6.1 平行四边形的性质（2）同步练习

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６．１ 平行四边形的性质（2）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
1.平行四边形的对角线互相平分 ．
2.用“平行四边形的对角线互相平分”这条性质可证明线段相等．
3.用这条性质结合三角形三边之间的关系定理,可求一边或对角线的取值范围．
4.用这条性质可将平行四边形分割成四个面积相等的三角形．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，则下列说法一定正确的（ ）
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A. AO=OD B. AO⊥OD C. AO=OC D. AO⊥AB
2．□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠DAC=42 ，∠CBD=23 ，则∠COD是（ ）．
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A. 61 B. 63 C. 65 D. 67
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论正确的是（　　）
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A．S□ABCD=4S△AOB B．AC=BD 　C．AC⊥BD D．□ABCD是轴对称图形
4．如图，□ABCD的周长为16 cm，AC，BD相交于点O，EO⊥BD交AD于点E，则△ABE的周长为( )
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A. 4 cm B. 6 cm C. 8 cm D. 10 cm
5．如图，平行四边形ABCD中，EF过对角线的交点O，AB＝4，AD＝3，OF＝1.3，则四边形BCEF的周长为（ ）
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A. 8.3 B. 9.6 C. 12.6 D. 13.6
6．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为(　 　)
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A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
7．如图所示，在□ABCD中，对角线AC ( http: / / www.21cnjy.com )，BC相交于点O，已知△BOC与△AOB的周长之差为4，□ABCD的周长为28，则BC的长度为（ ）21教育网
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A. 5 B. 6 C. 7 D. 9
二、填空题
8. 如图所示，若平行四边形ABCD的周长 ( http: / / www.21cnjy.com )为22cm，AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，则AD=_____cm，AB=_____cm
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9．如图所示，在□ABCD中，两条对角线交于点O，有△AOB≌△_____，△AOD≌△_____．
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10．如图所示，在□ABCD中，AC与BD相交于点O，AB⊥AC，∠DAC＝45°，AC＝2，则BD的长是_______．21·cn·jy·com
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11．如图，在□ABCD中，对角线AC，B ( http: / / www.21cnjy.com )D交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则□ABCD的面积为________cm2.
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12．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=6，BD=8，AB=x，那么x的取值范围是______．
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13．如图，□ABCD的周长为16cm，AC、BD相交于点O，OE⊥AC交AD于E，则△DCE的周长为________www.21-cn-jy.com
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三、解答题
14．如图：平行四边形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD的对角线AC、BD交于点O，AC⊥BC，AC=10，BD=26.（1）求BC的长，（2）求平行四边形ABCD的面积.21*cnjy*com
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15．如图所示，已知□ABCD，对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )AC、BD相交于点O，EF是过点O的任一直线，交AD于点E，交BC于F，试说明OE与OF之间的关系，并说明理由．
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16．如图，已知 ABCD的周长为100，对角线AC，BD相交于点O，△AOD与△AOB的周长之差为 20，求AD，CD的长．
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17．如图所示，已知平行四边形ABCD的对角线交于O，过O作直线交AB、CD的反向延长线于E、F，求证：OE＝OF.
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18．已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，求平行四边形ABCD的周长．
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19．如图,平行四边形中,对角线交于O, ,
(1)若的周长为10cm,求平行四边形的周长
(2) 若∠DAB=108°,AE平分∠BAC,试求∠ACB的度数。
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参考答案
1．C
【解析】试题分析：对角线不一定相等，A错误；
对角线不一定互相垂直，B错误；
对角线互相平分，C正确；
对角线与边不一定垂直，D错误．
故选C．
2．C
【解析】试题分析：∵AD∥BC,∴ ( http: / / www.21cnjy.com )∠BCA=∠DAC=42°，根据三角形的外角等于和它不相邻的内角和，∠COD=∠BCO+∠CBO=42°＋23°=65°，故选C．【来源：21·世纪·教育·网】
3．A
【解析】
根据平行四边形的性质分别判断得出答案即可．
4．C
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，BO=DO，
∵EO⊥BO，
∴BE=DE，
EMBED Equation.DSMT4
故选C.
点睛：平行四边形的对角线互相平分.
5．B
【解析】解：根据平行四边形的中心对称性得：OF=OE=1.3．∵ ABCD的周长=（4+3）×2=14
∴四边形BCEF的周长= EMBED Equation.DSMT4 × ABCD的周长+2.6=9.6．故选B．
6．C
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，
∴△OBE≌△ODH，△OAQ≌△OCG，△OPD≌△OFB，∴S阴影=S△BCD，
∴S△BCD= EMBED Equation.DSMT4 S平行四边形ABCD=×6×4=12．故选C.
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7．D
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC．
∵△BOC与△AOB的周长之差为4，∴BC-AB=4．
∵平行四边形ABCD的周长为28，∴BC+AB=14，∴AB=5，BC=9．故选D．
8． 4cm 7cm
【解析】试题解析：∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，OB=OD，
∵平行四边形ABCD的周长为22cm，
∴AD+AB=11cm，
∴△AOD的周长=AD+AO+OD，△AOB的周长=AB+AO+OB，
而△AOD的周长比△AOB的周长小3cm，即AB AD=3cm，
∴ 解得，AD=4cm，AB=7cm.
故答案为：(1). 4cm (2). 7cm.
9．△COD，△COB
【解析】解：∵在平行四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，两条对角线交于点O，∴AB=CD，AD=BC，AO=CO， BO=DO，∴△AOB≌△COD，△AOD≌△COB．故答案为：△COD，△COB．21世纪教育网版权所有
10．2
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∠DAC=45°，
∴∠ACB=∠DAC=45°，OA=AC=1，
∵AB⊥AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC=2，
在Rt△AOB中，根据勾股定理得OB= ，
∴BD=2BO=2.
点睛：此题主要考查了学生能否熟练运用等腰直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形的性质和勾股定理、平行四边形的性质，本题难度不大，属于基础常见题型，认真仔细解答即可得出正确答案.
11．12
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BD=2DO=2×1.5=3(cm)，CD=AB=5cm，
∵BC=4cm，
即DB⊥BC，
故答案为：12.
12．1【解析】因为平行四边形的对角线互相平分，所以OA=OC=3，OB=OD=4，所以4-3＜x＜4+3，即1＜x＜7，故答案为1＜x＜7.2·1·c·n·j·y
13．8 cm
【解析】∵平行四边形ABCD，∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，
∵EO⊥AC，∴AE=EC，
∵AB+BC+CD+AD=16，∴AD+DC=8cm，
∴△DCE的周长是：CD+DE+CE=AE+DE+CD=AD+CD=8cm，
故答案为：8cm.
点睛：此题考查了平行四边形的性质以及线段的垂直平分线的性质，解答本题的关键是判断出EO示线段BD的中垂线.www-2-1-cnjy-com
14．见解析
【解析】试题分析：（1）由平行四边形的对角线互相平分可得OC=5，OB=13，然后根据勾股定理求BC的长即可；2-1-c-n-j-y
（2）根据平行四边形的面积等于底×高，即四边形ABCD的面积=BC·AC，计算即可；
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴, ,
∴;
（2）∵AC⊥BC，
∴四边形ABCD的面积= BC·AC=12×10=120.
15．OE与OF相等.
【解析】试题分析：结论：OE=OF，欲证明OE=OF，只要证明△AOE≌△COF即可．
试题解析：解：结论：OE=OF．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF．
在△AOE和△COF中， ∵∠OAE＝∠OCF，∠AOE＝∠COF，AO＝OC，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．
点睛：本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．【来源：21cnj*y.co*m】
16．AD＝35,CD=15
【解析】试题分析：根据平行 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形的性质得到CD=AB，AD=BC，OA=OC，OB=OD，由已知推出AD-AB=20和AD+AB=50，解方程组即可求出答案．【出处：21教育名师】
试题解析：解：∵四边形A ( http: / / www.21cnjy.com )BCD是平行四边形，∴CD=AB，AD=BC，OA=OC，OB=OD．∵△AOD与△AOB的周长之差为20，∴（OA+OD+AD）-（AB+OA+OB）=20，即：AD-AB=20①．∵ ABCD的周长为100，∴2（AD+AB）=100，∴AD+AB=50②，解①和②得：AD=35，AB=15，∴CD=15．
答：AD=35，CD=15．
点睛：本题主要考查了平行四边形的性质，解二元一次方程组等知识点，解答此题的关键是得到关于AB和AD的方程组．【版权所有：21教育】
17．证明见解析.
【解析】【试题分析】
根据平行四边形的性质：对边相等来解答．需要证明延长的边相等，就需要证明三角形全等．
【试题解析】
∵四边形ABCD是平行四边形ABCD，
∴OA＝OC,DF∥EB
∴∠E＝∠F
又∵∠EOA＝∠FOC
∴△OAE≌△OCF,
∴OE＝OF
【方法点睛】本题考查平行四边形的性质．掌握平行四边形对边相等、对角线互相平分的性质，同时结合此前学过的证明线段相等的方法，就能解答本题．21教育名师原创作品
18．（1）证明见解析；（2）12+6．
【解析】分析：（1）在平行四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AD=BC，AD∥BC，可知∠ADE=∠CBD，然后根据AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，可知∠AED=∠CFB=90°，根据这三个条件即可证明全等；（2）根据已知∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，分别在Rt△ABE、Rt△AED中求出AB、AD的长度，即可求出周长．21*cnjy*com
本题解析：
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADE=∠CBF，
又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∴∠AED=∠CFB=90°，
在△AED和△CFB中，
，
∴△AED≌△CFB （AAS）；
（2）解：在Rt△AED中，
∵∠ADE=30°，AE=3，
∴AD=2AE=2×3=6，
∵∠ABC=75°，∠ADB=∠CBD=30°
∴∠ABE=45°，
在Rt△ABE中，
∵=sin45°，
∴AB==3，
∴平行四边形ABCD的周长l=2（AB+AD）=2×（6+3）=12+6．
19．（1）20cm．（2）36°
【解析】分析：（1）根据平行四边形的对 ( http: / / www.21cnjy.com )角线互相平分得：OA=OC．又OE⊥AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得：AE=CE．故△ABE的周长为AB+AC的长．最后根据平行四边形的对边相等得： ABCD的周长为2×10=20cm．（2）由（1）可知AE=CE，所以△AEC是等腰三角形，利用平行线的性质和已知条件计算即可.21cnjy.com
本题解析：
（1）四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC．
∵OE⊥AC，
∴AE=CE．
故△ABE的周长为AB+AC=10，
根据平行四边形的对边相等得，
平行四边形ABCD的周长为2×10=20cm．
（2）AE平分∠BAC,即∠BAE=∠CAE,△ACE是等腰三角形中,∠CAE=∠ACB
平行四边形ABCD中,∠ACB=∠CAD,
∠DAB=∠BAE+∠CAE+∠CAD=3∠CAD=108°
∠ACB=∠CAD=36°.
点睛：本题考查了平行四边形的对边相等且对角线互相平分，行的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等的知识点，熟记有关性质是解题的关键.21·世纪*教育网
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