2018年高考数学（理）之高频考点解密20+双曲线

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高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率
双曲线的定义及方程 双曲线的定义、方程与性质是每年高考的热点，多以选择题、填空题的形式进行考查，难度中档. 2016课标全国Ⅰ52015课标全国Ⅰ5 ★★★
双曲线的性质 2017课标全国Ⅲ52017课标全国Ⅱ92016课标全国Ⅱ11 ★★★★★
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考点1 双曲线的定义及方程
题组一 双曲线定义的应用
调研1 已知方程 ( http: / / www.21cnjy.com )表示双曲线,则此双曲线的焦距的最小值为
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C．3 D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】A
【解析】由题可得，因为方程 ( http: / / www.21cnjy.com )表示双曲线,所以可知 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以，所以焦距，
因为，所以，故选A．
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☆技巧点拨☆
双曲线的定义是基础知识，很少单独在高考中出现，但其基础性不容忽视，注意掌握以下内容：
1．在求解双曲线上的点到焦点的距离d时，一定要注意这一隐含条件．
2．双曲线方程中的大小关系是不确定的，但必有.
3．由,知 ( http: / / www.21cnjy.com )≥1,所以x≤-a或x≥a,因此双曲线位于不等式x≥a和x≤-a所表示的平面区域内,同时,也指明了坐标系内双曲线上点的横坐标的取值范围.
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题组二 求双曲线的方程
调研2 双曲线：的离心率为2，其渐近线与圆相切，则该双曲线的方程为__________．
【答案】
【解析】由题意知，，即，则，由圆的方程可知，其圆心坐标为，半径，不妨取双曲线的渐近线，则，即，所以，则，故所求双曲线的方程为.
调研3 已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率e= ( http: / / www.21cnjy.com )，且过点(4, ( http: / / www.21cnjy.com )).
(1)求双曲线的方程.
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证: ( http: / / www.21cnjy.com ).
【解析】(1)∵ ( http: / / www.21cnjy.com ),∴,
∵ ( http: / / www.21cnjy.com ),∴ ( http: / / www.21cnjy.com ),
∴可设双曲线方程为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
∵双曲线过点(4, ( http: / / www.21cnjy.com )),∴16 10=λ,即λ=6,
∴双曲线方程为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
(2)由(1)可知,在双曲线中a=b= ( http: / / www.21cnjy.com ),∴c= ( http: / / www.21cnjy.com ),
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )( ( http: / / www.21cnjy.com ),0), ( http: / / www.21cnjy.com ),0).
∴，
又∵点M(3,m)在双曲线上，∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=3，
∴ ( http: / / www.21cnjy.com )=，∴ ( http: / / www.21cnjy.com ).
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☆技巧点拨☆
求解双曲线的方程在高考中经常出现，且一般以选择题或填空题的形式出现，求解时需注意：
1．求解双曲线的标准方程时，先确定双曲线的类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴，从而设出相应的标准方程的形式，然后利用待定系数法求出方程中的的值，最后写出双曲线的标准方程.
2．在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或可直接设双曲线的方程为.
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考点2 双曲线的性质
题组一 求双曲线的渐近线
调研1 已知双曲线C：=0 (a＞0，b＞0)的离心率为2，则C的渐近线方程为
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±x
【答案】A
【解析】∵双曲线C： (a＞0，b＞0)的离心率为2，∴，即，
∴a2＋b2＝4a2，∴，
∴双曲线C的渐近线方程为．选A．
调研2 已知方程mx2+(m﹣4)y2=2m+2表示焦点在x轴上的双曲线．
(1)求m的取值范围;
(2)若该双曲线与椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )有共同的焦点．求该双曲线的渐近线方程．
【解析】(1)由题意得,解得0＜m＜4.
(2)由题意得8﹣2= ( http: / / www.21cnjy.com )，解得m=2或,
故双曲线方程是x2﹣y2=3或,
故渐近线方程是:y=±x或．
题组二 求双曲线的离心率
调研3 已知点为双曲线：（，）的右焦点，点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半，则双曲线的离心率为
A．或 B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得，双曲线的渐近线方程为，即.
∵点到渐近线的距离是点到左顶点的距离的一半，∴，即，
∴，即，∴，
∴双曲线的离心率为.
调研4 已知双曲线C：－＝1 (a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线右支上一点，若|PF1|2＝8a|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围为
A．(1,3] B．[3，＋∞)
C．(0,3) D．(0,3]
【答案】A
【解析】根据双曲线的定义及点P在双曲线的右支上，得|PF1|－|PF2|＝2a，
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m－n＝2a，m2＝8an，∴m2－4mn＋4n2＝0，
∴m＝2n，则n＝2a，m＝4a，
依题得|F1F2|≤|PF1|＋|PF2|，当且仅当P，F1，F2三点共线时等号成立，
∴2c≤4a＋2a，∴e＝≤3，又e＞1，∴1＜e≤3，
即双曲线C的离心率的取值范围为(1,3]．选A．
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☆技巧点拨☆
双曲线的离心率是双曲线的性质中非常重要的一个，高考中若出现关于双曲线的题目，基本都要涉及，所以求双曲线离心率的方法一定要掌握.
1．求双曲线的离心率，可以由条件寻找满足的等式或不等式，结合得到，也可以根据条件列含的齐次方程求解，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.
2．求解双曲线的离心率的取值范围，一般根据已知条件、双曲线上的点到焦点的距离的最值等列不等式求解，同样注意根据双曲线离心率的取值范围是.
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1．（2017-2018学年北京101中学高三零模数学）已知方程 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 ( http: / / www.21cnjy.com ) ,则 ( http: / / www.21cnjy.com ) 的取值范围是
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】A
【解析】因为方程表示双曲线，所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，所以 ( http: / / www.21cnjy.com ).所以 ( http: / / www.21cnjy.com )，解得 ( http: / / www.21cnjy.com ).故选A．
2．（2017-2018学年四川省成都市高三第二次诊断性检测）在平面直角坐标系中，经过点 ( http: / / www.21cnjy.com )且离心率为 ( http: / / www.21cnjy.com )的双曲线的标准方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】设双曲线的方程为 ( http: / / www.21cnjy.com ),由题意得,解得,所以双曲线的标准方程为.选B．
3．（陕西省咸阳市2018届第二次模拟）双曲线的一条渐近线与直线平行，则它的离心率为
A． B．
C． D．
【答案】C
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4．（2017-2018学年宁夏固原市第一中学高三下学期第一次月考）若双曲线E:的左、右焦点分别为 ( http: / / www.21cnjy.com ),点P在双曲线E上,且 ( http: / / www.21cnjy.com ),则 ( http: / / www.21cnjy.com )等于
A．1 B．13
C．1或13 D．15
【答案】B
【解析】由题意得 ( http: / / www.21cnjy.com ), ( http: / / www.21cnjy.com ), ( http: / / www.21cnjy.com ),而 ( http: / / www.21cnjy.com ),解得 ( http: / / www.21cnjy.com )或1.而 ( http: / / www.21cnjy.com ),所以 ( http: / / www.21cnjy.com ).选B．
5．（湖南省衡阳市2018届高三第二次联考（二模））已知双曲线的两个焦点为是此双曲线上的一点，且满足，则该双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为
A．3 B．
C． D．1
【答案】D
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6．（2017-2018学年福建省厦门外国语学校高三下学期第一次开学考试）设椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )，双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )(其中 ( http: / / www.21cnjy.com ))的离心率分别为 ( http: / / www.21cnjy.com ),则
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )与1大小不确定
【答案】B
【解析】由题意得,，所以,
因为 ( http: / / www.21cnjy.com ),所以,,所以,即 ( http: / / www.21cnjy.com ).选B．
7．（北京市顺义区2018届高三第二次统练（二模））设双曲线经过点(4,1),且与具有相同的渐近线,则的方程为________________，渐近线方程为__________________.
【答案】，
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8．（江苏省苏北六市2018届高三第二次调研测试数学）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C与双曲线有公共的渐近线，且经过点P(﹣2，)，则双曲线C的焦距为________________．
【答案】
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9．（2017-2018学年高三衡水联考）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )是双曲线的一个焦点, ( http: / / www.21cnjy.com )为坐标原点, ( http: / / www.21cnjy.com )是双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )上一点,若是等边三角形,则双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )的离心率等于________________．
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com )
【解析】令F是双曲线的右焦点，点M在第一象限内，
因为是等边三角形,所以点M的坐标为()，
又因为点M在双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )上，所以,
又a2+b2=c2，所以，即，解得.
所以双曲线C的离心率为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
10．（2018届广东省揭阳市高三学业水平（期末）考试）已知双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )的离心率为 ( http: / / www.21cnjy.com )，左焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，当点P在双曲线右支上运动、点Q在圆 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )上运动时， ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值为___________.
【答案】 ( http: / / www.21cnjy.com )
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11．（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第二套模拟考试）过双曲线的焦点与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长称为双曲线的通径，其长等于(、分别为双曲线的实半轴长与虚半轴长).已知双曲线（）的左、右焦点分别为、，若点是双曲线上位于第四象限的任意一点，直线是双曲线的经过第二、四象限的渐近线，于点，且的最小值为3，则双曲线的通径为________________.
【答案】
【解析】如图所示，连接，由双曲线的定义知
，当且仅当三点共线时取得最小值，此时， 到直线的距离，
，
由定义知通径等于.
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12．（上海市静安区2017-2018学年度第一学期高中教学质量检测高三数学）设双曲线：， 为其左、右两个焦点．
(1)设为坐标原点，为双曲线的右支上任意一点，求的取值范围；
(2)若动点与双曲线的两个焦点的距离之和为定值，且的最小值为，求动点的轨迹方程．
【答案】（1）；（2）
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由基本不等式得，当且仅当时等号成立，
∴，则，∴，，
∴动点的轨迹方程为.
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1．(2015新课标I全国理科)已知M()是双曲线C：上的一点，是C的两个焦点，若，则的取值范围是
A．(，) B．(，)
C．(，) D．(，)
【答案】A
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2．（2017新课标全国III理科）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
( http: / / www.21cnjy.com )3．（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F1，F2是双曲线E：的左，右焦点，点M在E上，M F1与轴垂直，sin ,则E的离心率为
A． B．
C． D．2
【答案】A
【解析】因为垂直于轴，所以，
因为，所以，化简得，
故双曲线的离心率.选A.
【名师点睛】区分双曲线中a，b，c的关系 ( http: / / www.21cnjy.com )与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．
4．（2017新课标全国II理科）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为
A．2 B．
C． D．
【答案】A
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