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课题：18.2.2菱形（1）
教学目标：
1.探索并掌握菱形的概念和它所具有的特殊性质，会进行简单的推理和运算．
2.能推导出菱形的面积等于它的两条对角线长的乘积的一半．
重点：
菱形的概念及性质．
难点：
菱形性质的灵活应用．
教学流程：
一、导入新课
1、说一说什么是平行四边形？
答案：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2、出示菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
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3、欣赏图片
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4、想一想：平行四边形都有哪些性质呢？
答案：
边：平行四边形的对边平行且相等.
角：平行四边形的对角相等，邻角互补.
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
对称性：中心对称图形
二、新课讲解
动手操作：将一张长方形的纸按如图所示的方法进行对折、再对折，然后沿虚线剪下，打开后你知道它是什么图形吗？21教育网
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思考：作为特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形所有的性质．由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？21·cn·jy·com
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（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
追问：你能证明它们吗？
求证：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图所示，菱形ABCD的对角线交于点O.
求证：AC⊥BD, AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ABC和∠ADC
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证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，OB=OD
∴AC⊥BD, AC平分∠BAD
(等腰三角形三线合一）
同理可证，AC平分∠BCD, BD平分∠ABC和∠ADC
归纳1：菱形特有的性质：
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
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符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD,
AC⊥BD,
∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB,
∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠CDA,
想一想：由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
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提示：菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形
归纳2：菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.
归纳3：菱形的性质
边：对边平行且四条边都相等
角：对角相等，邻角互补
对角线：对角线垂直且互相平分，并且每一条对角线平分一组对角.
对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形
归纳4：矩形和菱形特殊性质比较
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例1：如图，在菱形ABCD中，若∠ABC=2∠BAD，则∠BAD=________° ，△ABD为________三角形．21世纪教育网版权所有
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答案：60，等边
例2：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为______．21cnjy.com
答案：24
例3：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论：
①AC⊥BD；
②OA＝OB；
③∠ADB＝∠CDB；
④△ABC是等边三角形，
其中一定成立的是( )
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
答案：D
例4：如图，菱形花坛ABCD的边长为20 ( http: / / www.21cnjy.com ) m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．www.21-cn-jy.com
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解：∵花坛ABCD的形状是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=×60°=30°，
在Rt△OAB中，
AO＝AB＝×20＝10，
，
∴花坛的两条小路长
AC=2AO=20(m),
BD=2BO=≈34.64(m)
花坛的面积
.
三、巩固提升
1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．邻边互相垂直
答案：C
2．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是_______．BD的长是________.2·1·c·n·j·y
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答案：6，
3.（1）菱形的两条对角线长分别是5和12，则此菱形的边长是______，面积是______．
答案：6.5，30
（2）如图，菱形ABCD的边长为2 ，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为_______.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：
4.如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF＝BE.21·世纪*教育网
解：连接AC，
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD＝BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
又∵∠CFD＝∠CEB＝90°，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，
∴DF＝BE.
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是菱形？
2.菱形都有哪些性质？
3. 3.说一说求菱形面积的方法？
五、布置作业
教材P57页练习第1、2题．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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18.2.2菱形（1）课件
数学人教版 八年级下
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导入新课
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
1、说一说什么是平行四边形？
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
导入新课
欣赏图片
导入新课
想一想：平行四边形都有哪些性质呢？
平行四边形的对边平行且相等.
平行四边形的对角相等，邻角互补.
边
角
对角线
平行四边形的对角线互相平分.
对称性
中心对称图形
新课讲解
动手操作：将一张长方形的纸按如图所示的方法进行对折、再对折，然后沿虚线剪下，打开后你知道它是什么图形吗？
新课讲解
动手操作：将一张长方形的纸按如图所示的方法进行对折、再对折，然后沿虚线剪下，打开后你知道它是什么图形吗？
新课讲解
思考：作为特殊的平行四边形，菱形具有平行四边形所有的性质．由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
你能证明它们吗？
新课讲解
求证：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图所示，菱形ABCD的对角线交于点O.
求证：AC⊥BD, AC平分∠BAD和∠BCD, BD平分∠ABC和∠ADC
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，OB=OD
∴AC⊥BD, AC平分∠BAD
(等腰三角形三线合一）
同理可证，AC平分∠BCD,
BD平分∠ABC和∠ADC
新课讲解
菱形特有的性质：
（1）菱形的四条边都相等；
（2）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
符号语言：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD,
AC⊥BD,
∠ABD=∠CBD=∠ADB=∠CDB,
∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠CDA,
新课讲解
想一想：由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形
菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.
归 纳
菱形的性质
对边平行且四条边都相等
对角相等，邻角互补
边
角
对角线
对角线垂直且互相平分，
并且每一条对角线平分一组对角.
对称性
轴对称图形
中心对称图形
归 纳
矩形和菱形特殊性质比较
平行
四边形
矩形
菱形
一个角是直角
一组邻边相等
四个角是直
角（相等）
对角线
相等
四条边
相等
对角线互
相垂直
轴对称图形
新课讲解
例1：如图，在菱形ABCD中，若∠ABC=2∠BAD，
则∠BAD= ° ，△ABD为 三角形．
60
等边
新课讲解
例2：如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为AD的中点，若OE＝3，则菱形ABCD的周长为______．
24
新课讲解
例3：如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论：
①AC⊥BD；
②OA＝OB；
③∠ADB＝∠CDB；
④△ABC是等边三角形，
其中一定成立的是( )
A．①② B．③④ C．②③ D．①③
D
新课讲解
例4：如图，菱形花坛ABCD的边长为20 m，∠ABC=60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）．
新课讲解
解：∵花坛ABCD的形状是菱形
∴AC⊥BD，∠ABO= ∠ABC= ×60°=30°
在Rt△OAB中，
AO＝ AB＝ ×20＝10
∴花坛的两条小路长
AC=2AO=20(m), BD=2BO= ≈34.64(m)
花坛的面积
巩固提升
1．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是( )
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直
D．邻边互相垂直
C
巩固提升
2．如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是_______．BD的长是________.
6
O
巩固提升
3.（1）菱形的两条对角线长分别是5和12，则此菱形的边长是______，面积是______．
6.5
30
（2）如图，菱形ABCD的边长为2 ，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为_______.
巩固提升
4.如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF＝BE.
解：连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAE，CD＝BC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF，
又∵∠CFD＝∠CEB＝90°，
∴Rt△CDF≌Rt△CBE(HL)，
∴DF＝BE.
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.什么是菱形？
2.菱形都有哪些性质？
3. 3.说一说求菱形面积的方法？
布置作业
教材P57页练习第1、2题．
谢 谢！
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18.2.2菱形（1）
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．已知：如图，在矩形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD中，E ,F ,G ,H分别为边AB, BC ,CD, DA的中点．若AB＝2，AD＝4，则图中阴影部分的面积为 ( )21世纪教育网版权所有
A. 5 B. 4.5 C. 4 D. 3.5
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第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论中不一定成立的是（ ）
A. AB∥DC B. AC＝BD C. AC⊥BD D. OA＝OC
3．如图四边形ABCD是菱形，对角线AC=8，BD=6，DH⊥AB于点H，则DH的长度是（ ）
A. B. C. D.
4．如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为（ ）21教育网
A. 2 B. 2 C. 4 D. 4
5．如果a表示一个菱形的对角线的平方和,b表示这个菱形的一边的平方,那么（ ）
A. a=4b B. a=2b C. a=b D. b=4a
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．已知菱形两条对角线的长分别为5cm和12cm，则这个菱形的面积是________cm2.
7．如图，菱形花坛的边长为6cm，一个 ( http: / / www.21cnjy.com )内角为60°，在花坛中用花盆围出两个正六边形的图形（图中粗线部分），则围出的图形的周长为___________ cm.21·cn·jy·com
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第7题图 第8题图 第10题图
8．如图，已知菱形ABCD对角线交于点O，AE⊥CD于E，AE=OD，则∠CAE=_____．
9．已知菱形ABCD的两条对角线相交于点O，AC＝4，BD＝2，则菱形ABCD的周长是___________.21*cnjy*com
10．如图，由两个长为10，宽为2的矩形叠合而得到菱形ABCD，则菱形ABCD面积的最大值为_________．【来源：21cnj*y.co*m】
三、解答题(共40分)
11．已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．
求证：（1）四边形AODE是矩形；
（2）若AB＝6，∠BCD＝120°，求四边形AODE的面积．
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12．如图菱形ABCD中，∠ADC=60°，M、N分别为线段AB，BC上两点，且BM=CN，且AN，CM所在直线相交于E.【出处：21教育名师】
（1）证明△BCM≌△CAN；
（2）∠AEM= °；
（3）求证DE平分∠AEC；
（4）试猜想AE，CE，DE之间的数量关系并证明.
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参考答案
1．C
【解析】连接AC，BD，FH，EG，
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∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，
∴HG=AC,EF∥AC,EF=AC,EH=BD，GF=BD，
∴EH=HG =EF=GF，
∴平行四边形EFGH是菱形，
∴FH⊥EG，
∴阴影部分EFGH的面积是×HF×EG=×2×4=4，
故选C.
2．B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DC，故选项A正确，不合题意；
无法得出AC=BD，故选项B错误，符合题意；
AC⊥BD，故选项C正确，不合题意；
OA=OC，故选项D正确，不合题意；
故选B.
3．C
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，
∴AC⊥BD，OA=OC=4，OB=OD=3，
∴AB=5cm，
∴S菱形ABCD=AC·BD=AB·DH，
∴DH=．
故选C.
4．B
【解析】如图作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，连接AC、AP′．
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∵已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，
∴AB=BC=4，AB CE′=8，
∴CE′=2，
在Rt△BCE′中，BE′=，
∵BE=EA=2，
∴E与E′重合，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BD垂直平分AC，
∴A、C关于BD对称，
∴当P与P′重合时，P′A+P′E的值最小，最小值为CE的长=2，
故选：B．
5．A
【解析】设菱形的两条对角线分别为2m, ( http: / / www.21cnjy.com )2n,则a=(2m)2+(2n)2=4(m2+n2),则勾股定理得b=m2+n2，所以a=4b，故选A.21cnjy.com
6．30
【解析】菱形的面积=×5×12=30(cm2).
故答案为：30.
7．20
【解析】如图，每个三角形都为等边三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形，由于图形中是两个正六边形，菱形花坛的边长为6cm，则每个正三角形的边长为2cm,则围出的图形的周长为 cm.
故答案：20.
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8．30°
【解析】由四边形ABCD为菱形，得到对角 ( http: / / www.21cnjy.com )线互相垂直，进而得到一对直角相等，再由对顶角相等，得到△AFO与△DFE相似，利用相似三角形对应角相等得到一对角相等，利用ASA得到△AEC与△DOC全等，利用全等三角形对应边相等得到AC=CD，进而确定出△ACD为等边三角形，利用等边三角形的性质及三线合一性质即可求出所求角的度数．
解：∵菱形ABCD， ∴AC⊥BD，AD=DC， ∵AE⊥CD， ∴∠AEC=∠DOC=90°，
∵∠AOD=∠AED=90°，∠AFO=∠DFE， ∴△AFO∽△DFE， ∴∠CAE=∠CDO，
∴△AEC≌△DOC（ASA）， ∴AC=CD， ∴AC=CD=AD，即△ACD为等边三角形，
∵AE⊥CD， ∴AE为∠CAD的平分线， 则∠CAE=30°． 故答案为：30°．
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9．
【解析】根据菱形的对角线相互平分，则 ( http: / / www.21cnjy.com )OA=2，OB=1，根据对角线垂直，则AB= ，则菱形ABCD的周长是.www.21-cn-jy.com
故答案：.
10．
【解析】菱形的一条对角线为矩形的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )时，面积最大，作出图形，设边长为x，表示出BE=10-x，再利用勾股定理列式计算求出x，然后根据菱形的四条边都相等列式进行计算即可得解出边长，再计算面积即可．【来源：21·世纪·教育·网】
解：如图，菱形的一条对角线与矩形的对角线重合时，面积最大，
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设AB=BC=x，则BE=10-x，
在Rt△BCE中，BC2=BE2+CE2，
即x2=（10-x）2+22，
解得x=，
所以S菱形ABCD=×2=．
故答案为：．21·世纪*教育网
11．（1）见解析（2）9
【解析】（1）由已知易得四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )AODE是平行四边形，由四边形ABCD是菱形可得AC⊥BD，从而可得∠AOD=90°，由此可得平行四边形AODE是矩形；【版权所有：21教育】
（2）由四边形ABCD是菱形，∠BCD ( http: / / www.21cnjy.com )=120°易证△ABC是等边三角形，从而可得AC=AB=6，AO=3，结合AC⊥BD由勾股定理可得BO=3，则OD=3，由此可得矩形AODE的面积为.21教育名师原创作品
解：（1）∵DE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴平行四边形AODE是矩形，
（2）∵∠BCD=120°，AB∥CD，
∴∠ABC=180°﹣120°=60°，
∵AB=BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴OA=×4=2，
∵在菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴由勾股定理OB=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OD=OB=3，
∴四边形AODE的面积=OA OD=9．
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12．（1）证明见解析；（2）60°；（3）证明见解析；（4）ED=EC+AE，理由见解析.
【解析】（1）如图，连接AC．由题意△ABC，△ADC都是等边三角形，根据SAS即可证明△BCM≌△CAN． 2·1·c·n·j·y
（2）由△BCM≌△CAN，推出∠BCM=∠CAN，推出∠AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°． 2-1-c-n-j-y
（3）如图中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC ( http: / / www.21cnjy.com )交MC的延长线于H．由△DGA≌△DHC，推出DG=DH，由DG⊥AN，DH⊥MC，推出∠DEG=∠DEH．即DE平分∠AEC．
（4）结论：EA+EC=ED ( http: / / www.21cnjy.com )．由（3）可知，∠GED=60°，在Rt△DEG中，由∠EDG=30°，推出DE=2EG，易证△DEG≌△DEH，推出EG=EH，推出EA+EC=EG+AG+EH-CH，由△DGA≌△DHC，推出GA=CH，推出EA+EC=2EG=DE， www-2-1-cnjy-com
解：（1）如图1中，连接AC．
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∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵∠ADC=60°，
∴△ACD，△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠B=∠ACN=60°，
在△BCM和△CAN中，
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∴△BCM≌△CAN．
（2）如图1中，∵△BCM≌△CAN，
∴∠BCM=∠CAN，
∴AEM=∠ACE+∠EAC=∠ACE+∠BCM=60°．
故答案为60．
（3）如图2中，作DG⊥AN于G．DH⊥MC交MC的延长线于H．
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∵∠AEM=60°，
∴∠AEC=120°，
∵∠DGE=∠H=90°，
∴∠GEH+∠GDH=180°，
∴∠GDH=∠ADC=60°，
∴∠ADG=∠CDH，
在△DGA和△DHC中，
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∴△DGA≌△DHC，
∴DG=DH，
∵DG⊥AN，DH⊥MC，
∴∠DEG=∠DEH．
∴DE平分∠AEC．
（4）结论：EA+EC=ED．理由如下：
如图2中，由（3）可知，∠GED=60°，
在Rt△DEG中，∵∠EDG=30°，
∴DE=2EG，
易知△DEG≌△DEH，
∴EG=EH，
∴EA+EC=EG+AG+EH-CH，
∵△DGA≌△DHC，
∴GA=CH，
∴EA+EC=2EG=DE，
∴EA+EC=ED．
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