2017—2018学年鲁教版七年级下册数学《第10章三角形的有关证明》单元测试（含答案）（解析版）

《三角形的有关证明》单元测试　
一．选择题（共14小题）
1．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（　　）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
2．在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（　　）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
3．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　）
A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定
4．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
5．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE．下列结论：①CE=BD；②S四边形BCDE=BD?CE；③BC2+DE2=BE2+CD2；④△ADC是等腰直角三角形；⑤∠ADB=∠AEB．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①③ C．①②③④ D．①②④⑤
6．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．无法确定
7．已知点C在线段BE上，分别以BC、CE为边作等边三角形ABC和等边三角形DCE，连接AE与CD相交于点N，连接BD与AC相交于点M，连接OC、MN，则①AE=BD；②△ACN≌△BCM；③∠BOE=120°；④△MNC是等边三角形；⑤OC平分∠BOE；⑥BO=AO+CO；以上结论正确的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
8．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
9．如图，点C为线段AB上一点，且AC=2CB，以AC、CB为边在AB的同侧作等边△ADC和等边△EBC，连接DB、AE交于点F，连接FC，若FC=3，设DF=a、EF=b，则a、b满足（　　）
A．a=2b+1 B．a=2b+2 C．a=2b D．a=2b+3
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于D、E两点，若BD=1，则AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．2 D．8
11．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在BC的延长线上，AE∥BD，点ED在AC同侧，若∠CAE=118°，则∠B的大小为（　　）
A．31° B．32° C．59° D．62°
12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上一点，BC=BD=AD，则∠A的大小是（　　）
A．36° B．54° C．72° D．30°
13．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（　　）
A． B． C． D．
14．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是（　　）
A．（）2017 B．（）2016 C．（）2017 D．（）2016
　
二．填空题（共4小题）
15．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为　 　．
16．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=　 　．
17．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，若将△ABC向右滚动，则x的值等于　 　，数字2012对应的点将与△ABC的顶点　 　重合．
18．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，……，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an（n≥3）．则当an=90时，n的值是　 　．
　
三．解答题（共8小题）
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E．
求证：AE=DE．
20．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
21．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE与AC交于E．
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=　 　°，∠DEC=　 　°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　 　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
22．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD=DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．
23．如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形．
（1）求证：△DAB≌△DCE
（2）求证：DA∥EC．
24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上﹣点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．
（1）求证：AF=CG；
（2）写出图中长度等于2DE的所有线段．
25．【感知】如图①，△ABC是等边三角形，CM是外角∠ACD的平分线，E是边BC中点，在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF．易证：△AEF是等边三角形（不需要证明）．
【探究】如图②，△ABC是等边三角形，CM是外角∠ACD的平分线，E是边BC上一点（不与点B、C重合），在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF．求证：△AEF是等边三角形．
【应用】将图②中的“E是边BC上一点”改为“E是边BC延长线上一点”，其他条件不变．当四边形ACEF是轴对称图形，且AB=2时，请借助备用图，直接写出四边形ACEF的周长．
26．【探究】如图①，分别以△ABC的两边AB和AC为边向△ABC外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结DC、BE，求证：DC=BE．
【拓展】如图②，在四边形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=45°，连结AC、BD，若∠DAC=90°，AC=AD，则BD的长为　 　．
　

参考答案与试题解析
　
一．选择题（共14小题）
1．如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（　　）
A．1个 B．3个 C．4个 D．5个
【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°∴△ABC是等腰三角形，
∠ABC=∠ACB==72°，
BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠DBC=36°，
∵ED∥BC，
∴∠AED=∠ADE=72°，∠EDB=∠CBC=36°，
∴在△ADE中，∠AED=∠ADE=72°，AD=AE，△ADE为等腰三角形，
在△ABD中，∠A=∠ABD=36°，AD=BD，△ABD是等腰三角形，
在△BED中，∠EBD=∠EDB=36°，ED=BE，△BED是等腰三角形，
在△BDC中，∠C=∠BDC=72°，BD=BC，△BDC是等腰三角形，
所以共有5个等腰三角形．
故选：D．
　
2．在等边△ABC所在平面内找出一个点，使它与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．这样的点一共有（　　）
A．1个 B．4个 C．7个 D．10个
【解答】解：在等边△ABC中，三条边上的高交于点O，
由于等边三角形是轴对称图形，三条高所在的直线也是对称轴，也是边的中垂线，点O到三个顶点的距离相等，△ADB，△BOC，△AOC是等腰三角形，则点O是满足题中要求的点，
高与顶角的两条边成的锐角为30°，以点A为圆心，AB为半径，做圆，延长AO交圆于点E，
由于点E在对称轴AE上，有EC=EB，AE=AC=AB，△ECB，△AEC，△ABE都是等腰三角形，点E也是满足题中要求的点，
作AD⊥AE交圆于点D，则有AC=AD，AD=AB，即△DAB，△ADC是等腰三角形，点D也是满足题中要求的点，同理，作AF⊥AE交圆于点F，则点F也是满足题中要求的点；
同理，以点B为圆心，AB为半径，做圆，
以点C为圆心，AB为半径，做圆，都可以分别得到同样性质的三个点满足题中要求，
于是共有10个点能使点与三角形中的任意两个顶点所组成的三角形都是等腰三角形．
故选：D．
　
3．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（　　）
A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定
【解答】解：在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，
∵AD是∠A的外角平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
在△ACP和△AEP中，，
∴△ACP≌△AEP（SAS），
∴PE=PC，
在△PBE中，PB+PE＞AB+AE，
∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，
∴m+n＞b+c．
故选：A．
　
4．如图，在4×4方格中，以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出（　　）
A．7个 B．6个 C．4个 D．3个
【解答】解：如图所示，分别以A、B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1、C2、C3、C4、C5、C6、C7即为第三个顶点的位置；作线段AB的垂直平分线，垂直平分线未经过格点．
故以AB为一边，第三个顶点也在格点上的等腰三角形可以作出7个．
故选：A．
　
5．如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连结CE交AD于点F，连结BD交CE于点G，连结BE．下列结论：①CE=BD；②S四边形BCDE=BD?CE；③BC2+DE2=BE2+CD2；④△ADC是等腰直角三角形；⑤∠ADB=∠AEB．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．①③ C．①②③④ D．①②④⑤
【解答】解：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AD=AE，
∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，
∠CAE=∠DAE+∠CAD=90°+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴CE=BD，故①正确；
∠ABD=∠ACE，
∴∠BCG+∠CBG=∠ACB+∠ABC=90°，
在△BCG中，∠BGC=180°﹣（∠BCG+∠CBG）=180°﹣90°=90°，
∴BD⊥CE，
∴S四边形BCDE=BD?CE，故②正确；
由勾股定理，在Rt△BCG中，BC2=BG2+CG2，
在Rt△DEG中，DE2=DG2+EG2，
∴BC2+DE2=BG2+CG2+DG2+EG2，
在Rt△BGE中，BE2=BG2+EG2，
在Rt△CDG中，CD2=CG2+DG2，
∴BE2+CD2=BG2+CG2+DG2+EG2，
∴BC2+DE2=BE2+CD2，故③正确；
只有AE∥CD时，∠AEC=∠DCE，
∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°，
无法说明AE∥CD，故④错误；
∵△ABD≌△ACE，
∴∠ADB=∠AEC，
∵∠AEC与∠AEB相等无法证明，
∴∠ADB=∠AEB不一定成立，故⑤错误；
综上所述，正确的结论有①②③共3个．
故选：A．
　
6．已知如图，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD=ED，AD=2，BC=3，则△ADE的面积为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．无法确定
【解答】解：过D作BC的垂线交BC于G，过E作AD的垂线交AD的延长线于F，
∵∠EDF+∠FDC=90°，
∠GDC+∠FDC=90°，
∴∠EDF=∠GDC，
于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，
，
∴△DEF≌△DCG，
∴EF=CG=BC﹣BG=BC﹣AD=3﹣2=1，
所以，S△ADE=（AD×EF）÷2=（2×1）÷2=1．
故选：A．
　
7．已知点C在线段BE上，分别以BC、CE为边作等边三角形ABC和等边三角形DCE，连接AE与CD相交于点N，连接BD与AC相交于点M，连接OC、MN，则①AE=BD；②△ACN≌△BCM；③∠BOE=120°；④△MNC是等边三角形；⑤OC平分∠BOE；⑥BO=AO+CO；以上结论正确的个数是（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【解答】解：∵三角形ABC和三角形DCE都是等边三角形，
∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=∠ACE=120°，
∴△BCD≌△ACE，
∴AE=BD，故①正确；
∴∠CBM=∠CAN，
又∵∠BMC=∠AMO，
∴∠AOB=∠ACB=60°，
∴∠BOE=180°﹣60°=120°，故③正确；
∵∠CBM=∠CAN，∠BCM=∠ACN=60°，BC=AC，
∴△ACN≌△BCM，故②正确；
∴CM=CN，
又∵∠MCN=60°，
∴△MCN是等边三角形，故④正确；
如图，过C作CG⊥BD，CH⊥AE，
∵△BCD≌△ACE，
∴△BCD中BD边上的高与△ACE中AE边上的高对应相等，
即CG=CH，
∴点C在∠BOE的角平分线上，
即CO平分∠BOE，故⑤正确；
如图，在BO上截取OF=OC，则△COF是等边三角形，
∴CO=CF=OF，∠BFC=120°=∠AOC，
又∵∠CAO=∠CBF，AC=BC，
∴△BCF≌△ACO，
∴BF=AO，
∴BO=BF+OF=AO+CO，故⑥正确；
故选：D．
　
8．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，CE⊥CD，且CE=CD，连接BD，DE，BE，则下列结论：①∠ECA=165°，②BE=BC；③AD⊥BE；④=1．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【解答】解：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，∴∠ACD=∠ADC=（180°﹣30°）=75°，
∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°，
∴∠ECA=165°∴①正确；
②∵CE⊥CD，∠ECA=165°（已证），
∴∠BCE=∠ECA﹣∠ACB=165﹣90=75°，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE=BC，∴②正确；
③∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，
∴∠CAB=∠ABC=45°
∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=45﹣30=15°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CBE=30°，
∴∠ABF=45+30=75°，
∴∠AFB=180﹣15﹣75=90°，
∴AD⊥BE．
④证明：如图，
过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．
∵∠CAD=30°，且DM=AC，
∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，
∴∠NCD=90°﹣∠ACD=15°，∠MDC=∠DMC﹣∠ACD=15°，
在△CMD和△CND中，
，
∴△CMD≌△CND，
∴CN=DM=AC=BC，
∴CN=BN．
∵DN⊥BC，
∴BD=CD．∴④正确．
所以4个结论都正确．
故选：D．
　
9．如图，点C为线段AB上一点，且AC=2CB，以AC、CB为边在AB的同侧作等边△ADC和等边△EBC，连接DB、AE交于点F，连接FC，若FC=3，设DF=a、EF=b，则a、b满足（　　）
A．a=2b+1 B．a=2b+2 C．a=2b D．a=2b+3
【解答】解：如图作CM⊥AE于M，CN⊥BD于N．在AE上取一点H使得CH=CF．
∵△ACD，△BCE度数等边三角形，
∴CA=CB，CE=CB，∠ACD=∠ECB=60°，
∴∠ACE=∠DCB，
∴△ACE≌△DCB，
∴∠CAE=∠CDB，AE=BD，S△ACE=S△DCB，
∴?AE?CM=?BD?CN，
∴CM=CN，
∵CM⊥AE于M，CN⊥BD于N，
∴∠CFA=∠CFB，
∵∠CAE=∠CDB，可得∠DFA=∠DCA=60°，
∴∠DFA=∠CFA=∠CFB=60°，
∵CH=CF，
∴△CFH是等边三角形，
∴∠FCH=∠ACD=60°，CH=CF=FH，
∴∠ACH=∠DCF，
∵CA=CD，CH=CF，
∴△ACH≌△DCF，
∴AH=DF，
∴AF=AH+FH=DF+FC=a+3，
同理可得BF=FE+FC=b+3，
∴===2，
∴AF=2BF，
∴a+3=2（b+3），
∴a=2b+3，
故选：D．
　
10．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=30°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于D、E两点，若BD=1，则AC的长是（　　）
A．3 B．4 C．2 D．8
【解答】解：连接DC，
在Rt△BCA中，∵DE为AC的垂直平分线，
∴AD=CD，
∴∠A=∠DCA=30°，
∴∠BDC=60°，
在Rt△CBD中，
cos∠BDC==，
解得：DC=2，BC=，
在Rt△CBA中，BC=，AB=3，
∴AC==2．
故选：C．
　
11．如图，在△ABC中，AC=BC，点D在BC的延长线上，AE∥BD，点ED在AC同侧，若∠CAE=118°，则∠B的大小为（　　）
A．31° B．32° C．59° D．62°
【解答】解：∵在△ABC中，AC=BC，
∴∠B=∠CAB，
∵AE∥BD，∠CAE=118°，
∴∠B+∠CAB+∠CAE=180°，
即2∠B=180°﹣118°，
解得：∠B=31°，
故选：A．
　
12．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上一点，BC=BD=AD，则∠A的大小是（　　）
A．36° B．54° C．72° D．30°
【解答】解：∵BD=BC=AD，
∴△ABD，△BCD为等腰三角形，
设∠A=∠ABD=x，则∠C=∠CDB=2x，
又∵AB=AC可知，
∴△ABC为等腰三角形，
∴∠ABC=∠C=2x，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，
即x+2x+2x=180°，
解得x=36°，
即∠A=36°．
故选：A．
　
13．如图，在射线OA，OB上分别截取OA1=OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2=B1B2，连接A2B2，…按此规律作下去，若∠A1B1O=α，则∠A10B10O=（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵B1A2=B1B2，∠A1B1O=α，
∴∠A2B2O=α，
同理∠A3B3O==α，
∠A4B4O=α，
∴∠AnBnO=α，
∴∠A10B10O=，
故选：B．
　
14．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点B1在y轴上，顶点C1，E1，E2，C2，E3，E4，C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是（　　）
A．（）2017 B．（）2016 C．（）2017 D．（）2016
【解答】解：∵∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，
∴D1E1=C1D1sin30°=，
则B2C2=，
同理可得：B3C3=，
故正方形AnBnCnDn的边长是：（）n﹣1．
则正方形A2018B2018C2018D2018的边长是：（）2017．
故选：C．
　
二．填空题（共4小题）
15．如图，已知△ABC≌△ADE，若AB=7，AC=3，则BE的值为　4　．
【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴AE=AC，
∵AB=7，AC=3，
∴BE=AB﹣AE=AB﹣AC=7﹣3=4．
故答案为：4．
　
16．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、M在BC上，则∠EAN=　32°　．
【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=106°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，
即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，
∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．
故答案为32°．
　
17．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，若将△ABC向右滚动，则x的值等于　﹣3　，数字2012对应的点将与△ABC的顶点　C　重合．
【解答】解：∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形ABC，设点A表示的数为x﹣3，点B表示的数为2x+1，点C表示的数为﹣4，
∴﹣4﹣（2x+1）=2x+1﹣（x﹣3）；
∴﹣3x=9，
x=﹣3．
故A表示的数为：x﹣3=﹣3﹣3=﹣6，
点B表示的数为：2x+1=2×（﹣3）+1=﹣5，
即等边三角形ABC边长为1，
数字2012对应的点与﹣4的距离为：2012+4=2016，
∵2016÷3=672，C从出发到2012点滚动672周，
∴数字2012对应的点将与△ABC的顶点C重合．
故答案为：﹣3，C．
　
18．如图，第（1）个多边形由正三角形“扩展”而来，边数记为a3，第（2）个多边形由正方形“扩展”而来，边数记为a4，……，依此类推，由正n边形“扩展”而来的多边形的边数记为an（n≥3）．则当an=90时，n的值是　9　．
【解答】解：由图可知a3=12=3×4，a4=20=4×5，a5=5×6=30，…an=n（n+1），
可得：n（n+1）=90，
解得：n=9，
故答案为：9
　
三．解答题（共8小题）
19．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AB交AC于点E．
求证：AE=DE．
【解答】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，
∴∠BAD=∠EAD，
∵DE∥AB，
∴∠BAD=∠ADE，
∴∠EAD=∠ADE，
∴AE=DE．
　
20．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．
【解答】证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．
∵AB=AC，
∴BP=PC；
∵AD=AE，
∴DP=PE，
∴BP﹣DP=PC﹣PE，
∴BD=CE．
　
21．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE=40°，DE与AC交于E．
（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=　25　°，∠DEC=　115　°；当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变　小　（填“大”或“小”）；
（2）当DC等于多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【解答】解：（1）∵∠B=40°，∠ADB=115°，
∴∠BAD=180°﹣40°﹣115°=25°；
∵∠ADE=40°，∠ADB=115°，
∴∠EDC=180°﹣∠ADB﹣∠ADE=180°﹣115°﹣40°=25°．
∴∠DEC=180°﹣40°﹣25°=115°，
当点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；
（2）当DC=2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵∠C=40°，
∴∠DEC+∠EDC=140°，
又∵∠ADE=40°，
∴∠ADB+∠EDC=140°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
∵∠BDA=110°时，
∴∠ADC=70°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=70°，
∴△ADE的形状是等腰三角形；
∵当∠BDA的度数为80°时，
∴∠ADC=100°，
∵∠C=40°，
∴∠DAC=40°，
∴△ADE的形状是等腰三角形．
　
22．如图1，在四边形ABCD中，DC∥AB，AD=BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：AD=DC；
（2）如图2，在上述条件下，若∠A=∠ABC=60°，过点D作DE⊥AB，过点C作CF⊥BD，垂足分别为E、F，连接EF．判断△DEF的形状并证明你的结论．
【解答】（1）证明：∵DC‖AB，
∴∠CDB=∠ABD，
又∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠CDB=∠CBD，
∴BC=DC，
又∵AD=BC，
∴AD=DC；
（2）△DEF为等边三角形，
证明：∵BC=DC（已证），CF⊥BD，
∴点F是BD的中点，
∵∠DEB=90°，∴EF=DF=BF．
∵∠ABC=60°，BD平分∠ABC，∠BDE=60°，
∴△DEF为等边三角形．
　
23．如图，点C在线段AB上，△DAC和△DBE都是等边三角形．
（1）求证：△DAB≌△DCE
（2）求证：DA∥EC．
【解答】证明：（1）∵△DAC和△DBE都是等边三角形，
∴DA=DC，DB=DE，∠ADC=∠BDE=60°，
∴∠ADC+∠CDB=∠BDE+∠CDB，即∠ADB=∠CDE，
在△DAB和△DCE中，
，
∴△DAB≌△DCE（SAS）；
（2）∵△DAB≌△DCE，
∴∠A=∠DCE=60°，
∵∠ADC=60°，
∴∠DCE=∠ADC，
∴DA∥EC．
　
24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上﹣点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．
（1）求证：AF=CG；
（2）写出图中长度等于2DE的所有线段．
【解答】证明：（1）∵∠ACB=90°，CG平分∠ACB，
∴∠ACG=∠BCG=45°，
又∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CAF=∠CBF=45°，
∴∠CAF=∠BCG，
在△AFC与△CGB中，
，
∴△AFC≌△CBG（ASA），
∴AF=CG；
（2）延长CG交AB于H，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CH⊥AB，CH平分AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
在△ADE与△CGE中，
，
∴△ADE≌△CGE（AAS），
∴DE=GE，
即DG=2DE，
∵AD∥CG，CH平分AB，
∴DG=BG，
∵△AFC≌△CBG，
∴CF=BG，
∴CF=2DE．
∵BG=CF，
∴BG=2DE，
∴DG=2DE，
故长度等于2DE的线段有CF、BG、DG．
　
25．【感知】如图①，△ABC是等边三角形，CM是外角∠ACD的平分线，E是边BC中点，在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF．易证：△AEF是等边三角形（不需要证明）．
【探究】如图②，△ABC是等边三角形，CM是外角∠ACD的平分线，E是边BC上一点（不与点B、C重合），在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF．求证：△AEF是等边三角形．
【应用】将图②中的“E是边BC上一点”改为“E是边BC延长线上一点”，其他条件不变．当四边形ACEF是轴对称图形，且AB=2时，请借助备用图，直接写出四边形ACEF的周长．
【解答】解：【探究】如图②，∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠B=∠ACB=60°．（1分）
∴∠ACD=120°．
∵CM是外角∠ACD的平分线，
∴．
∴∠B=∠ACF=60°．（2分）°
∵CF=BE，
∴△ABE≌△ACF．（4分）
∴AE=AF，∠BAE=∠CAF．（5分）
∵∠BAC=60°，
∴∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC．
∴∠EAF=60°．（6分）
∴△AEF是等边三角形．（7分）
【应用】
如图③，同理得：△AEF是等边三角形，
∴∠EAF=60°，AF=EF，
∵四边形ACEF是轴对称图形，
∴CE=AC=2，AE⊥CF，
Rt△ACF中，∠ACF=60°，
∴∠AFC=30°，
∴CF=4，AF=2，
∴四边形ACEF的周长=AC+CE+AF+EF=2AC+2AF=4+4．（9分）
　
26．【探究】如图①，分别以△ABC的两边AB和AC为边向△ABC外作正三角形ABD和正三角形ACE，连结DC、BE，求证：DC=BE．
【拓展】如图②，在四边形ABCD中，AB=BC=5，∠ABC=45°，连结AC、BD，若∠DAC=90°，AC=AD，则BD的长为　5　．
【解答】解：【探究】∵以AB、AC为边分别向外做等边△ABD和等边△ACE，
∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
【拓展】如图②，以AB为边向外作等腰直角三角形AB，AE=AB，∠BAE=90°，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，
∵BE=AB=5，
∵∠ABC=45°，
∴∠EBC=90°，
∴CE==5，
∴BD=5，
故答案为：5．