问题，只需找出这两点坐标之间的关系，然后代入主动点满足的轨迹方程即可.本题法二为定义法：动点的轨迹满足某种曲线的定义，然后根据定义直接写出动点的轨迹方程.
【训练2】 如图所示，已知P(4，0)是圆x2＋y2＝36内的一点，A，B是圆上两动点，且满足∠APB＝90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解　设AB的中点为R(x，y)，连接AO，RO.在Rt△ARO中，
|AR|2＝|AO|2－|OR|2＝36－(x2＋y2).
又∵|AR|＝|PR|＝，
∴(x－4)2＋y2＝36－(x2＋y2)，即x2＋y2－4x－10＝0.
∴点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点也在所求的轨迹上运动.
设Q(x，y)，R(x1，y1)，由R为PQ中点，得x1＝，
y1＝.
将x1＝，y1＝代入方程x2＋y2－4x－10＝0，得
＋－4·－10＝0.
整理，得x2＋y2＝56.
即点Q的轨迹方程为x2＋y2＝56.
题型三　过交点的圆系方程的应用
【例3】 求过两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－6x＝0的交点且过点(2，－2)的圆的方程.
解　设过两圆C1：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与C2：x2＋y2－6x＝0的交点的圆系方程为x2＋y2－4x＋2y＋1＋λ(x2＋y2－6x)＝0，
即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－(4＋6λ)x＋2y＋1＝0.
把(2，－2)代入，得4(1＋λ)＋4(1＋λ)－2(4＋6λ)－4＋1＝0，
解得λ＝－.
∴圆的方程为x2＋y2＋2x＋8y＋4＝0.
规律方法　当经过两圆的交点时，圆的方程可设为(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0，然后用待定系数法求出λ即可.
【训练3】 求过直线x＋3y－7＝0与圆x2＋y2＋2x－2y－3＝0的交点且在两坐标轴上的四个截距之和为－8的圆的方程.
解　设过直线与圆的交点的圆的方程为
(x2＋y2＋2x－2y－3)＋λ(x＋3y－7)＝0，
即x2＋y2＋(2＋λ)x＋(3λ－2)y－3－7λ＝0.
令y＝0，得x2＋(2＋λ)x－3－7λ＝0，
∴圆在x轴上的两个截距之和为－2－λ.
令x＝0，得y2＋(3λ－2)y－3－7λ＝0，
∴圆在y轴上的两个截距之和为2－3λ.
由题意得－2－λ＋2－3λ＝－8，解得λ＝2.
故所求圆的方程为x2＋y2＋4x＋4y－17＝0.
题型四　利用坐标法解决直线与圆的问题
【例4】 街头有一片绿地，绿地如图①所示(单位：m)，其中ABC为圆弧，求此绿地面积(精确到0.1 m2).
解　如图所示建立坐标系，各点坐标分别为A(0，7)，B(3，8)，C(7，6)，所以过A，B，C三点的圆弧方程为(x－3)2＋(y－3)2＝25(0≤x≤7，y＞0).
∵|AC|＝＝5，∴∠AEC＝90°.
故所求的面积为S梯形AODC＋S弓形ABC＝S梯形AODC＋(S扇形ACE－S△ACE)＝＋π×52－×52＝33＋≈52.6 m2，所以绿地面积为52.6 m2.
规律方法　利用坐标法解决实际问题一般需要三个步骤：(1)建立坐标系，将实际问题转化为数学问题；(2)解决数学问题；(3)将数学问题还原成实际问题.
【训练4】 如图所示，l1，l2是通过某城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一般圆弧，点M在点O正北方向，且|MO|＝3 km，点N到l1，l2的距离分别为4 km和5 km.
(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；
(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O的距离大于4 km，并且铁路线上任意一点到校址的距离不能小于 km，求校址距离点O的最近距离.(注：校址视为一个点)
解　(1)以城市开发中心O为原点，分别以l2、l1为x轴、y轴，建立直角坐标系.
根据题意，得M(0，3)，N(4，5)，故kMN＝＝，MN的中点为(2，4)，∴线段MN的垂直平分线方程为y－4＝－2(x－2).
令y＝0，得x＝4，故圆心A的坐标为(4，0)，
半径r＝＝5.
∴圆A的方程为(x－4)2＋y2＝25，
∴的方程为(x－4)2＋y2＝25(0≤x≤4，3≤y≤5).
(2)设校址选在点B(a，0)(a＞4)，则≥对0≤x≤4恒成立，
整理得(8－2a)x＋a2－17≥0，①
对0≤x≤4恒成立.令f(x)＝(8－2a)x＋a2－17，
∵a＞4，∴8－2a＜0.∴f(x)在[0，4]上为减函数，要使①恒成立，当且仅当时，即∴a≥5，
即校址距离点O的最近距离为5 km.
[课堂小结]
1.求圆的方程时，当给出的条件与圆心坐标、半径有关，或者由已知条件容易求得圆心坐标和半径时，一般用圆的标准方程比较方便；否则，用圆的一般方程较好，特别是当给出圆上三个点的坐标时，用一般方程可以得到关于D，E，F的三元一次方程组，这比用圆的标准方程简便得多.
2.与圆有关的最值问题包含的情况
(1)求圆上一点到圆外一点P的最大距离、最小距离：
dmax＝|OP|＋r，dmin＝||OP|－r|；
(2)求圆上的点到某条直线的最大距离、最小距离，设圆心到直线的距离为m，则dmax＝m＋r，dmin＝m－r；
(3)已知点的运动轨迹是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，求①；②；③x2＋y2等式子的最值，一般是运用几何法求解.
3.坐标法贯穿解析几何的始终，通过平面直角坐标系，研究了直线和圆的有关问题；通过建立坐标系，把点与坐标、曲线与方程等联系起来，将几何问题转化为代数问题，优化了思维的过程.
基 础 过 关
1.若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2，则c的取值范围是(　　)
A.[－2，2] B.(－2，2)
C.[－2，2] D.(－2，2)
解析　圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0可化为(x－2)2＋(y－2)2＝(3)2.由题意知，圆心到直线的距离应小于等于，所以d＝＝≤，所以|c|≤2，即－2≤c≤2.
答案　C
2.实数x，y满足x2＋y2－6x－6y＋12＝0，则的最大值为(　　)
A.3 B.3＋2 C.2＋ D.
解析　设＝k，则y＝kx，代入x2＋y2－6x－6y＋12＝0得(1＋k2)x2－6x－6kx＋12＝0，
即(1＋k2)x2－(6＋6k)x＋12＝0.
∴Δ＝[－(6＋6k)]2－4×12×(1＋k2)≥0，
∴3－2≤k≤3＋2.∴的最大值为3＋.
答案　B
3.设有半径为3公里的圆形村落，A，B两人同时从村落中心出发，A向东，而B向北前进，A离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落周界的方向前进，后来恰好与B相遇，设A，B两人的速度都一定，且其比为3∶1，问A，B两人在________相遇.
解析　如图所示，以村落中心为坐标原咪，以东西方向为x轴，建立平面直角坐标系，又设A向东走到D转向到C恰好与B相遇，设CD方程为＋＝1(a＞3，b≥3)，设B的速度为v，则A的速度为3v，依题意有.
解得所以，B向北走3.75公里时相遇.
答案　B向北走3.75公里处
4.已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________.
解析　过点M的最短弦与CM垂直，圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，∵kCM＝＝1，
∴最短弦所在直线的方程为y－0＝－(x－1)，即x＋y－1＝0.
答案　x＋y－1＝0
5.P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程为________.
解析　设P(4，－2)与圆上任一点连线的中点坐标为(x，y)，则由题意可知圆上的点的坐标为(2x－4，2y＋2).
所以(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
整理得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
答案　(x－2)2＋(y＋1)2＝1
6.已知圆x2＋y2－4ax＋2ay＋20a－20＝0.
(1)求证：对任意实数a，该圆恒过一定点；
(2)若该圆与圆x2＋y2＝4相切，求a的值.
(1)证明　圆的方程可整理为(x2＋y2－20)＋a(－4x＋2y＋20)＝0，此方程表示过圆x2＋y2－20＝0和直线－4x＋2y＋20＝0交点的圆系.
由得
∴已知圆过定点(4，－2).
(2)解　圆的方程可化为(x－2a)2＋(y＋a)2＝5(a－2)2.
①当两圆外切时，d＝r1＋r2，
即2＋＝，
解得a＝1＋或a＝1－(舍去)；
②当两圆内切时，d＝|r1－r2|，即|－2|＝，
解得a＝1－或a＝1＋(舍去).综上所述，a＝1±.
7.求圆心在直线x－y－4＝0上，且过两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程.
解　法一　设经过两圆交点的圆系方程为
x2＋y2－4x－6＋λ(x2＋y2－4y－6)＝0(λ≠－1)，
即x2＋y2－x－y－6＝0，所以圆心坐标为.
又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－－4＝0，即λ＝－.
所以所求圆的方程为x2＋y2－6x＋2y－6＝0.
法二　由得两圆公共弦所在直线的方程为y＝x，由
解得
所以两圆x2＋y2－4x－6＝0和x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)、
B(3，3)，线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y－1＝－(x－1).
由得
所以所求圆的圆心为(3，－1)，半径为＝4.
所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
能 力 提 升
8.若圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称，过点C(－a，a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为(　　)
A.y2－4x＋4y＋8＝0 B.y2＋2x－2y＋2＝0
C.y2＋4x－4y＋8＝0 D.y2－2x－y－1＝0
解析　由圆x2＋y2－ax＋2y＋1＝0与圆x2＋y2＝1关于直线y＝x－1对称可知两圆半径相等且两圆圆心连线的中点在直线y＝x－1上，故可得a＝2，即点C(－2，2)，所以过点C(－2，2)且与y轴相切的圆P的圆心的轨迹方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝x2，整理得y2＋4x－4y＋8＝0.
答案　C
9.已知集合A＝，集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤r2}，若A?B，则实数r可以取的一个值是(　　)
A.＋1 B. C.2 D.1＋
解析　对于集合A，将式子x(x－1)＋y(y－1)≤r＋化简，得＋≤r＋1.
当r＜－1时，集合A表示空集；当r＝－1时，集合A表示单元素集合；当r＞－1时，集合A表示圆＋＝r＋1及其内部，圆心为C，半径为.
对于集合B＝{(x，y)|x2＋y2≤r2}，当r＝0时，B＝{(0，0)}；当r≠0时，表示以原点O为圆心、半径为|r|的圆及其内部.
∴根据A?B，可得A为空集或圆C在圆O的内部，因此r≤－1，或者圆＋＝r＋1与圆x2＋y2＝r2内含或内切，即≤|r－|，对照A、B、C、D各项，只有r＝＋1满足上述不等式.故选A.
答案　A
10.(2015·湖南高考)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.
解析　如图，过O点作OD⊥AB于D点，在Rt△DOB中，∠DOB＝60°，
∴∠DBO＝30°，又|OD|＝＝1，∴r＝2|OD|＝2.
答案　2
11.如图所示，已知定点A(2，0)，点Q是圆x2＋y2＝1上的动点，∠AOQ的平分线交AQ于M，当Q点在圆上移动时，求动点M的轨迹方程.
解　过M作MN∥OQ交AO于N，设M点坐标为(x，y)，
∵OM平分∠AOQ，∴|AM|∶|MQ|＝|OA|∶|OQ|.
又∵|AO|＝2，|OQ|＝1，∴|AM|∶|MQ|＝2∶1.
∵|AM|∶|MQ|＝|AN|∶|NO|，∴|AN|∶|NO|＝2∶1＝2.
∴N，|MN|∶|OQ|＝|AN|∶|AO|＝2∶3，
∴|MN|＝|OQ|＝，
即M点到N点的距离为.
∴M点的轨迹是以N为圆心，为半径的圆.
∴动点M的轨迹方程为＋y2＝.
探 究 创 新
12.有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相同，某地居民从两地之一购得商品后，运回的费用是：每单位距离A地的运费是B地运费的3倍，已知A，B两地的距离是10 km，顾客选A或B地购买商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低，求A，B两地的售货区域的分界线的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.
解　如图，以A，B所确定的直线为x轴，A，B中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，则A(－5，0)，B(5，0).
设某地P的坐标为(x，y)，且P地居民选择A地购买商品便宜，并设A地的运费为3a 元/km，B地的运费为a 元/km，当P地居民到A，B两地购物的总费用相等时，有价格＋xA地运费＝价格＋xB地运费.
∴3a＝a.∵a＞0，
∴3＝，
两边平方，得9(x＋5)2＋9y2＝(x－5)2＋y2，
即＋y2＝.
∴以点C为圆心，为半径的圆是这两地购货的分界线.
圆C内的居民从A地购货便宜；
圆C外的居民从B地购货便宜；
圆C上的居民从A、B两地购货的总费用相等，因此，可随意从A、B两地之一购货.
第四章 圆与方程
章末复习课
1.圆的方程
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，其中圆心是C(a，b)，半径长是r.特别地，圆心在原点的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0).
(2)由于圆的方程均含有三个参变量(a，b，r或D，E，F)，
而确定这三个参数必须有三个独立的条件，因此，三个独立的条件可以确定一个圆.
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程.如果已知圆心或半径长，或圆心到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过某些点，通常可用圆的一般方程.
2.点与圆的位置关系
(1)点在圆上
①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上.
②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上.
(2)点不在圆上
①若点的坐标满足F(x，y)>0，则该点在圆外；若满足
F(x，y)<0，则该点在圆内.
②点到圆心的距离大于半径则点在圆外；点到圆心的距离小于半径则点在圆内.
注意：若P点是圆C外一定点，则该点与圆上的点的最大距离：dmax＝|PC|＋r；最小距离：dmin＝|PC|－r.
3.直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交、相离、相切，其判断方法有两种：代数法(通过解直线方程与圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断).
(1)当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最大距离为d＋r，最小距离为d－r，其中d为圆心到直线的距离.
(2)当直线与圆相交时，圆的半径长、弦心距、弦长的一半构成直角三角形.
(3)当直线与圆相切时，经常涉及圆的切线.
①若切线所过点(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则切线方程为x0x＋y0y＝r2；若点(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
②若切线所过点(x0，y0)在圆外，则切线有两条.此时解题时若用到直线的斜率，则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意.
(4)过直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)的交点的圆系方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0，λ是待定的系数.
4.圆与圆的位置关系
两个不相等的圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含，其判断方法有两种：代数法(通过解两圆的方程组成的方程组，根据解的个数来判断)、几何法(由两圆的圆心距d与半径长r，R的大小关系来判断).
(1)求相交两圆的弦长时，可先求出两圆公共弦所在直线的方程，再利用直线与圆相交的几何性质和勾股定理来求弦长.
(2)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的直线方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.
5.空间直角坐标系
(1)建立的空间直角坐标系要遵循右手法则，空间上的任意一点都与有序实数组(x，y，z)一一对应.
(2)空间中P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离
|P1P2|＝.
(3)可利用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的方法来求空间直角坐标系下的对称点.
方法一　函数与方程思想
函数与方程思想是中学数学的基本思想，就是用函数和方程的观点去分析和研究数学问题中的数量关系，在求圆的方程、圆的切线方程及直线与圆、圆与圆的交点等问题时，由于圆的方程中涉及三个量a，b，r(或D，E，F).故要确定圆的方程必须要有三个独立的条件.设出圆的方程，由题设列方程组，解方程组即可得圆的方程，一般在求解时有几个参变量，就要列几个方程.
【例1】 求圆心在圆＋y2＝2上，且与x轴和直线x＝－都相切的圆的方程.
解　设圆心坐标为(a，b)，半径为r，
因为圆＋y2＝2在直线x＝－的右侧，且所求的圆与x轴和直线x＝－都相切，所以a＞－.
所以r＝a＋，r＝|b|.
又圆心(a，b)在圆＋y2＝2上，
所以＋b2＝2，联立解得
所以所求圆的方程是＋(y－1)2＝1，或＋(y＋1)2＝1.
【训练1】 已知圆经过点A(2，－1)，圆心在直线2x＋y＝0上且与直线x－y－1＝0相切，求圆的方程.
解　法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
其圆心为.
∵圆过点A(2，－1)，∴5＋2D－E＋F＝0，①
又圆心在直线2x＋y＝0上，
∴2·＋＝0，即2D＋E＝0.②
将y＝x－1代入圆方程得
2x2＋(D＋E－2)x＋(1－E＋F)＝0.
Δ＝(D＋E－2)2－8(1－E＋F)＝0.③
将①②代入③中，得(－D－2)2－8(1－2D－5)＝0，
即D2＋20D＋36＝0，
∴D＝－2或D＝－18.
代入①②，得或
故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y＋3＝0
或x2＋y2－18x＋36y＋67＝0.
法二　设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).
∵圆心在直线y＝－2x上，∴b＝－2a，
即圆心为(a，－2a).
又圆与直线x－y－1＝0相切，且过点(2，－1)，
∴＝r，(2－a)2＋(－1＋2a)2＝r2，
即(3a－1)2＝2(2－a)2＋2(－1＋2a)2，
解得a＝1或a＝9.
∴a＝1，b＝－2，r＝或a＝9，b＝－18，r＝13，
故所求圆的方程为：(x－1)2＋(y＋2)2＝2，
或(x－9)2＋(y＋18)2＝338.
方法二　数形结合思想
数形结合思想，就是把问题的数量关系和空间图形结合起来的思想.“数”和“形”是数学研究的两类基本对象.坐标系的建立，使“形”和“数”互相联系，互相渗透，互相转化.构造法就是根据题设条件和探求目标进行联想，构造出一个适当的数学关系或图形，将原来问题转化成易于解决的问题.“构造法”方法新颖，富有创造性，正像我国著名数学家华罗庚教授所说的“数缺形时，少直观；形缺数时，难入微.”数形结合思想是解答高考题的一种常用方法与技巧，特别是在解答选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中要加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.
【例2】 已知圆C：(x＋2)2＋y2＝1，P(x，y)为圆C上任一点.
(1)求的最大值与最小值；
(2)求x－2y的最大值与最小值.
解　(1)显然可以看作是点P(x，y)与点Q(1，2)连线的斜率.令＝k，如图所示，则其最大、最小值分别是过点Q(1，2)的圆C的两条切线的斜率.
对上式整理得kx－y－k＋2＝0，
∴＝1，∴k＝.
故的最大值是，最小值是.
(2)令u＝x－2y，则u可视为一组平行线，当直线和圆C有公共点时，u的范围即可确定，且最值在直线与圆相切时取得.
依题意，得＝1，解得u＝－2±，
故x－2y的最大值是－2＋，最小值是－2－.
【训练2】 当曲线y＝1＋与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异交点时，实数k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析　曲线y＝1＋是以(0，1)为圆心，2为半径的半圆(如图)，直线y＝k(x－2)＋4是过定点(2，4)的直线.
设切线PC的斜率为k0，则切线PC的方程为y＝k0(x－2)＋4，圆心(0，1)到直线PC的距离等于半径2，即＝2，k0＝.直线PA的斜率为k1＝.
所以，实数k的取值范围是答案　C
方法三　分类讨论思想
分类讨论思想是中学数学的基本思想之一，是历年高考的重点，其实质就是整体问题化为部分问题来解决，化成部分问题后，从而增加了题设的条件.在用二元二次方程表示圆时要分类讨论，在求直线的斜率问题时，用斜率表示直线方程时都要分类讨论.
【例3】 已知直线l经过点P(－4，－3)，且被圆(x＋1)2＋
(y＋2)2＝25截得的弦长为8，求直线l的方程.
解　圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝25的圆心为(－1，－2)，半径r＝5.
①当直线l的斜率不存在时，则l的方程为x＝－4，由题意可知直线x＝－4符合题意.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为y＋3＝k(x＋4)，
即kx－y＋4k－3＝0.
由题意可知＋＝52，
解得k＝－，即所求直线方程为4x＋3y＋25＝0.
综上所述，满足题设的l方程为x＝－4或4x＋3y＋25＝0.
【训练3】 如图，已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切.过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P.
(1)求圆A的方程；
(2)当|MN|＝2时，求直线l的方程.
解　(1)设圆A的半径为r.
由于圆A与直线l1：x＋2y＋7＝0相切，∴r＝＝2.
∴圆A的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－2符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.连接AQ，则AQ⊥MN.
∵|MN|＝2，∴|AQ|＝＝1，则由|AQ|＝＝1，得k＝.
直线方程为3x－4y＋6＝0.
综上，直线l的方程为x＝－2或3x－4y＋6＝0.
1．(2016·北京高考)圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为(　　)
A．1 B．2
C. D．2
解析　圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心坐标为(－1，0)，由y＝x＋3得x－y＋3＝0，则圆心到直线的距离d＝＝.
答案　C
2.(2015·安徽高考)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是(　　)
A.－2或12 B.2或－12
C.－2或－12 D.2或12
解析　圆方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴该圆是以(1，1)为圆心，以1为半径的圆，∵直线3x＋4y＝b与该圆相切，∴＝1.解得b＝2或b＝12，故选D.
答案　D
3.(2015·北京高考)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)
A.(x－1)2＋(y－1)2＝1 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析　圆的半径r＝＝，∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案　D
4.(2015·全国Ⅱ)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A. B. C. D.
解析　由点B(0，)，C(2，)，得线段BC的垂直平分线方程为x＝1，①
由点A(1，0)，B(0，)，得线段AB的垂直平分线方程为
y－＝，②
联立①②，解得△ABC外接圆的圆心坐标为，
其到原点的距离为 ＝.故选B.
答案　B
5.(2014·浙江高考)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a的值是(　　)
A.－2 B.－4 C.－6 D.－8
解析　圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a
∴圆心坐标(－1，1)
半径r2＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝
∴22＋()2＝2－a，解得a＝－4.
答案　B
6．(2016·全国Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
解析　圆C：x2＋y2－2ay－2＝0即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)C到直线y＝x＋2a的距离为d＝＝.又由|AB|＝2，得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π.
答案　4π
7．(2016·全国Ⅲ)已知直线l：x－y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A、B两点，过A、B分别作l的垂线与x轴交于C、D两点，则|CD|＝________．
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－3y＋6＝0，则y1＋y2＝3，又y2＝2，∴y1＝，
∴A(－3，)，B(0，2)．过A，B作l的垂线方程分别为y－＝－(x＋3)，y－2＝－x，令y＝0，则xC＝－2，xD＝2，∴|CD|＝2－(－2)＝4.
答案　4
8.(2015·重庆高考)若点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________.
解析　点P(1，2)在以坐标原点为圆心的圆上，则圆的方程为x2＋y2＝5，设所求直线为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0，圆心到直线的距离d＝＝，解得k＝－，∴直线为－x－y＋＝0，即x＋2y－5＝0.
答案　x＋2y－5＝0
9.(2015·浙江高考)已知实数x，y满足x2＋y2≤1，则|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值是________.
解析　因为实数x，y满足x2＋y2≤1，则2x＋y－4＜0，6－x－3y＞0，所以|2x＋y－4|＋|6－x－3y|＝4－2x－y＋6－x－3y＝－3x－4y＋10.令z＝－3x－4y＋10，则3x＋4y－10＋z＝0.当直线3x＋4y－10＋z＝0与圆x2＋y2＝1相切时，z取最值，故＝1，∴z＝5或z＝15，
∴|2x＋y－4|＋|6－x－3y|的最大值为15.
答案　15