10.1 相交线（1）同步练习

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10.1 相交线（1）同步练习
　班级__________姓名____________总分___________
本节应掌握和应用的知识点
１．两条直线相交所形成的四个角中,有公共 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点且一个角的两边分别是另一角的两边的反向延长线,具有这样位置关系的两个角叫对顶角,两条直线相交共有两对对顶角．
２．对顶角的性质:对顶角相等 ．
3.当已知图中某一个角的度数,可根据其他角与这个角的关系,运用互余、互补,对顶角的性质求相关角的度数． 【来源：21·世纪·教育·网】
4．当三点在一条直线上时,可以巧妙地利用平角的概念解决问题．
基础知识和能力拓展精练
一、选择题
1．如图，∠1和∠2是对顶角的图形个数有（ ）
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A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2．有下列几种说法：
①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角；
②两条直线相交所成的四个角相等；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等；
④两条直线相交对顶角互补．
其中，能两条直线互相垂直的是（ ）
A. ①③ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④
3．如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB于点O，则图中∠1与∠2的关系是（ ）
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A. 对顶角 B. 等角 C. 互余的角 D. 互补的角
4．下列语句中，正确的是（ ）
A. 相等的角一定是对顶角 B. 互为补角的两个角不相等
C. 两边互为反向处长线的两个角是对顶角 D. 交于一点的三条直线形成3对对顶角
5．平面内两两相交的8条直线，其交点个数最少为m个，最多为n个，则m+n等于（　　）
A. 16 B. 18 C. 29 D. 28
6．若∠1与∠2是对顶角且互补，则它们两边所在的直线(　 )
A. 互相垂直 B. 互相平行 C. 既不垂直也不平行 D. 不能确定
7．四条直线相交于一点，总共有对顶角（　　）
A. 8对 B. 10对 C. 4对 D. 12对
8．如图，直线a，b相交于点O，若∠1等于40°，则∠2等于（　　）
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A. 140° B. 120° C. 60° D. 50°
二、填空题
9．如图，直线AB与CD相交于点，则 ______°
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10．如图直线相交于点O，图中的对顶角是______ ， 的邻补角是______ ．
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11．如图，直线AB、CD、EF相交于同一点O，而且∠BOC=∠AOC，∠DOF=∠AOD，那么∠FOC=_____度．21·世纪*教育网
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12．两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是(2x-10)°和(110-x)°，则x=__________．21·cn·jy·com
13．下列说法中：①因为∠1与∠2是对顶角 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以∠1=∠2；②因为∠1与∠2是邻补角，所以∠1=∠2；③因为∠1与∠2不是对顶角，所以∠1≠∠2；④因为∠1与∠2不是邻补角，所以∠1+∠2≠180°.其中正确的有__________
14．探究题：
（1）三条直线相交，最少有__________个交点，最多有__________个交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数；2-1-c-n-j-y
（2）四条直线相交，最少有__________个交点，最多有__________个交点，分别画出图形，并数出图形中的对顶角和邻补角的对数；【来源：21cnj*y.co*m】
（3）依次类推，n条直线相交，最少有___ ( http: / / www.21cnjy.com )_______个交点，最多有__________个交点，对顶角有__________对，邻补角有__________对.【出处：21教育名师】
15．如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOD＝70°，∠EOF＝65°，则∠AOF的度数为______°．21教育名师原创作品
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三、解答题
16．∠1= EMBED Equation.DSMT4 ∠2，∠1+∠2=162°，求∠3与∠4的度数．
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17．观察下列图形，并阅读相关文字．
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2条直线相交，3条直线相交，4条直线相交，5条直线相交；
有2对对顶角，有6对对顶角，有12对对顶角，有20对对顶角；
通过阅读分析上面的材料，计算后得出规律，当n条直线相交于一点时，有多少对对顶角出现（n为大于2的整数）．21教育网
18．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD，∠1=25°,求∠2的度数？
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19．如图，直线，相交于点，平分．
（）若，求的度数．
（）若，判断射线，的位置关系并说明理由．
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20．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COE．
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（1）若∠AOC=76°，求∠BOF的度数；
（2）若∠BOF=36°，求∠AOC的度数；
（3）若|∠AOC﹣∠BOF|=α°，请直接写出∠AOC和∠BOF的度数．（用含的代数式表示）
参考答案
1．A
【解析】一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角是对顶角．只有丙图中的两个角是对顶角.21*cnjy*com
故选：A.
2．D
【解析】试题解析：①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角能得到两条直线互相垂直；
②两条直线相交所成的四个角相等能得到两条直线互相垂直；
③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等能得到两条直线互相垂直；
④两条直线相交对顶角互补能得到两条直线互相垂直．
故选D.
3．C
【解析】分析：根据垂直得出∠BOE=90°，根据对顶角的性质得出∠1+∠2=90°，从而得出答案．
详解：∵OE⊥AB， ∴∠2+∠DOB=90°，又∵∠1=∠DOB， ∴∠1+∠2=90°，故选C．
点睛：本题主要考查的就是垂直的性质以及对顶角的性质，属于基础题型．解答这个问题的关键就是通过对顶角将所求的角转化为一个角．
4．C
【解析】试题解析：A.如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，还要看这两个角的位置关系，故错误；
B.如90°角的补角是90°，故错误；
C.两直线相交构成的没有公共边的两个相对的角是对顶角，正确；
D.有6对，所以错误．
故选C.
5．C
【解析】试题解析：根据题意可得：8条直线相交于一点时交点最少，此时交点为1个，即m=1；
任意两直线相交都产生一个交点时交点最多，
∵任意三条直线不过同一点，
∴此时交点为：8×（8﹣1）÷2=28，即n=28；
则
故选C．
6．A
【解析】∵∠A与∠B是对顶角，
∴∠A=∠B，
又∵∠A与∠B互补，
∴∠A+∠B=180°，
可求∠A=90°．
故选：A．21cnjy.com
7．D
【解析】如图所示，共有12对，故选D．
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8．A
【解析】根据邻补角互补得：∠2=180°—∠1=180°—40°=140°.故选A.
9．50
【解析】解：∵∠BOC与∠AOD是对顶角，∴∠BOC=∠AOD=50°．故答案为：50．
10． ； 、
【解析】试题解析：由图形可知∠AOE的对顶角是∠BOF，
∠COF的邻补角是∠COE和∠FOD．
11．156
【解析】∵∠BOC+∠AOC=180°，∠BOC=∠AOC，
∴∠BOC=72°，
∴∠BOC=∠AOD=72°，
∵∠DOF=∠AOD =24°，
∴∠FOC=180°-∠DOF=156°．21*cnjy*com
12．40或80
【解析】当这两个角是对顶角时，(2x-10) =(110-x)，
解之得
x=40;
当这两个角是邻补角时，(2x-10) +(110-x) =180，
解之得
x=80;
∴x的值是40或80.
点睛：本题考查了两条直线相 ( http: / / www.21cnjy.com )交所成的四个角之间的关系及分类讨论的数学思想，两条直线相交所成的四个角或者是对顶角的关系，或者是邻补角的关系，明确这两种关系是解答本题的关键.【版权所有：21教育】
13．①
【解析】解：①满足对顶角的性质，所以正确；
②邻补角是特殊位置的补角，由互补的性质可知其和应180°，而不是∠1＝∠2，所以不正确；
③中的∠1与∠2不是对顶角是从位置上看的，但它们在数量上是可以相等，所以也不正确；
④的原因同③．
故答案为：①．
14．(1)1，3；(2)1，6；(3)1， ，n(n-1)，2n(n-1)
【解析】（1）三条直线相交,最少有1个交点,最多有3个交点,如图：
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（2）四条直线相交,最少有1个交点,最多有6个交点,如图:
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（3）n条直线相交,最少有1个交点,最多有个交点,对顶角有对,邻补角有对.
故答案为:（1）1,3,（2）1,6,（3）1, , ,．
15．30°
【解析】∵∠AOC与∠BOD是对顶角，∠BOD=70°，
∴∠AOC=70°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE=∠AOC=35°，
∴∠AOF=∠EOF-∠AOE=65°-35°=30°，
故答案为：30°.
16．∠3=54°，∠4=72°
【解析】试题分析：先由∠1=∠2，∠1+∠2=162°，求出∠1和∠2的度数；再根据∠1和∠3 是对顶角，∠4和∠2为邻补角求出∠3与∠4的度数.
∵∠1=∠2，∠1+∠2=162°，
∴∠1=54°， ∠2=108°.
∵∠1和∠3是对顶角，
∴∠3=∠1=54°
∵∠2和∠4是邻补角，
∴∠4=180°-∠2=180°-108°=72°.
17．n条直线相交，有n（n﹣1）对对顶角．
【解析】试题分析：由材料可以得到：利用对顶角的个数，除以对应的相交直线的条数，就得到图形的顺序数．因而有条直线相交时，这个图形是第个图形，因而对顶角的个数是：
试题解析：2条直线相交，有2×1=2对对顶角；
3条直线相交，有3×2=6对对顶角；
4条直线相交，有4×3=12对对顶角；
5条直线相交，有5×4=20对对顶角；
…
n条直线相交，有对对顶角．
18．65°
【解析】试题分析：直接利用邻补角的定义得出∠BOE=65°，再根据对顶角相等，即可得出答案．
试题解析：∵直线AB，CD，EF相交于点O，且AB⊥CD
∴∠BOC=90°，
∵∠1=25°，
∴∠BOE=65°，
∴∠2=∠BOE=65°．
19．（）；（）
【解析】整体分析：
（1）由角平分线的定义，先求出∠AOC，再由对顶角相等求解；(2)判断出∠DOE=∠COE，即可得到∠DOE=90°.21世纪教育网版权所有
解：（）∵平分且，
∴，
∴．
（）射线，的位置关系是垂直．理由如下：
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
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20．（1）∠BOF=33°；（2）∠AOC=72°；(3) ∠AOC=2x=（）°﹣α°，∠BOF=（）°+α°．
【解析】试题分析：
（1）由∠AOC=76°易得∠BOD= ( http: / / www.21cnjy.com )76°，结合OE平分∠BOD可得∠DOE=∠BOE=38°，由此可得∠COE=180°-38°=142°，结合OF平分∠COE可得∠EOF=71°，最后由∠BOF=∠EOF-∠BOE即可求得∠BOF的度数；www.21-cn-jy.com
（2）设∠BOE=x，由OE平分∠ ( http: / / www.21cnjy.com )BOD，∠AOC=∠BOD可得∠DOE=∠BOE=x，∠AOC=2x，结合∠BOF=36°，OF平均∠EOF可得∠COF=∠EOF=x+36°，最后由∠AOC+∠COF+∠BOF=180°即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC的度数；2·1·c·n·j·y
（3）设∠BOE=x，则由已知条件易得∠AOC=2x，∠BOF=90°-x，这样结合|∠AOC﹣∠BOF|=α°即可列出关于x的方程，解方程求得x的值即可求得∠AOC和∠BOF的值.
试题解析：
（1）∵∠BOD=∠AOC=76°，
又∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOD=×76°=38°．
∴∠COE=180°﹣∠DOE=180°﹣38°=142°，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠COE=×142°=71°，
∴∠BOF=∠EOF﹣∠BOE=71°﹣38°=33°．
（2）∵OE平分∠BOD，OF平分∠COE，
∴∠BOE=∠EOD，∠COF=∠FOE，
∴设∠BOE=x，则∠DOE=x，
故∠COA=2x，∠EOF=∠COF=x+36°，
则∠AOC+∠COF+∠BOF=2x+x+36°+36°=180°，
解得：x=36°，
故∠AOC=72°．
（3）设∠BOE=x，
∵OE平分∠BOD，∠BOD=∠AOC，
∴∠DOE=x，∠COA=2x，
∴∠BOC=180°-2x，
∴∠COE=180°-x，
∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=90°-x，
∴∠BOF=90°﹣x，
∵|∠AOC﹣∠BOF|=α°，
∴|2x﹣（90°﹣x）|=α°，
解得：x=（）°+α°或x=（）°﹣α°，
当x=（）°+α°时，
∠AOC=2x=（）°+α°，
∠BOF=90°﹣x=（）°﹣α°；
当x=（）°﹣α°时，
∠AOC=2x=（）°﹣α°，
∠BOF=90°﹣x=（）°+α°．
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