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专题八 中考数学选填重难题型之反比例函数综合题
反比例函数是初中阶段三个重要函数之一，是中考必考的一个函数。它通常与其它函数或几何相结合，以综合题的形式出现在中考中；在选填题中，反比例函数的命题趋势如下：www.21-cn-jy.com
1.借助于图象的呈现来考查反比例函数的定义、性质、k的几何意义，常常结合反比例函数的轴对称性和中心对称性．【来源：21cnj*y.co*m】
2．反比例函数与一次函数的互相结合与转化，反比例函数的图象、性质及解析式的确定．
3.体现数形结合思想、转化的思想、方程的思想．
【题型一】考查k的几何意义。过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为S=|k|；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S＝|k|.【出处：21教育名师】
【例1】(2017怀化中考)如图,A,B两点在反比例函数y＝的图象上,C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC交y轴于点E，BD交y轴于点F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，则k1－k2的值是( )21教育名师原创作品
A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】：连接OA,OB,OC,OD,利用反比例函数的几何意义及三角形面积公式即得结果。
SΔOAB=SΔOCE+SΔ0AE===
SΔOBD=SΔOBF+SΔ0DF===
由此可得SΔOAB=SΔOBD，故=，求得OE=1
所以==1，所以
【答案】：D
【跟踪练习】
1.(2015,辽宁锦州)如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于点B,且ΔABO的面积是2，则k的值是______________21·世纪*教育网
2.如图，反比例函数y＝的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为____．
3.(2016·淄博)反比例函数y＝(a>0，a为常数)和y＝在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，MD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点M在y＝的图象上运动时，以下结论：
①S△ODB＝S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；
③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点，其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
4.（2013 乌鲁木齐）如图，反比例函数y= （x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且AE=BE，则△OEF的面积的值为________.
5.如图，点A,B在反比例函数的图像上，过点A,B作x轴的垂线，垂足分别为M,N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC,ΔAOC的面积为6，则k值为 www-2-1-cnjy-com
6.（2014 孝感）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y= (x＞0)经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则 S△OBD的值为_________．【版权所有：21教育】
【题型二】反比例函数与一次函数相结合
【例2】(2013宿迁)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋2与反比例函数y＝(x>0)的图象交点的横坐标为x0.若k【分析】：联立两个函数解析式：，消去y得x＋2＝，
即x2＋6x＝15，配方得：x2＋6x＋9＝24，即(x＋3)2＝24，解得：
x1＝2－3，x2＝－2－3(x＞0，故舍去)，∴一次函数与反比例函数图象交点的横坐标为x0＝2－3，即k＜2－3＜k＋1，
∵4＜2＝＜5，∴1＜2－3＜2，即整数k＝1.
【答案】： 1
【跟踪练习】
1.（2014，西青区一模）一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=(k≠0)在同一直角坐标系中的图象如图，则当y1＜y2时，x的取值范围是______．
2.（2017，南京）函数y1＝x与y2＝的图象如图所示，下列关于函数y＝y1＋y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是(2，4)，其中所有正确结论的序号是__________．【来源：21·世纪·教育·网】
3.(2013盐城)如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋1的图象与x轴交于点A、与y轴交于点B，点C在直线AB上，且OC＝AB，反比例函数y＝的图象经过点C，则所有可能的k值为________．
4.(2014宿迁)如图，一次函数y＝kx－1的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点B，BC垂直x轴于点C.若△ABC的面积为1，则k的值是________．21cnjy.com
【题型三】
【例3】 (2014盐城)如图，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过点A(－1，1)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P(0，t)，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是( )2-1-c-n-j-y
A. B. C. D.
【分析】：如解图，∵A点坐标为(－1，1)，∴k＝－1×1＝－1，∴反比例函数解析式为y＝－，∵OB＝AB＝1，∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ＝45°，∵点B和点B′关于直线l对称，∴PB＝PB′，BB′⊥PQ，∴∠BPQ＝∠B′PQ＝45°，即∠B′PB＝90°，∴B′P⊥y轴，∴B′点的坐标为(－，t)，∵PB＝PB′，∴|－|＝t－1，整理得t2－t－1＝0，解得t1＝，t2＝(舍去)，∴t的值为.
【答案】： A
【跟踪练习】
1. (2015连云港)如图，O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(－3，4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝(x<0)的图象经过顶点B，则k的值为( )
A. －12 B. －27 C. －32 D. －36
2. (2015南京)如图，过原点O的直线与反比例函数y1、y2的图象在第一象限内分别交于点A、B，且A点为OB的中点．若函数y1＝，则y2与x的函数表达式是________．21教育网
3．(2017绍兴中考)如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A、B在函数y＝(x＞0)的图象上，AC∥x轴，AC＝2，若点A的坐标为(2，2)，则点B的坐标为_________．
4. (2016扬州)如图，点A在函数y＝(x>0)的图象上，且OA＝4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为________．21·cn·jy·com
5.(2016宿迁)如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为________．2·1·c·n·j·y
6.(2011,宁波)正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为______．
7.如图，点P双曲线y=（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF-OE=6，则k的值是______．
21*cnjy*com
8.如图,已知在平面直角坐标系中,有菱形OABC,点A的坐标为(10,0)，对角线OB、AC相交于点D,双曲线经过点D,交BC的延长线于点E，且,有下列四个结论：①双曲线的解析式为； ②点E的坐标是(5，8)；③; ④.其中正确的结论有 (请写出全部正确的序号)21世纪教育网版权所有
9. (2014连云港)如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2)，B(2，5)，
C(6，1)．若函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是( )
A. 2≤k≤ B. 6≤k≤10 C. 2≤k≤6 D. 2≤k≤
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专题八 中考数学选填重难题型之反比例函数综合题
反比例函数是初中阶段三个重要函数之一，是中考必考的一个函数。它通常与其它函数或几何相结合，以综合题的形式出现在中考中；在选填题中，反比例函数的命题趋势如下：2-1-c-n-j-y
1.借助于图象的呈现来考查反比例函数的定义、性质、k的几何意义，常常结合反比例函数的轴对称性和中心对称性．21*cnjy*com
2．反比例函数与一次函数的互相结合与转化，反比例函数的图象、性质及解析式的确定．
3.体现数形结合思想、转化的思想、方程的思想．
【题型一】考查k的几何意义。过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为S=|k|；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面积S＝|k|.www-2-1-cnjy-com
【例1】(2017怀化中考)如图,A,B两点在反比例函数y＝的图象上,C、D两点在反比例函数y＝的图象上，AC交y轴于点E，BD交y轴于点F，AC＝2，BD＝1，EF＝3，则k1－k2的值是( )【出处：21教育名师】
A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】：连接OA,OB,OC,OD,利用反比例函数的几何意义及三角形面积公式即得结果。
SΔOAB=SΔOCE+SΔ0AE===
SΔOBD=SΔOBF+SΔ0DF===
由此可得SΔOAB=SΔOBD，故=，求得OE=1
所以==1，所以
【答案】：D
【跟踪练习】
1.(2015,辽宁锦州)如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于点B,且ΔABO的面积是2，则k的值是______________2·1·c·n·j·y
【分析】：本题考查了反比例函数的k的几何意义及图像性质
S△AOB= |k|=2，k=±4又反比例函数的图象位于第二、四象限，k<0，
则k=-4．故答案为：-4 【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】：-4
2.如图，反比例函数y＝的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为_________．
【分析】： 本题考的是反比例函数系数k的几何意义。由k=2，得OA AD=2．又因为D是AB的中点，故AB=2AD，所以矩形的面积=OA AB=2AD OA=2×2=4．故选B．21·世纪*教育网
【答案】：B
3.(2016·淄博)反比例函数y＝(a>0，a为常数)和y＝在第一象限内的图象如图所示，点M在y＝的图象上，MC⊥x轴于点C，交y＝的图象于点A，MD⊥y轴于点D，交y＝的图象于点B，当点M在y＝的图象上运动时，以下结论：
①S△ODB＝S△OCA；②四边形OAMB的面积不变；
③当点A是MC的中点时，则点B是MD的中点，其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】：本题主要考查反比例函数系数k的几何意义:反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|,故①②正确；由三角形任意一边的中线将三角形的面积二等分及正方形的对角线将正方形的面积二等分知③正确【来源：21cnj*y.co*m】
【答案】：D
4.（2013 乌鲁木齐）如图，反比例函数y= （x＞0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且AE=BE，则△OEF的面积的值为________.
【分析】：本题主要考查反比例函数系数k的几何意义:反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k| .连接OB．首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得出S△AOE=S△COF=1.5，然后由三角形任意一边的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F是BC的中点，最后由S△OEF=S矩形AOCB-S△AOE-S△COF-S△BEF，得出结果【版权所有：21教育】
【答案】：
5.如图，点A,B在反比例函数的图像上，过点A,B作x轴的垂线，垂足分别为M,N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC,ΔAOC的面积为6，则k值为
【分析】：反比例函数结合面积题常用k的几何意义解题。ΔAOC的面积可以分为ΔAOM和ΔAMC的面积之和。设，即,
=6
【答案】：4
6.（2014 孝感）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y= (x＞0)经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则 S△OBD的值为_________．
【分析】：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S=|k|． 解：如图，过C点作CE⊥x轴，垂足为E，易证CE为Rt△OAB的中位线，△OEC∽△OBA， 故S△AOB=4S△COE=2|k|由S△AOB-S△BOD=S△AOD=2S△DOC=18，得2k- k=18，
k=12，S△BOD=S△COE=k=6，
【答案】：6．
【题型二】反比例函数与一次函数相结合
【例2】(2013宿迁)在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x＋2与反比例函数y＝(x>0)的图象交点的横坐标为x0.若k【分析】：联立两个函数解析式：，消去y得x＋2＝，
即x2＋6x＝15，配方得：x2＋6x＋9＝24，即(x＋3)2＝24，解得：
x1＝2－3，x2＝－2－3(x＞0，故舍去)，∴一次函数与反比例函数图象交点的横坐标为x0＝2－3，即k＜2－3＜k＋1，
∵4＜2＝＜5，∴1＜2－3＜2，即整数k＝1.
【答案】： 1
【跟踪练习】
1.（2014，西青区一模）一次函数y1=ax+b与反比例函数y2=(k≠0)在同一直角坐标系中的图象如图，则当y1＜y2时，x的取值范围是______．
【分析】：数形结合的思想方法解不等式，y1＜y2即反比例的图像在一次函数图像的上方，观察图可得解集为-13www.21-cn-jy.com
【答案】：-13
2.（2017，南京）函数y1＝x与y2＝的图象如图所示，下列关于函数y＝y1＋y2的结论：①函数的图象关于原点中心对称；②当x＜2时，y随x的增大而减小；③当x＞0时，函数的图象最低点的坐标是(2，4)，其中所有正确结论的序号是__．
【分析】：①由图象可以看出函数图象上的每一个点都可以找到关于原点对称的点，故正确；
②在每个象限内，不同自变量的取值，函数值的变化是不同的，故错误；
③结合图象的2个分支可以看出，在第一象限内，最低点的坐标为（2，4），故正确；
∴正确的有①③．21教育名师原创作品
【答案】：①③．
3.(2013盐城)如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋1的图象与x轴交于点A、与y轴交于点B，点C在直线AB上，且OC＝AB，反比例函数y＝的图象经过点C，则所有可能的k值为________．
【分析】：在y＝－x＋1中，令y＝0，则x＝2；令x＝0，得y＝1，∴A(2，0)，B (0，1)．在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝.设C(m，－m＋1)，由OC＝AB，根据勾股定理得，m2＋(－m＋1)2＝()2，解得m＝－或1，∴C点坐标为(1，)或(－，)，∴k＝或－.
【答案】： 或－
4.(2014宿迁)如图，一次函数y＝kx－1的图象与x轴交于点A，与反比例函数y＝(x>0)的图象交于点B，BC垂直x轴于点C.若△ABC的面积为1，则k的值是________．21教育网
【分析】：设点B的坐标是(x，)，则BC＝，OC＝x，∵y＝kx－1，∴当y＝0时，x＝，则OA＝，AC＝x－，∵△ABC的面积为1，∴·AC·BC＝1，∴·(x－)·＝1，－＝1，∴kx＝3，∵解方程组得：＝kx－1，∴＝3－1＝2，∴x＝，即点B的坐标是(，2)，把点B的坐标代入y＝kx－1得k＝2.
【答案】：2
【题型三】
【例3】 (2014盐城)如图，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过点A(－1，1)，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P(0，t)，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t的值是( )
A. B. C. D.
【分析】：如解图，∵A点坐标为(－1，1)，∴k＝－1×1＝－1，∴反比例函数解析式为y＝－，∵OB＝AB＝1，∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB＝45°，∵PQ⊥OA，∴∠OPQ＝45°，∵点B和点B′关于直线l对称，∴PB＝PB′，BB′⊥PQ，∴∠BPQ＝∠B′PQ＝45°，即∠B′PB＝90°，∴B′P⊥y轴，∴B′点的坐标为(－，t)，∵PB＝PB′，∴|－|＝t－1，整理得t2－t－1＝0，解得t1＝，t2＝(舍去)，∴t的值为.
【答案】： A
【跟踪练习】
1. (2015连云港)如图，O为坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(－3，4)，顶点C在x轴的负半轴上，函数y＝(x<0)的图象经过顶点B，则k的值为( )
A. －12 B. －27 C. －32 D. －36
【分析】：由点A的坐标为(－3，4)，得OA＝＝5，又由菱形的性质知
AB∥OC，AB＝OA＝5，得点B的坐标为(－8，4)．又∵点B在反比例函数
y＝(x<0)的图象上，∴k＝－8×4＝－32.故选C．
【答案】： C
2. (2015南京)如图，过原点O的直线与反比例函数y1、y2的图象在第一象限内分别交于点A、B，且A点为OB的中点．若函数y1＝，则y2与x的函数表达式是________．21·cn·jy·com
【分析】：设y2与x的函数解析式为y2＝,.A点坐标为(a，b)，则ab＝1，
又∵A点为OB的中点，∴点B的坐标为(2a，2b)，∴k＝2a·2b＝4ab＝4，∴y2与x的函数解析式为：y2＝.
【答案】：y2＝
3．(2017绍兴中考)如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A、B在函数y＝(x＞0)的图象上，AC∥x轴，AC＝2，若点A的坐标为(2，2)，则点B的坐标为_________．
【分析】：由点A（2，2）在函数的图象上，得k=4;由AC∥x轴，AC⊥BC,AC=2，可求得点B的横坐标是4，代入函数表达式得点B的坐标为（4，1），
故答案为：（4，1）．
【答案】：（4，1）
4. (2016扬州)如图，点A在函数y＝(x>0)的图象上，且OA＝4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为________．
【分析】：设点A的坐标为(x，y)，根据反比例函数的性质得，xy＝4，在Rt△ ABO 中，由勾股定理得，OB2＋AB2＝OA2，∴x2＋y2＝16，
∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝16＋8＝24，又∵x＋y>0，∴x＋y＝2，
∴△ABO的周长＝OA＋AB＋OB＝4＋x＋y＝2＋4.
【答案】： 2＋4
5.(2016宿迁)如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数
y＝(x＞0)的图象交于两点A、B，与x轴交于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为________．
【分析】：设A(，2a)，B(，a)，D(，2a)，E(，a)∴AD＝－＝，
BE＝－＝，梯形的高为2a－a＝a，∴S四边形ABED＝(＋)·a＝.
【答案】：
6.(2011,宁波)正方形的A1B1P1P2顶点P1、P2在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A1、B1分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数y= （x＞0）的图象上，顶点A2在x轴的正半轴上，则点P3的坐标为______．
【分析】：作P1C⊥y轴于C，P2D⊥x轴于D，P3E⊥x轴于E，P3F⊥P2D于F，设P1（a，），则CP1=a，OC=，易得Rt△P1B1C≌Rt△B1A1O≌Rt△A1P2D，则OB1=P1C=A1D=a，所以OA1=B1C=P2D=﹣a，则P2的坐标为（，﹣a），然后把P2的坐标代入反比例函数y=，得到a的方程，解方程求出a，得到P2的坐标；设P3的坐标为（b，），易得Rt△P2P3F≌Rt△A2P3E，则P3E=P3F=DE=，通过OE=OD+DE=2+=b，这样得到关于b的方程，解方程求出b，得到P3的坐标（+1，﹣1）
【答案】：（+1，﹣1）
7.如图，点P双曲线y=（x＞0）上，以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切，点E为y轴负半轴上的一点，过点P作PF⊥PE交x轴于点F，若OF-OE=6，则k的值是______．
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【分析】：如图，过P点作x轴、y轴的垂线，垂足为A、B，
∵⊙P与两坐标轴都相切，∴PA=PB，四边形OAPB为正方形，
∵∠APB=∠EPF=90°，∴∠BPE=∠APF，
∴Rt△BPE≌Rt△APF，∴BE=AF，
∵OF-OE=6，
∴（OA+AF）-（BE-OB）=6，
即2OA=6，解得OA=3，
∴k=OA×PA=3×3=9．21*cnjy*com
【答案】：9．
8.如图,已知在平面直角坐标系中,有菱形OABC,点A的坐标为(10,0)，对角线OB、AC相交于点D,双曲线经过点D,交BC的延长线于点E，且,有下列四个结论：①双曲线的解析式为； ②点E的坐标是(5，8)；③; ④.其中正确的结论有 (请写出全部正确的序号)21世纪教育网版权所有
【分析】：过点C作CF⊥x轴于点F，由OB·AC=160可求出菱形的面积，由A点的坐标为（10，0）可求出CF的长，由勾股定理可求出OF的长，故可得出C点坐标，对角线OB、AC相交于D点可求出D点坐标，用待定系数法可求出双曲线y=（x＞0）的解析式，由反比例函数的解析式与直线BC的解析式联立即可求出E点坐标；由sin∠COA= 可求出∠COA的正弦值；根据A、C两点的坐标可求出AC的长，由OB·AC=160即可求出OB的长．
【答案】：②③④
9. (2014连云港)如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2)，B(2，5)，
C(6，1)．若函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是( )
A. 2≤k≤ B. 6≤k≤10 C. 2≤k≤6 D. 2≤k≤
【分析】：△ABC的三个顶点坐标为A(1，2)，B(2，5)，C(6，1)，把双曲线沿着第一象限的角平分线移动，当图象分别移动到经过点A时和与线段BC相切时，双曲线与△ABC有交点，∴当双曲线y＝经过点A(1，2)时，
2＝，∴k＝2.设直线BC的解析式为y＝mx＋n，将B、C两点坐标代入直线BC的解析式，得，解得，∴y＝－x＋7，∵双曲线y＝与直线BC：y＝－x＋7相切，∴＝－x＋7.即x2－7x＋k＝0有两个相等的实数根，∴(－7)2－4×1×k＝0，∴k＝，∴k的取值范围是2≤k≤.
【答案】：A
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