2018年高考数学（理）高频考点解密21+抛物线

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高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率
抛物线的定义及方程 抛物线的定义、方程与性质是每年高考的必考热点，选择题、填空题、解答题中均有考查，着重考查抛物线的几何性质与标准方程求法，难度中档. 2017课标全国Ⅱ162015上海5 ★★★
抛物线的性质 2016课标全国Ⅰ102016课标全国Ⅲ20 ★★★
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考点1 抛物线的定义及方程
题组一 抛物线的定义的应用
调研1 已知抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com ),其上有两点 ( http: / / www.21cnjy.com )满足 ( http: / / www.21cnjy.com ),则 ( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】B
【解析】由抛物线的定义可知,则 ( http: / / www.21cnjy.com ),
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ).
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☆技巧点拨☆
抛物线的离心率e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即或，使问题简化．
抛物线的定义常在高考中作为转为问题的工具，需熟练掌握.
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题组二 求抛物线的方程
调研2 已知抛物线的焦点到准线的距离与椭圆的长轴长相等,则抛物线的标准方程为__________.
【答案】
【解析】在椭圆中，，，故长轴长为，由抛物线的焦点到准线的距离与椭圆的长轴长相等可得，故抛物线的标准方程为.
调研3 已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线的一个焦点，抛物线与双曲线的交点为，求抛物线方程和双曲线方程.
【解析】依题意设抛物线方程为，
∵点在抛物线上，∴，解得，
∴所求抛物线方程为.
故抛物线的准线方程为，
∵双曲线的左焦点在抛物线的准线上，∴，
故，
又点在双曲线上，∴，
由解得.
∴所求双曲线方程为.
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☆技巧点拨☆
高考中常求抛物线的方程，一般会与其他知识相结合，求抛物线方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
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考点2 抛物线的性质
题组一 焦点弦问题
调研1 过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长|AB|为________．
【答案】8
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y ( http: / / www.21cnjy.com )2)，易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1，联立消去y得x2－6x＋1＝0，所以x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
题组二 最值问题
调研2 已知抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com ),准线为 ( http: / / www.21cnjy.com ),且 ( http: / / www.21cnjy.com )过点 ( http: / / www.21cnjy.com )在抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )上,若点 ( http: / / www.21cnjy.com ),则 ( http: / / www.21cnjy.com )的最小值为
A．2 B．3
C．4 D．5
【答案】B
【解析】由题可得, ( http: / / www.21cnjy.com ).
由抛物线的定义可知, ( http: / / www.21cnjy.com ),
所以 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ).故选B．
调研3 已知定点，点是抛物线上一动点，点到直线的距离为，则的最小值是_______ .
【答案】
【解析】点A是抛物线外一点，所以，当且仅当点为线段AF与抛物线的交点时取等号，
故的最小值是.
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☆技巧点拨☆
有关抛物线上一点M到抛物线焦点F和到已知点 ( http: / / www.21cnjy.com )E（E在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依据抛物线的图形，过点E作准线l的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点F和到已知点E的距离之和是最小值.
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1．（2017-2018学年重庆市九校联盟高三上学期第一次联合考试）已知抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )经过点 ( http: / / www.21cnjy.com ),则该抛物线的焦点到准线的距离等于
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．1
【答案】B
【解析】∵抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )经过点 ( http: / / www.21cnjy.com )∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )∴ ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )
∴抛物线的焦点到准线的距离等于 ( http: / / www.21cnjy.com )
2．（北京市丰台区2018年高三年级一模数学）已知抛物线的开口向下，其焦点是双曲线的一个焦点，则的标准方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
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3．（吉林省吉林市2018届高三第三次调研考试数学）以抛物线上的任意一点为圆心作圆与直线相切，这些圆必过一定点，则这一定点的坐标是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意得抛物线的准线方程为，
因为动圆的圆心在抛物线上，且与抛物线的准线相切，所以动圆的圆心必过抛物线的焦点，即过点．选B．
4．(2017河南八市联考)已知点M(－3 ( http: / / www.21cnjy.com ),2)是坐标平面内一定点，若抛物线y2＝2x的焦点为F，点Q是该抛物线上的一动点，则|MQ|－|QF|的最小值是
A． B．3
C． D．2
【答案】C
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5．（2018届河北省武邑中学高三上学期第五次调研考试）已知抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com ),其准线与双曲线相交于 ( http: / / www.21cnjy.com )两点,若为直角三角形,其中 ( http: / / www.21cnjy.com )为直角顶点,则 ( http: / / www.21cnjy.com )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com )
C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D．6
【答案】A
【解析】由题可得，抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com ), 准线x=- ( http: / / www.21cnjy.com ).所以其准线与双曲线相交于.
因为为直角三角形,其中 ( http: / / www.21cnjy.com )为直角顶点，所以，解得 ( http: / / www.21cnjy.com ).故选A．
6．（2017-2018学年湖南省长沙市第一中学高三高考模拟卷）已知抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com ),准线与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴的交点为 ( http: / / www.21cnjy.com ),点 ( http: / / www.21cnjy.com )在抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )上,且 ( http: / / www.21cnjy.com ),则的面积为
A．4 B．6
C．8 D．12
【答案】C
【解析】抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com ),准线与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴的交点为 ( http: / / www.21cnjy.com ),点 ( http: / / www.21cnjy.com )在抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )上,且 ( http: / / www.21cnjy.com ),过点A作准线的垂线,垂足为M,则 ( http: / / www.21cnjy.com ),所以可知 ( http: / / www.21cnjy.com ),所以可知为等腰直角三角形,所以也为等腰直角三角形,且腰长为 ( http: / / www.21cnjy.com ),所以该三角形的面积为.故选C．
7．（上海市普陀区2018届高三下学期质量调研（二模）数学）抛物线的准线方程为__________.
【答案】
【解析】，抛物线的准线方程为，故答案为.
8．（河北省保定市2018届高三第一次模拟考试数学）抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，抛物线上的点到焦点的距离为3，则__________．
【答案】
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9．（河南省2018届普通高中毕业班4月高考适应性考试数学）已知点 ( http: / / www.21cnjy.com )是抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的焦点， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )是该抛物线上两点， ( http: / / www.21cnjy.com )，则线段 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点的横坐标为__________．
【答案】2
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10．（2018届安徽省安庆市高三二模考试）设抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )点 ( http: / / www.21cnjy.com )在抛物线上,且满足 ( http: / / www.21cnjy.com )若，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的值为__________.
【答案】
【解析】由题意得 ( http: / / www.21cnjy.com ).因为 ( http: / / www.21cnjy.com )为抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的焦点弦,所以.而 ( http: / / www.21cnjy.com ),解得.又因为 ( http: / / www.21cnjy.com ),所以.
11．（云南省保山市2018届普通高中毕业生第二次市级统测）已知是抛物线：的焦点，点的坐标为，点是上的任意一点，当在点时，取得最大值；当在点时，取得最小值，则，两点间的距离为__________．
【答案】
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12．（2017-2018学年福建省高三毕业班第三次质量检查）已知抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )上的点 ( http: / / www.21cnjy.com )到点 ( http: / / www.21cnjy.com )距离的最小值为 ( http: / / www.21cnjy.com ).
(1)求抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的方程;
(2)若 ( http: / / www.21cnjy.com ),圆 ( http: / / www.21cnjy.com ),过 ( http: / / www.21cnjy.com )作圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的两条切线分别交 ( http: / / www.21cnjy.com )轴于 ( http: / / www.21cnjy.com )两点,求面积的最小值.
【解析】(1) ( http: / / www.21cnjy.com ),
( http: / / www.21cnjy.com ), ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com )= ( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com ),∴当 ( http: / / www.21cnjy.com )即 ( http: / / www.21cnjy.com )时, ( http: / / www.21cnjy.com ),不符合题意,舍去;
则 ( http: / / www.21cnjy.com )，即 ( http: / / www.21cnjy.com )时, ( http: / / www.21cnjy.com ), ( http: / / www.21cnjy.com )(舍去), ( http: / / www.21cnjy.com ).
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1．（2016新课标全国I理科）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】B
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2．（2015上海理科）抛物线（）上的动点到焦点的距离的最小值为，则 ．
【答案】
【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为顶点到准线的距离，即
3．（2017新课标全国II理科）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点．若为的中点，则_______________．
【答案】
【解析】如图所示，不妨设点M位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点，
由抛物线的解析式可得准线方程为，则，
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在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有：，结合题意，有，故．
【名师点睛】抛物线的定义是 ( http: / / www.21cnjy.com )解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．
4．（2016新课标全国III理科）已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线，分别交于，两点，交的准线于，两点．
（1）若在线段上，是的中点，证明；
（2）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程．
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