(共20张PPT)
4.1.1变量与函数
数学湘教版 八年级下
导入新知
大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢
数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化.
动脑筋
新知讲解
问题1. 如图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线.
观察与思考：
2. 随着 的变化而变化.
气温
时间
1. 这一天中,4时的气温是 ℃,14时的气温是___ ℃;
10
20
新知讲解
边长 x 1 2 3 4 5 6 7 ...
面积S ...
1. 正方形的 随着 的变化而变化.
1
4
9
16
25
36
问题2. 当正方形的边长 x 分别取1，2，3，4，5，...时，正方形的面积S分别是多少？试填写下表.
49
面积S
边长x
2. 当边长 x 取定一个值时，面积 S 有 （唯一或不唯一）的值与它对应.
唯一
观察思考：
新知讲解
问题3. 某城市居民用天然气收费标准为: 1(m3)收费2.88元，使用x(m3)天然气应缴纳的费用y（元）为 y = 2.88 x. 当x = 10时，缴纳的费用为多少？
使用天然气应缴纳的 随着所用天然气的
的变化而变化.
观察思考：
费用y
体积 x
2. 当x = 10时，y = （元）；当x = 20时，y = ___ （元）.
28.8
57.6
新知讲解
变量与常量的定义
在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,有些量的数值是始终不变的,我们称它们为常量.
判断标准：看取值是否能发生 .
变化
变量: 如问题1中的时间 t 和温度 T；
问题2中的面积 S 和边长 x；
问题3中的费用 y 和用气量 x .
常量: 如问题3中的2.88 .
注意：
1.变量和常量是相对的，对不同的过程而言，其中的变量和常量是不相同的.
2.圆周率π是常量
新知讲解
新知讲解
2.当一个变量确定一个值时，另一个变量有 与其对应
1. 每个变化的过程中都存在着 个变量.
唯一确定的值
两
思考：
理解：
1.函数谈的是变量间的关系.
2.对于x的每一个确定的值，y都有唯一被确定的值与其对应，y才是x的函数.
新知讲解
函数的概念：
一般地,变量 y 随着变量 x 的变化而变化, 并且对于x的每一个值, y 都有唯一的一个值与它对应, 我们就说y是x 的函数, 记作y = f (x).
这里的f(x)是英文 a function of x(x的函数)的简记. 这时把x叫作自变量，把y叫作因变量
对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a).
想一想
如何确定是否是函数呢？
是否存在两个变量
是否符合唯一对应性
两个关键因素
新知讲解
新知讲解
1. 问题1中， 是自变量， 是 的函数.
时间t
气温T
时间t
2. 问题2中，正方形的边长是 ，正方形的面积
是边长 的函数.
自变量
3. 问题3中， 是自变量，
是 的函数.
所用天然气的体积x
应缴纳费用y
所用天然气的体积x
S
x
说一说：
新知讲解
第1个问题中，自变量t的取值范围是0≤t≤24；
第2个问题中，自变量x的取值范围是 x＞0
第3个问题中，自变量x的取值范围是 x≥0
在考虑两个变量间的函数时，还要注意自变量的取值范围.
温馨提示：确定自变量的取值范围时
①要使 有意义
②要符合 的实际意义
函数关系式
问题
例1、如图，已知圆柱的高是4cm，底面半径是r(cm)，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V(cm3)是r的函数
(1)用含r 的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围.
(2)当r=5,10时，V是多少(结果保留π)？
新知讲解
解：(1)圆柱的体积v=4
自变量r的取值范围是r＞0
(2)当r=5时，v=4π×25=100π(cm3)
当r=10时, v=4π×25=100π(cm3)
注：对于实际问题,其自变量的取值范围还应使实际问题有意义
新知讲解
2是一种运算，不是常量
学以致用
盛满10千克水的水箱，每小时流出0.5千克水，则水箱中的余水量y(千克)与时间t(小时)之间的函数关系式如何表示呢？
(1)请写出自变量t的取值范围.
(2)当时间为6小时，求水箱中的余水量
解：函数关系式为：y=10-0.5t
(1)由t≥0及10-0.5t ≥0 得 0 ≤ t≤ 20
∴自变量的取值范围是: 0 ≤ t ≤ 20
(2)当 t = 6时,函数 y 的值为:y=10－0.5×6=7
巩固提升
1.在圆的面积计算公式S=πR2中，变量是( )
A.S B.R C.π，R D.S，R
B
2.一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少x cm后，得到的新正方形的周长为y cm，y与x的关系式可以写为( )
A.y=12-4x B.y=4x-12
C.y=12-x D.以上都不对
A
巩固提升
3.在关系式V=30-2t中，V随着t的变化而变化，其中自变量是__________，因变量是__________，当t=________时，V=0.
t
V
15
4.按图示的运算程序，输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y，写出y与x之间的关系式：________________.
y=5x+6
课堂小结
函数与变量
2. 先变化的量是自变量，后变化的量是函数.
1. 函数的概念：在某一个变化过程中的两个变量x 与y，对于x在某一变化范围内的每一个确定的值，y 都有一个唯一的值与它对应，那么称y 是x 的函数，把x 叫做自变量，把y 叫做因变量.
3. 判断两个变量是否是函数关系，要同时满足两个条件：
（1）有两个变量；
（2）当其中的一个变量变化时，另一个变量也在随着变化；
（3）自变量 x 每取一个确定的值，函数 y 都有唯一值与之对应.
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湘教版数学八年级下册4.1.1变量与函数教学设计
课题 变量与函数 单元 4 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体验“发现、创造”数学知识的乐趣。学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。
能力目标 引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程,体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之间联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。
知识目标 1、借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量．2.初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。3.初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。
重点 借助简单实例，从两个变量间的特殊对应关系抽象出函数的概念
难点 理解函数的“唯一对应”性
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：大千世界处在不停的运动变化之中,如何来研究这些运动变化并寻找规律呢 师：数学上常用变量与函数来刻画各种运动变化. 学生思考问题，通过老师的提示引出本节课的内容 让学生感受数学在生活中的用处，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程
讲授新课 动脑筋(出示课件)师：同学们每天都听天气预报知道最高气温和最低气温，那一天的气温变化怎样表示呢？来看问题1并回答问题：问题1. 如图是某地气象站用自动温度记录仪描出的某一天的温度曲线.观察与思考：1. 这一天中,4时的气温是 ℃,14时的气温是___ ℃;2. 随着 的变化而变化.师：同学们很棒，我们接着看下面的问题，试着回答问题问题2. 当正方形的边长 x 分别取1，2，3，4，5，...时，正方形的面积S分别是多少？试填写下表.观察思考：1.正方形的 随着 的变化而变化. 2. 当边长 x 取定一个值时，面积 S 有 （唯一或不唯一）的值与它对应.问题3. 某城市居民用天然气收费标准为: 1(m3)收费2.88元，使用x(m3)天然气应缴纳的费用y（元）为 y = 2.88 x. 当x = 10时，缴纳的费用为多少？1.使用天然气应缴纳的 随着所用天然气的 的变化而变化.2. 当x = 10时，y = （元）；当x = 20时，y = ___ （元）.师：同学们通过上面的三个问题，了解到什么知识？试着说一说常量和变量的定义吧.生：在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,有些量的数值是始终不变的,我们称它们为常量.师：很好，那么要以什么为标准呢？生：我觉得看取值是否能发生变化.师：很好，那我们能否找出上面三个问题中的变量和常量呢？找一找吧生：变量:如问题1中的时间 t 和温度 T； 问题2中的面积 S 和边长 x； 问题3中的费用 y 和用气量 x .常量：如问题3中的2.88师：学生回答的很好，变量和常量是函数中的两个量，那么什么是函数呢？生：一般地,变量 y 随着变量 x 的变化而变化, 并且对于x的每一个值, y 都有唯一的一个值与它对应，我们就说y是x 的函数, 记作y = f (x).师：这里的f(x)是英文 a function of x(x的函数)的简记. 这时把x叫作自变量，把y叫作因变量。对于自变量x取的每一个值a，因变量y的对应值称为函数值，记作f(a).师：说一说上面的三个问题中的函数，变量分别是什么？生：问题1中，时间t是自变量，气温T是时间t的函数.生：问题2中，正方形的边长是自变量，正方形的面积s是边长x的函数.生：问题3中，所用天然气的体积x是自变量， 应缴纳费用y是所用天然气的体积x的函数.师：那么我们说的自变量有没有其他限制条件呢？生：①要使函数关系式有意义②要符合问题的实际意义例题讲解例1、如图，已知圆柱的高是4cm，底面半径是r(cm)，当圆柱的底面半径r由小变大时，圆柱的体积V(cm3)是r的函数(1)用含r 的代数式来表示圆柱的体积V，指出自变量r的取值范围.(2)当r=5,10时，V是多少(结果保留π)？师：我们来小试一下身手吧课件展示练习：盛满10千克水的水箱，每小时流出0.5千克水，则水箱中的余水量y(千克)与时间t(小时)之间的函数关系式如何表示呢？(1)请写出自变量t的取值范围.(2)当时间为6小时，求水箱中的余水量 学生思考填空关注其中数量的变化，用数量变化描述变化规律学生积极回答问题1．学生独立思考2．将自己的结论在小组内交流。3．师生共同结，达成共识。教师引导学生审题，学生弄清题意后，师生共同分析思路，学生口答，教师板书解题过程。学生思考，小组解答此题，老师给予订正 学生通过观察图，找出问题的答案，激发学生的强烈的好奇心和求知欲。锻炼学生的口头表达能力通过学生自己总结归纳，加深对知识的理解。学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识。通过此题加深对知识的巩固并学会应用
巩固提升 1.在圆的面积计算公式S=πR2中，变量是( ) A.S B.R C.π，R D.S，R答案：B2.一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少x cm后，得到的新正方形的周长为y cm，y与x的关系式可以写为( ) A.y=12-4x B.y=4x-12 C.y=12-x D.以上都不对答案：A3、3.在关系式V=30-2t中，V随着t的变化而变化，其中自变量是__________，因变量是__________，当t=________时，V=0答案：t，V，154.按图示的运算程序，输入一个实数x，便可输出一个相应的实数y，写出y与x之间的关系式：________________.答案：y=5x+6 学生自主解答，教师讲解答案。 通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？1. 函数的概念：在某一个变化过程中的两个变量x 与y，对于x在某一变化范围内的每一个确定的值，y 都有一个唯一的值与它对应，那么称y 是x 的函数，把x 叫做自变量，把y 叫做因变量.2. 先变化的量是自变量，后变化的量是因变量. 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 4.1.1变量与函数1. 函数的概念2.先变化的量是自变量，后变化的量是因变量
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4.1.1变量与函数练习题
一、选择题
1．以固定的速度(米/秒)向上抛一个小球，小球的高度(米)与小球的运动的时间(秒)之间的关系式是，在这个关系式中，常量、变量分别为( )
A.4.9是常量，、是变量 B.是常量，、是变量
C.、是常量，、是变量 D.4.9是常量，、、是变量
2．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，自变量是（ ）
A、沙漠 B、体温 C、时间 D、骆驼
3.下列各式，不能表示y是x的函数的是( )
A.y=3x2 B.y= C.y=±(x＞0) D.y=3x+1
4.下列图象中，表示y是x的函数的是( )
5. 下列说法正确的是（ ）
A.变量x、y满足x+2y=-3，则y是x的函数
B.变量x、y满足|y|=x，则y是x的函数
C.变量x、y满足y2=x，则y是x的函数
D.变量x、y满足y2=x2，则y是x的函数
6. 下列函数中，自变量的取值范围为x≥2的是（ ）
A.y= B.y= C.y= D.y=
二、填空题
7.若每千克散装色拉油售价6.25元，则货款金额y（元）与购买数量x（千克）之间的函数关系式为_______，其中_______是自变量，_______是______的函数.21世纪教育网版权所有
8.函数y=3x-5中，自变量x的取值范围是________，
9.如图2，图象反映的过程是：小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到新华书店去买书，然后散步走回家.其中t表示时间，s表示小明离家的距离，那么小明在体育馆锻炼和在新华书店买书共用去的时间是________min.21教育网
三、解答题
10.一辆汽车油箱内有油48升，从某地出发，每行1 km，耗油0.6升，如果设剩油量为y(升)，行驶路程为x(千米).21·cn·jy·com
(1)上述变化过程中，哪个变量随着另一个变量的变化而变化？
(2)用含x的代数式表示y；
(3)当x=10，20时，y是多少？
11.某校师生为四川汶川地震灾民捐款，平均每人捐50元.
（1）写出捐款总额y（元）与捐款人数x（人）之间的关系式，指出式子中的变量与常量，并指出在这个变化过程中，哪一个量是自变量？哪一个量是因变量？21cnjy.com
（2）如果该校有师生3000人，那么此次该校师生共为汶川灾区捐款多少元？
12.为了鼓励市民节约用水，规定自来水的收费标准如下表：
(1)请分类讨论每月每户的水费(y)与用水量(x)之间的数量关系式；
(2)若四月份用水量为23吨，则应缴纳水费多少元？
(3)若五月份缴纳水费90元，则用水多少吨？
13.某公司决定投资新项目,通过考察确定有6个项目可供选择,各项目所需要资金及预计年利润如下表:
所需资金(亿元) 1 2 4 6 7 8
预计利润(千万元) 0.2 0.35 0.55 0.7 0.9 1
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系 哪个是自变量 哪个是因变量
(2)如果投资一个4亿元的项目,那么其年利润预计有多少
(3)如果预计获得0.9千万元的年利润,投资一个项目需要多少资金
(4)如果该公司可以拿出10亿元进行多少个项目的投资,预计最大利润是多少
答案：
1、B. 2、C. 3、C. 4、C. 5.A 6.A
7. y=6.25x，x，y，x
8.一切实数
9. 50
10. (1)剩油量随行驶路程的变化而变化；
(2)y=48-0.6x;
(3)当x=10时，y=42；当x=20时，y=36.
11. （1）y=50x，其中x、y是变量，50是常量，x是自变量，y是因变量
（2）50×3000=150000（元）.
12. （1）由题意得：y=整理得：y=
(2)当x=23＞20时，y=5x-50=5×23-50=65.
故若四月份用水量为23吨，则应缴纳水费65元.
(3)根据题意可得：五月份用水一定超过20吨.
当y=5x-50时，5x-50=90.解得x=28.
即用水28吨.
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