模块检测
一、选择题
1.极坐标方程cos θ＝(ρ∈R)表示的曲线是( )
A.两条相交直线 B.两条射线
C.一条直线 D.一条射线
解析 由cos θ＝，解得θ＝或θ＝π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线.
答案 A
2.过点P(4，3)，且斜率为的直线的参数方程为( )
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(t为参数) D.(t为参数)
解析 因为倾斜角α满足tan α＝，所以sin α＝，cos α＝，所以所求参数方程为(t为参数).
答案 A
3.如图所示，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4，0，5)，C1，则此长方体外接球的体积为( )
A. B.
C. D.
解析 A1，C1的直角坐标分别为A1(4，0，5)，C1(0，6，5)，所以OA＝4，OC＝6，OO1＝5，所以长方体外接球的半径R＝＝.所以外接球体积V＝πR3＝π＝π.
答案 B
4.圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心的极坐标是( )
A. B.
C. D.
解析 ρ＝5cos θ－5sin θ两边同乘以ρ，得ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ，即x2＋y2－5x＋5y＝0，故圆心的直角坐标为，半径为5，结合该点的位置知该点的一个极坐标是.
答案 A
5.将曲线＋＝1按φ：变换后的曲线的参数方程为( )
A. B.
C. D.
解析 ＋＝1→＋＝1→(x′)2＋(y′)2＝1→→
即故选D.
答案 D
6.化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )
A.x2＋y2＝0或y＝1 B.x＝1
C.x2＋y2＝0或x＝1 D.y＝1
解析 由ρ2cos θ－ρ＝0，得ρ(ρcos θ－1)＝0，又ρ＝，x＝ρcos θ，∴x2＋y2＝0或x＝1.
答案 C
7.柱坐标对应的点的直角坐标系是( )
A.(，－1，1) B.(，1，1)
C.(1，，1) D.(－1，，1)
解析 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式，可得.故应选C.
答案 C
8.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l与曲线C相交所得弦长为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，
直线的直角坐标方程为x－2y＋1＝0，
∵圆心C到直线l的距离d＝＝.
∴直线l与圆C相交所得弦长为2＝2＝4.
答案 D
9.已知直线l1的极坐标方程为ρsin＝2 014，直线l2的参数方程为(t为参数)，则l1与l2的位置关系为( )
A.垂直 B.平行
C.相交但不垂直 D.重合
解析 由ρsin＝2 014，得ρ＝2 014，即ρsin θ－ρcos θ＝2 014，所以y－x＝2 014，即y＝x＋2 014.
把直线l2的参数方程化为普通方程为＝＝－1，即y＝－x，所以kl1·kl2＝1×(－1)＝－1，所以l1⊥l2.
答案 A
10.若动点(x，y)在曲线＋＝1(b＞0)上变化，则x2＋2y的最大值为( )
A. B.
C.＋4 D.2b
解析 设动点的坐标为(2cos θ，bsin θ)，代入x2＋2y＝4cos2θ＋2bsin θ＝－＋4＋，当0＜b≤4时，(x2＋2y)max＝＋4；
当b＞4时，(x2＋2y)max＝－＋4＋＝2b.
答案 A
二、填空题
11.在极坐标系中，点关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为________.
解析 结合图形不难知道点关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为.
答案
12.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________.
解析 射线θ＝的普通方程为y＝x(x≥0)，代入得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3.
当t＝0时，x＝1，y＝1，即A(1，1)；
当t＝3时，x＝4，y＝4，即B(4，4).
所以AB的中点坐标为.
答案
13.极坐标系中，曲线ρ＝－4cos θ上的点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝8的距离的最大值是________.
解析 曲线方程化为：ρ2＝－4ρcos θ，即x2＋y2＋4x＝0，化为：(x＋2)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2，0)，半径为r＝2，直线方程化为：x＋y－8＝0，圆心到直线的距离为：d＝＝5，所以最大距离为：5＋2＝7.
答案 7
14.直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________.
解析 直线与曲线的普通方程分别为x＋y－1＝0①
x2＋y2＝9②
②表示圆心为O(0，0)，半径为3的圆，设O到直线的距离为d，则d＝＝，∵＜3，∴直线与圆有2个交点.
答案 2
三、解答题
15.在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程.
解 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4，0).将已知直线的参数方程化为普通方程x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
16.已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1，0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程.
解 (1)由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为.
(2)M点的直角坐标为，A(1，0)，故直线AM的参数方程为(t为参数).
17.在直角坐标系xOy中，圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：(x－2)2＋y2＝4.
(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.
解 (1)圆C1的极坐标方程为ρ＝2，圆C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
解得ρ＝2，θ＝±.
故圆C1与圆C2交点的坐标为或.
注：极坐标系下点的表示不唯一.
(2)法一 将x＝1代入得ρcos θ＝1，从而ρ＝.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为，
法二 由得
圆C1与圆C2交点的直角坐标分别为(1，－)或(1，).
故圆C1与C2公共弦的参数方程为(－≤t≤).
18.如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点.
(1)求证：＋为定值；
(2)求AB的中点M的轨迹方程.
(1)证明 设直线AB的方程为(t为参数，α≠0)，代入y2＝2px整理，得t2sin2α－2ptcos α－p2＝0.
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则由根与系数的关系，得
t1＋t2＝，t1t2＝－.
＋＝＋＝＝＝
＝＝(定值).
(2)解 设AB的中点M(x，y)，则M对应的参数为t＝＝，
∴(α为参数)，消去α，得y2＝p为所求的轨迹方程.
一 平面直角坐标系
一、基础达标
1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝0，则曲线C的方程为( )
A.25x2＋9y2＝0 B.25x2＋9y2＝1
C.9x2＋25y2＝0 D.9x2＋25y2＝1
解析 将伸缩变换代入x′2＋y′2＝0，得25x2＋9y2＝0，此即为曲线C的方程.
答案 A
2.平行四边形ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1，2)，(3，0)，(5，1)，则顶点D的坐标是( )
A.(9，－1) B.(－3，1)
C.(1，3) D.(2，2)
解析 设D(x，y)，则由题意，得＝，即(4，－2)＝(5－x，1－y)，∴即D(1，3).
答案 C
3.已知四边形ABCD的顶点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(－1，1)，四边形ABCD在伸缩变换(a>0)的作用下变成正方形，则a的值为( )
A.1 B.2
C. D.
解析 如图，由矩形ABCD变为正方形A′B′C′D′，已知y′＝y，
∴边长为1，∴AB长由2缩为原来的一半，∴x′＝x，∴a＝.
答案 C
4.已知f1(x)＝sin x，f2(x)＝sin ωx(ω>0)，f2(x)的图象可以看作把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的(纵坐标不变)而得到的，则ω为( )
A. B.2
C.3 D.
解析 对照伸缩变换公式φ：由y＝sin x得到y′＝sin ωx′故，即.
∴＝，∴ω＝3.
答案 C
5.若点P(－2016，2017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________.
解析 ∵P(－2 016，2 017)经过伸缩变换得
代入x′y′＝k，得k＝x′y′＝－1.
答案 －1
6.可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为________.
解析 将椭圆方程＋＝1，化为＋＝4，
∴＋＝4.令
得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4.
∴伸缩变换为所求.
答案
7.在同一平面直角坐标系中，求将曲线x2－2y2－3x＝0变成曲线x′2－8y′2－12x′＝0的伸缩变换.
解 令伸缩变换为将其代入x′2－8y′2－12x′＝0得λ2x2－8μ2y2－12λx＝0，与x2－2y2－3x＝0.
进行比较，得故从而伸缩变换为
二、能力提升
8.在平面直角坐标系中，方程3x－2y＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为( )
A.3x′－4y′＋1＝0 B.3x′＋y′－1＝0
C.9x′－y′＋1＝0 D.x′－4y′＋1＝0
解析 由伸缩变换得代入方程3x－2y＋1＝0有9x′－y′＋1＝0.
答案 C
9.平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：作用下仍是其本身的点为________.
解析 设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy).
依题意得其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1.∴x＝y＝0，即P(0，0)为所求.
答案 (0，0)
10.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则x2＋y2的最大值和最小值分别为________.
解析 x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
答案 7＋4；7－4
11.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.
(1)5x＋2y＝0；
(2)x2＋y2＝2.
解 (1)由伸缩变换得
将其代入5x＋2y＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0.
所以经过伸缩变换后，直线5x＋2y＝0变成直线5x′＋3y′＝0.
(2)将代入x2＋y2＝2，得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝2，即＋＝1.
所以经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝2变成椭圆＋＝1.
12.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处.求城市B处于危险区内的时间.
解 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40，0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区.台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝＝20.求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1，所以城市B处于危险区的时间为1 h.
三、探究与创新
13.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)，观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
解 (1)设曲线方程为y＝ax2＋.
因为D(8，0)在抛物线上，∴0＝a·82＋，
解得：a＝－.
∴曲线方程为y＝－x2＋.
(2)设变轨点为C(x，y).
根据题意可知
得4y2－7y－36＝0，
解得y＝4或y＝－(不合题意).
∴y＝4.得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去).
∴C点的坐标为(6，4).|AC|＝2，|BC|＝4.
所以当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令.
三 简单曲线的极坐标方程
一、基础达标
1.圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为( )
A. ρ＝1 B.ρ＝cos θ
C.ρ＝2cos θ D.ρ＝2sin θ
解析 圆的直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程.
答案 C
2.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A.θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B.θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C.θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D.θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
解析 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.
答案 B
3.极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )
A.两条直线 B.一条射线和一个圆
C.一条直线和一个圆 D.圆
解析 由ρ·sin θ＝2sin 2θ，得ρsin θ＝4sin θcos θ，即sin θ(ρ－4cos θ)＝0，∴sin θ＝0或ρ－4cos θ＝0.∴极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为直线sin θ＝0和圆ρ＝4cos θ.
答案 C
4.在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于( )
A.直线θ＝对称 B.直线θ＝对称
C.点对称 D.极点对称
解析 由方程ρ＝4sin，得ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，即x2＋y2＝2y－2x.配方，得(x＋)2＋(y－1)2＝4.
它表示圆心为(－，1)、半径为2且过原点的圆.
所以在极坐标系中，它关于直线θ＝成轴对称.
答案 B
5.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________.
解析 直线为y＝x(x≥0)，圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，交于原点和点A(1，1)，弦长为.
答案
6.在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________.
解析 由2ρcos2θ＝sin θ?2ρ2cos2θ＝ρsin θ?2x2＝y.又由ρcos θ＝1?x＝1，由?故曲线C1与C2交点的直角坐标为(1，2).
答案 (1，2)
7.已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径.
解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.
二、能力提升
8.下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )
A. B.
C. D.
解析 点的极坐标满足ρ＝，θ＝－π，且ρ≠cos θ＝cos＝－.
答案 D
9.在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )
A.ρcos θ＝ B.ρcos θ＝2
C.ρ＝4sin D.ρ＝4sin
解析 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切.
答案 B
10.在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.
解析 曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.
答案
11.在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.
解 在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1，0)，因为圆C的经过点P，
所以圆C的半径PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
12.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.
解 (1)由ρcos＝1，
得ρ＝1.又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ.
∴曲线C的直角坐标方程为＋y＝1，即x＋y－2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，∴点M(2，0).
当θ＝时，ρ＝，∴点N.
(2)由(1)知，M点的坐标(2，0)，点N的坐标.又P为MN的中点，
∴点P，则点P的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R).
三、探究与创新
13.在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r＝1，P在圆C上运动.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程.
解 (1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝0.
(2)设Q(x，y)，则P(2x，2y)，由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圆C上，所以(2x－1)2＋(2y－)2＝1，则Q的直角坐标方程为＋＝.
二 极坐标系
一、基础达标
1.点P的极坐标为，则点P的直角坐标为( )
A.(，) B.(，－)
C.(2，2) D.(－，)
解析 x＝ρcos θ＝，y＝ρsin θ＝－.
答案 B
2.点M的直角坐标为，则点M的极坐标可以为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵ρ＝＝，且θ＝，∴M的极坐标为.
答案 C
3.下列各点与表示极坐标系中同一点的是( )
A. B.(2，π)
C. D.(2，2π)
解析 与极坐标相同的点可以表示为
(k∈Z)，只有适合.
答案 C
4.在极坐标系中，已知点P1、P2，则|P1P2|等于( )
A.9 B.10
C.14 D.2
解析 ∠P1OP2＝－＝，∴△P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10.
答案 B
5.在极坐标系中，已知点A，B，则A、B两点间的距离为________.
解析 由公式|AB|＝，
得|AB|＝＝＝.
答案
6.平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于________.
解析 ∵点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.
答案 3
7.在极轴上求与点A距离为5的点M的坐标.
解 设M(r，0)，∵A，∴＝5，
即r2－8r＋7＝0，解得r＝1或r＝7.
∴点M的坐标为(1，0)或(7，0).
二、能力提升
8.下列的点在极轴上方的是( )
A.(3，0) B.
C. D.
解析 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点，在极轴下方，点在极轴上方，故选D.
答案 D
9.点M到极轴所在直线的距离为________.
解析 依题意，点M到极轴所在的直线的距离为d＝6×sin＝3.
答案 3
10.已知极坐标系中，极点为O，0≤θ<2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________.
解析 如图，|OM|＝3，∠xOM＝，在直线OM上取点P，Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.
点P，Q都满足条件，且∠xOP＝，∠xOQ＝.
答案 或
11.(1)已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标.
(2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B，C(－1，－)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).
解 (1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A，B，C(－，－)，D(2，－2).
(2)根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A，B，C.
12.在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B(2，π)，C.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积.
解 (1)如图所示，由A，B(2，π)，C得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝.
∴△AOB≌△BOC≌△AOC，∴AB＝BC＝CA，
故△ABC为等边三角形.
(2)由上述可知，
AC＝2OAsin＝2×2×＝2.
∴S△ABC＝×(2)2＝3(面积单位).
三、探究与创新
13.某大学校园的部分平面示意图如图：
用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝
|BC|，|OC|＝600 m.建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)).
解 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系.
由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 m，又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m.
同理，得|OE|＝2|OG|＝300m，所以各点的极坐标分别为O(0，0)，A(300，0)，C，D，E，F(300，π)，G.
四 柱坐标系与球坐标系简介
一、基础达标
1.在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为( )
A.(2，0，3) B.
C. D.
解析 由点的空间柱坐标的意义可知，选B.
答案 B
2.空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是( )
A. B.
C. D.
解析 由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面yOz内.
答案 A
3.设点M的直角坐标为(2，0，2)，则点M的柱坐标为( )
A.(2，0，2) B.(2，π，2)
C.(，0，2) D.(，π，2)
解析 设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，∴ρ＝＝2，tan θ＝＝0，
∴θ＝0，z＝2.∴点M的柱坐标为(2，0，2).
答案 A
4.若点M的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A.(－6，2，4) B.(6，2，4)
C.(－6，－2，4) D.(－6，2，－4)
解析 由x＝8sincos＝－6，y＝8sinsin＝2，z＝8cos＝4，得点M的直角坐标为(－6，2，4).
答案 A
5.已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为________.
解析 设M的直角坐标为(x，y，z)，则由(r，φ，θ)＝，知x＝4sincosπ＝－2，y＝4sinsinπ＝2，z＝rcos φ＝4cos＝2.
∴点M的直角坐标为(－2，2，2).
故点M到Oz轴的距离＝2.
答案 2
6.已知点P1的球坐标是P1，P2的柱坐标是P2，则|P1P2|＝________.
解析 点P1的直角坐标为(2，－2，0)点P2的直角坐标为(，1，1)，由两点距离公式得|P1P2|＝.
答案
7.已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，求这两个点的直角坐标.
解 设点P的直角坐标为(x，y，z)，则x＝4cos＝4×＝－2，y＝4sin＝4×＝2，z＝－.
设点B的直角坐标为(x，y，z)，则x＝8sincos＝8××＝2，y＝8sinsin＝8××＝2，z＝8cos＝8×＝4.
所以点P的直角坐标为(－2，2，－)，点B的直角坐标为(2，2，4).
二、能力提升
8.已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )
A.P点(5，1，1)，B点
B.P点(1，1，5)，B点
C.P点，B点(1，1，5)
D.P点(1，1，5)，B点
解析 设P点的直角坐标为(x，y，z)，x＝·cos＝·＝1，y＝·sin＝1，z＝5.
设B点的直角坐标为(x，y，z)，
x＝·sin·cos＝··＝，
y＝·sin·sin＝··＝，
z＝·cos＝·＝.
所以，点P的直角坐标为(1，1，5)，点B的直角坐标为.
答案 B
9.在球坐标系中，方程r＝1表示____________，方程φ＝表示空间的____________.
答案 球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，中心轴为z轴，轴截面顶角为的上半个圆锥面
10.已知柱坐标系Oxyz中，若点M的柱坐标为，则|OM|＝________.
解析 ∵(ρ，θ，z)＝，设M的直角坐标为(x，y，z)，则x2＋y2＝ρ2＝4，∴|OM|＝＝＝3.
答案 3
11.在球坐标系中，求两点P，Q的距离.
解 设P，Q两点球坐标转化为直角坐标.设点P的直角坐标为(x，y，z)，
x＝3sincos＝，x＝3sinsin＝，z＝3cos＝3×＝.
∴P.设点Q的直角坐标为(x1，y1，z1)，x1＝3sincos＝－，y1＝3sinsin＝，z1＝3cos＝.
∴点Q.
∴|PQ|＝
＝.即P，Q两点间的距离为.
12.在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)的围成的几何体的体积.
解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，∴V＝Sh＝πr2h＝2π.
三、探究与创新
13.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A、B，飞机从A到B应该走怎样的航线最快？所走的路程有多远？
解 如图所示，∵A、B，
∴∠AOO1＝∠BOO1＝.
设赤道面上与A、B经度相同的点分别为C、D，x轴与赤道大圆的交点为E，则∠EOC＝，∠EOD＝，∴∠COD＝－＝.∴∠AO1B＝∠COD＝.
在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，∴O1B＝R，同理O1A＝R.∵∠AO1B＝，∴AB＝R.在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.
则经过A、B两地的球面距离为R.
答：走经过A、B两地的大圆，飞机航线最短，其距离为R.
第1讲 坐标系
一、选择题
1.将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为( )
A.y＝3sin x B.y＝3sin 2x
C.y＝3sinx D.y＝sin 2x
解析 由伸缩变换，得x＝，y＝.代入y＝sin 2x，有＝sin x′，即y′＝3sin x′.∴变换后的曲线方程为y＝3sin x.
答案 A
2.在极坐标系中有如下三个结论：
①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；
②tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线；
③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线.
在这三个结论中正确的是( )
A.①③ B.①
C.②③ D.③
解析 点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程；tan θ＝1能表示θ＝和θ＝π两条射线；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，以3为半径的圆，∴只有③成立.
答案 D
3.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 如右图所示，OA＝3，OB＝4，∠AOB＝，
所以S△AOB＝×3×4×＝3.
答案 C
4.在极坐标系中，点A与B之间的距离为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 由A与B，知∠AOB＝，∴△AOB为等边三角形，因此|AB|＝2.
答案 B
5.极坐标方程ρ2－ρ(2＋sin θ)＋2sin θ＝0表示的图形为( )
A.一个圆与一条直线 B.一个圆
C.两个圆 D.两条直线
解析 将所给方程进行分解，可得(ρ－2)·(ρ－sin θ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sin θ，化成直角坐标方程分别是x2＋y2＝4和x2＋y2－y＝0，可知分别表示圆.
答案 C
6.直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x＋2y＝1，∴直线x＋2y＝1，不过第三象限.
答案 C
7.点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的球坐标为( )
A. B.
C. D.
解析 设M的球坐标为(r，φ，θ)，则解得
答案 A
8.若点P的柱坐标为，则P到直线Oy的距离为( )
A.1 B.2
C. D.
解析 由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝，故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos＝，可得P到直线Oy的距离为.
答案 D
9.已知点A是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A到直线ρsin＝4的距离的最小值是( )
A.1 B.
C. D.
解析 曲线ρ＝2cos θ，即(x－1)2＋y2＝1，表示圆心在(1，0)，半径等于1的圆，直线ρsin＝4，即x＋y－8＝0，圆心(1，0)到直线的距离等于＝，所以点A到直线ρsin＝4的距离的最小值是－1＝.
答案 C
10.在极坐标系中，直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 化圆的极坐标方程ρ＝2cos为直角坐标方程得＋＝1，圆心坐标为，半径长为1，化直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为x－y＝0，由于－×＝0，即直线x－y＝0，过圆＋＝1的圆心，故直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长为2.
答案 B
二、填空题
11.已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C，点P的极坐标为，则|CP|＝________.
解析 由ρ＝4cos θ可得x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，因此圆心C的直角坐标为(2，0).又点P的直角坐标为(2，2)，因此|CP|＝2.
答案 2
12.曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________.
解析 设曲线C的极坐标方程为代入直角坐标方程可得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρcos θ＝0，化简整理得ρ＝2cos θ.
答案 ρ＝2cos θ
13.直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________.
解析 直线2ρcos θ＝1可化为2x＝1，即x＝，圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1，0)，半径为1，∴弦长为2×＝.
答案
14.在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，则PQ的最大值为______.
解析 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又∵ρ＝12cos，∴ρ2＝12ρ，∴x2＋y2－6x－6y＝0，∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.
答案 18
三、解答题
15.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状.
解 将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，得(2x＋5)2＋(2y＋6)2＝1，即＋(y＋3)2＝，故曲线C是以为圆心，半径为的圆.
16.已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系.
解 将曲线C1，C2化为直角坐标方程得：C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心到直线的距离d＝＝>，∴曲线C1与C2相离.
17.(1)在极坐标系中，求以点(1，1)为圆心，半径为1的圆C的方程；
(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程.
解 (1)设M(ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C过极点O，∠COM＝θ－1，作CK⊥OM于K，则ρ＝|OM|＝2|OK|＝2cos(θ－1)，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1).
(2)将圆C：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转得到圆D：ρ＝2cos，即ρ＝2sin(θ－1).
18.在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ＝2与曲线C2：ρsin＝交于不同的两点A，B.
(1)求|AB|的值；
(2)求过点C(1，0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.
解 (1)法一∵ρ＝2，∴x2＋y2＝4.又∵ρsin＝，∴y＝x＋2.∴|AB|＝2＝2＝2.
法二 设A(ρ，θ1)，B(ρ，θ2)，θ1，θ2∈[0，2π)，则sin＝，sin＝，
∵θ1，θ2∈[0，2π)，∴|θ1－θ2|＝，即∠AOB＝，
又|OA|＝|OB|＝2，∴|AB|＝2.
(2)法一 ∵曲线C2的斜率为1，∴过点(1，0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y＝x－1，∴直线l的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，即ρcos＝.
法二 设点P(ρ，θ)为直线l上任一点，因为直线AB与极轴成的角，则∠PCO＝或∠PCO＝，当∠PCO＝时，在△POC中，|OP|＝ρ，|OC|＝1，∠POC＝θ，∠PCO＝，∠OPC＝－θ，由正弦定理可知：＝，即ρsin＝，
即直线l的极坐标方程为：ρsin＝.
同理，当∠PCO＝极坐标方程也为ρsin＝.
当P为点C时显然满足ρsin＝.
综上，所求直线l的极坐标方程为ρsin＝.
2 圆的参数方程
一、基础达标
1.已知O为原点，参数方程(θ为参数)上的任意一点为A，则|OA|＝( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 |OA|＝＝＝1，故选A.
答案 A
2.已知曲线C的参数方程是(θ为参数)，曲线C不经过第二象限，则实数a的取值范围是( )
A.a≥2 B.a＞3
C.a≥1 D.a＜0
解析 ∵曲线C的参数方程是(θ为参数)，∴化为普通方程为(x－a)2＋y2＝4，表示圆心为(a，0)，半径等于2的圆.
∵曲线C不经过第二象限，则实数a满足a≥2，故选A.
答案 A
3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为( )
A.(0≤θ＜2π)
B.(0≤θ＜2π)
C.(0≤θ＜π)
D.(0≤θ＜2π)
解析 圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0，2π)).故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ＜2π).
答案 D
4.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A.y＝x－2 B.y＝x＋2
C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1)
解析 将参数方程中的θ消去，得y＝x－2.又x∈[2，3].
答案 C
5.若点(－3，－3)在参数方程(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.
解析 将点(－3，－3)的坐标代入参数方程(θ为参数)得解得θ＝＋2kπ，k∈Z.
答案 ＋2kπ，k∈Z
6.已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________.
解析 由圆C的参数方程为可求得其在直角坐标系下的方程为x2＋(y－1)2＝1，由直线l的极坐标方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y＝1，由可解得所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1).
答案 (－1，1)，(1，1)
7.已知曲线C：(θ为参数)，如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围.
解 ∵
∴x2＋(y＋1)2＝1.
∵圆与直线有公共点，则d＝≤1，
解得1－≤a≤1＋.
二、能力提升
8.若P(2，－1)为圆O′：(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是( )
A.x－y－3＝0 B.x＋2y＝0
C.x＋y－1＝0 D.2x－y－5＝0
解析 ∵圆心O′(1，0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1.
∴直线l方程为x－y－3＝0.
答案 A
9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________.
解析 将x2＋y2－x＝0配方，得＋y2＝，∵圆的直径为1.设P(x，y)，则x＝|OP|cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos2θ，y＝|OP|sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，
∴圆x2＋y2－x＝0的参数方程为(θ为参数).
答案 (θ为参数)
10.曲线(t为参数)与圆x2＋y2＝4的交点坐标为________.
解析 ∵sin t∈[－1，1]，∴y∈[0，2].
∵方程表示的曲线是线段x＝1(0≤y≤2).
令x＝1，由x2＋y2＝4，得y2＝3，
∵0≤y≤2，∴y＝.
答案 (1，)
11.设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点P(x＋y，xy)的轨迹.
解 设点M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P(x′，y′).
则
①2－2×②，得x′2－2y′＝1.即x′2＝2.
∴所求点P的轨迹为抛物线x2＝2的一部分.
12.已知点M(x，y)是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围.
解 由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又点M在圆上，∴x＝－1＋cos θ，且y＝sin θ(θ为参数)，
因此4x＋3y＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由
tan φ＝确定)
∴4x＋3y的最大值为1.
若4x＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4x＋3y)max，
故实数a的取值范围是[1，＋∞).
三、探究与创新
13.已知圆系方程为x2＋y2－2axcos φ－2aysin φ＝0(a＞0，且为已知常数，φ为参数)
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
(1)解 由已知圆的标准方程为：
(x－acos φ)2＋(y－asin φ2)＝a2(a＞0).
设圆心坐标为(x，y)，则(φ为参数)，
消参数得圆心的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
(2)证明 由方程
得公共弦的方程：2axcos φ＋2aysin φ＝a2，即xcos φ＋y sin φ－＝0，圆x2＋y2＝a2的圆心到公共弦的距离d＝为定值.
∴弦长l＝2＝a(定值).
3 参数方程和普通方程的互化
一、基础达标
1.曲线(θ为参数)的方程等价于( )
A.x＝ B.y＝
C.y＝± D.x2＋y2＝1
解析 由x＝|sin θ|得0≤x≤1；由y＝cos θ得－1≤y≤1.故选A.
答案 A
2.已知直线l：(t为参数)与圆C：(θ为参数)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是( )
A.，(1，0) B.，(－1，0)
C.，(1，0) D.，(－1，0)
解析 直线消去参数得直线方程为y＝－x，所以斜率k＝－1即倾斜角为.圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1，0).
答案 C
3.参数方程(t为参数)化为普通方程为( )
A.x2＋y2＝1
B.x2＋y2＝1去掉(0，1)点
C.x2＋y2＝1去掉(1，0)点
D.x2＋y2＝1去掉(－1，0)点
解析 x2＋y2＝＋＝1，又∵x＝－1时，1－t2＝－(1＋t2)不成立，故去掉点(－1，0).
答案 D
4.若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 由于圆x2＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin，故x＋y的最大值为2.故选B.
答案 B
5.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 由ρcos θ＝4，知x＝4.
又∴x3＝y2(x≥0).
由得或
∴|AB|＝＝16.
答案 16
6.在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程(θ为参数)，若圆C1与C2相切，则实数a＝________.
解析 圆C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，其标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为2，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a|，由于圆C1与圆C2外切，则|C1C2|＝2＋|a|＝3或|C1C2|＝|a|－2＝3?a＝±或a＝±5.
答案 ±或±5
7.已知曲线C的参数方程为(t为参数，t＞0).求曲线C的普通方程.
解 由x＝－两边平方得x2＝t＋－2，
又y＝3，则t＋＝(y≥6).
代入x2＝t＋－2，得x2＝－2.
∴3x2－y＋6＝0(y≥6).
故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6).
二、能力提升
8.已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos＝0，则圆C截直线所得弦长为( )
A. B.2
C.3 D.4
解析 圆C的参数方程为的圆心为(，1)，半径为3，直线普通方程为ρ＝x－y＝0，即x－y＝0，圆心C(，1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2＝2＝4.
答案 D
9.过原点作倾斜角为θ的直线与圆相切，则θ＝________.
解析 直线为y＝xtan θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±，∴θ＝或.
答案 或
10.在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
解析 曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝(舍去－).
答案
11.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2，0)，，圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
(2)判断直线l与圆C的位置关系.
解 (1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，.又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.
(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，，
所以直线l的平面直角坐标方程为x＋y－2＝0.
又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径为r＝2，
圆心到直线l的距离d＝＝＜r，故直线l与圆C相交.
12.已知曲线C1：(θ为参数)，曲线C2：
(t为参数).
(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.写出C′1，C′2的参数方程.C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.
解 (1)C1是圆，C2是直线.C1的普通方程为x2＋y2＝1，
圆心C1(0，0)，半径r＝1.
C2的普通方程为x－y＋＝0.因为圆心C1到直线x－y＋＝0的距离为1，
所以C2与C1只有一个公共点.
(2)压缩后的参数方程分别为C′1：(θ为参数)，C′2：(t为参数)，
化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋，
联立消元得2x2＋2x＋1＝0，
其判别式Δ＝(2)2－4×2×1＝0，
所以压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同.
三、探究与创新
13.已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π).
解 (1)将消去参数t，
化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0，将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得，ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，
∴C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0；
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0，
由
解得或
∴C1与C2的交点的极坐标分别为，.
三 直线的参数方程
一、基础达标
1.直线(α为参数，0≤a＜π)必过点( )
A.(1，－2) B.(－1，2)
C.(－2，1) D.(2，－1)
解析 直线表示过点(1，－2)的直线.
答案 A
2.下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(t为参数) D.(t为参数)
解析 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可排除选项A、D.而选项B中直线的普通方程为2x－y＋3＝0，故选C.
答案 C
3.极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A.直线、直线 B.直线、圆
C.圆、圆 D.圆、直线
解析 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，即x2＋y2＝x，即＋y2＝，
∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆.
由(t为参数)消参得：x＋y＝1，表示直线.
答案 D
4.直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A、B两点，则AB的中点坐标为( )
A.(3，－3) B.(－，3)
C.(，－3) D.(3，－)
解析 将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，得＋＝16，
∴t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，
因此AB的中点M对应参数t＝＝4，
∴x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，
故AB中点M的坐标为(3，－).
答案 D
5.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________.
解析 直线l：消去参数t后得y＝x－a.
椭圆C：消去参数φ后得＋＝1.
又椭圆C的右顶点为(3，0)，代入y＝x－a得a＝3.
答案 3
6.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数，0≤θ≤)和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________.
解析 曲线C1和C2的直角坐标方程分别为x2＋y2＝5(0≤x≤，0≤y≤)①，x－y＝1②
联立①②解得
∴C1与C2的交点坐标为(2，1).
答案 (2，1)
7.化直线l的参数方程，(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
解 由消去参数t，得直线l的普通方程为x－y＋3＋1＝0.
故斜率k＝＝tan α，由于0≤α<π，即α＝.
因此直线l的倾斜角为.
又得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，
∴|t|＝.
故|t|是t对应点M到定点M0(－3，1)的向量的模的一半.
二、能力提升
8.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________.
解析 由消去参数s，得x＝2y＋1.
由消去参数t，得2x＝ay＋a.
∵l1∥l2，∴＝≠，∴a＝4.
答案 4
9.若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.
解析 将化为y＝－x＋，∴斜率k1＝－，显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直.∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－.依题意k1k2＝－1，即－×＝－1，
∴k＝－6.
答案 －6
10.椭圆＋＝1上的点到圆x2＋(y－6)2＝1上的点的距离的最大值是( )
A.11 B.
C.5 D.9
解析 由平面几何知识，椭圆＋＝1上的点到圆x2＋(y－6)2＝1上的点的距离最大值＝椭圆上的动点到圆心的最大距离＋圆的半径.如图，设圆x2＋(y－6)2＝1圆心为O′，P(5cos θ，4sin θ)是椭圆上的点，则|PO′|＝
＝
＝
＝≤＝10
(当sin θ＝－1时取等号).则所求距离最大值为11.
答案 A
11.在直角坐标系中，参数方程为(t为参数)的直线l被以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C所截，求截得的弦长.
解 参数方程为(t为参数)表示的直线l是过点A(2，0)，倾斜角为30°，极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线C为圆x2＋y2－2x＝0.
此圆的圆心为(1，0)，半径为1，且圆C也过点A(2，0)；设直线l与圆C的另一个交点为B，在Rt△OAB中，|AB|＝2cos 30°＝.
12.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数).试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标.
解 因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组解得公共点的坐标为(2，2)，.
三、探究与创新
13.已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围.
解 (1)由已知可得A，
B，C，
D，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1).
(2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝(2cos φ－1)2＋(－3sin φ)2＋(－－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－－3sin φ)2＋(－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.∵0≤sin2φ≤1，∴S的取值范围是[32，52].
二 圆锥曲线的参数方程
一、基础达标
1.参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A.x2＋＝1 B.x2＋＝1
C.y2＋＝1 D.y2＋＝1
解析 易知cos θ＝x，sin θ＝，∴x2＋＝1，故选A.
答案 A
2.方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.双曲线的一部分
解析 由xcos θ＝a，∴cos θ＝，代入y＝bcos θ，得xy＝ab，又由
y＝bcos θ知，y∈[－|b|，|b|]，∴曲线应为双曲线的一部分.
答案 D
3.若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
答案 C
4.当θ取一切实数时，连接A(4sin θ，6cos θ)和B(－4cos θ，6sin θ)两点的线段的中点的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.直线 D.线段
解析 设中点M(x，y)，由中点坐标公式，得x＝2sin θ－2cos θ，y＝3cos θ＋3sin θ，即＝sin θ－cos θ，＝sin θ＋cos θ，两式平方相加，得＋＝2，是椭圆.
答案 B
5.实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋y的最大值是________.
解析 因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，所以设x＝2cos α，y＝sin α，则2x＋y＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.当sin(α＋φ)＝1时，2x＋y有最大值为5.
答案 5
6.抛物线y＝x2－的顶点轨迹的普通方程为________.
解析 抛物线方程可化为y＝－，∴其顶点为，记M(x，y)为所求轨迹上任意一点，则消去t得y＝－x2(x≠0).
答案 y＝－x2(x≠0)
7.如图所示，连接原点O和抛物线y＝x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？
解 抛物线标准方程为x2＝2y，其参数方程为得M(2t，2t2).
设P(x，y)，则M是OP中点.
∴∴(t为参数)，消去t得y＝x2，是以y轴为对称轴，焦点为(0，1)的抛物线.
二、能力提升
8.若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同两点，则m的取值范围是( )
A.R B.(0，＋∞)
C.(0，1) D.[0，1)
解析 将曲线化为普通方程得(y＋1)2＝
－(x－1)(0≤x≤1).它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m＜1.
答案 D
9.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________.
解析 将参数方程化为普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p＝4?p＝2，则焦点坐标为(1，0).
答案 (1，0)
10.设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________.
解析 化为普通方程为y＝x2，由于ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin θ＝0.
答案 ρcos2θ－sin θ＝0
11.在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x－y＋4＝0，曲线C的参数方程为(α为参数).
(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值.
解 (1)把极坐标系下的点P化为直角坐标，得点(0，4).因为点P的直角坐标(0，4)满足直线l的方程x－y＋4＝0，所以点P在直线l上.
(2)因为点Q在曲线C上，故可设点Q的坐标为(cos α，sin α)，从而点Q到直线l的距离为d＝＝＝cos＋2，由此得，当cos＝－1时，d取得最小值，且最小值为.
三、探究与创新
12.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
解 设椭圆的参数方程是，其中，a＞b＞0，0≤θ＜2π.由e2＝＝＝1－可得＝＝即a＝2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋＝a2cos2θ＋＝a2－(a2－b2)sin2θ－3bsin θ＋
＝4b2－3b2sin2θ－3bsin θ＋
＝－3b2＋4b2＋3，
如果＞1即b＜，即当sin θ＝－1时，d2有最大值，
由题设得()2＝，由此得b＝－＞，与b＜矛盾.因此必有≤1成立，于是当sin θ＝－时，d2有最大值，
由题设得()2＝4b2＋3，由此可得b＝1，a＝2.
所求椭圆的参数方程是
由sin θ＝－，cos θ＝±可得，椭圆上的点，点到点P的距离都是.
四 渐开线与摆线
一、基础达标
1.已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.
答案 B
2.已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1 B.
C. D.
解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，∴|AB|＝＝.
答案 C
3.摆线(t为参数，0≤t＜2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是( )
A.(π－2，2)，(3π＋2，2) B.(π－3，2)，(3π＋3，2)
C.(π，2)，(－π，2) D.(2π－2，2)，(2π＋2，2)
解析 由2＝2(1－cos t)得cos t＝0.∵t∈[0，2π)，∴t1＝，t2＝.代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2).
答案 A
4.已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数θ＝时对应的曲线上的点的坐标为________.
解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.
答案 2
5.已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________.
解析 由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数).
当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2).
答案 (π，2)
6.给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.
解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系.又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是
(φ为参数).
以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为(φ为参数).
7.已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和，求A、B两点的距离.
解 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数)，
分别把φ＝和φ＝代入，可得A、B两点的坐标分别为
A，B.
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为
|AB|＝
＝.
即A、B两点之间的距离为
.
二、能力提升
8.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中、、、…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A.3π B.4π
C.5π D.6π
解析 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
答案 C
9.已知一个圆的平摆线方程是(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标.
解 由平摆线方程知，圆的半径为2，
则圆的周长为4π.当φ＝π时，y有最大值4，
平摆线具有周期性，周期为2π.
∴平摆线上最高点的坐标为(π＋2kπ，4)(k∈Z).
10.渐开线方程为(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C，求曲线C的方程，及焦点坐标.
解 由渐开线方程可知基圆的半径为6，则圆的方程为x2＋y2＝36.
把横坐标伸长到原来的2倍，
得到椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，
对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0).
11.如图，若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ|＝或|AQ|＝，请推出Q的轨迹的参数方程.
解 设Q(x，y)、P(x0，y0)，若A(rθ，r)，
则当|AQ|＝时，
有 代入
∴点Q的轨迹的参数方程为(θ为参数).
当AQ＝时，有代入
∴点Q的轨迹方程为(θ为参数).
三、探究与创新
12.已知一个参数方程是如果把t当成参数，它表示的图形是直线l(设斜率存在)，如果把α当成参数(t＞0)，它表示半径为t的圆.
(1)请写出直线和圆的普通方程；
(2)如果把圆平移到圆心在(0，t)，求出圆对应的摆线的参数方程.
解 (1)如果把t看成参数，可得直线的普通方程为：y－2＝tan α(x－2)，即y＝xtan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t＞0时，它表示半径为t的圆，其普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝t2.
(2)由于圆的圆心在(0，t)，圆的半径为t，所以对应的摆线的参数方程为(φ为参数).
第二讲 参数方程
一、选择题
1.下列点不在直线(t为参数)上的是( )
A.(－1，2) B.(2，－1)
C.(3，－2) D.(－3，2)
解析 直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
答案 D
2.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. B.2
C. D.2
解析 由题意得，直线l的普通方程为x－y－4＝0，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心到直线l的距离d＝＝，直线l被圆C截得的弦长为2＝2.
答案 D
3.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )
A.两个圆 B.两条直线
C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线
解析 ∵(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，∴ρ＝1或θ＝π(ρ≥0).ρ＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，θ＝π(ρ≥0)表示x轴的负半轴，是一条射线，故选C.
答案 C
4.在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线的方程是( )
A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝
C.ρcos θ＝1 D.ρcos θ＝
解析 因点P，得x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，
即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，
再化为极坐标为ρsin θ＝1，选A.
答案 A
5.已知O为原点，当θ＝－时，参数方程(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
解析 当θ＝－时，x＝，y＝－，
∴kOA＝tan α＝＝－，且0≤α＜π，
因些α＝π.
答案 C
6.若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的倾斜角的余弦值为( )
A.－ B.－
C. D.
解析 由题意知，直线l的普通方程为4x＋3y－10＝0.设l的倾斜角为θ，则
tan θ＝－.由＝1＋tan2θ知cos2θ＝.∵<θ<π，∴cos θ＝－，故选B.
答案 B
7.椭圆(θ为参数)的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析 椭圆的标准方程为＋＝1，∴e＝.故选A.
答案 A
8.若直线y＝x－b与曲线θ∈[0，2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是( )
A.(2－，1) B.[2－，2＋]
C.(－∞，2－)∪(2＋，＋∞) D.(2－，2＋)
解析 由消去θ，得(x－2)2＋y2＝1.
将y＝x－b代入(*)，化简得2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依题意，Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)＞0.
解之得2－＜b＜2＋.
答案 D
9.参数方程(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )
A.椭圆的一部分
B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分，且过点
D.抛物线的一部分，且过点
解析 由y＝cos2＝＝，
可得sin θ＝2y－1，由x＝得x2－1＝sin θ，
∴参数方程可化为普通方程x2＝2y.
又x＝∈[0，]，故选D.
答案 D
10.已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2，则点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是( )
A.4＋ B.2(2＋)
C.4(2＋) D.8＋
解析 将直线l参数方程化为(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋)t′＋16＝0，设其两根为t1′，t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋)，t1′t2′＝16＞0.
由此知在l上两点P1，P2都在A(0，2)的下方，则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋).
答案 C
二、填空题
11.双曲线(φ是参数)的渐近线方程为________.
解析 化参数方程为普通方程，得y2－x2＝1.故其渐近线为y＝±x，即x±y＝0.
答案 x±y＝0
12.在极坐标系中，直线过点(1，0)且与直线θ＝(ρ∈R)垂直，则直线极坐标方程为________.
解析 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝的斜率是，所求直线是过点(1，0)，且斜率是－，所以直线方程为y＝－(x－1)，化为极坐标方程
ρsin θ＝－(ρcos θ－1)化简得2ρsin＝1.
答案 2ρsin＝1
13.已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.
解析 直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，
联立两方程，得
解得
所以公共点为(1，2).
所以公共点的极径为ρ＝＝.
答案
14.已知P为椭圆4x2＋y2＝4上的点，O为原点，则|OP|的取值范围是________.
解析 由4x2＋y2＝4，得x2＋＝1.
令(φ为参数)，
则|OP|2＝x2＋y2＝cos2φ＋4sin2φ＝1＋3sin2φ.
∵0≤sin2φ≤1，
∴1≤1＋3sin2φ≤4，
∴1≤|OP|≤2.
答案 [1，2]
三、解答题
15.已知椭圆的参数方程(θ为参数)，求椭圆上一点P到直线(t为参数)的最短距离.
解 由题意，得P(3cos θ，2sin θ)，直线：2x＋3y－10＝0.
d＝＝，
而6sin－10∈[－6－10，6－10].
∴∈.
∴dmin＝.
即椭圆上的点到直线的最短距离为.
16.已知圆O的参数方程为(θ为参数，0≤θ＜2π).
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O上点M对应的参数θ＝，求点M的坐标.
解 (1)由(0≤θ＜2π)，
平方得x2＋y2＝4，
∴圆心O(0，0)，半径r＝2.
(2)当θ＝π时，x＝2cos θ＝1，y＝2sin θ＝－.
∴点M的坐标为(1，－).
17.已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解 (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α).
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π).
(2)M点到坐标原点的距离
d＝＝2＋2cos α(0＜α＜2π).
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点.
18.在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4，2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)写出直线l的参数方程；并将曲线C的方程化为直角坐标方程；
(2)若曲线C与直线相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围.
解 (1)直线l的参数方程为(t为参数).
∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，
所以C：x2＋y2＝4x.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入C：x2＋y2＝4x，得t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，则有
∴sin α·cos α＞0，又α∈[0，π)，
所以α∈，t1＜0，t2＜0.
而|PM|＋|PN|＝
＋
＝|t1|＋|t2|＝－t1－t2＝4(sin α＋cos α)＝4sin.
∵α∈，
∴α＋∈，
∴＜sin≤1，
所以|PM|＋|PN|的取值范围是为(4，4).
课件27张PPT。一 平面直角坐标系[学习目标]1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.
2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.
3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学问题.[知识链接]1.如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？提示 (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；(3)若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点.建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上.2.怎样由正弦曲线y＝sin x得到曲线y＝sin 2x?提示 曲线y＝sin x上各点保持纵坐标不变，将横坐标缩为原
来的一半.3.怎样由正弦曲线y＝sin x得到曲线y＝3sin x?提示 曲线y＝sin x上各点保持横坐标不变，将纵坐标伸长为
原来的3倍.[预习导引]1.平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与 (有序实数对)、曲线与 建立联系，从而实现数与形的结合.
(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的 ,建立它的方程,通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.
(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论.坐标方程坐标系2.平面直角坐标系中的伸缩变换坐标坐标坐标伸缩伸缩要点一 运用坐标法解决解析几何问题例1 △ABC的顶点A固定，角A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.解 以边BC所在的定直线为x轴，过A作x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系，则点A的坐标为(0，b).设△ABC的外心为M(x，y).规律方法 建立坐标系的几个基本原则：
(1)尽量把点和线段放在坐标轴上；
(2)对称中心一般作为原点；
(3)对称轴一般作为坐标轴.跟踪演练1 △ABC的边AB的长为定长2a，边BC的中线的长为定长m，试求顶点C的轨迹方程.要点二 用坐标法解决平面几何问题例2 已知?ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).证明 法一(坐标法)规律方法 1.本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和.法一是运用代数方法，即解析法实现几何结论的证明的.这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一.法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感.
2.建立平面直角坐标系的方法步骤
(1)建系——建立平面直角坐标系，建系原则是利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明；
(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；
(3)运算——通过运算，得到所需要的结果.跟踪演练2 已知正△ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出此最小值.要点三 平面直角坐标系中的伸缩变换跟踪演练3 在同一直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足条件的伸缩变换.1.坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起着划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁、利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.2.体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法(1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系进行理解.
(2)对于图形的伸缩变换问题，需要搞清新旧坐标，区别x，y和x′，y′，点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程.1.点P(－1，2)关于点A(1，－2)的对称点坐标为( )A.(3，6) B.(3，－6)
C.(2，－4) D.(－2，4)
解析 设对称点的坐标为(x，y)，则x－1＝2，且y＋2＝－4，
∴x＝3，且y＝－6.
答案 B2.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变成曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )答案 B答案 D课件26张PPT。三 简单曲线的极坐标方程1.了解极坐标方程的意义.
2.掌握直线和圆的极坐标方程.
3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题.[知识链接]1.曲线的极坐标方程是否唯一？提示 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一.2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化，若已知一曲线的极坐标方程是ρ＝2cos θ，那么该曲线对应怎样的几何图形？提示 由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，即标准方程为(x－1)2＋y2＝1，曲线为以(1，0)为圆心，半径为1的圆.[预习导引]1.曲线与方程的关系在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示，曲线与方程满足如下关系：
(1)曲线C上 都是方程f(x，y)＝0的解；
(2)以方程f(x，y)＝0的解为 都在曲线C上.点的坐标坐标的点2.曲线的极坐标方程一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程 ，并且坐标适合方程 的点都在曲线C上，那么方程 ＝0叫做曲线C的极坐标方程.f(ρ，θ)＝0f(ρ，θ)＝0f(ρ，θ)3.常见曲线的极坐标方程ρ＝rρ＝2rcos θρ＝2rsin θθ＝α或θ＝α＋πpcos θ＝apsin θ＝a要点一 圆的极坐标方程规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M(ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可).
2.求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.跟踪演练1 曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________.解析 直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.答案 ρ＝2cos θ要点二 射线或直线的极坐标方程规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程.要点三 极坐标方程与直角坐标方程的互化例3 若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.规律方法 1.直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.2.对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用.跟踪演练3 (1)将x2－y2＝a2化为极坐标方程；要点四 极坐标方程的应用例4 从极点O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值.规律方法 1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.跟踪演练4 在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别2.求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( )答案 DA.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线答案 D课件29张PPT。二 极坐标系[学习目标]1.理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值性.
2.掌握极坐标与直角坐标的互化.
3.掌握极坐标系的简单应用.[知识链接]1.在教材第2页思考中，我们以信息中心为基点，用角和距离刻画点P的位置，这种刻画就是极坐标思想.这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？提示 直角坐标系中点的位置用有序数组来刻画.两者的联系是都通过数刻画点，体现了数形结合思想.在这里，应该使用角和距离刻画点P位置更方便.2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？提示 平面上点的极坐标不是唯一的.如果限定ρ>0，θ∈[0，2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)可建立一一对应关系.3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？[预习导引]1.极坐标系的概念(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做 ；自极点O引一条射线Ox，叫做 ；再选定一个 、一个角度单位(通常取弧度)及其 (通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的 ，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的 ，记为θ.有序数对 叫做点M的极坐标，记为 .一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取 .极轴长度单位正方向极径极角(ρ，θ)M(ρ，θ)任意实数极点2.点与极坐标的关系一般地，极坐标(ρ，θ)与 表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).
如果规定ρ>0, ，那么除 外，平面内的点可用 的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是 确定的.(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)0≤θ<2π唯一唯一极点3.极坐标与直角坐标的互化(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为 ,
x轴的正半轴作为 ，并在两种坐标系中取相同的 ，如图所示.
(2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：极点极轴长度单位x2＋y2要点一 极坐标系的概念答案 C要点二 极坐标化为直角坐标规律方法 将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键.跟踪演练2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标：要点三 直角坐标化为极坐标答案 D要点四 极坐标的应用规律方法 1.本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质.结合几何图形可知，点C的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键.2.若设出C(ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解1.极坐标系的概念极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；
④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.2.点的极坐标每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置.其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系.3.极坐标与直角坐标的互化答案 B答案 C课件24张PPT。四 柱坐标系与球坐标系简介[学习目标]1.了解柱坐标系、球坐标系的意义.
2.掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.
3.能够根据空间坐标的转化解决某些问题.[知识链接]1.要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？提示 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.2.在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r＝1分别表示空间中的什么曲面？提示 ρ＝1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r＝1表示球心在原点的单位球面.3.空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些？提示 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置.
(2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.[预习导引]1.柱坐标系如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示.建立了空间的点与有序数组 之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做 ,有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作 ，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R.(ρ，θ，z)柱坐标系P(ρ，θ，z)2.球坐标系建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的
为θ，这样点P的位置就可以用有序数组 表示.这样，空间的点与(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系).
有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤φ<2π.最小正角(r，φ，θ)要点一 将点的柱坐标化为直角坐标例1 将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：跟踪演练1 根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：要点二 将点的球坐标化为直角坐标跟踪演练2 根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：要点三 将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标例3 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标.跟踪演练3 若本例中条件不变，求点C的柱坐标和球坐标.1.空间点的坐标的确定(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z).
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离组成的即(r，φ，θ).注意求坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标系中的竖坐标.1.在空间直角坐标系Oxyz中，方程x＝1表示( )A.点 B.直线
C.平面 D.以上都不对
解析 由空间点的直角坐标的定义知，方程x＝1表示与x轴垂直且到原点的距离为1的平面.
答案 CA.圆 B.半圆
C.球面 D.半球面答案 D第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
[学习目标]
1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.
2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.
3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学问题.
[知识链接]
1.如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？
提示 (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；(3)若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点.建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上.
2.怎样由正弦曲线y＝sin x得到曲线y＝sin 2x?
提示 曲线y＝sin x上各点保持纵坐标不变，将横坐标缩为原来的一半.
3.怎样由正弦曲线y＝sin x得到曲线y＝3sin x?
提示 曲线y＝sin x上各点保持横坐标不变，将纵坐标伸长为原来的3倍.
[预习导引]
1.平面直角坐标系
(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合.
(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系.
(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步，通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论.
2.平面直角坐标系中的伸缩变换
(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标伸缩变换，这就是用坐标方法研究几何变换.
(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
要点一 运用坐标法解决解析几何问题
例1 △ABC的顶点A固定，角A的对边BC的长是2a，边BC上的高的长是b，边BC沿一条直线移动，求△ABC外心的轨迹方程.
解 以边BC所在的定直线为x轴，过A作x轴的垂线为y轴，建立直角坐标系，则点A的坐标为(0，b).设△ABC的外心为M(x，y).
取BC的中点N，则MN⊥BC，即MN是BC的垂直平分线.
因为|BC|＝2a，所以|BN|＝a，|MN|＝|y|.又M是△ABC的外心，所以|MA|＝|MB|.
又|MA|＝，|MB|＝＝，所以＝，化简，得所求的轨迹方程为x2－2by＋b2－a2＝0(x∈R，y>0).
规律方法 建立坐标系的几个基本原则：
(1)尽量把点和线段放在坐标轴上；
(2)对称中心一般作为原点；
(3)对称轴一般作为坐标轴.
跟踪演练1 △ABC的边AB的长为定长2a，边BC的中线的长为定长m，试求顶点C的轨迹方程.
解 取AB的中点为原点，直线AB为x轴，建立平面直角坐标系，则A(－a，0)，B(a，0).
设C(x，y)，则边BC的中点为D，由|AD|＝m，得＋＝m2.化简得(x＋3a)2＋y2＝4m2.又因点C在直线AB上时不能组成三角形，故y≠0.
因此顶点C的轨迹方程是(x＋3a)2＋y2＝4m2(y≠0).
要点二 用坐标法解决平面几何问题
例2 已知?ABCD，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
证明 法一(坐标法)
以A为坐标原点O，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy，
则A(0，0)，设B(a，0)，C(b，c)，则AC的中点E，由对称性知
D(b－a，c)，所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，
|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，
|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab
＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，∴|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
法二(向量法)
在?ABCD中，＝＋，两边平方得2＝||2＝2＋2＋2·，同理得2＝||2＝2＋2＋2·，以上两式相加，得||2＋||2＝2(||2＋||2)＋2·(＋)＝2(||2＋||2)，即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
规律方法 1.本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和.法一是运用代数方法，即解析法实现几何结论的证明的.这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一.法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感.
2.建立平面直角坐标系的方法步骤
(1)建系——建立平面直角坐标系，建系原则是利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明；
(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程；
(3)运算——通过运算，得到所需要的结果.
跟踪演练2 已知正△ABC的边长为a，在平面上求一点P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2最小，并求出此最小值.
解 以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，则A，B，C.
设P(x，y)，则|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝x2＋＋＋y2＋＋y2＝3x2＋3y2－ay＋＝3x2＋3＋a2≥a2，当且仅当x＝0，y＝a时，等号成立.
∴所求的最小值为a2，此时P点的坐标为P，即为正△ABC的中心.
要点三 平面直角坐标系中的伸缩变换
例3 在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
(1)求点A经过φ变换所得的点A′的坐标；
(2)点B经过φ变换后得到点B′，求点B的坐标；
(3)求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程；
(4)求双曲线C：x2－＝1经过φ变换后所得曲线C′的焦点坐标.
解 (1)设点A′(x′，y′).由伸缩变换φ：得到又已知点A.于是x′＝3×＝1，y′＝×(－2)＝－1.
∴变换后点A′的坐标为(1，－1).
(2)设B(x，y)，由伸缩变换φ：得到由于B′，于是x＝×(－3)＝－1，y＝2×＝1，∴B(－1，1)为所求.
(3)设直线l′上任意一点P′(x′，y′)，由上述可知，将代入y＝6x得2y′＝6×，所以y′＝x′，即y＝x为所求.
(4)设曲线C′上任意一点P′(x′，y′)，将代入x2－＝1，得－＝1，化简得－＝1，
∴曲线C′的方程为－＝1，
∴a2＝9，b2＝16，c2＝25，
因此曲线C′的焦点F1(5，0)，F2(－5，0).
规律方法 1.解答本题的关键：(1)是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；(2)是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解.
2.伸缩变换前后的关系
已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：则点的坐标与曲线的方程的关系为
联系
类型
变换前
变换后
点P
(x，y)
(λx，μy)
曲线C
f(x，y)＝0
f＝0
跟踪演练3 在同一直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4，求满足条件的伸缩变换.
解 设满足条件的伸缩变换为将其代入方程2x′－y′＝4，得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4.比较系数得λ＝1，μ＝4.所以直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2x′－y′＝4.
1.坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起着划时代的作用.坐标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁、利用坐标系，我们可以方便地用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应用于几何学的研究.
2.体会用坐标伸缩变换研究图形伸缩变换的思想方法
(1)平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标伸缩变换，学习中可结合坐标间的对应关系进行理解.
(2)对于图形的伸缩变换问题，需要搞清新旧坐标，区别x，y和x′，y′，点(x，y)在原曲线上，点(x′，y′)在变换后的曲线上，因此点(x，y)的坐标满足原曲线的方程，点(x′，y′)的坐标适合变换后的曲线方程.
1.点P(－1，2)关于点A(1，－2)的对称点坐标为( )
A.(3，6) B.(3，－6)
C.(2，－4) D.(－2，4)
解析 设对称点的坐标为(x，y)，则x－1＝2，且y＋2＝－4，
∴x＝3，且y＝－6.
答案 B
2.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变成曲线y′＝sin x′的伸缩变换是( )
A. B.
C. D.
解析 设则μy＝sin λx，即y＝sin λx.比较y＝3sin 2x与y＝sin λx，则有＝3，λ＝2.∴μ＝，λ＝2.∴
答案 B
3.如何由正弦曲线y＝sin x经伸缩变换得到y＝sinx的图象( )
A.将横坐标压缩为原来的，纵坐标也压缩为原来的
B.将横坐标压缩为原来的，纵坐标伸长为原来的2倍
C.将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍
D.将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的
答案 D
4.已知函数f(x)＝＋，则f(x)的最小值为________.
解析 f(x)可看作是平面直角坐标系下x轴上一点(x，0)到两定点(－1，1)和(1，1)的距离之和，结合图形可得，f(x)的最小值为2.
答案 2
一、基础达标
1.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线x′2＋y′2＝0，则曲线C的方程为( )
A.25x2＋9y2＝0 B.25x2＋9y2＝1
C.9x2＋25y2＝0 D.9x2＋25y2＝1
解析 将伸缩变换代入x′2＋y′2＝0，得25x2＋9y2＝0，此即为曲线C的方程.
答案 A
2.平行四边形ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1，2)，(3，0)，(5，1)，则顶点D的坐标是( )
A.(9，－1) B.(－3，1)
C.(1，3) D.(2，2)
解析 设D(x，y)，则由题意，得＝，即(4，－2)＝(5－x，1－y)，∴即D(1，3).
答案 C
3.已知四边形ABCD的顶点分别为A(－1，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(－1，1)，四边形ABCD在伸缩变换(a>0)的作用下变成正方形，则a的值为( )
A.1 B.2
C. D.
解析 如图，由矩形ABCD变为正方形A′B′C′D′，已知y′＝y，
∴边长为1，∴AB长由2缩为原来的一半，∴x′＝x，∴a＝.
答案 C
4.已知f1(x)＝sin x，f2(x)＝sin ωx(ω>0)，f2(x)的图象可以看作把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的(纵坐标不变)而得到的，则ω为( )
A. B.2
C.3 D.
解析 对照伸缩变换公式φ：由y＝sin x得到y′＝sin ωx′故，即.
∴＝，∴ω＝3.
答案 C
5.若点P(－2016，2017)经过伸缩变换后的点在曲线x′y′＝k上，则k＝________.
解析 ∵P(－2 016，2 017)经过伸缩变换得
代入x′y′＝k，得k＝x′y′＝－1.
答案 －1
6.可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为________.
解析 将椭圆方程＋＝1，化为＋＝4，
∴＋＝4.令
得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4.
∴伸缩变换为所求.
答案
7.在同一平面直角坐标系中，求将曲线x2－2y2－3x＝0变成曲线x′2－8y′2－12x′＝0的伸缩变换.
解 令伸缩变换为将其代入x′2－8y′2－12x′＝0得λ2x2－8μ2y2－12λx＝0，与x2－2y2－3x＝0.
进行比较，得故从而伸缩变换为
二、能力提升
8.在平面直角坐标系中，方程3x－2y＋1＝0所对应的直线经过伸缩变换后的直线方程为( )
A.3x′－4y′＋1＝0 B.3x′＋y′－1＝0
C.9x′－y′＋1＝0 D.x′－4y′＋1＝0
解析 由伸缩变换得代入方程3x－2y＋1＝0有9x′－y′＋1＝0.
答案 C
9.平面直角坐标系中，在伸缩变换φ：作用下仍是其本身的点为________.
解析 设P(x，y)在伸缩变换φ：作用下得到P′(λx，μy).
依题意得其中λ>0，μ>0，λ≠1，μ≠1.∴x＝y＝0，即P(0，0)为所求.
答案 (0，0)
10.已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则x2＋y2的最大值和最小值分别为________.
解析 x2＋y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为＝2，所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
答案 7＋4；7－4
11.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.
(1)5x＋2y＝0；
(2)x2＋y2＝2.
解 (1)由伸缩变换得
将其代入5x＋2y＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是5x′＋3y′＝0.
所以经过伸缩变换后，直线5x＋2y＝0变成直线5x′＋3y′＝0.
(2)将代入x2＋y2＝2，得到经过伸缩变换后的图形的方程是＋＝2，即＋＝1.
所以经过伸缩变换后，圆x2＋y2＝2变成椭圆＋＝1.
12.台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处.求城市B处于危险区内的时间.
解 以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则B(40，0)，以点B为圆心，30为半径的圆的方程为(x－40)2＋y2＝302，台风中心移动到圆B内时，城市B处于危险区.台风中心移动的轨迹为直线y＝x，与圆B相交于点M，N，点B到直线y＝x的距离d＝＝20.求得|MN|＝2＝20(km)，故＝1，所以城市B处于危险区的时间为1 h.
三、探究与创新
13.学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为＋＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y轴为对称轴，M为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8，0)，观测点A(4，0)，B(6，0)同时跟踪航天器.
(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
(2)试问：当航天器在x轴上方时，观测点A，B测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
解 (1)设曲线方程为y＝ax2＋.
因为D(8，0)在抛物线上，∴0＝a·82＋，
解得：a＝－.
∴曲线方程为y＝－x2＋.
(2)设变轨点为C(x，y).
根据题意可知
得4y2－7y－36＝0，
解得y＝4或y＝－(不合题意).
∴y＝4.得x＝6或x＝－6(不合题意，舍去).
∴C点的坐标为(6，4).|AC|＝2，|BC|＝4.
所以当观测点A、B测得离航天器的距离分别为2、4时，应向航天器发出变轨指令.
二 极坐标系
[学习目标]
1.理解极坐标系的概念，理解极坐标的多值性.
2.掌握极坐标与直角坐标的互化.
3.掌握极坐标系的简单应用.
[知识链接]
1.在教材第2页思考中，我们以信息中心为基点，用角和距离刻画点P的位置，这种刻画就是极坐标思想.这种方法与用直角坐标刻画点P的位置有什么区别和联系？你认为哪种方法更方便？
提示 直角坐标系中点的位置用有序数组来刻画.两者的联系是都通过数刻画点，体现了数形结合思想.在这里，应该使用角和距离刻画点P位置更方便.
2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？
提示 平面上点的极坐标不是唯一的.如果限定ρ>0，θ∈[0，2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)可建立一一对应关系.
3.联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带是什么？
提示 任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.
事实上，若ρ>0，则sin θ＝，cos θ＝，
所以x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0).
[预习导引]
1.极坐标系的概念
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点；
自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.
(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ).一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数.
2.点与极坐标的关系
一般地，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，特别地，极点O的坐标为(0，θ)(θ∈R).
如果规定ρ>0，0≤θ<2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(ρ，θ)表示；同时，极坐标(ρ，θ)表示的点也是唯一确定的.
3.极坐标与直角坐标的互化
(1)互化背景：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示.
(2)互化公式：设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：
点M
直角坐标(x，y)
极坐标(ρ，θ)
互化公式
ρ2＝x2＋y2
tan θ＝(x＝0)
要点一 极坐标系的概念
例1 设点A，直线l为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A关于极轴，直线l，极点的对称点的极坐标(限定ρ>0，－π<θ≤π).
解 如图所示，关于极轴的对称点为B.
关于直线l的对称点为C.
关于极点O的对称点为D.
规律方法 1.点的极坐标不是唯一的，但若限制ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，点的极坐标是唯一确定的.
2.写点的极坐标要注意顺序：极径ρ在前，极角θ在后，不能颠倒顺序.
跟踪演练1 在极坐标系中，下列各点中与不表示同一个点的是( )
A. B.
C. D.
解析 与极坐标相同的点可以表示为(k∈Z)，只有不满足.
答案 C
要点二 极坐标化为直角坐标
例2 已知点的极坐标分别为A，B，C，求它们的直角坐标.
解 因为x＝3cos＝3×＝，y＝3sin＝3×＝－，所以A点的直角坐标为.同理，B，C两点的直角坐标分别为(－1，)，.
规律方法 将点的极坐标(ρ，θ)化为点的直角坐标(x，y)时，运用到求角θ的正弦值和余弦值，熟练掌握特殊角的三角函数值，灵活运用三角恒等变换公式是关键.
跟踪演练2 分别把下列点的极坐标化为直角坐标：
(1)；(2)；(3)(π，π).
解 (1)∵x＝ρcos θ＝2cos＝，y＝ρsin θ＝2sin＝1.∴点的极坐标化为直角坐标为(，1).
(2)∵x＝ρcos θ＝3cos＝0，y＝ρsin θ＝3sin＝3.
∴点的极坐标化为直角坐标为(0，3).
(3)∵x＝ρcos θ＝πcos π＝－π，y＝ρsin θ＝πsin π＝0.
∴点的极坐标(π，π)化为直角坐标为(－π，0).
要点三 直角坐标化为极坐标
例3 分别把下列点的直角坐标化为极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π)：
(1)(－2，2)；(2)(，－)；(3).
解 (1)∵ρ＝＝＝4，tan θ＝＝－，θ∈[0，2π)，由于点(－2，2)在第二象限，∴θ＝.∴点的直角坐标(－2，2)化为极坐标为.
(2)∵ρ＝＝＝2，tan θ＝＝－，
θ∈[0，2π)，由于点(，－)在第四象限，
∴θ＝.
∴点的直角坐标(，－)化为极坐标为.
(3)∵ρ＝＝＝，tan θ＝＝1，θ∈[0，2π).由于点在第一象限，∴θ＝.∴点的直角坐标化为极坐标为.
规律方法 1.将直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)，主要利用公式ρ2＝x2＋y2，
tan θ＝(x≠0)进行求解，先求极径，再求极角.2.在[0，2π)范围内，由tan θ＝(x≠0)求θ时，要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2kπ(k∈Z)即可.
跟踪演练3 点P的直角坐标为(，－)，那么它的极坐标可表示为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵ρ＝＝2，tan θ＝＝－1，点P在第四象限，θ＝.∴极坐标为.
答案 D
要点四 极坐标的应用
例4 在极坐标系中，如果A，B为等边三角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π).
解 对于点A有ρ＝2，θ＝，∴x＝2cos＝，y＝2sin＝，
则A(，).对于B有ρ＝2，θ＝π，
∴x＝2cosπ＝－，y＝2sinπ＝－.∴B(－，－).
设C点的坐标为(x，y)，由于△ABC为等边三角形，
故|AB|＝|BC|＝|AC|＝4.
∴有解之得或
∴C点的坐标为(，－)或(－，).
∴ρ＝＝2，tan θ＝＝－1，
∴θ＝π或θ＝π.
故点C的极坐标为或.
规律方法 1.本例综合考查了点的极坐标与直角坐标的互化公式以及等边三角形的意义和性质.结合几何图形可知，点C的坐标有两解，设出点的坐标寻求等量关系建立方程组求解是关键.2.若设出C(ρ，θ)，利用余弦定理亦可求解
跟踪演练4 已知A、B两点的极坐标分别是，，求A、B两点间的距离和△AOB的面积.
解 求两点间的距离可用如下公式：
|AB|＝＝＝2.
S△AOB＝|ρ1ρ2sin(θ1－θ2)|＝＝×2×4＝4.
1.极坐标系的概念
极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向.四者缺一不可.
2.点的极坐标
每一个有序实数对(ρ，θ)确定一个点的位置.其中，ρ是点M的极径，θ是点M的极角.平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.如果限定ρ>0，0≤θ<2π，则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系.
3.极坐标与直角坐标的互化
任意角的三角函数的定义及其基本关系式是联系点的极坐标与直角坐标的互化公式的纽带.事实上，若ρ>0，sin θ＝，cos θ＝，所以x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0).
1.极坐标对应的点在以极点为坐标原点，极轴为横轴的直角坐标系的( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 由题意可得ρ＝1，θ＝，∴x＝ρcos θ＝－，y＝ρsin θ＝，故它的直角坐标为在第二象限.
答案 B
2.点A的极坐标是，则点A的直角坐标为( )
A.(－1，－) B.(－，1)
C.(－，－1) D.(，－1)
解析 x＝ρcos θ＝2cosπ＝－，y＝ρsin θ＝2sinπ＝－1.
答案 C
3.把点P的直角坐标(－，1)化成极坐标为________(ρ>0，0≤θ<2π).
解析 ρ＝＝2，tan θ＝＝－，又点P在第二象限，故θ＝，因此，点P的极坐标为.
答案
4.将极轴Ox绕极点顺时针方向旋转得到射线OP，在OP上取点M，使|OM|＝2，则ρ>0，θ∈[0，2π)时点M的极坐标为________，它关于极轴对称点的极坐标为________(ρ>0，θ∈[0，2π)).
解析 ρ＝|OM|＝2，与OP终边相同的角为－＋2kπ(k∈Z).
∵θ∈[0，2π)，∴k＝1，θ＝，∴M，∴M关于极轴的对称点为.
答案
一、基础达标
1.点P的极坐标为，则点P的直角坐标为( )
A.(，) B.(，－)
C.(2，2) D.(－，)
解析 x＝ρcos θ＝，y＝ρsin θ＝－.
答案 B
2.点M的直角坐标为，则点M的极坐标可以为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵ρ＝＝，且θ＝，∴M的极坐标为.
答案 C
3.下列各点与表示极坐标系中同一点的是( )
A. B.(2，π)
C. D.(2，2π)
解析 与极坐标相同的点可以表示为
(k∈Z)，只有适合.
答案 C
4.在极坐标系中，已知点P1、P2，则|P1P2|等于( )
A.9 B.10
C.14 D.2
解析 ∠P1OP2＝－＝，∴△P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10.
答案 B
5.在极坐标系中，已知点A，B，则A、B两点间的距离为________.
解析 由公式|AB|＝，
得|AB|＝＝＝.
答案
6.平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于________.
解析 ∵点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.
答案 3
7.在极轴上求与点A距离为5的点M的坐标.
解 设M(r，0)，∵A，∴＝5，
即r2－8r＋7＝0，解得r＝1或r＝7.
∴点M的坐标为(1，0)或(7，0).
二、能力提升
8.下列的点在极轴上方的是( )
A.(3，0) B.
C. D.
解析 建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点，在极轴下方，点在极轴上方，故选D.
答案 D
9.点M到极轴所在直线的距离为________.
解析 依题意，点M到极轴所在的直线的距离为d＝6×sin＝3.
答案 3
10.已知极坐标系中，极点为O，0≤θ<2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________.
解析 如图，|OM|＝3，∠xOM＝，在直线OM上取点P，Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.
点P，Q都满足条件，且∠xOP＝，∠xOQ＝.
答案 或
11.(1)已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标.
(2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B，C(－1，－)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).
解 (1)根据x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得A，B，C(－，－)，D(2，－2).
(2)根据ρ2＝x2＋y2，tan θ＝得A，B，C.
12.在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B(2，π)，C.
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的面积.
解 (1)如图所示，由A，B(2，π)，C得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝.
∴△AOB≌△BOC≌△AOC，∴AB＝BC＝CA，
故△ABC为等边三角形.
(2)由上述可知，
AC＝2OAsin＝2×2×＝2.
∴S△ABC＝×(2)2＝3(面积单位).
三、探究与创新
13.某大学校园的部分平面示意图如图：
用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝
|BC|，|OC|＝600 m.建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)).
解 以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1 m)，建立极坐标系.
由|OC|＝600 m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300 m，|OA|＝300 m，又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150 m.
同理，得|OE|＝2|OG|＝300m，所以各点的极坐标分别为O(0，0)，A(300，0)，C，D，E，F(300，π)，G.
三 简单曲线的极坐标方程
[学习目标]
1.了解极坐标方程的意义.
2.掌握直线和圆的极坐标方程.
3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题.
[知识链接]
1.曲线的极坐标方程是否唯一？
提示 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一.
2.上节课我们学了点的直角坐标与极坐标的互化，若已知一曲线的极坐标方程是ρ＝2cos θ，那么该曲线对应怎样的几何图形？
提示 由ρ＝2cos θ得ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，即标准方程为(x－1)2＋y2＝1，曲线为以(1，0)为圆心，半径为1的圆.
[预习导引]
1.曲线与方程的关系
在平面直角坐标系中，平面曲线C可以用方程f(x，y)＝0表示，曲线与方程满足如下关系：
(1)曲线C上点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；
(2)以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上.
2.曲线的极坐标方程
一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程f(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程f(ρ，θ)＝0的点都在曲线C上，那么方程f(ρ，θ)＝0叫做曲线C的极坐标方程.
3.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点，半径为r的圆
ρ＝r(0≤θ<2π)
圆心为(r，0)，半径为r的圆
ρ＝2rcos__θ
圆心为，半径为r的圆
ρ＝2rsin__θ
(0≤θ<π)
过极点，倾斜角为α的直线
θ＝α或θ＝α＋π
过点(a，0)，与极轴垂直的直线
ρcos__θ＝a
过点，与极轴平行的直线
ρsin__θ＝a
(0<θ<π)
要点一 圆的极坐标方程
例1 求圆心在C处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点是否在这个圆上.
解 如图，由题意知，圆经过极点O，OA为其一条直径，设
M(ρ，θ)为圆上除点O，A以外的任意一点，则|OA|＝2r，连接AM，则OM⊥MA.在Rt△OAM中，|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2rcos，∴ρ＝－4sin θ，经验证，点O(0，0)，A的坐标满足上式.∴满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.
∵sin＝，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin＝－2，
∴点在此圆上.
规律方法 1.求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤：(1)建立适当的极坐标系(本题无需建)；(2)在曲线上任取一点M(ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式；(4)用极坐标(ρ，θ)表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程；
(5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程.(一般只要对特殊点加以检验即可).
2.求曲线的极坐标方程，关键是找出曲线上的点满足的几何条件，并进行坐标表示.
跟踪演练1 曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________.
解析 直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.
答案 ρ＝2cos θ
要点二 射线或直线的极坐标方程
例2 如图，在极坐标系中，直线l过M且该直线与极轴的正方向成，求此直线l的极坐标方程.
解 法一 设直线上任意一点为P(ρ，θ)，在△OMP中∠OMP＝＋＝π，∠MPO＝θ－.根据正弦定理得＝，
即ρsin＝.
法二 设直线上任意一点为P(ρ，θ)，点M的直角坐标为(0，3)，直线MP的倾斜角为，∴直线l为y＝x＋3，化直角坐标方程为极坐标方程为ρsin θ＝ρcos θ＋3，∴ρsin＝.
规律方法 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动点M所满足的等式，从而集中条件建立了以ρ，θ为未知数的方程；法二先求出直线的直角坐标方程，然后通过直角坐标向极坐标的转化公式间接得解，过渡自然，视角新颖，不仅优化了思维方式，而且简化了解题过程.
跟踪演练2 求以A(1，0)为端点，倾斜角为且在极轴上方的射线的极坐标方程.
解 由题意，设M(ρ，θ)为射线上任意一点，根据例题可知，ρsin＝，化简得ρ(cos θ－sin θ)＝1.
经检验点A(1，0)的坐标适合上述方程.
因此，以A为端点且在极轴上方的射线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.
要点三 极坐标方程与直角坐标方程的互化
例3 若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)若直线ρsin＝0与曲线C相交于A、B，求|AB|.
解 (1)因为所以ρ2＝x2＋y2，由ρ＝2sin θ＋4cos θ，得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，
∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5.
(2)由ρsin＝0，得ρ＝0，
即ρsin θ－ρcos θ＝0，∴x－y＝0.
由于圆(x－2)2＋(y－1)2＝5的半径为r＝，圆心(2，1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝，∴|AB|＝2＝3.
规律方法 1.直角坐标方程化为极坐标方程，只需把公式x＝ρcos θ及y＝
ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程要通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须保持同解，因此应注意对变形过程的检验.2.对方程进行合理变形，并注重公式的正向、逆向与变形使用.
跟踪演练3 (1)将x2－y2＝a2化为极坐标方程；
(2)将ρ＝2asin θ化为直角坐标方程.
(3)将θ＝化为直角坐标方程.
解 (1)直接代入互化公式，ρ2cos2 θ－ρ2sin2 θ＝a2，∴ρ2cos 2θ＝a2，这就是所求的极坐标方程.
(2)两边同乘以ρ得ρ2＝2a·ρsin θ.∴x2＋y2＝2ay，这就是要求的直角坐标方程.
(3)tan θ＝，∴tan＝＝，化简得y＝x(x≥0).
要点四 极坐标方程的应用
例4 从极点O作直线与另一直线l：ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设R为l上的任意一点，试求|RP|的最小值.
解 (1)设动点P的极坐标为(ρ，θ)，M的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12.
∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程.
(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程，得x2＋y2＝3x，即＋y2＝，
知P的轨迹是以为圆心，半径为的圆.直经l的直角坐标方程是x＝4.
结合图形易得|RP|的最小值为1.
规律方法 1.用极坐标法可使几何中的一些问题得出很直接、简单的解法.当然，因为建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同.2.解题时关键是极坐标要选取适当，这样可以简化运算过程，转化为直角坐标时也容易一些.
跟踪演练4 在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求C1，C2的极坐标方程；
(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积.
解 (1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为：
ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.
(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，
得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.因为C2的半径为1，所以△C2MN的面积为.
1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即(ρ，θ)，(ρ，2π＋θ)，(－ρ，π＋θ)，(－ρ，－π＋θ)都表示同一点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同，所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程ρ＝θ，点M可以表示为或或等多种形式，其中，只有的极坐标满足方程ρ＝θ.
2.求曲线的极坐标方程，就是在曲线上任找一点M(ρ，θ)，探求ρ，θ的关系，经常需利用三角形知识和正弦、余弦定理来求解.
1.极坐标方程分别为ρ＝cos θ和ρ＝sin θ的两个圆的圆心距是( )
A.3 B.
C.1 D.
解析 极坐标方程化直角坐标方程为x2＋y2＝x和x2＋y2＝y，它们的圆心分别是，，圆心距是.
答案 D
2.4ρsin2＝5表示的曲线是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线
解析 4ρsin2＝5?4ρ＝5?2ρ＝2ρcos θ＋5.
∵ρ＝，ρcos θ＝x，代入上式得2＝2x＋5，两边平方整理得y2＝5x＋，∴它表示的曲线为抛物线.
答案 D
3.已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为A，则点A到直线l的距离为________.
解析 由2ρsin＝得y－x＝1.∴x－y＋1＝0.
而点A对应直角坐标为A(2，－2)，则点A(2，－2)到直线x－y＋1＝0的距离为＝.
答案
4.设P，直线l经过P点且与极轴所成的角为，求直线l的极坐标方程.
解 如图，设M(ρ，θ)为直线l上除P点外的任意一点，连接OM、OP，直线l交Ox于点A，则有|OM|＝ρ，|OP|＝2，∠xAM＝，∠AOP＝，故∠OPM＝，∠MOP＝θ－，所以有|OM|cos∠MOP＝|OP|，即ρcos＝2，显然P点也在这条直线上.∴直线l的极坐标方程为ρcos＝2.
一、基础达标
1.圆心在(1，0)且过极点的圆的极坐标方程为( )
A. ρ＝1 B.ρ＝cos θ
C.ρ＝2cos θ D.ρ＝2sin θ
解析 圆的直角坐标方程是(x－1)2＋y2＝1，将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入上式，整理得，ρ＝2cos θ，即为此圆的极坐标方程.
答案 C
2.在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为( )
A.θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2 B.θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2
C.θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1 D.θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝1
解析 由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于极轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.
答案 B
3.极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为( )
A.两条直线 B.一条射线和一个圆
C.一条直线和一个圆 D.圆
解析 由ρ·sin θ＝2sin 2θ，得ρsin θ＝4sin θcos θ，即sin θ(ρ－4cos θ)＝0，∴sin θ＝0或ρ－4cos θ＝0.∴极坐标方程ρ·sin θ＝2sin 2θ表示的曲线为直线sin θ＝0和圆ρ＝4cos θ.
答案 C
4.在极坐标系中，设圆C：ρ＝4cos θ与直线l：θ＝(ρ∈R)交于A，B两点，则以AB为直径的圆的极坐标方程为( )
A.ρ＝2sin B.ρ＝sin
C.ρ＝2cos D.ρ＝cos
解析 根据题意可得圆C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，直线l的直角坐标方程为y＝x，联立两方程，解方程组可得交点的直角坐标为(0，0)，(2，2)，所以在直角坐标系中，以AB为直径的圆的圆心为(1，1)、半径为，则方程为x2＋y2＝2x＋2y，所以所求极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)＝2sin.
答案 A
5.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，直线θ＝被圆ρ＝2sin θ截得的弦长是________.
解析 直线为y＝x(x≥0)，圆的方程为x2＋(y－1)2＝1，交于原点和点A(1，1)，弦长为.
答案
6.在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________.
解析 由2ρcos2θ＝sin θ?2ρ2cos2θ＝ρsin θ?2x2＝y.又由ρcos θ＝1?x＝1，由?故曲线C1与C2交点的直角坐标为(1，2).
答案 (1，2)
7.已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径.
解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.
二、能力提升
8.下列点不在曲线ρ＝cos θ上的是( )
A. B.
C. D.
解析 点的极坐标满足ρ＝，θ＝－π，且ρ≠cos θ＝cos＝－.
答案 D
9.在极坐标系中与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程为( )
A.ρcos θ＝ B.ρcos θ＝2
C.ρ＝4sin D.ρ＝4sin
解析 极坐标方程ρ＝4sin θ化为ρ2＝4ρsin θ，即x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.由所给的选项中ρcos θ＝2知，x＝2为其对应的直角坐标方程，该直线与圆相切.
答案 B
10.在极坐标系中，曲线ρcos2θ＝4sin θ的焦点的坐标为________.(规定：ρ≥0，0≤θ<2π)
解析 易知曲线ρcos2θ＝4sin θ的直角坐标方程为x2＝4y，故该曲线焦点的直角坐标为(0，1)，极坐标为.
答案
11.在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程.
解 在ρsin＝－中，令θ＝0，得ρ＝1，所以圆C的圆心坐标为(1，0)，因为圆C的经过点P，
所以圆C的半径PC＝＝1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
12.在直角坐标系xOy中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴，y轴的交点.
(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.
解 (1)由ρcos＝1，
得ρ＝1.又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ.
∴曲线C的直角坐标方程为＋y＝1，即x＋y－2＝0.
当θ＝0时，ρ＝2，∴点M(2，0).
当θ＝时，ρ＝，∴点N.
(2)由(1)知，M点的坐标(2，0)，点N的坐标.又P为MN的中点，
∴点P，则点P的极坐标为.
所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R).
三、探究与创新
13.在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为，半径r＝1，P在圆C上运动.
(1)求圆C的极坐标方程；
(2)在直角坐标系(与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴)中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程.
解 (1)设圆C上任一点坐标为(ρ，θ)，由余弦定理得12＝ρ2＋22－2·2ρcos，所以圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋3＝0.
(2)设Q(x，y)，则P(2x，2y)，由于圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－)2＝1，P在圆C上，所以(2x－1)2＋(2y－)2＝1，则Q的直角坐标方程为＋＝.
四 柱坐标系与球坐标系简介
[学习目标]
1.了解柱坐标系、球坐标系的意义.
2.掌握柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式.
3.能够根据空间坐标的转化解决某些问题.
[知识链接]
1.要刻画空间一点的位置，就距离和角的个数来说有什么限制？
提示 空间点的坐标都是三个数值，其中至少有一个是距离.
2.在柱坐标系中，方程ρ＝1表示空间中的什么曲面？在球坐标系中，方程r＝1分别表示空间中的什么曲面？
提示 ρ＝1表示以z轴为中心，以1为半径的圆柱面；球坐标系中，方程r＝1表示球心在原点的单位球面.
3.空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系的联系和区别有哪些？
提示 (1)柱坐标系和球坐标系都是以空间直角坐标系为背景，柱坐标系中一点在平面xOy内的坐标是极坐标，竖坐标和空间直角坐标系的竖坐标相同；球坐标系中，则以一点到原点的距离和两个角刻画点的位置.
(2)空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都是空间坐标系，空间点的坐标都是三个数值的有序数组.
[预习导引]
1.柱坐标系
如图所示，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示.建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0，0≤θ<2π，z∈R.
2.球坐标系
建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋
转到OQ时所转过的最小正角为θ，这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示.这样，空间的点与(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系).
有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤φ<2π.
要点一 将点的柱坐标化为直角坐标
例1 将下列各点的柱坐标分别化为直角坐标：
(1)；(2)(1，π，0).
解 (1)∵(ρ，θ，z)＝，
∴∴(3，－3，－2)为所求.
(2)∵(ρ，θ，z)＝(1，π，0)，∴
∴(－1，0，0)为所求.
规律方法 1.由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，代入变换公式求ρ；也可以利用ρ2＝x2＋y2，求ρ.利用tan θ＝，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值.2.点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同.
跟踪演练1 根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标：
(1)；(2).
解 设点的直角坐标为(x，y，z).
(1)
因此所求点的直角坐标为(－，1，3).
(2)
故所求点的直角坐标为(1，1，5).
要点二 将点的球坐标化为直角坐标
例2 已知点M的球坐标为，求它的直角坐标.
解 设点的直角坐标为(x，y，z).
则
因此点M的直角坐标为(－1，1，－).
规律方法 根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz，Ox的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π，化点的球坐标(r，φ，θ)为直角坐标(x，y，z)，需要运用公式：
转化为三角函数的求值与运算.
跟踪演练2 根据下列点的球坐标，分别求其直角坐标：
(1)；(2).
解 设点的直角坐标为(x，y，z)，
(1)∵(r，φ，θ)＝，
∴∴(1，－1，)为所求.
(2)∵(r，φ，θ)＝，
∴
∴为所求.
要点三 将点的直角坐标化为柱坐标或球坐标
例3 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，如图建立空间直角坐标系Axyz，Ax为极轴，求点C1的直角坐标、柱坐标以及球坐标.
解 点C1的直角坐标为(1，1，1).设C1的柱坐标为(ρ，θ，1)，ρ＝＝，tan θ＝＝1，θ＝，所以C1的柱坐标为，
设C1的球坐标为(r，φ，θ)，其中r≥0，0≤φ≤π，0≤θ<2π，由x＝rsin φcos θ，y＝rsin φsin θ，z＝rcos φ，
得r＝＝＝.
由z＝rcos φ，∴cos φ＝，φ＝arccos，又tan θ＝＝1，
∴θ＝，又ρ＝＝，
从而点C1的球坐标为，柱坐标为 .
规律方法 1.由直角坐标化为球坐标时，我们可以选设点M的球坐标为(r，φ，θ)，再利用变换公式求出r，θ，φ.2.利用r2＝x2＋y2＋z2，tan θ＝，cos φ＝，特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误.
跟踪演练3 若本例中条件不变，求点C的柱坐标和球坐标.
解 易知C的直角坐标为(1，1，0).设点C的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为
(r，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π.
由于ρ＝＝＝.又tan θ＝＝1，
∴θ＝.因此点C的柱坐标为.
由r＝＝＝.
∴cos φ＝＝0，∴φ＝.
故点C的球坐标为.
1.空间点的坐标的确定
(1)空间直角坐标系中点的坐标是由横坐标、纵坐标和竖坐标三度来确定的，即(x，y，z).
(2)空间点的柱坐标是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的竖坐标组成的，即(ρ，θ，z).
(3)空间点的球坐标是点在Oxy平面上的射影和原点连线与x轴正方向所成的角θ，点和原点的连线与z轴的正方向所成的角φ，以及点到原点的距离组成的即(r，φ，θ).注意求坐标的顺序为：①到原点的距离r；②与z轴正方向所成的角φ；③与x轴正方向所成的角θ.
2.柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系及空间直角坐标系中的一部分建立起来的，空间任一点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)表示，(ρ，θ)是点P在Oxy平面上的射影Q的极坐标，z是P在空间直角坐标系中的竖坐标.
1.在空间直角坐标系Oxyz中，方程x＝1表示( )
A.点 B.直线
C.平面 D.以上都不对
解析 由空间点的直角坐标的定义知，方程x＝1表示与x轴垂直且到原点的距离为1的平面.
答案 C
2.在球坐标系中，方程r＝2表示( )
A.圆 B.半圆
C.球面 D.半球面
解析 由空间点的球坐标的定义可知，方程r＝2表示半球面.
答案 D
3.若点M的柱坐标为，则它的直角坐标为______.
解析 ∵M点的柱面坐标为M，设点M的直角坐标为(x，y，z)，∴即
∴点M的直角坐标为(－，1，－1).
答案 (－，1，－1)
4.设点M的直角坐标为(1，1，)，求点M的柱坐标和球坐标.
解 由坐标变换公式，可得ρ＝＝，tan θ＝＝1，θ＝(点(1，1)在平面xOy的第一象限)，r＝＝＝2.
由rcos φ＝z＝，得cos φ＝＝，φ＝.
∴点M的柱坐标为，球坐标为.
一、基础达标
1.在空间直角坐标系中，点P的柱坐标为，P在xOy平面上的射影为Q，则Q点的坐标为( )
A.(2，0，3) B.
C. D.
解析 由点的空间柱坐标的意义可知，选B.
答案 B
2.空间直角坐标系Oxyz中，下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是( )
A. B.
C. D.
解析 由P(ρ，θ，z)，当θ＝时，点P在平面yOz内.
答案 A
3.设点M的直角坐标为(2，0，2)，则点M的柱坐标为( )
A.(2，0，2) B.(2，π，2)
C.(，0，2) D.(，π，2)
解析 设点M的柱坐标为(ρ，θ，z)，∴ρ＝＝2，tan θ＝＝0，
∴θ＝0，z＝2.∴点M的柱坐标为(2，0，2).
答案 A
4.若点M的球坐标为，则它的直角坐标为( )
A.(－6，2，4) B.(6，2，4)
C.(－6，－2，4) D.(－6，2，－4)
解析 由x＝8sincos＝－6，y＝8sinsin＝2，z＝8cos＝4，得点M的直角坐标为(－6，2，4).
答案 A
5.已知点M的球坐标为，则点M到Oz轴的距离为________.
解析 设M的直角坐标为(x，y，z)，则由(r，φ，θ)＝，知x＝4sincosπ＝－2，y＝4sinsinπ＝2，z＝rcos φ＝4cos＝2.
∴点M的直角坐标为(－2，2，2).
故点M到Oz轴的距离＝2.
答案 2
6.已知点P1的球坐标是P1，P2的柱坐标是P2，则|P1P2|＝________.
解析 点P1的直角坐标为(2，－2，0)点P2的直角坐标为(，1，1)，由两点距离公式得|P1P2|＝.
答案
7.已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，求这两个点的直角坐标.
解 设点P的直角坐标为(x，y，z)，则x＝4cos＝4×＝－2，y＝4sin＝4×＝2，z＝－.
设点B的直角坐标为(x，y，z)，则x＝8sincos＝8××＝2，y＝8sinsin＝8××＝2，z＝8cos＝8×＝4.
所以点P的直角坐标为(－2，2，－)，点B的直角坐标为(2，2，4).
二、能力提升
8.已知点P的柱坐标为，点B的球坐标为，则这两个点在空间直角坐标系中的点的坐标为( )
A.P点(5，1，1)，B点
B.P点(1，1，5)，B点
C.P点，B点(1，1，5)
D.P点(1，1，5)，B点
解析 设P点的直角坐标为(x，y，z)，x＝·cos＝·＝1，y＝·sin＝1，z＝5.
设B点的直角坐标为(x，y，z)，
x＝·sin·cos＝··＝，
y＝·sin·sin＝··＝，
z＝·cos＝·＝.
所以，点P的直角坐标为(1，1，5)，点B的直角坐标为.
答案 B
9.在球坐标系中，方程r＝1表示____________，方程φ＝表示空间的____________.
答案 球心在原点，半径为1的球面 顶点在原点，中心轴为z轴，轴截面顶角为的上半个圆锥面
10.已知柱坐标系Oxyz中，若点M的柱坐标为，则|OM|＝________.
解析 ∵(ρ，θ，z)＝，设M的直角坐标为(x，y，z)，则x2＋y2＝ρ2＝4，∴|OM|＝＝＝3.
答案 3
11.在球坐标系中，求两点P，Q的距离.
解 设P，Q两点球坐标转化为直角坐标.设点P的直角坐标为(x，y，z)，
x＝3sincos＝，x＝3sinsin＝，z＝3cos＝3×＝.
∴P.设点Q的直角坐标为(x1，y1，z1)，x1＝3sincos＝－，y1＝3sinsin＝，z1＝3cos＝.
∴点Q.
∴|PQ|＝
＝.即P，Q两点间的距离为.
12.在柱坐标系中，求满足的动点M(ρ，θ，z)的围成的几何体的体积.
解 根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知，满足ρ＝1，0≤θ<2π，0≤z≤2的动点M(ρ，θ，z)的轨迹如图所示，是以直线Oz为轴，轴截面为正方形的圆柱，圆柱的底面半径r＝1，h＝2，∴V＝Sh＝πr2h＝2π.
三、探究与创新
13.在赤道平面上，我们选取地球球心O为极点，以O为端点且与零子午线相交的射线Ox为极轴，建立坐标系.有A、B两个城市，它们的球坐标分别为A、B，飞机从A到B应该走怎样的航线最快？所走的路程有多远？
解 如图所示，∵A、B，
∴∠AOO1＝∠BOO1＝.
设赤道面上与A、B经度相同的点分别为C、D，x轴与赤道大圆的交点为E，则∠EOC＝，∠EOD＝，∴∠COD＝－＝.∴∠AO1B＝∠COD＝.
在Rt△OO1B中，∠O1BO＝，OB＝R，∴O1B＝R，同理O1A＝R.∵∠AO1B＝，∴AB＝R.
在△AOB中，AB＝OB＝OA＝R，∴∠AOB＝.
则经过A、B两地的球面距离为R.
答：走经过A、B两地的大圆，飞机航线最短，其距离为R.
讲末复习
1.平面直角坐标系中的伸缩变换
设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
2.极坐标系
(1)在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.O点称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为极径，θ称为极角.
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M为平面上的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面的关系式成立：
或
顺便指出，上式对ρ<0也成立.
这就是极坐标与直角坐标的互化公式.
(3)圆的极坐标方程
①圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ＝r.
②圆心在极轴上的点(a，0)处，且圆过极点O的圆的极坐标方程为ρ＝2acos θ，
③圆心在点处且过极点的圆的极坐标方程为ρ＝2asin θ，0≤θ<π.
题型一 伸缩变换
平面图形的伸缩变换可由坐标伸缩变换来实现，在使用坐标变换公式时，一定要分清变换前后的新旧坐标.
例1 在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：求直线l：y＝－3x经过φ变换后所得直线l′的方程.
解 设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点.
由伸缩变换φ：得
代入y＝－3x，得3y′＝－3×2x′，
∴y′＝－2x′为所求直线l′的方程.
因此变换后直线l′的方程为2x＋y＝0.
跟踪演练1 在同一平面直角坐标系中，使曲线y＝2sin 3x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是________.
解析 将曲线y＝2sin 3x变为曲线y′＝sin x′，横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的.因此伸缩变换为
答案
题型二 极坐标与直角坐标的互化
互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位，互化公式为：
x＝ρcos θ，y＝ρsin θ
ρ2＝x2＋y2，tan θ＝(x≠0)
直角坐标方程化为极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可.而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式.然后用x，y代表较为方便，常常两边同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性.
例2 已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝1，ρ＝4cos θ，则曲线C1与C2交点的极坐标为________.
解析 由曲线C1的极坐标方程ρcos θ＝1，可得x＝1.曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≥0，0≤θ<)可得ρ2＝4ρcos θ，即可得到x2＋y2＝4x.
联立解得即交点(1，).
∴ρ＝＝2，tan θ＝，0≤θ<，取θ＝，故答案为.
答案
跟踪演练2 设⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.
(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程.
解 以极点为原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位.
(1)x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ得ρ2＝4ρcos θ，所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程.
同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程.
(2)法一 由解得或，即⊙O1，⊙O2交于点(0，0)和(2，－2).
过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.
法二 由两式相减得－4x－4y＝0.
即过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.
题型三 求曲线的极坐标方程
求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程.
例3 求圆心为C，半径为3的圆的极坐标方程.
解 如图，设圆上任一点为P(ρ，θ)，则|OP|＝ρ，∠POA＝
θ－，|OA|＝2×3＝6.
在Rt△POA中，|OP|＝|OA|cos∠POA，则ρ＝6cos，
即圆的极坐标方程为ρ＝6cos，可验证，
点O，A满足上式.
跟踪演练3 已知定点A(a，0)，动点P对极点O和点A的张角∠OPA＝.在OP的延长线上取点Q，使|PQ|＝|PA|.当P在极轴上方运动时，求点Q的轨迹的极坐标方程.
解 设Q，P的坐标分别是(ρ，θ)，(ρ1，θ1)，则θ＝θ1.
在△POA中，ρ1＝·sin，|PA|＝，
又|OQ|＝|OP|＋|PA|，
∴ρ＝2acos.
题型四 曲线的极坐标方程的求解与应用
应用曲线的极坐标方程处理相关问题要注意以下几点：
(1)极坐标的基本概念.
(2)常见曲线的极坐标方程形式.
(3)有必要时把极坐标方程化为直角坐标方程，体现了转化与化归思想.
(4)注意变量的范围.
例4 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
(1)写出C的方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
解 (1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得
由x＋y＝1得x2＋＝1，
即曲线C的方程为x2＋＝1.
(2)由解得或不妨设P1(1，0)，P2(0，2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，于是所求直线方程为y－1＝，化为极坐标方程，并整理得
2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，即ρ＝.
跟踪演练4 已知极坐标方程C1：ρ＝10，C2：ρsin＝6，
(1)化C1、C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；
(2)求C1、C2交点间的距离.
解 (1)由C1：ρ＝10，得ρ2＝100，
∴x2＋y2＝100，
所以C1为圆心在(0，0)，半径等于10的圆.
由C2：ρsin＝6，得ρ＝6.
∴y－x＝12，
即x－y＋12＝0.所以C2表示直线.
(2)由于圆心(0，0)到直线x－y＋12＝0的距离为d＝＝6故直线与圆相交.所以直线l被圆截得的弦长为2＝2＝16.
本讲重点考查极坐标与直角坐标的互化以及圆的极坐标问题.复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主.
讲末检测
一、选择题
1.将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为( )
A.y＝3sin x B.y＝3sin 2x
C.y＝3sinx D.y＝sin 2x
解析 由伸缩变换，得x＝，y＝.代入y＝sin 2x，有＝sin x′，即y′＝3sin x′.∴变换后的曲线方程为y＝3sin x.
答案 A
2.在极坐标系中有如下三个结论：
①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；
②tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线；
③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线.
在这三个结论中正确的是( )
A.①③ B.①
C.②③ D.③
解析 点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程；
tan θ＝1能表示θ＝和θ＝π两条射线；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，以3为半径的圆，∴只有③成立.
答案 D
3.在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为，，则△AOB(其中O为极点)的面积为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 如右图所示，OA＝3，OB＝4，∠AOB＝，
所以S△AOB＝×3×4×＝3.
答案 C
4.在极坐标系中，点A与B之间的距离为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 由A与B，知∠AOB＝，∴△AOB为等边三角形，因此|AB|＝2.
答案 B
5.极坐标方程ρ2－ρ(2＋sin θ)＋2sin θ＝0表示的图形为( )
A.一个圆与一条直线 B.一个圆
C.两个圆 D.两条直线
解析 将所给方程进行分解，可得(ρ－2)·(ρ－sin θ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sin θ，化成直角坐标方程分别是x2＋y2＝4和x2＋y2－y＝0，可知分别表示圆.
答案 C
6.直线ρcos θ＋2ρsin θ＝1不经过( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 由ρcos θ＋2ρsin θ＝1，得x＋2y＝1，∴直线x＋2y＝1，不过第三象限.
答案 C
7.点M的直角坐标为(，1，－2)，则它的球坐标为( )
A. B.
C. D.
解析 设M的球坐标为(r，φ，θ)，则解得
答案 A
8.若点P的柱坐标为，则P到直线Oy的距离为( )
A.1 B.2
C. D.
解析 由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝，故点P在平面xOy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos＝，可得P到直线Oy的距离为.
答案 D
9.已知点A是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A到直线ρsin＝4的距离的最小值是( )
A.1 B.
C. D.
解析 曲线ρ＝2cos θ，即(x－1)2＋y2＝1，表示圆心在(1，0)，半径等于1的圆，直线ρsin＝4，即x＋y－8＝0，圆心(1，0)到直线的距离等于＝，所以点A到直线ρsin＝4的距离的最小值是－1＝.
答案 C
10.在极坐标系中，直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 化圆的极坐标方程ρ＝2cos为直角坐标方程得＋＝1，圆心坐标为，半径长为1，化直线θ＝(ρ∈R)的直角坐标方程为x－y＝0，由于－×＝0，即直线x－y＝0，过圆＋＝1的圆心，故直线θ＝(ρ∈R)截圆ρ＝2cos所得弦长为2.
答案 B
二、填空题
11.在极坐标系中，直线ρcos θ－ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 直线的直角坐标方程为x－y－1＝0，圆的直角坐标方程为x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.
圆心坐标为(1，0)，半径r＝1.
点(1，0)在直线x－y－1＝0上，所以|AB|＝2r＝2.
答案 2
12.曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________.
解析 设曲线C的极坐标方程为代入直角坐标方程可得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ－2ρcos θ＝0，化简整理得ρ＝2cos θ.
答案 ρ＝2cos θ
13.直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________.
解析 直线2ρcos θ＝1可化为2x＝1，即x＝，圆ρ＝2cos θ两边同乘ρ得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程是x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，其圆心为(1，0)，半径为1，∴弦长为2×＝.
答案
14.在极坐标系中，P是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q是曲线ρ＝12cos上的动点，则PQ的最大值为______.
解析 ∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x2＋y2－12y＝0，即x2＋(y－6)2＝36.又∵ρ＝12cos，∴ρ2＝12ρ，∴x2＋y2－6x－6y＝0，∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.
答案 18
三、解答题
15.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状.
解 将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，得(2x＋5)2＋(2y＋6)2＝1，即＋(y＋3)2＝，故曲线C是以为圆心，半径为的圆.
16.已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系.
解 将曲线C1，C2化为直角坐标方程得：C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2，圆心到直线的距离d＝＝>，∴曲线C1与C2相离.
17.(1)在极坐标系中，求以点(1，1)为圆心，半径为1的圆C的方程；
(2)将上述圆C绕极点逆时针旋转得到圆D，求圆D的方程.
解 (1)设M(ρ，θ)为圆上任意一点，如图，圆C过极点O，∠COM＝θ－1，作CK⊥OM于K，则ρ＝|OM|＝2|OK|＝2cos(θ－1)，
∴圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ－1).
(2)将圆C：ρ＝2cos(θ－1)按逆时针方向旋转得到圆D：ρ＝2cos，即ρ＝2sin(θ－1).
18.在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ＝2与曲线C2：ρsin＝交于不同的两点A，B.
(1)求|AB|的值；
(2)求过点C(1，0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程.
解 (1)法一∵ρ＝2，∴x2＋y2＝4.又∵ρsin＝，∴y＝x＋2.∴|AB|＝2＝2＝2.
法二 设A(ρ，θ1)，B(ρ，θ2)，θ1，θ2∈[0，2π)，则sin＝，sin＝，
∵θ1，θ2∈[0，2π)，∴|θ1－θ2|＝，即∠AOB＝，
又|OA|＝|OB|＝2，∴|AB|＝2.
(2)法一 ∵曲线C2的斜率为1，∴过点(1，0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y＝x－1，∴直线l的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，即ρcos＝.
法二 设点P(ρ，θ)为直线l上任一点，因为直线AB与极轴成的角，则∠PCO＝或∠PCO＝，当∠PCO＝时，在△POC中，|OP|＝ρ，|OC|＝1，∠POC＝θ，∠PCO＝，∠OPC＝－θ，由正弦定理可知：＝，即ρsin＝，
即直线l的极坐标方程为：ρsin＝.
同理，当∠PCO＝极坐标方程也为ρsin＝.
当P为点C时显然满足ρsin＝.
综上，所求直线l的极坐标方程为ρsin＝.
课件21张PPT。讲末复习1.平面直角坐标系中的伸缩变换2.极坐标系(1)在平面上取一个定点O，由O点出发的一条射线Ox，一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.O点称为极点，Ox称为极轴.平面上任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从Ox到OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为极径，θ称为极角.(2)极坐标与直角坐标的互化题型一 伸缩变换跟踪演练1 在同一平面直角坐标系中，使曲线y＝2sin 3x变为曲线y′＝sin x′的伸缩变换是________.题型二 极坐标与直角坐标的互化互化的前提是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位，互化公式为：跟踪演练2 设⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ.(1)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程.题型三 求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标的方法和步骤，和求直角坐标方程类似，就是把曲线看作适合某种条件的点的集合或轨迹，将已知条件用曲线上的极坐标(ρ，θ)的关系式f(ρ，θ)＝0表示出来，就得到曲线的极坐标方程.题型四 曲线的极坐标方程的求解与应用应用曲线的极坐标方程处理相关问题要注意以下几点：
(1)极坐标的基本概念.
(2)常见曲线的极坐标方程形式.
(3)有必要时把极坐标方程化为直角坐标方程，体现了转化与化归思想.
(4)注意变量的范围.例4 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.(1)写出C的方程；
(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.(1)化C1、C2的极坐标方程为直角坐标方程，并分别判断曲线形状；
(2)求C1、C2交点间的距离.本讲重点考查极坐标与直角坐标的互化以及圆的极坐标问题.复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主.课件25张PPT。一 曲线的参数方程
1 参数方程的概念
2 圆的参数方程[学习目标]1.理解曲线参数方程的有关概念.
2.掌握圆的参数方程.
3.能够根据圆的参数方程解决最值问题.[知识链接]曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？
提示 联系x，y的参数t(θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.[预习导引]1.参数方程的概念参数方程普通方程2.圆的参数方程(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程要点一 参数方程的概念(1)求常数a的值；
(2)判断点P(1，0)、Q(3，－1)是否在曲线C上？要点二 圆的参数方程及其应用A.1 B.2
C.3 D.4答案 B规律方法 1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量的取值范围.跟踪演练2 已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值.要点三 参数方程的实际应用例3 某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H＝2 000 m，水平飞行速度为v1＝100 m/s，如图所示.(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度；
(2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g＝10 m/s2)规律方法 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间.跟踪演练3 如果本例条件不变，求：
(1)炸弹投出机舱10 s后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?
(2)如果飞机迎击一辆速度为v2＝20 m/s相向行驶的汽车，欲使
炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.2.求曲线参数方程的主要步骤第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.
第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定.
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.A.1 B.2 C.3 D.4答案 A2.当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1，3sin θ＝0.∴过点(2，0).
答案 DA.两条直线 B.一条射线
C.两条射线 D.双曲线答案 C解析 当y＝1时，t2＝1，∴t＝±1，当t＝1时，x＝2；当t＝－1时，x＝0.∴x的值为2或0.答案 2或0课件23张PPT。3 参数方程和普通方程的互化[学习目标]1.了解参数方程化为普通方程的意义.
2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.
3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题.[知识链接]普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否唯一？提示 不一定唯一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.[预习导引]参数方程与普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过 而从参数方程得到普通方程.消去参数y＝g(t)取值范围要点一 把参数方程化为普通方程(1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？
(2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？
答案 x2＋(y－1)2＝1要点二 把普通方程化成参数方程例2 求方程4x2＋y2＝16的参数方程：(1)设y＝4sin θ，θ为参数；
(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？跟踪演练2 设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________.要点三 参数方程的应用例3 已知x、y满足x2＋(y－1)2＝1，求：(1)3x＋4y的最大值和最小值；
(2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值.规律方法 1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值：跟踪演练3 如图，已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，定点A(12，0)，当点P在圆上运动时，利用参数方程求线段PA的中点M的轨迹.1.参数方程和普通方程的互化参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.2.同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.3.参数方程与普通方程的等价性把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.1.与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程为(t为参数)( )解析 A化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].B化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].
C化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞),y∈(－∞，1].
D化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈R，y∈R.
答案 D答案 x2－y＝2(y≥2)解析 y2＝(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝1＋2sin θcos θ＝1＋x，又x＝sin 2θ∈[－1，1]，∴曲线的普通方程是y2＝x＋1(－1≤x≤1).答案 y2＝x＋1(－1≤x≤1)(1)求常数a；
(2)求曲线C的普通方程.课件24张PPT。三 直线的参数方程[学习目标]1.掌握直线的参数方程.
2.能够利用直线的参数方程解决有关问题.[知识链接]1.若直线l的倾斜角α＝0，则直线l的参数方程是什么？2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？[预习导引]直线的参数方程要点一 直线参数方程的标准形式要点二 利用直线的参数方程求曲线的弦长要点三 直线参数方程的综合应用例3 已知直线l过定点P(3，2)且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程.规律方法 利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便.A.40° B.50°
C.－45° D.135°答案 DA.λ＝5t B.λ＝－5t
C.t＝5λ D.t＝－5λ
解析 由x－x0，得－3λ＝tcos α，由y－y0，得4λ＝tsin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t2，得t＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t＝－5λ，所以t＝5λ.答案 C课件26张PPT。二 圆锥曲线的参数方程[学习目标]1.掌握椭圆的参数方程及应用.
2.了解双曲线、抛物线的参数方程.
3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.[知识链接]1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM的旋转角吗？2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？3.类比y2＝2px(p＞0)，你能得到x2＝2py(p＞0)的参数方程吗？[预习导引]1.椭圆的参数方程2.双曲线的参数方程3.抛物线的参数方程连线的斜率要点一 椭圆参数方程的应用规律方法 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.要点二 双曲线参数方程的应用规律方法 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的应用.跟踪演练2 如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.要点三 抛物线参数方程的应用例3 设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程.当t＝0时，M(0，0)满足题意，且适合方程2x2－px＋y2＝0.
故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.答案 25.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.A.抛物线 B.一条直线
C.椭圆 D.双曲线答案 DA.(0，0)，(0，－8) B.(0，0)，(－8，0)
C.(0，0)，(0，8) D.(0，0)，(8，0)答案 D答案 B课件19张PPT。四 渐开线与摆线[学习目标]1.了解圆的渐开线的参数方程.
2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.
3.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.[知识链接]1.圆的渐开线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？提示 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的∠AOB即是角φ.显然点M由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单.2.圆的摆线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？提示 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.[预习导引]1.渐开线及其参数方程(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切， 的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的 叫做渐开线的 .线头定圆基圆2.摆线及其参数方程无滑动地定点运动平摆线摆线要点一 求圆的渐开线参数方程例1 用向量的方法求半径为4的圆的渐开线参数方程.跟踪演练1 半径为2的基圆的渐开线的参数方程为________.要点二 求摆线的参数方程例2 已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程.规律方法 根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么关系？
(2)写出平移后圆的摆线方程；
(3)求摆线和x轴的交点.1.圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
2.由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程.A.π B.3π
C.6π D.10π答案 CA.(6，0) B.(6，6π)
C.(6，－12π) D.(－π，12π)
解析 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程.
∴x＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，
y＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.
答案 C3.半径为4的圆的渐开线的参数方程是________.第二讲 参数方程
一 曲线的参数方程
1 参数方程的概念
2 圆的参数方程
[学习目标]
1.理解曲线参数方程的有关概念.
2.掌握圆的参数方程.
3.能够根据圆的参数方程解决最值问题.
[知识链接]
曲线的参数方程中，参数是否一定具有某种实际意义？在圆的参数方程中，参数θ有什么实际意义？
提示 联系x，y的参数t(θ，φ，…)可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是无实际意义的任意实数.圆的参数方程中，其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度.
[预习导引]
1.参数方程的概念
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数：①，并且对于
t的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程而言，直接给出的点的坐标间的关系的方程叫做普通方程.
2.圆的参数方程
(1)如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置M0开始出发，按逆时针方向在圆O上作均速圆周运动，设M(x，y)，点M转过的角度是θ，则(θ为参数)，这就是圆心在原点，半径为r的圆的参数方程.
(2)圆心为C(a，b)，半径为r的圆的普通方程与参数方程
普通方程
参数方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
(θ为参数)
要点一 参数方程的概念
例1 已知曲线C的参数方程是(t为参数，a∈R)，点M(－3，4)在曲线C上.
(1)求常数a的值；
(2)判断点P(1，0)、Q(3，－1)是否在曲线C上？
解 (1)将M(－3，4)的坐标代入曲线C的参数方程得消去参数t，得a＝1.
(2)由(1)可得，曲线C的参数方程是
把点P的坐标(1，0)代入方程组，解得t＝0，因此P在曲线C上，把点Q的坐标(3，－1)代入方程组，得到这个方程组无解，因此点Q不在曲线C上.
规律方法 点与曲线的位置关系
满足某种约束条件的动点的轨迹形成曲线，点与曲线的位置关系有两种：点在曲线上、点不在曲线上.
(1)对于曲线C的普通方程f(x，y)＝0，若点M(x1，y1)在曲线上，则点M(x1，y1)的坐标是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x1，y1)＝0，若点N(x2，y2)不在曲线上，则点N(x2，y2)的坐标不是方程f(x，y)＝0的解，即有f(x2，y2)≠0.
(2)对于曲线C的参数方程(t为参数)，若点M(x1，y1)在曲线上，则对应的参数t有解，否则参数t不存在.
跟踪演练1 已知曲线C的参数方程为(θ为参数，0≤θ＜2π).判断点A(2，0)，B是否在曲线C上？若在曲线上，求出点对应的参数的值.
解 把点A(2，0)的坐标代入，
得cos θ＝1，且sin θ＝0，由于0≤θ＜2π，解之得θ＝0，
因此点A(2，0)在曲线C上，对应参数θ＝0，同理，把B代入参数方程，得
∴
又0≤θ＜2π，∴θ＝π，所以点B在曲线C上，对应θ＝π.
要点二 圆的参数方程及其应用
例2 设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由得(x－2)2＋(y＋1)2＝9.
曲线C表示以(2，－1)为圆心，以3为半径的圆，
则圆心C(2，－1)到直线l的距离d＝＝＜3，
所以直线与圆相交.所以过圆心(2，－1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意，又3－d＜，故满足题意的点有2个.
答案 B
规律方法 1.本题利用三角函数的平方关系，消去参数；数形结合，判定直线与圆的位置关系.2.参数方程表示怎样的曲线，一般是通过消参，得到普通方程来判断，特别要注意变量的取值范围.
跟踪演练2 已知实数x，y满足(x－1)2＋(y－1)2＝9，求x2＋y2的最大值和最小值.
解 由已知，可把点(x，y)视为圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点，设(θ为参数).
则x2＋y2＝(1＋3cos θ)2＋(1＋3sin θ)2
＝11＋6(sin θ＋cos θ)＝11＋6sin.
∵－1≤sin≤1，
∴11－6≤x2＋y2≤11＋6.
∴x2＋y2的最大值为11＋6，最小值为11－6.
要点三 参数方程的实际应用
例3 某飞机进行投弹演习，已知飞机离地面高度为H＝2 000 m，水平飞行速度为v1＝100 m/s，如图所示.
(1)求飞机投弹t s后炸弹的水平位移和离地面的高度；
(2)如果飞机追击一辆速度为v2＝20 m/s同向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？(g＝10 m/s2)
解 (1)如图所示，建立平面直角坐标系，设炸弹投出机舱的时刻为0 s，在时刻t s时其坐标为M(x，y)，由于炸弹作平抛运动，依题意，得
即
令y＝2 000－5t2＝0，得t＝20(s)，
所以飞机投弹t s炸弹的水平位移为100t m，离地面的高度为(2 000－5t2)m，其中，0≤t≤20.
(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车参考系.水平方向S相对＝v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s＝(v1－v2)t＝(100－20)×20＝1 600(m).
规律方法 本题通过点的坐标的参数方程利用运动学知识使问题得解.由于水平抛出的炸弹做平抛运动，可以分解为在水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动，炸弹飞行的时间也就是它作自由落体运动所用的时间.
跟踪演练3 如果本例条件不变，求：
(1)炸弹投出机舱10 s后这一时刻的水平位移和高度各是多少m?
(2)如果飞机迎击一辆速度为v2＝20 m/s相向行驶的汽车，欲使炸弹击中汽车，飞机应在距离汽车的水平距离多远处投弹？
解 (1)将t＝10代入得
所以炸弹投出机舱10 s后这一时刻的水平位移和高度分别是1 000 m和1 500 m.
(2)由于炸弹水平分运动和汽车的运动均为匀速直线运动，以汽车为参考系.
水平方向s相对＝v相对t，所以飞机应距离汽车投弹的水平距离为s＝(v1＋v2)t＝(100＋20)×20＝2 400(m).
1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来，对于曲线上的任一点也必然对应着参数相应的允许取值.
2.求曲线参数方程的主要步骤
第一步，画出轨迹草图，设M(x，y)是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系.
第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x，y的值可以由参数唯一确定.
第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略.
1.下列方程：(1)(m为参数)；(2)(m，n为参数)；(3)(4)x＋y＝0中，参数方程的个数为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 由参数方程的概念知是参数方程，故选A.
答案 A
2.当参数θ变化时，由点P(2cos θ，3sin θ)所确定的曲线过点( )
A.(2，3) B.(1，5)
C. D.(2，0)
解析 当2cos θ＝2，即cos θ＝1，3sin θ＝0.∴过点(2，0).
答案 D
3.参数方程(t为参数)表示的曲线是( )
A.两条直线 B.一条射线
C.两条射线 D.双曲线
解析 当t＞0时是一条射线；当t＜0时，也是一条射线，故选C.
答案 C
4.已知(t为参数)，若y＝1，则x＝________.
解析 当y＝1时，t2＝1，∴t＝±1，当t＝1时，x＝2；当t＝－1时，x＝0.∴x的值为2或0.
答案 2或0
5.已知直线y＝x与曲线(α为参数)相交于两点A和B，求弦长|AB|.
解 由得∴(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径r＝2，
则圆心(1，2)到直线y＝x的距离d＝＝.
∴|AB|＝2＝2＝.
一、基础达标
1.已知O为原点，参数方程(θ为参数)上的任意一点为A，则|OA|＝( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 |OA|＝＝＝1，故选A.
答案 A
2.已知曲线C的参数方程是(θ为参数)，曲线C不经过第二象限，则实数a的取值范围是( )
A.a≥2 B.a＞3
C.a≥1 D.a＜0
解析 ∵曲线C的参数方程是(θ为参数)，∴化为普通方程为(x－a)2＋y2＝4，表示圆心为(a，0)，半径等于2的圆.
∵曲线C不经过第二象限，则实数a满足a≥2，故选A.
答案 A
3.圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为( )
A.(0≤θ＜2π)
B.(0≤θ＜2π)
C.(0≤θ＜π)
D.(0≤θ＜2π)
解析 圆心在点C(a，b)，半径为r的圆的参数方程为(θ∈[0，2π)).故圆心在点(－1，2)，半径为5的圆的参数方程为(0≤θ＜2π).
答案 D
4.将参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A.y＝x－2 B.y＝x＋2
C.y＝x－2(2≤x≤3) D.y＝x＋2(0≤y≤1)
解析 将参数方程中的θ消去，得y＝x－2.又x∈[2，3].
答案 C
5.若点(－3，－3)在参数方程(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.
解析 将点(－3，－3)的坐标代入参数方程(θ为参数)得解得θ＝＋2kπ，k∈Z.
答案 ＋2kπ，k∈Z
6.已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________.
解析 由圆C的参数方程为可求得其在直角坐标系下的方程为x2＋(y－1)2＝1，由直线l的极坐标方程ρsin θ＝1可求得其在直角坐标系下的方程为y＝1，由可解得所以直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1，1)，(1，1).
答案 (－1，1)，(1，1)
7.已知曲线C：(θ为参数)，如果曲线C与直线x＋y＋a＝0有公共点，求实数a的取值范围.
解 ∵
∴x2＋(y＋1)2＝1.
∵圆与直线有公共点，则d＝≤1，
解得1－≤a≤1＋.
二、能力提升
8.若P(2，－1)为圆O′：(0≤θ＜2π)的弦的中点，则该弦所在直线l的方程是( )
A.x－y－3＝0 B.x＋2y＝0
C.x＋y－1＝0 D.2x－y－5＝0
解析 ∵圆心O′(1，0)，∴kPO′＝－1.∴kl＝1.
∴直线l方程为x－y－3＝0.
答案 A
9.如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2＋y2－x＝0的参数方程为________.
解析 将x2＋y2－x＝0配方，得＋y2＝，∵圆的直径为1.设P(x，y)，则x＝|OP|cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos2θ，y＝|OP|sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ，
∴圆x2＋y2－x＝0的参数方程为(θ为参数).
答案 (θ为参数)
10.曲线(t为参数)与圆x2＋y2＝4的交点坐标为________.
解析 ∵sin t∈[－1，1]，∴y∈[0，2].
∵方程表示的曲线是线段x＝1(0≤y≤2).
令x＝1，由x2＋y2＝4，得y2＝3，
∵0≤y≤2，∴y＝.
答案 (1，)
11.设点M(x，y)在圆x2＋y2＝1上移动，求点P(x＋y，xy)的轨迹.
解 设点M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P(x′，y′).
则
①2－2×②，得x′2－2y′＝1.即x′2＝2.
∴所求点P的轨迹为抛物线x2＝2的一部分.
12.已知点M(x，y)是圆x2＋y2＋2x＝0上的动点，若4x＋3y－a≤0恒成立，求实数a的取值范围.
解 由x2＋y2＋2x＝0，得(x＋1)2＋y2＝1，又点M在圆上，∴x＝－1＋cos θ，且y＝sin θ(θ为参数)，
因此4x＋3y＝4(－1＋cos θ)＋3sin θ＝－4＋5sin(θ＋φ)≤－4＋5＝1.(φ由
tan φ＝确定)
∴4x＋3y的最大值为1.
若4x＋3y－a≤0恒成立，则a≥(4x＋3y)max，
故实数a的取值范围是[1，＋∞).
三、探究与创新
13.已知圆系方程为x2＋y2－2axcos φ－2aysin φ＝0(a＞0，且为已知常数，φ为参数)
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值.
(1)解 由已知圆的标准方程为：
(x－acos φ)2＋(y－asin φ2)＝a2(a＞0).
设圆心坐标为(x，y)，则(φ为参数)，
消参数得圆心的轨迹方程为x2＋y2＝a2.
(2)证明 由方程
得公共弦的方程：2axcos φ＋2aysin φ＝a2，即xcos φ＋y sin φ－＝0，圆x2＋y2＝a2的圆心到公共弦的距离d＝为定值.
∴弦长l＝2＝a(定值).
3 参数方程和普通方程的互化
[学习目标]
1.了解参数方程化为普通方程的意义.
2.掌握参数方程化为普通方程的基本方法.
3.能够利用参数方程化为普通方程解决有关问题.
[知识链接]
普通方程化为参数方程，参数方程的形式是否唯一？
提示 不一定唯一.普通方程化为参数方程，关键在于适当选择参数，如果选择的参数不同，那么所得的参数方程的形式也不同.
[预习导引]
参数方程与普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.
(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致.
要点一 把参数方程化为普通方程
例1 在方程(a，b为正常数)中，
(1)当t为参数，θ为常数时，方程表示何种曲线？
(2)当t为常数，θ为参数时，方程表示何种曲线？
解 方程(a，b是正常数)，
(1)①×sin θ－②×cos θ得xsin θ－ycos θ－asin θ＋bcos θ＝0.
∵cos θ、sin θ不同时为零，∴方程表示一条直线.
(2)(i)当t为非零常数时，
原方程组为
③2＋④2得＋＝1，
即(x－a)2＋(y－b)2＝t2，它表示一个圆.
(ii)当t＝0时，表示点(a，b).
规律方法 1.消去参数的常用方法：将参数方程化为普通方程，关键是消去参数，如果参数方程是整式方程，常用的消元法有代入消元法、加减消元法.如果参数方程是分式方程，在运用代入消元或加减消元之前要做必要的变形.另外，熟悉一些常见的恒等式至关重要，如sin2α＋cos2α＝1，(ex＋e－x)2－(ex－e－x)2＝4，＋＝1等.2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响.本题启示我们，形式相同的方程，由于选择参数的不同，可表示不同的曲线.
跟踪演练1 参数方程(α为参数)化成普通方程为________.
解析 ∵cos2α＋sin2α＝1，
∴x2＋(y－1)2＝1.
答案 x2＋(y－1)2＝1
要点二 把普通方程化成参数方程
例2 求方程4x2＋y2＝16的参数方程：
(1)设y＝4sin θ，θ为参数；
(2)若令y＝t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？若令x＝2t(t为参数)，如何求曲线的参数方程？
解 (1)把y＝4sin θ代入方程，得到4x2＋16sin2θ＝16，于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ，∴x＝±2cos θ.
∴4x2＋y2＝16的参数方程是
和(θ为参数)
(2)将y＝t代入椭圆方程4x2＋y2＝16，得4x2＋t2＝16，
则x2＝.∴x＝±.
因此，椭圆4x2＋y2＝16的参数方程是
，和(t为参数).
同理将x＝2t代入椭圆4x2＋y2＝16，得椭圆的参数方程为和(t为参数).
规律方法 1.将圆的普通方程化为参数方程
(1)圆x2＋y2＝r2的参数方程为(θ为参数)；
(2)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数).2.普通方程化为参数方程关键是引入参数(例如x＝f(t)，再计算y＝g(t))，并且要保证等价性.若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过x＝f(t)，y＝g(t)，调整t的取值范围，使得在普通方程转化为参数方程的过程中，x，y的取值范围保持一致.
跟踪演练2 设y＝tx(t为参数)，则圆x2＋y2－4y＝0的参数方程是________.
解析 把y＝tx代入x2＋y2－4y＝0得x＝，y＝，∴参数方程为(t为参数).
答案 (t为参数)
要点三 参数方程的应用
例3 已知x、y满足x2＋(y－1)2＝1，求：
(1)3x＋4y的最大值和最小值；
(2)(x－3)2＋(y＋3)2的最大值和最小值.
解 由圆的普通方程x2＋(y－1)2＝1
得圆的参数方程为(θ∈[0，2π)).
(1)3x＋4y＝3cos θ＋4sin θ＋4＝4＋5sin(θ＋φ)，
其中tan φ＝，且φ的终边过点(4，3).
∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，∴－1≤4＋5sin(θ＋φ)≤9，
∴3x＋4y的最大值为9，最小值为－1.
(2)(x－3)2＋(y＋3)2＝(cos θ－3)2＋(sin θ＋4)2
＝26＋8sin θ－6cos θ＝26＋10sin(θ＋φ).
其中tan φ＝－.且φ的终边过点(4，－3).
∵－10≤10sin(θ＋φ)≤10，∴16≤26＋10sin(θ＋φ)≤36，
所以(x－3)2＋(y＋3)2的最大值为36，最小值为16.
规律方法 1.运用参数思想解题的关键在于参数的选择.选择参数时，应注意所选择的参数易于与两个坐标产生联系.由于三角函数的巨大作用，常选择角为参数，若轨迹与运动有关，常选择时间为参数.2.解决与圆有关的最大值和最小值问题，常常设圆的参数方程，然后转化为求三角函数的最大值和最小值问题.3.注意运用三角恒等式求最值：
asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ).
其中tan φ＝(a≠0)，且φ的终边过点(a，b).
跟踪演练3 如图，已知点P是圆x2＋y2＝16上的一个动点，定点A(12，0)，当点P在圆上运动时，利用参数方程求线段PA的中点M的轨迹.
解 因为圆x2＋y2＝16的参数方程为(θ为参数)，
所以可设点P(4cos θ，4sin θ)，设点M(x，y)，由线段中点坐标公式得(θ为参数)，即点M的轨迹的参数方程为
(θ为参数)，所以点M的轨迹是以点(6，0)为圆心、2为半径的圆.
1.参数方程和普通方程的互化
参数方程化为普通方程，可通过代入消元法和三角恒等式消参法消去参数方程中的参数，通过曲线的普通方程来判断曲线的类型.
由普通方程化为参数方程要选定恰当的参数，寻求曲线上任一点M的坐标x，y和参数的关系，根据实际问题的要求，我们可以选择时间、角度、线段长度、直线的斜率、截距等作为参数.
2.同一道题参数的选择往往不是唯一的，适当地选择参数，可以简化解题的过程，降低计算量，提高准确率.求轨迹方程与求轨迹有所不同，求轨迹方程只需求出方程即可，而求轨迹往往是先求出轨迹方程，然后根据轨迹方程指明轨迹是什么图形.
3.参数方程与普通方程的等价性
把参数方程化为普通方程后，很容易改变了变量的取值范围，从而使得两种方程所表示的曲线不一致，因此我们要注意参数方程与普通方程的等价性.
1.与普通方程x2＋y－1＝0等价的参数方程为(t为参数)( )
A. B.
C. D.
解析 A化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].B化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[－1，1]，y∈[0，1].C化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈[0，＋∞)，y∈(－∞，1].D化为普通方程为x2＋y－1＝0，x∈R，y∈R.
答案 D
2.将参数方程(t为参数)化为普通方程为________.
解析 由x＝t＋得x2＝t2＋＋2，又y＝t2＋，∴x2＝y＋2.∵t2＋≥2，∴y≥2.
答案 x2－y＝2(y≥2)
3.参数方程(θ为参数)表示的曲线的普通方程是________.
解析 y2＝(sin θ＋cos θ)2＝sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝1＋2sin θcos θ＝1＋x，又x＝sin 2θ∈[－1，1]，∴曲线的普通方程是y2＝x＋1(－1≤x≤1).
答案 y2＝x＋1(－1≤x≤1)
4.已知某条曲线C的参数方程为(其中t是参数，a∈R)，点M(5，4)在该曲线上.
(1)求常数a；
(2)求曲线C的普通方程.
解 (1)由题意，可知故所以a＝1.
(2)由已知及(1)可得，曲线C的方程为由第一个方程，得t＝，代入第二个方程，得y＝，即(x－1)2＝4y为所求.
一、基础达标
1.曲线(θ为参数)的方程等价于( )
A.x＝ B.y＝
C.y＝± D.x2＋y2＝1
解析 由x＝|sin θ|得0≤x≤1；由y＝cos θ得－1≤y≤1.故选A.
答案 A
2.已知直线l：(t为参数)与圆C：(θ为参数)，则直线l的倾斜角及圆心C的直角坐标分别是( )
A.，(1，0) B.，(－1，0)
C.，(1，0) D.，(－1，0)
解析 直线消去参数得直线方程为y＝－x，所以斜率k＝－1即倾斜角为.圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝4，圆心坐标为(1，0).
答案 C
3.参数方程(t为参数)化为普通方程为( )
A.x2＋y2＝1
B.x2＋y2＝1去掉(0，1)点
C.x2＋y2＝1去掉(1，0)点
D.x2＋y2＝1去掉(－1，0)点
解析 x2＋y2＝＋＝1，又∵x＝－1时，1－t2＝－(1＋t2)不成立，故去掉点(－1，0).
答案 D
4.若x，y满足x2＋y2＝1，则x＋y的最大值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 由于圆x2＋y2＝1的参数方程为(θ为参数)，则x＋y＝
sin θ＋cos θ＝2sin，故x＋y的最大值为2.故选B.
答案 B
5.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析 由ρcos θ＝4，知x＝4.
又∴x3＝y2(x≥0).
由得或
∴|AB|＝＝16.
答案 16
6.在极坐标系中，圆C1的方程为ρ＝4cos，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面坐标系，圆C2的参数方程(θ为参数)，若圆C1与C2相切，则实数a＝________.
解析 圆C1的直角坐标方程为x2＋y2＝4x＋4y，其标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝8，圆心为(2，2)，半径长为2，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径长为|a|，由于圆C1与圆C2外切，则|C1C2|＝2＋|a|＝3或|C1C2|＝|a|－2＝3?a＝±或a＝±5.
答案 ±或±5
7.已知曲线C的参数方程为(t为参数，t＞0).求曲线C的普通方程.
解 由x＝－两边平方得x2＝t＋－2，
又y＝3，则t＋＝(y≥6).
代入x2＝t＋－2，得x2＝－2.
∴3x2－y＋6＝0(y≥6).
故曲线C的普通方程为3x2－y＋6＝0(y≥6).
二、能力提升
8.已知在平面直角坐标系xOy中圆C的参数方程为：(θ为参数)，以Ox为极轴建立极坐标系，直线极坐标方程为：ρcos＝0，则圆C截直线所得弦长为( )
A. B.2
C.3 D.4
解析 圆C的参数方程为的圆心为(，1)，半径为3，直线普通方程为ρ＝x－y＝0，即x－y＝0，圆心C(，1)到直线x－y＝0的距离为d＝＝1，所以圆C截直线所得弦长|AB|＝2＝2＝4.
答案 D
9.过原点作倾斜角为θ的直线与圆相切，则θ＝________.
解析 直线为y＝xtan θ，圆为(x－4)2＋y2＝4，直线与圆相切时，易知tan θ＝±，∴θ＝或.
答案 或
10.在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(θ为参数，a＞0)有一个公共点在x轴上，则a＝________.
解析 曲线C1的普通方程为2x＋y＝3，曲线C2的普通方程为＋＝1，直线2x＋y＝3与x轴的交点坐标为，故曲线＋＝1也经过这个点，代入解得a＝(舍去－).
答案
11.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系.已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2，0)，，圆C的参数方程为(θ为参数).
(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
(2)判断直线l与圆C的位置关系.
解 (1)由题意知，M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，.又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的平面直角坐标方程为y＝x.
(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2，0)，，
所以直线l的平面直角坐标方程为x＋y－2＝0.
又圆C的圆心坐标为(2，－)，半径为r＝2，
圆心到直线l的距离d＝＝＜r，故直线l与圆C相交.
12.已知曲线C1：(θ为参数)，曲线C2：
(t为参数).
(1)指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；
(2)若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C′1，C′2.写出C′1，C′2的参数方程.C′1与C′2公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.
解 (1)C1是圆，C2是直线.C1的普通方程为x2＋y2＝1，
圆心C1(0，0)，半径r＝1.
C2的普通方程为x－y＋＝0.因为圆心C1到直线x－y＋＝0的距离为1，
所以C2与C1只有一个公共点.
(2)压缩后的参数方程分别为C′1：(θ为参数)，C′2：(t为参数)，
化为普通方程为C′1：x2＋4y2＝1，C′2：y＝x＋，
联立消元得2x2＋2x＋1＝0，
其判别式Δ＝(2)2－4×2×1＝0，
所以压缩后的直线C′2与椭圆C′1仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点的个数相同.
三、探究与创新
13.已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ＜2π).
解 (1)将消去参数t，
化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0，将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得，ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0，
∴C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0；
(2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0，
由
解得或
∴C1与C2的交点的极坐标分别为，.
二 圆锥曲线的参数方程
[学习目标]
1.掌握椭圆的参数方程及应用.
2.了解双曲线、抛物线的参数方程.
3.能够利用圆锥曲线的参数方程解决最值、有关点的轨迹问题.
[知识链接]
1.椭圆的参数方程中，参数φ是OM的旋转角吗？
提示 椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA(或OB)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角.
2.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数sec φ的意义是什么？
提示 sec φ＝，其中φ∈[0，2π)且φ≠，φ≠π.
3.类比y2＝2px(p＞0)，你能得到x2＝2py(p＞0)的参数方程吗？
提示 (p＞0，t为参数，t∈R.)
[预习导引]
1.椭圆的参数方程
普通方程
参数方程
＋＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)
＋＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)
2.双曲线的参数方程
普通方程
参数方程
－＝1(a＞b＞0)
(φ为参数)
3.抛物线的参数方程
(1)抛物线y2＝2px的参数方程是(t∈R，t为参数).
(2)参数t表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
要点一 椭圆参数方程的应用
例1 已知A、B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC重心G的轨迹的普通方程.
解 由题意知A(6，0)，B(0，3).由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得(θ为参数)，即
故重心G的轨迹的参数方程为(θ为参数).
规律方法 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.
跟踪演练1 已知曲线C1：(t为参数)，曲线C2：＋＝1.
(1)化C1为普通方程，C2为参数方程；并说明它们分别表示什么曲线？
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：x－2y－7＝0距离的最小值.
解 (1)由得
∴曲线C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，
C1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆.
曲线C2：＋＝1表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.
其参数方程为(θ为参数)
(2)依题设，当t＝时，P(－4，4)；
且Q(8cos θ，3sin θ)，
故M.
又C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|
＝|5cos(θ＋φ)－13|，
从而当cos θ＝，sin θ＝－时，
，cos(θ＋φ)＝1，d取得最小值.
要点二 双曲线参数方程的应用
例2 求证：双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上任意一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值.
证明 由双曲线－＝1，得两条渐近线的方程是：bx＋ay＝0，bx－ay＝0，设双曲线上任一点的坐标为(asec φ，btan φ)，
它到两渐近线的距离分别是d1和d2，
则d1·d2＝·
＝＝(定值).
规律方法 在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐标仍适用，另外本题要注意公式sec2φ－tan2φ＝1的应用.
跟踪演练2 如图，设P为等轴双曲线x2－y2＝1上的一点，F1、F2是两个焦点，证明：|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
证明 设P(sec φ，tan φ)，∵F1(－，0)，F2(，0)，
∴|PF1|＝
＝，
|PF2|＝
＝，
|PF1|·|PF2|＝＝2sec2φ－1.
∵|OP|2＝sec2φ＋tan2φ＝2sec2φ－1，
∴|PF1|·|PF2|＝|OP|2.
要点三 抛物线参数方程的应用
例3 设抛物线y2＝2px的准线为l，焦点为F，顶点为O，P为抛物线上任一点，PQ⊥l于Q，求QF与OP的交点M的轨迹方程.
解 设P点的坐标为(2pt2，2pt)(t为参数)，
当t≠0时，直线OP的方程为y＝x，
QF的方程为y＝－2t，
它们的交点M(x，y)由方程组确定，
两式相乘，消去t，得y2＝－2x，
∴点M的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0(x≠0).
当t＝0时，M(0，0)满足题意，且适合方程2x2－px＋y2＝0.
故所求的轨迹方程为2x2－px＋y2＝0.
规律方法 1.抛物线y2＝2px(p＞0)的参数方程为(t为参数)，参数t为任意实数，它表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.2.用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程.
跟踪演练3 已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p＞0，焦点为F，准线为l.
过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E，若|EF|＝|MF|，点M的横坐标是3，则p＝________.
解析 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y2＝2px，所以y＝6p，所以E，F，所以＋3＝，所以p2＋4p－12＝0，解得p＝2(负值舍去).
答案 2
1.圆的参数方程中的参数θ是半径OM的旋转角，椭圆参数方程中的参数φ是椭圆上点M的离心角.
2.椭圆＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(φ为参数).
3.双曲线的参数方程中，参数φ的三角函数cot φ、sec φ、csc φ的意义分别为cot φ＝，sec φ＝，csc φ＝.
4.抛物线y2＝2px的参数方程(t为参数)，由于＝，因此t的几何意义是抛物线的点(除顶点外)与抛物线的顶点连线的斜率的倒数.
5.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.
1.参数方程(t为参数)的普通方程是( )
A.抛物线 B.一条直线
C.椭圆 D.双曲线
解析 由参数方程平方相减可得4x2－y2＝16，即－＝1，故答案为D.
答案 D
2.椭圆(φ为参数)的焦点坐标为( )
A.(0，0)，(0，－8) B.(0，0)，(－8，0)
C.(0，0)，(0，8) D.(0，0)，(8，0)
解析 利用平方关系化为普通方程：＋＝1.
∴焦点(0，0)，(8，0).
答案 D
3.参数方程(α为参数)表示的普通方程是________.
解析 因x2＝1＋sin α，y2＝2＋sin α，所以y2－x2＝1，又因x＝sin＋cos＝sin，所以答案为y2－x2＝1(|x|≤且y≥1).
答案 y2－x2＝1(|x|≤且y≥1)
4.点P(1，0)到曲线(参数t∈R)上的点的最短距离为( )
A.0 B.1
C. D.2
解析 d2＝(t2－1)2＋4t2＝(t2＋1)2.∵t∈R，∴d＝1，∴dmin＝1.
答案 B
5.已知点P是椭圆＋y2＝1上任意一点，求点P到直线l：x＋2y＝0的距离的最大值.
解 因为P为椭圆＋y2＝1上任意一点，故可设P(2cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π).又直线l：x＋2y＝0.
因此点P到直线l的距离
d＝＝.又θ∈[0，2π)，∴dmax＝＝，
即点P到直线e：x＋2y＝0的距离的最大值为.
一、基础达标
1.参数方程(θ为参数)化为普通方程为( )
A.x2＋＝1 B.x2＋＝1
C.y2＋＝1 D.y2＋＝1
解析 易知cos θ＝x，sin θ＝，∴x2＋＝1，故选A.
答案 A
2.方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是( )
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.双曲线的一部分
解析 由xcos θ＝a，∴cos θ＝，代入y＝bcos θ，得xy＝ab，又由y＝
bcos θ知，y∈[－|b|，|b|]，∴曲线应为双曲线的一部分.
答案 D
3.若点P(3，m)在以点F为焦点的抛物线(t为参数)上，则|PF|等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析 抛物线为y2＝4x，准线为x＝－1，|PF|为P(3，m)到准线x＝－1的距离，即为4.
答案 C
4.当θ取一切实数时，连接A(4sin θ，6cos θ)和B(－4cos θ，6sin θ)两点的线段的中点的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆
C.直线 D.线段
解析 设中点M(x，y)，由中点坐标公式，得x＝2sin θ－2cos θ，y＝3cos θ＋3sin θ，即＝sin θ－cos θ，＝sin θ＋cos θ，两式平方相加，得＋＝2，是椭圆.
答案 B
5.实数x，y满足3x2＋4y2＝12，则2x＋y的最大值是________.
解析 因为实数x，y满足3x2＋4y2＝12，所以设x＝2cos α，y＝sin α，则2x＋y＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.当sin(α＋φ)＝1时，2x＋y有最大值为5.
答案 5
6.抛物线y＝x2－的顶点轨迹的普通方程为________.
解析 抛物线方程可化为y＝－，∴其顶点为，记M(x，y)为所求轨迹上任意一点，则消去t得y＝－x2(x≠0).
答案 y＝－x2(x≠0)
7.如图所示，连接原点O和抛物线y＝x2上的动点M，延长OM到点P，使|OM|＝|MP|，求P点的轨迹方程，并说明是什么曲线？
解 抛物线标准方程为x2＝2y，其参数方程为得M(2t，2t2).
设P(x，y)，则M是OP中点.
∴∴(t为参数)，消去t得y＝x2，是以y轴为对称轴，焦点为(0，1)的抛物线.
二、能力提升
8.若曲线(θ为参数)与直线x＝m相交于不同两点，则m的取值范围是( )
A.R B.(0，＋∞)
C.(0，1) D.[0，1)
解析 将曲线化为普通方程得(y＋1)2＝
－(x－1)(0≤x≤1).它是抛物线的一部分，如图所示，由数形结合知0≤m＜1.
答案 D
9.圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是________.
解析 将参数方程化为普通方程为y2＝4x，表示开口向右，焦点在x轴正半轴上的抛物线，由2p＝4?p＝2，则焦点坐标为(1，0).
答案 (1，0)
10.设曲线C的参数方程为(t为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________.
解析 化为普通方程为y＝x2，由于ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，所以化为极坐标方程为ρsin θ＝ρ2cos2θ，即ρcos2θ－sin θ＝0.
答案 ρcos2θ－sin θ＝0
11.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.
(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
解 (1)C1的普通方程为＋y2＝1.C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值.
d(α)＝＝.
当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.
三、探究与创新
12.设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率e＝，已知点P到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于的点的坐标.
解 设椭圆的参数方程是，其中，a＞b＞0，0≤θ＜2π.由e2＝＝＝1－可得＝＝即a＝2b.设椭圆上的点(x，y)到点P的距离为d，则d2＝x2＋＝a2cos2θ＋＝a2－(a2－b2)sin2θ－3bsin θ＋
＝4b2－3b2sin2θ－3bsin θ＋
＝－3b2＋4b2＋3，
如果＞1即b＜，即当sin θ＝－1时，d2有最大值，由题设得()2＝，由此得b＝－＞，与b＜矛盾.因此必有≤1成立，于是当sin θ＝－时，d2有最大值，
由题设得()2＝4b2＋3，由此可得b＝1，a＝2.
所求椭圆的参数方程是
由sin θ＝－，cos θ＝±可得，椭圆上的点，点到点P的距离都是.
三 直线的参数方程
[学习目标]
1.掌握直线的参数方程.
2.能够利用直线的参数方程解决有关问题.
[知识链接]
1.若直线l的倾斜角α＝0，则直线l的参数方程是什么？
提示 参数方程为(t为参数).
2.如何理解直线参数方程中参数的几何意义？
提示 过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数)，其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的长度，即|t|＝||.
①当t＞0时，的方向向上；②当t＜0时，的方向向下；③当t＝0时，点M与点M0重合.
[预习导引]
直线的参数方程
经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为
(t为参数)，其中参数t的几何意义是：|t|是直线l上任一点M(x，y)到点
M0(x0，y0)的距离，即|t|＝||.
要点一 直线参数方程的标准形式
例1 已知直线l：(t为参数).
(1)求直线l的倾斜角；
(2)若点M(－3，0)在直线l上，求t并说明t的几何意义.
解 (1)由于直线l：(t为参数)表示过点M0(－，2)且斜率为tan的直线，故直线l的倾斜角α＝.
(2)由(1)知，直线l的单位方向向量e＝＝.
∵M0＝(－，2)，M(－3，0)，∴＝(－2，－2)＝－4＝－4e，
∴点M对应的参数t＝－4，
几何意义为||＝4，且与e方向相反(即点M在直线l上点M0的左下方).
规律方法 1.一条直线可以由定点M0(x0，y0)，倾斜角α(0≤α＜π)唯一确定，直线上的动点M(x，y)的参数方程为(t为参数)，这是直线参数方程的标准形式.2.直线参数方程的形式不同，参数t的几何意义也不同，过定点M0(x0，y0)，斜率为的直线的参数方程是(a、b为常数，t为参数).
跟踪演练1 直线l经过点M0(1，5)，倾斜角为，且交直线x－y－2＝0于M点，则|MM0|＝________.
解析 由题意可得直线l的参数方程为(t为参数)，代入直线方程x－y－2＝0，得1＋t－－2＝0，解得t＝－6(＋1).
根据t的几何意义可知|MM0|＝6(＋1).
答案 6(＋1)
要点二 利用直线的参数方程求曲线的弦长
例2 已知过点M(2，－1)的直线l：(t为参数)，与圆x2＋y2＝4交于A，B两点，求|AB|及|AM|·|BM|.
解 l的参数方程为(t为参数).
令t′＝，则有(t′是参数).
其中t′是点M(2，－1)到直线l上的一点P(x，y)的有向线段的数量，代入圆的方程x2＋y2＝4，化简得t′2－3t′＋1＝0.∵Δ＞0，可设t′1，t′2是方程的两根，由根与系数关系得t′1＋t′2＝3，t′1t′2＝1.
由参数t′的几何意义得|MA|＝|t′1|，|MB|＝|t′2|，∴|MA|·|MB|＝|t′1·t′2|＝1，
|AB|＝|t′1－t′2|＝＝.
规律方法 1.在直线参数方程的标准形式下，直线上两点之间的距离可用|t1－t2|来求.本题易错的地方是：将题目所给参数方程直接代入圆的方程求解，忽视了参数t的几何意义.2.根据直线的参数方程的标准式中t的几何意义，有如下常用结论：
(1)直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t1，t2，则弦长l＝|t1－t2|；
(2)定点M0是弦M1M2的中点?t1＋t2＝0；
(3)设弦M1M2中点为M，则点M对应的参数值tM＝(由此可求|M1M2|及中点坐标).
跟踪演练2 在极坐标系中，已知圆心C，半径r＝1.
(1)求圆的直角坐标方程；
(2)若直线(t为参数)与圆交于A，B两点，求弦AB的长.
解 (1)由已知得圆心C，半径为1，圆的方程为＋＝1，
即x2＋y2－3x－3y＋8＝0，
(2)由(t为参数)得直线的直角坐标系方程x－y＋1＝0，
圆心到直线的距离d＝＝，所以＋d2＝1，
解得|AB|＝.
要点三 直线参数方程的综合应用
例3 已知直线l过定点P(3，2)且与x轴和y轴的正半轴分别交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的方程.
解 设直线的倾斜角为α，则它的方程为(t为参数).
由A，B是坐标轴上的点知yA＝0，xB＝0，
∴0＝2＋tsin α，即|PA|＝|t|＝，0＝3＋tcos α，
即|PB|＝|t|＝－，
故|PA|·|PB|＝·＝－.
∵90°＜α＜180°，∴当2α＝270°，即α＝135°时，
|PA|·|PB|有最小值.
∴直线方程为(t为参数)，化为普通方程为x＋y－5＝0.
规律方法 利用直线的参数方程，可以求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便.
跟踪演练3 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.
解 (1)由ρ＝2sin θ，
得ρ2＝2 ρsin θ.
∴x2＋y2－2y＝0，
即x2＋(y－)2＝5.
(2)法一 直线l的普通方程为y＝－x＋3＋，
与圆C：x2＋(y－)2＝5联立，消去y，
得x2－3x＋2＝0，
解之得或
不妨设A(1，2＋)，B(2，1＋).
又点P的坐标为(3，)，
故|PA|＋|PB|＝＋＝3.
法二 将l的参数方程代入x2＋(y－)2＝5，
得＋＝5，
即t2－3t＋4＝0，(*)
由于Δ＝(3)2－4×4＝2＞0.
故可设t1，t2是(*)式的两个实根.
∴t1＋t2＝3，且t1t2＝4.
∴t1＞0，t2＞0.
又直线l过点P(3，)，
∴由t的几何意义，
得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝3.
1.经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).其中t表示直线l上以定点M0为起点，任意一点M(x，y)为终点的有向线段的数量，可为正、为负，也可为零.
2.在直线参数方程中，如果直线上的点M1、M2所对应的参数值分别为t1和t2，则线段M1M2的中点所对应的参数值为t中＝·(t1＋t2).
1.直线(t为参数)的倾斜角α等于( )
A.40° B.50°
C.－45° D.135°
解析 根据tan α＝＝－1，因此倾斜角为135°.
答案 D
2.若(λ为参数)与(t为参数)表示同一条直线，则λ与t的关系是( )
A.λ＝5t B.λ＝－5t
C.t＝5λ D.t＝－5λ
解析 由x－x0，得－3λ＝tcos α，由y－y0，得4λ＝tsin α，消去α的三角函数，得25λ2＝t2，得t＝±5λ，借助于直线的斜率，可排除t＝－5λ，所以t＝5λ.
答案 C
3.已知直线l1：(t为参数)与直线l2：2x－4y＝5相交于点B，且点A(1，2)，则|AB|＝________.
解析 将代入2x－4y＝5，得t＝，则B.又A(1，2)，所以|AB|＝.
答案
4.求直线l1：(t为参数)与直线l2：x＋y－2＝0的交点到定点(4，3)的距离.
解 ∵l1的参数方程可化为(t′为参数).
把l1的参数方程的标准形式代入x＋y－2＝0中，
得4＋t′＋3＋t′－2＝0.
解得t′＝－，∴|t′|＝.由|t′|的几何意义为交点到点(4，3)的距离，
∴所求的距离为|t′|＝.
一、基础达标
1.直线(α为参数，0≤a＜π)必过点( )
A.(1，－2) B.(－1，2)
C.(－2，1) D.(2，－1)
解析 直线表示过点(1，－2)的直线.
答案 A
2.下列可以作为直线2x－y＋1＝0的参数方程的是( )
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(t为参数) D.(t为参数)
解析 题目所给的直线的斜率为2，选项A中直线斜率为1，选项D中直线斜率为，所以可排除选项A、D.而选项B中直线的普通方程为2x－y＋3＝0，故选C.
答案 C
3.极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )
A.直线、直线 B.直线、圆
C.圆、圆 D.圆、直线
解析 ∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ，即x2＋y2＝x，即＋y2＝，
∴ρ＝cos θ所表示的图形是圆.
由(t为参数)消参得：x＋y＝1，表示直线.
答案 D
4.直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A、B两点，则AB的中点坐标为( )
A.(3，－3) B.(－，3)
C.(，－3) D.(3，－)
解析 将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，得＋＝16，
∴t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，
因此AB的中点M对应参数t＝＝4，
∴x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，
故AB中点M的坐标为(3，－).
答案 D
5.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________.
解析 直线l：消去参数t后得y＝x－a.
椭圆C：消去参数φ后得＋＝1.
又椭圆C的右顶点为(3，0)，代入y＝x－a得a＝3.
答案 3
6.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(θ为参数，0≤θ≤)和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________.
解析 曲线C1和C2的直角坐标方程分别为x2＋y2＝5(0≤x≤，0≤y≤)①，x－y＝1②
联立①②解得
∴C1与C2的交点坐标为(2，1).
答案 (2，1)
7.化直线l的参数方程，(t为参数)为普通方程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
解 由消去参数t，得直线l的普通方程为x－y＋3＋1＝0.
故斜率k＝＝tan α，由于0≤α<π，即α＝.
因此直线l的倾斜角为.
又得(x＋3)2＋(y－1)2＝4t2，
∴|t|＝.
故|t|是t对应点M到定点M0(－3，1)的向量的模的一半.
二、能力提升
8.在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________.
解析 由消去参数s，得x＝2y＋1.
由消去参数t，得2x＝ay＋a.
∵l1∥l2，∴＝≠，∴a＝4.
答案 4
9.若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.
解析 将化为y＝－x＋，∴斜率k1＝－，显然k＝0时，直线4x＋ky＝1与上述直线不垂直.∴k≠0，从而直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－.依题意k1k2＝－1，即－×＝－1，
∴k＝－6.
答案 －6
10.椭圆＋＝1上的点到圆x2＋(y－6)2＝1上的点的距离的最大值是( )
A.11 B.
C.5 D.9
解析 由平面几何知识，椭圆＋＝1上的点到圆x2＋(y－6)2＝1上的点的距离最大值＝椭圆上的动点到圆心的最大距离＋圆的半径.如图，设圆x2＋(y－6)2＝1圆心为O′，P(5cos θ，4sin θ)是椭圆上的点，则|PO′|＝
＝
＝
＝≤＝10
(当sin θ＝－1时取等号).则所求距离最大值为11.
答案 A
11.在直角坐标系中，参数方程为(t为参数)的直线l被以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C所截，求截得的弦长.
解 参数方程为(t为参数)表示的直线l是过点A(2，0)，倾斜角为30°，极坐标方程ρ＝2cos θ表示的曲线C为圆x2＋y2－2x＝0.
此圆的圆心为(1，0)，半径为1，且圆C也过点A(2，0)；设直线l与圆C的另一个交点为B，在Rt△OAB中，|AB|＝2cos 30°＝.
12.在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.
(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率.
解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.
(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.
|AB|＝|ρ1－ρ2|＝
＝.
由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.
所以l的斜率为或－.
三、探究与创新
13.已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.
(1)求点A，B，C，D的直角坐标；
(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围.
解 (1)由已知可得A，
B，C，
D，
即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1).
(2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝(2cos φ－1)2＋(－3sin φ)2＋(－－2cos φ)2＋(1－3sin φ)2＋(－1－2cos φ)2＋(－－3sin φ)2＋(－2cos φ)2＋(－1－3sin φ)2＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ.∵0≤sin2φ≤1，∴S的取值范围是[32，52].
四 渐开线与摆线
[学习目标]
1.了解圆的渐开线的参数方程.
2.了解摆线的生成过程及它的参数方程.
3.学习用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和步骤.
[知识链接]
1.圆的渐开线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？
提示 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程，可知其中的字母r是指基圆的半径，而参数φ是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度，如图，其中的∠AOB即是角φ.显然点M由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义，把点的坐标转化为与三角函数有关的问题，使求解过程更加简单.
2.圆的摆线的参数方程中的参数φ的几何意义是什么？
提示 同样，根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程，可知其中的字母r是指定圆的半径，参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用，简化运算过程.当然这个几何意义还不是很明显，直接使用还要注意其取值的具体情况.
[预习导引]
1.渐开线及其参数方程
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头逐渐展开，保持线与圆相切，线头的轨迹就叫做圆的渐开线，相应的定圆叫做渐开线的基圆.
(2)设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程是
(φ为参数).
2.摆线及其参数方程
(1)当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周上的一个定点运动的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线.
(2)设圆的半径为r，圆滚动的角为φ，那么摆线的参数方程是(φ是参数).
要点一 求圆的渐开线参数方程
例1 用向量的方法求半径为4的圆的渐开线参数方程.
解 以圆心为原点O，绳端点的初始位置为M0，向量的方向为x轴正方向，建立坐标系，设渐开线上的任意点M(x，y)，绳拉直时和圆的切点为A，故OA⊥AM，按渐开线定义，弧的长和线段AM的长相等，记和x轴正向所夹的角为θ(以弧度为单位)，则|AM|＝＝4θ.作AB垂直于x轴，过M点作AB的垂线，由三角函数和向量知识，得＝(4cos θ，4sin θ)由几何知识知∠MAB＝θ，＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得＝＋.
＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ)
＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
又＝(x，y)，因此有(θ为参数)
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
规律方法 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤：
(1)建立适当的坐标系，设轨迹曲线上的动点为M(x，y).
(2)选取运动中产生的某一角度为参数.
(3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式.
(4)用向量运算得到的坐标表达式，由此得到轨迹曲线的参数方程.
跟踪演练1 半径为2的基圆的渐开线的参数方程为________.
解析 方程为(φ为参数).
答案 (φ为参数).
要点二 求摆线的参数方程
例2 已知一个圆的摆线过一定点(2，0)，请写出该圆的半径最大时该摆线的参数方程以及对应的圆的渐开线的参数方程.
解 令y＝0，可得r(1－cos φ)＝0，由于r＞0，
即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z).
代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ).
又因为x＝2，所以r(2kπ－sin 2kπ)＝2，
即得r＝(k∈Z).又由实际可知r＞0，所以r＝(k∈Z＋).
易知，当k＝1时，r取最大值为.
代入即可得圆的摆线的参数方程为(φ为参数)
圆的渐开线的参数方程为(φ为参数).
规律方法 根据摆线的定义和求解参数方程的过程可知其中的参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.
跟踪演练2 已知圆C的参数方程是
(α为参数)和直线l对应的普通方程是x－y－6＝0.
(1)如果把圆心平移到原点O，请问平移后圆和直线有什么关系？
(2)写出平移后圆的摆线方程；
(3)求摆线和x轴的交点.
解 (1)圆C平移后圆心为O(0，0)，它到直线x－y－6＝0的距离为d＝＝6，恰好等于圆的半径，所以直线和圆是相切的.
(2)由于圆的半径是6，所以可得摆线方程是(φ为参数).
(3)令y＝0，得6－6cos φ＝0?cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z).代入x＝6φ－
6sin φ，得x＝12kπ(k∈Z)，即圆的摆线和x轴的交点为(12kπ，0)(k∈Z).
1.圆的渐开线的参数方程中，字母r表示基圆的半径，字母φ是指绳子外端运动时绳子上的定点M相对于圆心的张角.
2.由圆的摆线的参数方程的形式可知，只要确定了摆线生成圆的半径，就能确定摆线的参数方程.
1.圆(θ为参数)的平摆线上一点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( )
A.π B.3π
C.6π D.10π
解析 根据条件可知圆的平摆线的参数方程为(φ为参数)，把y＝0代入，得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z).从而x＝3φ－3sin φ＝6kπ(k∈Z).
答案 C
2.当φ＝2π时，圆的渐开线上的点是( )
A.(6，0) B.(6，6π)
C.(6，－12π) D.(－π，12π)
解析 当φ＝2π时，代入圆的渐开线方程.
∴x＝6(cos 2π＋2π·sin 2π)＝6，
y＝6(sin 2π－2π·cos 2π)＝－12π.
答案 C
3.半径为4的圆的渐开线的参数方程是________.
解析 由圆的渐开线的参数方程
得(φ为参数)
答案 (φ为参数)
4.已知一个圆的摆线方程是(φ为参数)，求该圆的面积和对应的圆的渐开线的参数方程.
解 首先根据摆线的参数方程可知圆的半径为4，所以面积为16π，该圆对应的渐开线的参数方程是：(φ为参数).
一、基础达标
1.已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的周长是( )
A.π B.2π
C.3π D.4π
解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，所以基圆的周长为2π，故选B.
答案 B
2.已知一个圆的参数方程为(θ为参数)，那么圆的摆线方程中与参数φ＝对应的点A与点B之间的距离为( )
A.－1 B.
C. D.
解析 根据圆的参数方程可知，圆的半径为3，那么它的摆线的参数方程为(φ为参数)，把φ＝代入参数方程中可得
即A，∴|AB|＝＝.
答案 C
3.摆线(t为参数，0≤t＜2π)与直线y＝2的交点的直角坐标是( )
A.(π－2，2)，(3π＋2，2) B.(π－3，2)，(3π＋3，2)
C.(π，2)，(－π，2) D.(2π－2，2)，(2π＋2，2)
解析 由2＝2(1－cos t)得cos t＝0.∵t∈[0，2π)，∴t1＝，t2＝.代入参数方程得到对应的交点的坐标为(π－2，2)，(3π＋2，2).
答案 A
4.已知圆的渐开线的参数方程是(θ为参数)，则此渐开线对应的基圆的直径是________，当参数θ＝时对应的曲线上的点的坐标为________.
解析 圆的渐开线的参数方程由圆的半径唯一确定，从方程不难看出基圆的半径为1，故直径为2.把θ＝代入曲线的参数方程，得x＝＋，y＝－，由此可得对应的坐标为.
答案 2
5.已知圆的方程为x2＋y2＝4，点P为其渐开线上一点，对应的参数φ＝，则点P的坐标为________.
解析 由题意，圆的半径r＝2，其渐开线的参数方程为(φ为参数).
当φ＝时，x＝π，y＝2，故点P的坐标为P(π，2).
答案 (π，2)
6.给出直径为6的圆，分别写出对应的渐开线的参数方程和摆线的参数方程.
解 以圆的圆心为原点，一条半径所在的直线为x轴，建立直角坐标系.又圆的直径为6，所以半径为3，所以圆的渐开线的参数方程是
(φ为参数).
以圆周上的某一定点为原点，以定直线为x轴，建立直角坐标系，所以摆线的参数方程为(φ为参数).
7.已知圆的直径为2，其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A、B对应的参数分别是和，求A、B两点的距离.
解 根据条件可知圆的半径是1，所以对应的渐开线参数方程是(φ为参数)，
分别把φ＝和φ＝代入，可得A、B两点的坐标分别为
A，B.
那么，根据两点之间的距离公式可得A、B两点的距离为
|AB|＝
＝.
即A、B两点之间的距离为
.
二、能力提升
8.如图，ABCD是边长为1的正方形，曲线AEFGH…叫做“正方形的渐开线”，其中、、、…的圆心依次按B、C、D、A循环，它们依次相连接，则曲线AEFGH的长是( )
A.3π B.4π
C.5π D.6π
解析 根据渐开线的定义可知，是半径为1的圆周长，长度为，继续旋转可得是半径为2的圆周长，长度为π；是半径为3的圆周长，长度为；是半径为4的圆周长，长度为2π.所以曲线AEFGH的长是5π.
答案 C
9.已知一个圆的平摆线方程是(φ为参数)，求该圆的周长，并写出平摆线上最高点的坐标.
解 由平摆线方程知，圆的半径为2，
则圆的周长为4π.当φ＝π时，y有最大值4，
平摆线具有周期性，周期为2π.
∴平摆线上最高点的坐标为(π＋2kπ，4)(k∈Z).
10.渐开线方程为(φ为参数)的基圆的圆心在原点，把基圆的横坐标伸长为原来的2倍得到曲线C，求曲线C的方程，及焦点坐标.
解 由渐开线方程可知基圆的半径为6，则圆的方程为x2＋y2＝36.
把横坐标伸长到原来的2倍，
得到椭圆方程＋y2＝36，即＋＝1，
对应的焦点坐标为(6，0)和(－6，0).
11.如图，若点Q在半径AP上(或在半径AP的延长线上)，当车轮滚动时，点Q的轨迹称为变幅平摆线，取|AQ|＝或|AQ|＝，请推出Q的轨迹的参数方程.
解 设Q(x，y)、P(x0，y0)，若A(rθ，r)，
则当|AQ|＝时，
有 代入
∴点Q的轨迹的参数方程为(θ为参数).
当AQ＝时，有代入
∴点Q的轨迹方程为(θ为参数).
三、探究与创新
12.已知一个参数方程是如果把t当成参数，它表示的图形是直线l(设斜率存在)，如果把α当成参数(t＞0)，它表示半径为t的圆.
(1)请写出直线和圆的普通方程；
(2)如果把圆平移到圆心在(0，t)，求出圆对应的摆线的参数方程.
解 (1)如果把t看成参数，可得直线的普通方程为：y－2＝tan α(x－2)，即y＝xtan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t＞0时，它表示半径为t的圆，其普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝t2.
(2)由于圆的圆心在(0，t)，圆的半径为t，所以对应的摆线的参数方程为(φ为参数).
讲末复习
—
1.直线的参数方程
直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为y－y0＝k(x－x0).其中k＝tan α，α为直线的倾斜角，代入上式得，y－y0＝(x－x0)，α≠，即＝.记上式的比值为t，整理后得(t为参数).
2.圆的参数方程
若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为(θ为参数)
3.椭圆的参数方程
若椭圆的中心不在原点，而在点M0(x0，y0)，相应的椭圆＋＝1的参数方程为
(t为参数).
4.双曲线的参数方程
双曲线－＝1的参数方程是(θ为参数).
5.抛物线的参数方程
抛物线y2＝2px的参数方程是(t为参数).
6.渐开线的参数方程
圆的渐开线的参数方程为(φ为参数).
7.摆线的参数方程
圆的摆线的参数方程为(φ为参数).
题型一 参数方程与普通方程的互化
参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M的坐标x、y的另一种曲线方程的形式，它体现了x、y之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数.有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围.
在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线.
例1 求方程4x2＋y2＝16的参数方程.
(1)设y＝4sin θ，θ为参数；
(2)以过点A(0，4)的直线的斜率k为参数.
解 (1)把y＝4sin θ代入方程，得到4x2＋16sin2 θ＝16，
于是4x2＝16－16sin2θ＝16cos2θ.
∴x＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x＝2cos θ.
因此4x2＋y2＝16的参数方程是(θ为参数).
(2)设M(x，y)是曲线4x2＋y2＝16上异于A的任一点，则＝k(x≠0)，将y＝kx＋4代入方程，得x[(4＋k2)x＋8k]＝0.
∴易知A(0，4)也适合此方程.
另有一点
∴所求的参数方程为(k为参数)和
跟踪演练1 已知椭圆C的极坐标方程为ρ2＝，点F1、F2为其左、右焦点，直线l的参数方程为(t为参数，t∈R).
(1)求直线l和曲线C的普通方程；
(2)求点F1、F2到直线l的距离之和.
解 (1)直线l的普通方程为y＝x－2，曲线C的普通方程为＋＝1.
(2)∵F1(－1，0)，F2(1，0)，∴点F1到直线l的距离d1＝＝，点F2到直线l的距离d2＝＝，∴d1＋d2＝2.
题型二 圆的参数方程及其应用
圆的参数方程(θ为参数)表示圆心在(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程.
例2 已知圆的方程为x2＋y2＝，椭圆的方程为＋＝1，过原点的射线交圆于A，交椭圆于B.过A，B分别作x轴和y轴的平行线，求所作两直线交点P的轨迹方程.
解 设A，B(5cos θ，4sin θ)(θ为离心角)，则所求轨迹的参数方程为
由O，A，B三点共线，知kOA＝kOB，从而得双参数θ和α的一个约束条件为tan α＝tan θ，③
由①，得tan2θ＝.④
由②，得tan2α＝.⑤
将③式两边平方，
得tan2α＝tan2θ.⑥
把④⑤代入⑥，化简、整理，
得轨迹方程为8x2＋9x2y2＋400y2＝200.
跟踪演练2 在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(θ为参数，且0≤θ＜2π)，点M是曲线C1上的动点.
(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ＞0)，求点P到直线l距离的最大值.
解 (1)曲线C1上的动点M的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O(0，0)，
设P的坐标为(x，y)，则由中点坐标公式得x＝(0＋4cos θ)＝2cos θ，y＝(0＋4sin θ)＝2sin θ，
所以点P的坐标为(2cos θ，2sin θ)，
因此点P的轨迹的参数方程为(θ为参数，且0≤θ＜2π)，
消去参数θ，得点P轨迹的直角坐标方程为x2＋y2＝4.
(2)由直角坐标与极坐标关系得
直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.
又由(1)，知点P的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0，0)到直线x－y＋1＝0的距离为＝＝，所以点P到直线l距离的最大值为2＋.
题型三 圆锥曲线的参数方程及其应用
对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式.
例3 在平面直角坐标系xOy中，设P(x，y)是椭圆＋y2＝1上的一个动点，求S＝x＋y的最大值和最小值.
解 ∵椭圆＋y2＝1的参数方程为(φ为参数).
故设动点P(cos φ，sin φ)，其中φ∈[0，2π).
因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ
＝2＝2sin .
∴当φ＝时，S取得最大值2.
当φ＝时，S取得最小值－2.
跟踪演练3 在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为(φ为参数，a＞b＞0).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin＝m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________.
解析 椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由ρsin＝m得( ρsin θ＋ρcos θ)＝m，即直线方程为x＋y－m＝0.由ρ＝b，得ρ2＝b2，即x2＋y2＝b2，所以圆的标准方程为x2＋y2＝b2.因为直线x＋y－m＝0过椭圆的焦点，代入得m＝±c.直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝b2相切，则＝b，即|m|＝b.所以c＝b，解得a＝b，所以离心率e＝＝＝.
答案
题型四 直线参数方程的应用
直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义.
例4 直线l过点P0(－4，0)，它的参数方程为(t为参数)与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点.
(1)求弦长|AB|；
(2)过P0作圆的切线，求切线长.
解 将直线l的参数方程代入圆的方程，
得＋＝7，整理得t2－4t＋9＝0.
(1)设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系得
t1＋t2＝4，t1·t2＝9.故|AB|＝|t2－t1|＝＝2.
(2)设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，则|P0T|2＝|P0A|·|P0B|＝|t1t2|＝9，
∴切线长|P0T|＝3.
跟踪演练4
在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长.
解 将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，
得＝4.
解得t1＝0，t2＝－8.
所以AB＝|t1－t2|＝8.
题型五 极坐标、参数方程与普通方程的综合应用
极坐标、参数方程与普通方程的综合试题是热点与重点，掌握好极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化是解题的关键点.
例5 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为ρcos＝a，且点A在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程；
(2)圆C的参数方程为(α为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系.
解 (1)由点A在直线ρcos ＝a上，可得a＝.
所以直线l的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，
从而直线l的直角坐标方程为x＋y－2＝0.
(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，
所以圆C的圆心为(1，0)，半径r＝1，
因为圆心C到直线l的距离d＝＝＜1，
所以直线l与圆C相交.
跟踪演练5 在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.圆C1，直线C2的极坐标方程分别为ρ＝4sin θ，ρcos＝2.
(1)求C1与C2交点的极坐标；
(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点.已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数)，求a，b的值.
解 (1)圆C1的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
解得
所以C1与C2交点的极坐标为，.
(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3).
故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0.
由参数方程可得y＝x－＋1.
所以解得
1.参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力.
2.参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围.
讲末检测
一、选择题
1.下列点不在直线(t为参数)上的是( )
A.(－1，2) B.(2，－1)
C.(3，－2) D.(－3，2)
解析 直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
答案 D
2.以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. B.2
C. D.2
解析 由题意得，直线l的普通方程为x－y－4＝0，圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心到直线l的距离d＝＝，直线l被圆C截得的弦长为2＝2.
答案 D
3.极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是( )
A.两个圆 B.两条直线
C.一个圆和一条射线 D.一条直线和一条射线
解析 ∵(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)，∴ρ＝1或θ＝π(ρ≥0).ρ＝1表示圆心在原点，半径为1的圆，θ＝π(ρ≥0)表示x轴的负半轴，是一条射线，故选C.
答案 C
4.在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线的方程是( )
A.ρsin θ＝1 B.ρsin θ＝
C.ρcos θ＝1 D.ρcos θ＝
解析 因点P，得x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，
即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，
再化为极坐标为ρsin θ＝1，选A.
答案 A
5.已知O为原点，当θ＝－时，参数方程(θ为参数)上的点为A，则直线OA的倾斜角为( )
A. B.
C. D.
解析 当θ＝－时，x＝，y＝－，
∴kOA＝tan α＝＝－，且0≤α＜π，
因些α＝π.
答案 C
6.若直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l的倾斜角的余弦值为( )
A.－ B.－
C. D.
解析 由题意知，直线l的普通方程为4x＋3y－10＝0.设l的倾斜角为θ，则tan θ＝－.由＝1＋tan2θ知cos2θ＝.∵<θ<π，∴cos θ＝－，故选B.
答案 B
7.椭圆(θ为参数)的离心率是( )
A. B.
C. D.
解析 椭圆的标准方程为＋＝1，∴e＝.故选A.
答案 A
8.若直线y＝x－b与曲线θ∈[0，2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是( )
A.(2－，1) B.[2－，2＋]
C.(－∞，2－)∪(2＋，＋∞) D.(2－，2＋)
解析 由消去θ，得(x－2)2＋y2＝1.
将y＝x－b代入(*)，化简得2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依题意，Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)＞0.
解之得2－＜b＜2＋.
答案 D
9.参数方程(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( )
A.椭圆的一部分
B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分，且过点
D.抛物线的一部分，且过点
解析 由y＝cos2＝＝，
可得sin θ＝2y－1，由x＝得x2－1＝sin θ，
∴参数方程可化为普通方程x2＝2y.
又x＝∈[0，]，故选D.
答案 D
10.已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2，则点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是( )
A.4＋ B.2(2＋)
C.4(2＋) D.8＋
解析 将直线l参数方程化为(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋)t′＋16＝0，设其两根为t1′，t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋)，t1′t2′＝16＞0.
由此知在l上两点P1，P2都在A(0，2)的下方，则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋).
答案 C
二、填空题
11.双曲线(φ是参数)的渐近线方程为________.
解析 化参数方程为普通方程，得y2－x2＝1.故其渐近线为y＝±x，即x±y＝0.
答案 x±y＝0
12.在极坐标系中，直线过点(1，0)且与直线θ＝(ρ∈R)垂直，则直线极坐标方程为________.
解析 由题意可知在直角坐标系中，直线θ＝的斜率是，所求直线是过点(1，0)，且斜率是－，所以直线方程为y＝－(x－1)，化为极坐标方程ρsin θ＝－(ρcos θ－1)化简得2ρsin＝1.
答案 2ρsin＝1
13.已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ－4cos θ＝0(ρ≥0，0≤θ＜2π)，则直线l与曲线C的公共点的极径ρ＝________.
解析 直线l的普通方程为y＝x＋1，曲线C的直角坐标方程为y2＝4x，
联立两方程，得
解得
所以公共点为(1，2).
所以公共点的极径为ρ＝＝.
答案
14.已知P为椭圆4x2＋y2＝4上的点，O为原点，则|OP|的取值范围是________.
解析 由4x2＋y2＝4，得x2＋＝1.
令(φ为参数)，
则|OP|2＝x2＋y2＝cos2φ＋4sin2φ＝1＋3sin2φ.
∵0≤sin2φ≤1，
∴1≤1＋3sin2φ≤4，
∴1≤|OP|≤2.
答案 [1，2]
三、解答题
15.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.
解 直线l的方程化为普通方程为x－y－＝0，
椭圆C的方程化为普通方程为x2＋＝1，
联立方程组得
解得或
∴A(1，0)，B.
故AB＝＝.
16.已知圆O的参数方程为(θ为参数，0≤θ＜2π).
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O上点M对应的参数θ＝，求点M的坐标.
解 (1)由(0≤θ＜2π)，
平方得x2＋y2＝4，
∴圆心O(0，0)，半径r＝2.
(2)当θ＝π时，x＝2cos θ＝1，y＝2sin θ＝－.
∴点M的坐标为(1，－).
17.已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点.
(1)求M的轨迹的参数方程；
(2)将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点.
解 (1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，
因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α).
M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π).
(2)M点到坐标原点的距离
d＝＝2＋2cos α(0＜α＜2π).
当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点.
18.在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4，2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.
(1)写出直线l的参数方程；并将曲线C的方程化为直角坐标方程；
(2)若曲线C与直线相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围.
解 (1)直线l的参数方程为(t为参数).
∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，
所以C：x2＋y2＝4x.
(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入C：x2＋y2＝4x，得t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，则有
∴sin α·cos α＞0，又α∈[0，π)，
所以α∈，t1＜0，t2＜0.
而|PM|＋|PN|＝
＋
＝|t1|＋|t2|＝－t1－t2＝4(sin α＋cos α)＝4sin.
∵α∈，
∴α＋∈，
∴＜sin≤1，
所以|PM|＋|PN|的取值范围是为(4，4).
模块检测
一、选择题
1.极坐标方程cos θ＝(ρ∈R)表示的曲线是( )
A.两条相交直线 B.两条射线
C.一条直线 D.一条射线
解析 由cos θ＝，解得θ＝或θ＝π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线.
答案 A
2.过点P(4，3)，且斜率为的直线的参数方程为( )
A.(t为参数) B.(t为参数)
C.(t为参数) D.(t为参数)
解析 因为倾斜角α满足tan α＝，所以sin α＝，cos α＝，所以所求参数方程为(t为参数).
答案 A
3.如图所示，在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为A1(4，0，5)，C1，则此长方体外接球的体积为( )
A. B.
C. D.
解析 A1，C1的直角坐标分别为A1(4，0，5)，C1(0，6，5)，所以OA＝4，OC＝6，OO1＝5，所以长方体外接球的半径R＝＝.所以外接球体积V＝πR3＝π＝π.
答案 B
4.圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心的极坐标是( )
A. B.
C. D.
解析 ρ＝5cos θ－5sin θ两边同乘以ρ，得ρ2＝5ρcos θ－5ρsin θ，即x2＋y2－5x＋5y＝0，故圆心的直角坐标为，半径为5，结合该点的位置知该点的一个极坐标是.
答案 A
5.将曲线＋＝1按φ：变换后的曲线的参数方程为( )
A. B.
C. D.
解析 ＋＝1→＋＝1→(x′)2＋(y′)2＝1→→
即故选D.
答案 D
6.化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( )
A.x2＋y2＝0或y＝1 B.x＝1
C.x2＋y2＝0或x＝1 D.y＝1
解析 由ρ2cos θ－ρ＝0，得ρ(ρcos θ－1)＝0，又ρ＝，x＝ρcos θ，∴x2＋y2＝0或x＝1.
答案 C
7.柱坐标对应的点的直角坐标系是( )
A.(，－1，1) B.(，1，1)
C.(1，，1) D.(－1，，1)
解析 由直角坐标与柱坐标之间的变换公式，可得.故应选C.
答案 C
8.已知曲线C的极坐标方程为ρ＝6sin θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴正半轴，直线l的参数方程为(t为参数)，则直线l与曲线C相交所得弦长为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6y＝0，即x2＋(y－3)2＝9，
直线的直角坐标方程为x－2y＋1＝0，
∵圆心C到直线l的距离d＝＝.
∴直线l与圆C相交所得弦长为2＝2＝4.
答案 D
9.已知直线l1的极坐标方程为ρsin＝2 014，直线l2的参数方程为(t为参数)，则l1与l2的位置关系为( )
A.垂直 B.平行
C.相交但不垂直 D.重合
解析 由ρsin＝2 014，得ρ＝2 014，
即ρsin θ－ρcos θ＝2 014，所以y－x＝2 014，即y＝x＋2 014.
把直线l2的参数方程化为普通方程为＝＝－1，即y＝－x，所以kl1·kl2＝1×(－1)＝－1，所以l1⊥l2.
答案 A
10.若动点(x，y)在曲线＋＝1(b＞0)上变化，则x2＋2y的最大值为( )
A. B.
C.＋4 D.2b
解析 设动点的坐标为(2cos θ，bsin θ)，代入x2＋2y＝4cos2θ＋2bsin θ＝－＋4＋，当0＜b≤4时，(x2＋2y)max＝＋4；
当b＞4时，(x2＋2y)max＝－＋4＋＝2b.
答案 A
二、填空题
11.在极坐标系中，点关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为________.
解析 结合图形不难知道点关于直线ρcos θ＝1的对称点的极坐标为.
答案
12.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________.
解析 射线θ＝的普通方程为y＝x(x≥0)，代入得t2－3t＝0，解得t＝0或t＝3.
当t＝0时，x＝1，y＝1，即A(1，1)；
当t＝3时，x＝4，y＝4，即B(4，4).
所以AB的中点坐标为.
答案
13.极坐标系中，曲线ρ＝－4cos θ上的点到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝8的距离的最大值是________.
解析 曲线方程化为：ρ2＝－4ρcos θ，即x2＋y2＋4x＝0，化为：(x＋2)2＋y2＝4，圆心坐标为(－2，0)，半径为r＝2，直线方程化为：x＋y－8＝0，圆心到直线的距离为：d＝＝5，所以最大距离为：5＋2＝7.
答案 7
14.直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数为________.
解析 直线与曲线的普通方程分别为x＋y－1＝0①
x2＋y2＝9②
②表示圆心为O(0，0)，半径为3的圆，设O到直线的距离为d，则d＝＝，∵＜3，∴直线与圆有2个交点.
答案 2
三、解答题
15.在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程.
解 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从而c＝＝4，所以右焦点为(4，0).将已知直线的参数方程化为普通方程x－2y＋2＝0.故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y－4＝0.
16.已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1，0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.
(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
(2)求直线AM的参数方程.
解 (1)由已知，M点的极角为，且M点的极径等于，故点M的极坐标为.
(2)M点的直角坐标为，A(1，0)，故直线AM的参数方程为(t为参数).
17.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－
2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.
所以a＝1.
18.如图，已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F的直线交抛物线于A、B两点.
(1)求证：＋为定值；
(2)求AB的中点M的轨迹方程.
(1)证明 设直线AB的方程为(t为参数，α≠0)，代入y2＝2px整理，得t2sin2α－2ptcos α－p2＝0.
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则由根与系数的关系，得
t1＋t2＝，t1t2＝－.
＋＝＋＝＝＝
＝＝(定值).
(2)解 设AB的中点M(x，y)，则M对应的参数为t＝＝，
∴(α为参数)，消去α，得y2＝p为所求的轨迹方程.
课件31张PPT。讲末复习1.直线的参数方程2.圆的参数方程3.椭圆的参数方程4.双曲线的参数方程5.抛物线的参数方程6.渐开线的参数方程7.摆线的参数方程题型一 参数方程与普通方程的互化参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M的坐标x、y的另一种曲线方程的形式，它体现了x、y之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁——参数.有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围.
在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线.例1 求方程4x2＋y2＝16的参数方程.(1)设y＝4sin θ，θ为参数；
(2)以过点A(0，4)的直线的斜率k为参数.(1)求直线l和曲线C的普通方程；
(2)求点F1、F2到直线l的距离之和.题型二 圆的参数方程及其应用(1)求线段OM的中点P的轨迹的直角坐标方程；
(2)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ＞0)，求点P到直线l距离的最大值.题型三 圆锥曲线的参数方程及其应用对于椭圆的参数方程，要明确a，b的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式.题型四 直线参数方程的应用直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题.在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义.(1)求弦长|AB|；
(2)过P0作圆的切线，求切线长.跟踪演练4 题型五 极坐标、参数方程与普通方程的综合应用极坐标、参数方程与普通方程的综合试题是热点与重点，掌握好极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化是解题的关键点.1.参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式.某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力.
2.参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围.
