(共28张PPT)
第六章 平行四边形的性质
1.平行四边形的性质
第1课时 平行四边形的边角特征
（1） 剪两个全等的三角形，并将它们相等的一组边重合，可以得到平行四边形吗？你有几种方案？
请你剪一剪
拼出的效果图有
（2）小明拼出了如图所示的一个四边形，这个四边形的对边有怎样的位置关系？说说你的理由。
A
B
C
D
A
B
C
D
∵∠1=∠2
同理：AB∥DC
∴AD∥BC
2
1
大家知道什么样的四边形叫平行四边形吗？
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
记作： ABCD 读作：平行四边形ABCD
获取新知
A
B
C
D
A
B
C
D
在平行四边形中 ，相对的边 ， 称为 对边
相对的角 ， 称为 对角
其中线段BD、AC 就是 ABCD的两条对角线。
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
AB∥CD
AD∥BC
∵
∴四边形ABCD是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
AB∥CD
AD∥BC
∴
理解定义
ABCD
AB
CD
AD
BC
①
②
ABCD
AB
CD
AD
BC
A
B
C
D
平行四边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？如果是,你能找出他的对称中心、对称轴吗？
A
B
C
D
课堂演示：
将复制后的四边形绕一个顶点旋转180°，你能平移该纸片，使它与原来的四边形ABCD重合吗？
对边之间、对角之间分别有什么关系？由此你能得到什么结论？
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
D
B
A
C
D
B
A
C
D
B
A
C
D
B
A
C
D
B
A
C
D
B
A
C
D
B
A
C
D
B
A
C
D
B
A
C
D
B
A
C
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心。
A
B
C
D
你发现平行四边形还有哪些性质？
如图6-2（1），四边形ABCD是平行四边形. 求证:AB=CD,BC=DA.
平行四边形的性质
几何语言：
定理1：平行四边形的两组对边分别相等
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB＝CD，AD＝BC（平行四边形的对边相等）
∠A= ∠C, ∠B= ∠D（平行四边形的对角相等）
定理2：平行四边形的两组对角分别相等
A
B
C
D
∴ ∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°
∵ 四边形ABCD是平行四边形
∴ AB∥CD，AD ∥ BC（平行四边形的对边平行）
如图:在 ABCD中,根据已知你能得到哪
些结论？为什么
32cm
30cm
32cm
30cm
A
B
C
D
56°
56°
124°
124°
小结：平行四边形中知道其中一角可求出另外三个角的度数。
知道两边可求另外两边的长度。
小试牛刀
例 1 已知：如图，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，并且AE=CF.求证：BE=DF.
A
B
C
D
E
F
DE= 80-60=20(cm)
有一块形状如图 所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，现在只测得AE=60cm,BC=80cm，∠B=60°且AE∥BC、AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗？
解决问题
∠D= ∠B=600
随堂练习：
A
D
B
C
40
1. 在 ABCD 中，AD=40，CD=30，
∠B=60°，则BC= ; AB= ;
∠A= , ∠C= , ∠D= .
30
120°
120°
60°
40
30
60°
2. 在 ABCD 中，∠ADC=120°，
∠CAD=20°，则∠ABC= ， ∠CAB= .
A
B
C
D
120°
40°
20°
120°
3.如图, ABCD的周长是28cm,△ABC的周长
是22cm, 则AC的长为( )
A. 6cm B. 12cm C. 4cm D. 8cm
4. 如图,在 ABCD中,∠A:∠B=7:2,
则∠C的度数是 .
D
1400
A
B
C
D
A
D
B
C
E
A
B
D
C
9cm
5cm
5.如图，在 ABCD中，若BE平分∠ABC，
则ED＝ ．
4cm
2
3
5cm
5cm
4cm
1
6.如图，在 ABCD中，CE⊥AB，点E为垂足，
如果∠A=125°，则∠BCE的度数为 .
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ｃ
Ｅ
350
A
B
5.如图，在 ABCD中，若BE平分∠ABC，
则ED＝ ．
4cm
5cm
5cm
1
7.已知 ABCD,延长AB到E, 延长CD到F ,使
BE=DF. 求证:AF=CE
A
B
D
C
F
E
证明：
∵ ABCD
∴AD=CB，∠1= ∠2
∴ 1800-∠1= 1800- ∠2，即∠3= ∠4
又∵ DF=BE
∴△AFD≌△CEB(SAS)
∴AF=CE
1
2
3
4
8. 已知如图：E、F是平行四边形ABCD的对角线
AC上的两点，AE=CF
求证：（1）△ADF≌ △CBE （2）EB∥DF
1
2
3
4
证明：(1)∵平行四边形ABCD
∴AD=CB，AD∥CB∴∠1=∠2
∵ AE=CF ∴ AE+EF=CF+EF，即AF=CE
∴△AFD≌△CEB(SAS)
（2） ∵△AFD≌△CEB
∴∠3=∠4
∴ DF∥EB
如图 在 ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别
是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM是平行四边形
求证：AF=BM
B
D
C
E
F
A
M
证明： ∵ 四边形BEFM是平行四边形
∴BM=EF AB//EF
∵ AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAD
∵AB//EF ∴ ∠BAD=∠AEF
∴∠CAD =∠AEF ∴ AF=EF
∴ AF=BM
2.平行四边形的对边相等；
A
B
C
D
3.平行四边形的对角相等；
∵四边形ABCD是平行四边形
∵四边形ABCD是平行四边形
1.平行四边形的对边平行；
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AD∥BC
小结：平行四边形的性质是证明线段相等和 角相等的重要依据和方法。
平行四边形的性质
∴AB=CD,AD=BC
∴∠A＝∠C,∠B＝∠D
谢谢
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1 平行四边形的性质
第2课时 平行四边形的对角线特征
第六章 平行四边形的性质
复习回顾
平行四边形的性质
A
D
C
B
O
B
A
C
D
研究对象 研究结果 几何表示
对边
邻边
对角
邻角
对角线
平行
且相等
相等
互补
∠A＝∠C,∠B＝∠D
AB∥CD，AD∥BC
＝
＝
∠A＋∠B＝180°
导入新课
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起,在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
再看一遍
看一看
●
A
D
O
C
B
D
B
O
C
A
看一看
结论
你能证明 它吗
平行四边形的对角线互相平分.
●
ABCD绕它的中心O旋转180°后与自身重合，这时我们说 ABCD是中心对称图形，点O叫对称中心。
A
C
D
B
O
已知：如图： ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
平行四边形的对角线互相平分.
1
2
3
4
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分.
符号语言：
∵四边形ABCD是平行四边形
OA=OC，
OB=OD
∴
A
D
B
C
O
例1 一位饱经苍桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动， 到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
老大
老二
老三
老四
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗？为什么？
A
C
D
B
O
●
老大
老四
老三
老二
M
老人分地合理吗？
补充性质
1.平行四边形是中心对称图形;
2.平行四边形具有不稳定性,内角和、外角和都是360°;
3.平行四边形被对角线分成两对全等的三角形;
4.平行四边形被一条对角线分成的两个三角形面积相等，都等于平行四边形面积的一半.平行四边形被两条对角线分成的四个三角形面积都相等，都等于平行四边形面积的1/4.
做一做
如图，在 ABCD中，
BC=10cm, AC=8cm, BD=14cm,
（1）△BOC的周长是多少？
说明理由？
（ 2）△ABC与△ DBC的周长哪个长，
长多少？
A
B
D
C
O
（３）△AOD与△ AOB 的周长之差是多少？
例 如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及 ABCD的面积.
8
10
B
C
D
A
●
O
解：
∴△ABC是直角三角形
又∵AC⊥BC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴BC=AD=8，CD=AB=10
又∵OA=OC
∴
∴
∴S = BC×AC=8×6=48
ABCD
ABCD的对角线AC与BD相交于O,直线EF过点 O与 AB 、CD分别相交于E 、F,试探究OE与OF的大小关系并说明理由。
A
B
C
D
O
E
F
●
●
●
1
2
3
4
探究
●
O
D
C
B
A
E
F
●
O
D
C
B
A
E
F
(1)
(2)
在上述问题中,若直线EF绕与边DA、BC的延长线交于点E、F,（如图2）,上述结论是否仍然成立？试说明理由。
●
●
●
●
变一变
在上述问题中,若将直线EF绕点O旋转至下
图（3）的位置时,上述结论是否仍然成立？
F
E
F
●
O
D
C
B
A
E
(1)
●
O
D
C
B
A
E
F
(3)
(3)
(4)
若此时再与两边延长线相交呢？
●
O
D
C
B
A
E
F
(4)
●
●
●
●
再变一变
小结：过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到线段总相等。
1、平行四边形具有而一般四边形不具有 的特征是（ ）
A、不稳定性 B、对角线互相平分
C、内角的为360度 D、外角和为360度
B
随堂演练
2、若平行四边形的一边长为５,则它的两条对角线长可以是( )
Ａ. 12和2 Ｂ. 3和4
Ｃ. 4和6 Ｄ. 4和8
O
D
B
A
C
D
三角形任意两边之和大于第三边。
3、如图，在平面直角坐标系中，□OBCD的顶点 O﹑B﹑D的坐标如图所示，则顶点C的 坐标为（ ）
x
y
C
O (0,0)
B(5,0)
D(2,3)
A. (3,7) B. (5,3)
C. (7,3) D. (8,2)
C
4、如图，在□ ABCD中，对角线AC,BD交于点O，AC＝10，BD=8,则AD的取值范围是______________.
O
D
B
A
C
●
1＜AD＜9
O
D
B
A
C
5、如图,在 ABCD中, 对角线AC，BD相交于点O,且AC+BD=20, △AOB的周长等于15,则CD=______.
5
平行四边形的性质
A
D
C
B
O
B
A
C
D
研究对象 研究结果 几何表示
对边
邻边
对角
邻角
对角线
平行
且相等
相等
互补
∠A＝∠C,∠B＝∠D
AB∥CD，AD∥BC
＝
＝
∠A＋∠B＝180°
互相平分
OA=OC,OB=OD
课堂小结
谢谢
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