12.1 二次根式
教学目标
1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件；
2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算；
3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．
教学过程
1、这是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观．仔细观察发现：水域部分是正方形，外围是圆．
如果该正方形的面积为30m2，你知道该正方形的边长是多少米吗？
如果该圆的面积为S m2，你知道该圆的半径是多少吗？
2、这是同学们常见的某跨江斜拉索大桥，若其中一根钢索的水平距离是9m，垂直距离是am．同学们知道这根钢索的长度吗？
、、、…．这些式子有什么共同的特征呢？你还能列举出符合这些特征的一些例子吗？
思考探索一：
1．例1下列哪些式子是二次根式？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）（x、y异号）．
2．说一说，下列各式是二次根式吗？ 为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）（m≤0）
3．（1）当a＜0时，有意义吗？为什么？
（2）当a≥0时，可能为负数吗？为什么？
思考探索二：
1．例2 x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
2．练习：课本P149第1题．
思考探索三：
1．的意义是什么？你会计算（）2吗？类似地，（）2、（）2、（）2、（）2的结果是什么？类比猜想：当a≥0时，（）2的结果是什么？
2．例3 计算：
（1）（）2；（2）（）2；（3）（）2（a＋b≥0）．
3．例4 计算：
（1）（）2－（）2； （2）（3）2； （3）（－2）2．
4．如图，长3米的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角米，请求出梯子的顶端与地面的距离h米．
5．练习：《课本》P149第2题．
总结：
1．二次根式的意义；
2．二次根式有意义的条件；
3．二次根式的基本性质．
课后作业：
1．《课本》P151第1、2题．
2．思考：若实数x、y满足＋（y＋2）2＝0，求y x 的值．
12.1 二次根式
教学目标
1．了解二次根式的概念，初步理解二次根式有意义的条件；
2．通过具体问题探求并掌握二次根式的性质，能运用性质进行一些简单的运算；
3．通过观察一些特殊的情形，获得一般结论，使学生感受归纳的思想方法．
教学重点
探求二次根式有意义的条件，掌握二次根式的性质，并能运用性质进行一些简单的运算．
教学难点
1．通过观察一些特殊的情形，运用从特殊到一般的数学思想归纳获得二次根式的性质；
2．理解、掌握、运用二次根式性质（）2＝a（a≥0）．
教学过程
情景引入：
情景一 这是天安门广场前的大型音乐喷泉的图片，非常美丽壮观．仔细观察发现：水域部分是正方形，外围是圆．
如果该正方形的面积为30m2，你知道该正方形的边长是多少米吗？
如果该圆的面积为S m2，你知道该圆的半径是多少吗？
情景二
这是同学们常见的某跨江斜拉索大桥，若其中一根钢索的水平距离是9m，垂直距离是am．同学们知道这根钢索的长度吗？
课题引入：
、、、…．这些式子有什么共同的特征呢？你还能列举出符合这些特征的一些例子吗？
思考探索一：
1．例1下列哪些式子是二次根式？为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）（x、y异号）．
2．说一说，下列各式是二次根式吗？ 为什么？
（1）；（2）；
（3）；（4）（m≤0）
3．（1）当a＜0时，有意义吗？为什么？
（2）当a≥0时，可能为负数吗？为什么？
思考探索二：
1．例2 x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？
（1）；（2）；
（3）；（4）．
2．练习：课本P149第1题．
思考探索三：
1．的意义是什么？你会计算（）2吗？类似地，（）2、（）2、（）2、（）2的结果是什么？类比猜想：当a≥0时，（）2的结果是什么？
2．例3 计算：
（1）（）2；（2）（）2；
（3）（）2（a＋b≥0）．
3．例4 计算：
（1）（）2－（）2；
（2）（3）2；（3）（－2）2．
4．如图，长3米的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角米，请求出梯子的顶端与地面的距离h米．
5．练习：《课本》P149第2题．
总结：
1．二次根式的意义；
2．二次根式有意义的条件；
3．二次根式的基本性质．
课后作业：
1．《课本》P151第1、2题．
2．思考：若实数x、y满足＋（y＋2）2＝0，求y x 的值．
课件24张PPT。12.1 二次根式（1）12.1 二次根式（1） 正方形喷泉池的面积为30m2，那么正方形的边长是 m ．12.1 二次根式（1）12.1 二次根式（1） 圆形花坛的面积为S，那么这个圆的半径是 . 12.1 二次根式（1）12.1 二次根式（1）12.1 二次根式（1） 形如 （a≥0）的式子叫做二次根式，其中，a叫被开方数． 12.1 二次根式（1） 例1 下列哪些式子是二次根式？为什么？解：（1）、（2）是二次根式． （1） ；（2） ；（3） ； （4） （x、y异号）.12.1 二次根式（1） 说一说，下列各式是二次根式吗?解：（1）、（3）、（4）是二次根式 . （3） ； （4） （m≤0）.（1） ； （2） ；12.1 二次根式（1） 例2 x是怎样的实数时，下列式子在实数范围内有意义？（3） ； （4） .（1） ； （2） ；12.1 二次根式（1）解：由x＋1≥0，则x≥－1．
解：∵在实数范围内，不论x取什么值，
恒有x2 ＋2＞0， （1）（2）12.1 二次根式（1）解：∵在实数范围内，不论x取什么值，恒有
－x2≤0； 又∵二次根式的被开方数大于等于零；∴当x＝0时， 式子 在实数范围内有意义.∴ －x2＝0，即x＝0；（3）12.1 二次根式（1）解：由题目条件： 解①得：x≤ ；解②得：x≠ ．∴不等式组的解集为：x＜ ．∴当x＜ 时, 式子 在实数范围内有意义.（4）12.1 二次根式（1）12.1 二次根式（1）练习：《课本》P149第1题． 12.1 二次根式（1） 1. 的意义是什么？你会计算（ ）2吗？类似地，（ ）2、（ ）2、（ ）2、（ ）2的结果是什么？类比猜想：当a≥0时，（ ）2的结果是什么？12.1 二次根式（1） 例3 计算：
（1）（ ）2； （2）（ ）2；
（3）（ ）2（a＋b≥0）.
12.1 二次根式（1） 例4 计算：
（1）（ ）2－（ ）2；
（2）（ ）2；
（3）（ ）2.
12.1 二次根式（1）例5 如图，长 米的梯子靠在墙上，梯子的底部
离墙角 米，请求出梯子的顶端与地面的距离h米．解:∵在Rt△ACB中，由勾股定理得
答：梯子的顶端与地面的距离h为４米．12.1 二次根式（1）《课本》P149第2题．12.1 二次根式（1）a≥012.1 二次根式（1）12.1 二次根式（1）1．课本P151第1、2题． 2．若实数x、y满足 ＋（y＋2）2＝0，
求y x 的值．12.1 二次根式（1）12.1 二次根式（2）
教学目标
1．学会二次根式的性质＝｜a｜，并能运用这个性质化简二次根式；
2．知道公式＝｜a｜与（）2＝a（a≥0）的区别，并能在二次根式的化简和计算中正确运用；
3．在探究二次根式性质的过程中，培养和掌握“转化”思想．
教学重点
学会二次根式的性质＝｜a｜，并能运用这个性质化简二次根式．
教学难点
知道公式＝｜a｜与（）2＝a（a≥0）的区别，并能在二次根式的化简和计算中正确运用．
教学过程
情境创设：
1．二次根式的概念： 。
2．二次根式有意义的条件： 。
3．（）2＝ （a≥0）．
探索活动：
观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律．
＝ ，＝ ，＝ ，
＝ ，＝ ，
＝ ,＝ ．
通过观察，你得到的结论是什么，试着说一说。
让学生通过计算，观察结果，讨论总结出二次根式的相关性质．
新知得出：
发现：当a≥0时，＝_____，
当a＜0，＝______．
根据绝对值的意义：
当a≥0时，||＝ ；当a＜0时，||＝ ，
由此可知：＝｜a｜．
性质应用、学习例题：
计算．
（1）； （2）； （3）（x≤1）．
学生练习：
1．计算．
（1）； （2）； （3）；
（4）（x≥2）．
2．指出下列运算过程中的错误．
，可以写，
两边开平方得，，
所以，即．
拓展延伸：
1．二次根式与中，可以是怎样的实数？
2．与是否相等？
小结与作业：
12.1 二次根式（2）
教学目标
1．学会二次根式的性质＝｜a｜，并能运用这个性质化简二次根式；
2．知道公式＝｜a｜与（）2＝a（a≥0）的区别，并能在二次根式的化简和计算中正确运用；
3．在探究二次根式性质的过程中，培养和掌握“转化”思想．
教学重点
学会二次根式的性质＝｜a｜，并能运用这个性质化简二次根式．
教学难点
知道公式＝｜a｜与（）2＝a（a≥0）的区别，并能在二次根式的化简和计算中正确运用．
教学过程
情境创设：
1．二次根式的概念；
2．二次根式有意义的条件；
3．（）2＝a（a≥0）．
探索活动：
观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律．
＝ ，＝ ，＝ ，
＝ ，＝ ，
＝ , ＝ ．
通过观察，你得到的结论是什么，试着说一说。
让学生通过计算，观察结果，讨论总结出二次根式的相关性质．
新知得出：
发现：当a≥0时，＝_____，
当a＜0，＝______．
根据绝对值的意义：
当a≥0时，||＝；当a＜0时，||＝－，
由此可知：＝｜a｜．
性质应用、学习例题：
计算．
（1）；
（2）；
（3）（x≤1）．
学生练习：
1．计算．
（1）； （2）；
（3）；
（4）（x≥2）．
2．指出下列运算过程中的错误．
，可以写，
两边开平方得，，
所以，即．
拓展延伸：
1．二次根式与中，可以是怎样的实数？
2．与是否相等？
小结与作业：
课件10张PPT。12.1 二次根式（2） 复习回顾：1．二次根式的概念；2．二次根式有意义的条件；3．12.1 二次根式（2） 观察下列各式的特点，找出各式的共同规律，并用表达式表示你发现的规律.通过观察，你得到的结论是什么？
试着说一说．12.1 二次根式（2）12.1 二次根式（2）例题讲解12.1 二次根式（2）解:(1)(2)(3)当x≤1时，学生练习：计算：（1）（2）（3）（4）12.1 二次根式（2） 2.指出下列运算过程中的错误．
，可以写成两边开平方得，所以即12.1 二次根式（2） 拓展提高：12.1 二次根式（2） 课堂小结：
本节课的收获与体会？ 12.1 二次根式（2）12.1 二次根式的乘除（1）
学习目标
1.理解·＝（a≥0，b≥0），＝·（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简；
2.经历二次根式乘法法则的探究过程，进一步理解乘法法则；
3.在具体的计算过程中讨论交流，总结公式，体会“数学知识来源于实践”的理念．
学习重、难点
重点 二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质．
难点 二次根式的乘法法则与积的算术平方根的性质的理解与运用．
教学流程
情境创设
同学们，上节课我们了解了二次根式的概念，掌握了二次根式的性质，并能运用这些性质进行一些简单的计算，那么对于二次根式更为复杂的运算我们还能解决吗？数学来源于生活，下面我们就一起走进数学实验室，看看生活中的数学给我们带来了怎样新的问题？
合作探究
数学实验室
（1）在图中，小正方形的边长为1，AB＝，BC＝，画出矩形ABCD的面积是多少？
（2）在图中，小正方形的边长为1．画出矩形EFGH，使EF＝，FG＝．矩形EFGH的面积是多少？
活动一：
计算：（1）×＝ ，
＝ ；
（2）×＝ ，
＝ ；
（3）×＝ ，
＝ ．
你的发现： 。
活动二：
验证公式：·＝（a≥0，b≥0）的正确性．
计算：
（1）×； （2）×； （3）·（a≥0）．
知识积累，练习巩固：教材第154页练习第1题．
活动三：
了解了二次根式的乘法公式，请同学们逆向思考，你又有什么新发现呢？
例2 化简：
（1）； （2）（a≥0）；
（3）（a≥0，b≥0）．
知识积累，练习巩固：教材第154页练习第2题．
知识拓展，能力提高．
观察：·＝（a≥0， b≥0）
思考：××？
例题 计算：
（1）··；
（2）××．
小结与作业
1．我们的收获：一路走来，我们结识了很多新知识，你能谈谈自己的收获吗？说一说让大家一起来分享．
2．作业：教材第160页习题12.2第1、2题．
课件14张PPT。12.2 二次根式的乘除（1） 12.2 二次根式的乘除（1） 情景一：12.2 二次根式的乘除（1） 情景二：2．归纳猜想：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.文字语言叙述： 12.2 二次根式的乘除（1） 例1 计算：12.2 二次根式的乘除（1） （1）（2）（3）12.2 二次根式的乘除（1） 解：（1）（2）（3）当a≥0时，练习：
课本154页练习第1题．夯实基础，才能有所突破……12.2 二次根式的乘除（1） 逆用二次根式乘法法则：文字语言叙述： 积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积． 12.2 二次根式的乘除（1） 例2 化简： 二次根式中含有二次或高于二次的因数或因式怎么化简？12.2 二次根式的乘除（1） （1）12.2 二次根式的乘除（1） （1）（2）（3）练习：
课本154页练习第2题．夯实基础，才能有所突破……12.2 二次根式的乘除（1） 12.2 二次根式的乘除（1） 推广：2. 计算： 一路下来，我们结识了很多新知识，你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大家一起来分享．硕果累累12.2 二次根式的乘除（1） 逆用乘法法则（积的算术平方根）：二次根式的乘法法则：12.2 二次根式的乘除（1） 《12.2 二次根式的乘除（2）》
课题
12.2 二次根式的乘除（2）
自主空间
学习目标
（1）使学生能进一步理解二次根式的乘法法则，能熟练地进行二次根式的乘法运算；
（2）使学生能熟练地进行二次根式的化简及变形.
学习重、难点
熟练地进行二次根式的化简、乘法运算
教学流程
预
习
导
航
探索：
怎样处理运算结果中的被开方数含有的开得尽的因数或因式？
1．回顾：
上节课主要学习了二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质，谁能说说它们的内容各是什么?
2．回答：（1）×=______,（2）___________
3．怎样处理运算结果中的被开方数含有的开得尽的因数或因式？（分组讨论交流）
合
作
探
究
一、新知探究：
利用
与时
1．注意a、b的符号，这两数均为非负数时，上式才成立；
2．在根式运算的结果中，被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式。
二、例题分析：
例3化简：
（1） （2）(x≥0，y≥0)
（3）(x≥0，x+y≥0)
例4 计算：
（1）· （2）·
（3）·（a≥0，b≥0）
例5已知长方形两邻边的长分别为20m、40m。求对角线的长
三、展示交流
1．化简:（A级）
（1） （2）
（3） （4）
2．化简:（B级）
（1）(x≥0，y≥0) （2）
（3）
四、提炼总结
1．概括：一般地，有=.(a≥0，b≥0)
由以上公式逆向运用可得：
2．利用=.(a≥0，b≥0)时在注意字母a、b的符号，
3．一般地，二次根式的运算结果中，被开方数应不含能开方开得尽方的因数或因式。
4．解决方法：
在化简时如果被开方数是差或和的形式，要利用因式分解把它化成积的形式，开出来时注意符号的变化。
当
堂
达
标
1．下列二次根式中，还能继续化简的是（ ）
A． B．
C． D．
2．化简得（ ）
A． B．
C． D．
3．计算或化简：
（1） （2）
（3） （4）
（5）
课件10张PPT。12.2 二次根式的乘除（2） 12.2 二次根式的乘除（2） 反过来得二次根式的乘法运算法则：积的算术平方根的性质：12.2 二次根式的乘除（2） 尝试化简：注意结果：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．（1）（2）（3）(x≥0，y≥0).；；12.2 二次根式的乘除（2） 例1 化简：（1）(a≥0，b≥0)；12.2 二次根式的乘除（2） 例1 化简：注意结果：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．12.2 二次根式的乘除（2） 化简：（1）（2）(x≥0，x－y≥0)；(x≥0，y≥0)．12.2 二次根式的乘除（2） 例2 计算：（1）（2）(a≥0，b≥0)；（3）（4）；．；12.2 二次根式的乘除（2） 例3 计算：12.2 二次根式的乘除（2） 例4 如图，在△ABC中，∠B＝90°，
AB＝10cm，BC＝20cm，求AC．12.2 二次根式的乘除（2） 本节课我们继续学习二次根式的乘法法则和二次根式的化简，我们是如何进行化简的？
你还有哪些困惑？ 《12.2 二次根式的乘除（3）》
课题
12.2 二次根式的乘除（3）
自主空间
学习目标
（1）使学生经历二次根式除法法则的探究过程,进一步理解除法法则.
（2）使学生能运用法则=（a≥0，b＞0）进行二次根式的除法运算；
（3）使学生理解商的算术平方根的性质=（a≥0，b＞0），并能运用于二次根式的化简和计算。
学习重、难点
商的算术平方根的性质及二次根式的除法法则的探究、理解与运用
教学流程
预
习
导
航
1．回顾
=
=
2．思考：（1） ？ （a≥0，b＞0）,
（2）= ？ （a≥0，b＞0）
合
作
探
究
一、法则探究：
1．计算并观察两者关系：
（1）=_______=_______
（2）=_______=______
（3）=______=______
（4）=______=_______
2．请再举例试一试.
你猜想到什么结论呢?
3．课堂小结：一般地，可以得到=（a≥0，b＞0）。
注意：为什么要加a，b条件?
二、例题分析：
例5计算:
（1） （2）
（3） （4）
思考:
= （ ）
= （ ）
例6 化简：
（1） （2）
（3） （4）（a＞0，b≥0）
三、提炼总结
1．概括：一般地，有=（a≥0，b＞0）
2．由以上公式逆向运用可得：
=（a≥0，b＞0）
3．解决方法：
（1）被开方数若是带分数，，需先公为假分数，再化简；
（2）被开方数开出来时，若有字母，注意字母的取值范围。
这一节课的内容我们都学会了吗？你一定会做的很出色！
1．计算或化简
（1） （2）
（3） （4） （，）
（5） （6）（ ）
2．已知，求的取值范围。
3．已知一个长方形的面积为，其中一边长为，求长方形的对角线的长。
4．你能总结一下，我们这节课学习的公式吗？
当
堂
达
标
学习反思：
课件11张PPT。12.2 二次根式的乘除（3） 12.2 二次根式的乘除（3） 情境创设： （1） ＝ ， ＝ ；
（2） ＝ ， ＝ ；
（3） ＝ ， ＝ ；
（4） ＝ ， ＝ ．比较上述各式，你猜想到什么结论？ 这就是二次根式的除法运算法则．12.2 二次根式的乘除（3） 例1 计算：（1）（2）（3）（4）12.2 二次根式的乘除（3） 解：（1）（2）（3）（4）学生练习： （1） （2） （3）（4）由可以得到， 利用商的算术平方根的性质可以化简一些二次根式．(a≥0， b＞0)，(a≥0， b＞0)．12.2 二次根式的乘除（3） 例2 化简：（1）（2）（3）（4） ( a≥0， b＞0).12.2 二次根式的乘除（3） 解：（1）（2）（3）（4）当a＞0、b≥0时，学生练习： （1）（2）（3）（4）（y＞0）．例3 等式成立的条件是 ．成立的条件是 . 练习：等式12.2 二次根式的乘除（3） 拓展提高：1．计算： 2．已知一个长方形的面积为 cm2， 其中一边长为 cm， 求长方形的对角线的长． 12.2 二次根式的乘除（3） 1．能运用法则进行二次根式的除法运算；2．能逆用二次根式的除法运算法则，对简单的
二次根式进行化简. (a≥0， b＞0),12.2 二次根式的乘除（3） 《12.2 二次根式的乘除（4）》
班级 姓名
课题
12.2 二次根式的乘除（4）
自主空间
学习目标
（1）使学生能运用法则=（a≥0，b＞0）化去被开方数的分母或分母中的根号；.
（2）使学生能进一步明确二次根式化简结果中的被开方数应不含有能开得尽方的因数或因式,也不含有分母.根式运算的结果中分母不含有根号。
学习重、难点
商的算术平方根的性质的理解与运用
教学流程
预
习
导
航
1．想一想：=？（a_ _ 0 ，b__ 0）,
=? （a__0，b__0）
2．我们前面要求过，计算的结果中根号下不含有开方开得尽的因数或因式。我们还要求计算的结果中被开方数不含有分母或使分母中不含根号。我们能否用我们学过的二次根式的乘除法，把被开方数中的分母化去或使分母中不含根号？
3．思考：如何化去 的被开方数中的分母呢?
4．小组讨论后交流.
5．请再举例试一试.
6． 想一想：如果上面首先化成,那么该怎样化去分母中的根号呢?
7．小组讨论后全班进行交流
合
作
探
究
当
堂
达
标
一、新知探究：
1．当（a≥0，b＞0）时,= ===
若二次根式化简结果中的被开方数含有分母，则就可以用这种方法化去根号下的分母。
2．当（a≥0，b＞0）时, ==
如果二次根式运算的结果中分母含有根号，则就可以用这种方法化去。
二、例题分析：
例7 化去根号内的分母:
（1） （2）
（3）
例8 化去分母中根号:
（1） （2）
（3）
三、展示交流
1．化简（A级）
（1） （2）
（3） （4） （x>0）
2．化简（B级）
（1） （2）
（3）
（4） （5）
四、提炼总结
1．化简二次根式实际上就是使二次根式满足:
（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
（2）被开方数中不含有分母;
（3）分母中不含有根号.
2．与相乘就可以把分母化去，与相乘就可以把分母化去.
1．把根式中的分母及分母中的根式去掉
（1） （2）3
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
2．在图中填数，使每一行、每一列、每条对角线上的3个数的乘积都是1
1
主要错误订正：
学习反思：
课件12张PPT。12.2 二次根式的乘除（4） 12.2 二次根式的乘除（4） 想一想:（1）（2）＝？(a ，b )；＝？(a ，b )．12.2 二次根式的乘除（4） 思考：12.2 二次根式的乘除（4） 12.2 二次根式的乘除（4） 化去根号中的分母：解：（1）（2）（3）（1）（2）（3）(x＞0， y≥0)．12.2 二次根式的乘除（4） 化去下列各式根号中的分母：(a＞0， b≥0)12.2 二次根式的乘除（4） 想一想：12.2 二次根式的乘除（4） 由此你能化去分母中的根号吗？当a≥0，b＞0时,12.2 二次根式的乘除（4） 化去分母中的根号：解:（1）（2）（3）（1） ； （2） ； （3） (x＞0，y≥0)． 12.2 二次根式的乘除（4） 练习：化去分母中的根号．12.2 二次根式的乘除（4） 化简二次根式
实际上就是使二次根式满足：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数中不含分母；（3）分母中不含有根号．像 ， ， 不能作为二次根式的最后化简结果．这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式． 12.2 二次根式的乘除（4） 怎样化去被开方数中的分母？怎样化去分母中的根号？最简二次根式：（1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2）被开方数中不含分母；（3）分母中不含有根号．课题 ： 二次根式的加减（1）
班级 姓名 ＿
学习目标：
1．通过自主探究概括同类二次根式的概念及二次根式加减法法则；
2．了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式，会利用法则进行二次根式的加减运算；
3．通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣．
学习过程：
【预习案】
（1）— （2）+ （2）-+
【探究案】
一、探索活动
活动一 ： 同类二次根式
1.下列3组二次根式，各有什么共同特征？
（1），，，，……
（2），，，，……
（3），，，，……
，称为同类二次根式。
活动二：二次根式的加减
尝试计算：
思考：（1）要进行二次根式加减运算,它们具备什么特征才能进行合并？
（2）怎样合并同类二次根式： 。
（3）二次根式加减运算的步骤: 。
二、例题学习
典型例题：
例1：(1)．+++ (2).+--
(3).-+ ⑷. －
例2：如图，两个圆的圆心相同，面积分别为8㎝2、18㎝2，求圆环的宽度（两圆半径之差）
三、归纳总结
1、同类二次根式；
2、二次根式加减的步骤。
四、当堂反馈
【练习案】
1.在二次根式：①；②；③；④中是同类二次根式的是 （ ）
A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④
2.下列各式①3＋3=6；②=1；③＋==2；④=2，其中错误的有 （ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3.计算：（1）3--+2+； （2）-- +；
（3）4+5--（a≥0，b≥0）
（4）2a-+（a＞0）
4. （1）两个正方形的面积分别为2cm2、 8cm2，求这两个正方形的边长和面积；
（2）两个正方形的面积分别为s、4s（s＞0），求这两个正方形边长的和；
课题：二次根式的加减（1）
教学目标：
1．通过自主探究概括同类二次根式的概念及二次根式加减法法则；
2．了解同类二次根式的概念，会识别同类二次根式，会利用法则进行二次根式的加减运算；
3．通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣．
教学重点：同类二次根式的概念及二次根式加减运算法则．
教学难点：探讨二次根式加减法运算的方法，快速准确进行二次根式加减法的运算．
教学流程：
一、情境创设
计算： +
【预设说明】有的学生会说把被开方数相加得到结果，针对这个结果其他学生有没有疑议？如果有请说出原因。如果没有可以继续计算+， ，一般学生会通过估值发现，这样计算出来的结果与原式并不相等。从而引出本节课的内容：二次根式的加减。这样更容易激发学生的学习兴趣．
二、探索活动
活动1：下列3组二次根式各有什么特征？
（1），，，，；
（2），，，，；
（3），，，．
【预设说明】第（1）（2）组学生很容易发现所有二次根式的被开方数都相同，这样虽然第（3）组虽然被开方数不同，但学生也会想办法把被开方数化成相同的了，这个办法就是：化简。从而引出同类二次根式的概念。
经过化简以后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．
辨识同类二次根式：先请两位同学举出几个同类二次根式，再让学生自己写一组（3个）同类二次根式，同桌互相批改。
活动2：试计算．
1．++ 2．－＋+．
【预设说明】二次根式是怎么相加减的呢？通过学生的探索发现，首先只有同类二次根式可以相加，然后再思考同类二次根式怎么相加减呢？具体方法是可以逆运用乘法分配律，提取相同的同类二次根式，再把系数相加减。可以类比合并同类项。
归纳总结：1、只有同类二次根式才可以相加，不是同类二次根式不能相加；
2、要先化简然后才能找到同类二次根式，从而才能相加。
二次根式加减法则：二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式。
三、例题教学
例1计算：
（1）3＋4－2＋；
（2）＋－－；
（3）－5＋
⑷. －
【预设说明】（1）给的都是最简二次根式，所以学生不需要化简直接合并就可以了；（2）（3）学生先要进行化简，然后才能进行二次根式的加减，在（1）的基础上增加了化简这一步；（4）在前面的基础 上又增加了被开方数为字母的难度，（4）本来课本例题中没有，但在后面的练习中有。
例2： 如图，两个圆的圆心相同，半径分别为R、r，面积分别是18cm2、8 cm2．求圆环的宽度（两圆半径之差）．
【预设说明】本例题是课本中的，主要是利用二次根式的加减来解决
实际问题，这里要注意结果用∏来表示，因为题目没有要求取近似值。
四、当堂练习
1.在二次根式：①；②；③；④中是同类二次根式的是 （ ）
A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④
2.下列各式①3＋3=6；②=1；③＋==2；④=2，其中错误的有 （ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
3.计算：（1）3--+2+； （2）-- +；
（3）4+5--（a≥0，b≥0）
（4）2a-+（a＞0）
4. （1）两个正方形的面积分别为2cm2、 8cm2，求这两个正方形的边长和面积；
（2）两个正方形的面积分别为s、4s（s＞0），求这两个正方形边长的和；
【练习设计说明】当堂练习主要是针对本节课的知识点来设计的，1、同类二次根式；2、二次根式的加减。除了书上的课后练习外，还补充了考查同类二次根式的练习。
五、归纳总结
1、同类二次根式；
2、二次根式加减的步骤；
3、合并同类二次根式可类比合并同类项。
教后反思：
课件11张PPT。12.3 二次根式的加减（1）12.3 二次根式的加减（1）计算：问题情境：请说出你的思路？这是二次根式的加减计算是把被开方数相加吗？不是，为什么？那怎样进行二次根式的加减计算？ 经过化简以后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式．12.3 二次根式的加减（1）探索活动1：尝试计算：1．2．12.3 二次根式的加减（1）探索活动2： + +说说你的发现：1、只有同类二次根式才能进行加减2、二次根式加减前要先化简3、合并同类二次根式类似合并同类项例1 计算：1、2、3、12.3 二次根式的加减（1）典型例题： 例2 如图，两个圆的圆心相同，半径分别为R、r，面积分别是18cm2、8cm2.求圆环的宽度（两圆半径之差）. 12.3 二次根式的加减（1）典型例题：解：根据题意，得答：圆环的宽度为 cm. 12.3 二次根式的加减（1）典型例题：当堂反馈：1.在二次根式：① ；② ；③ ；④ 中是同类二次根式的是 （ ）
A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④
2.下列各式① ；② ；
③ ；④ 其中错误的有 （ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个12.3 二次根式的加减（1）CA12.3 二次根式的加减（1）当堂反馈：3、计算：12.3 二次根式的加减（1）当堂反馈：4、（1）两个正方形的面积分别为2cm2、
8cm2，求这两个正方形的边长和面积；（2）两个正方形的面积分别为scm2、4scm2，求这两个正方形的边长的和。12.3 二次根式的加减（1）小结与思考：你还有哪些困惑？ 本节课你有哪些收获？课题 ： 二次根式的加减（2）
学习目标：
1．回顾同类二次根式的概念及二次根式加减法法则；
2．类比整式运算的法则、公式和运算律进行二次根式的混合运算；
3．学生通过复习整式运算知识培养学生的知识迁移能力；通过在二次根式运算中运用乘法公式以激发学生用类比的数学思想解题的兴趣．
学习过程：
【预习案】
1、计算
（1） （2m+3n）（m-n） （2）(3a-2b)(3a+2b) (3)(2x-y)2
2.整式的乘法：
（1）（a+b+c）m= ；
（2）（a+b）（c+d）= ；
乘法公式
①完全平方公式： 。
②平方差公式： 。
【探究案】
一、探索活动
计算
1、 2. 3.
你的发现： 。
二、例题学习
典型例题：
例1：计算
例2：计算
（3）
三、归纳总结
1、同类二次根式混合运算与整式运算有何类似？
2、二次根式运算结果要注意什么？
四、当堂反馈
【练习案】
1、计算
（1） （2）
（3） （4）
2、计算
（1）（）（） （2）（）（）（a≥0，b≥0）
（3）（）2 （4）（）2（a≥0，b≥0）
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ,AC=，求Rt△ABC的周长和面积.
4.
课题：二次根式的加减（2）
教学目标：
1．回顾同类二次根式的概念及二次根式加减法法则；
2．类比整式运算的法则、公式和运算律进行二次根式的混合运算；
3．学生通过复习整式运算知识培养学生的知识迁移能力；通过在二次根式运算中运用乘法公式以激发学生用类比的数学思想解题的兴趣．
教学重点：正确运用二次根式的性质以及运算法则进行二次根式的混合运算
教学难点：正确运用二次根式的运算法则进行计算。
教学流程：
一、情境创设
1、计算
（1） （2m+3n）（m-n） （2）(3a-2b)(3a+2b) (3)(2x-y)2
【预设说明】 通过这3个计算帮助学生回忆整式运算的法则、公式、运算律。为下面二次根式的运算作铺垫。
2.整式的乘法：
（1）（a+b+c）m= ；
（2）（a+b）（c+d）= ；
乘法公式
①完全平方公式： 。
②平方差公式： 。
【预设说明】帮助学生回顾整式乘法的相关内容，主要包括：单项式乘多项式、多项式乘多项式；平方差公式、完全平方公式；及其运算中运用到的交换律、分配律。
二、探索活动
计算
1、 2. 3.
【预设说明】有了前面对整式运算相关知识的回顾，学生自然而然就会利用其知识来解决类似的问题。可以让学生自主探索，然后 让学生上来展示，培养学生知识的迁移能力。
三、例题教学
1、计算
【预设说明】这两题主要是利用乘法分配律进行计算，类似单项式乘多项式和多项式乘多项式。有了前面的铺垫，学生不会有很大困难，只是运算过程中还要注意二次根式的乘法法则不能用错，同类二次根式要合并，结果要化成最简二次根式。这里可以把有这几种问题的学生作业展示出来给大家纠错，效果会更好。并及时回顾最简二次根式的3个要求
（1） （2） ；（3） ；
2、计算
（3）
【预设说明】这3个例题主要是运用3个乘法公式进行运算的典型例题，让学生通过运用来巩固对其知识的掌握。 这里补充了一个完全平方差公式的计算，要注意学生常犯的错误。可能是符号，可能是漏中间项，教师要注意观察学生的作业情况，以便及时反馈。
四、当堂练习
1、计算
（1） （2）
（3） （4）
2、计算
（1）（）（） （2）（）（）（a≥0，b≥0）
（3）（）2 （4）（）2（a≥0，b≥0）
3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ,AC=，求Rt△ABC的周长和面积.
4.
【预设说明】除了书上的课后练习，这里还补充了两 个运用，第3题是二次根式的计算结合勾股定理的运用，比较常见。第4题也是常见的整体思想和公式变形的运用，对学生的能力提高有帮助。
五、归纳总结
1、怎样进行二次根式的混合运算？
教后反思：
课件11张PPT。12.3 二次根式的加减（2）（1） （2m+3n）（m-n） （2） (3a-2b)(3a+2b) （3）(2x-y)2问题情境：计算：请说出你计算的依据：（1）（a+b+c）m= ；（2）（a+b）（c+d）= ； （3）乘法公式①完全平方公式： 。②平方差公式： 。am+bm+cmac+ad+bc+bd12.3 二次根式的加减（2）二、探索活动计算：（1）（2）（3）你有什么发现？ 整式运算的法则、公式和运算律仍然适用于二次根式的运算12.3 二次根式的加减（2）三、例题教学 1、计算：12.3 二次根式的加减（2）解：
（1）12.3 二次根式的加减（2）结果要化成最简二次根式（2）12.3 二次根式的加减（2）同类二次根式要合并例2 计算：1．2．12.3 二次根式的加减（2） （3）3.解：
（1）（2）12.3 二次根式的加减（2）1、计算
（1） （2）（3） （4）2、计算当堂反馈：12.3 二次根式的加减（2）3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB= ,AC=，求Rt△ABC的周长和面积.4. 当堂反馈：12.3 二次根式的加减（2） 本节课有哪些收获？
12.3 二次根式的加减（2）小结与思考：你还有哪些困惑？ 第12章二次根式复习
班级 姓名 ＿
学习目标：
1、通过复习让学生了解二次根式、最简二次根式的概念，
2、了解二次根式的加减乘除运算法则，会用它们进行有关的简单四则运算。
3、通过运算培养学生的计算能力。
学习过程：
（一）二次根式的定义
二次根式定义：形如 的式子叫做二次根式。
判断下列哪些是二次根式：
， ， ， ， ，
例1：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.
1.当 x _____时， 有意义;
2、有意义的条件是： 。
A、3 B、-3 C、1 D、-1
归纳：二次根式有意义的条件是： 。
（二）二次根式的性质
1、 2、
3、 4、
例2：计算
自己根据性质举出不同的4个例子，并进行计算，同桌相互批改
1、 2、 3、 4、 。
（三）二次根式的计算
1、二次根式的乘法法则： ；
2、二次根式的除法法则 ： ；
3、二次根式的加减： ；
4、二次根式的混合运算： ；
例3：1、计算
（1） （2） （3） （4）
2、计算
（1） （2）
（3） （4）
归纳总结：
1、二次根式的定义：
2、二次根式的性质:
3、二次根式的计算：
当堂反馈
1、下列各式不是二次根式
B、 C、 D、
2、二次根式有意义，则x的取值范围是 。
3、下列计算正确的是：
4、下列化简后被开方数与 相同的是（ ）
5、计算的结果是（ ）
6、若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简|3x+ | 的结果是（ ）
A.-4x B.4x C.-2x D.2x
7、若，则x的值为 。
8、一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？
9、 已知△ABP的一边AB= ，
（1）在如图所示的4×4的方格中画出格点△ABP，使 三角形的三边为，，
（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，若点P为线段CD上动点。
①则AD=____ BC=____
② 设DP=a,请用含a的代数式表示AP，BP。则AP=__________，BP=__________。
③ 当a=1 时，则PA+PB=______,
当a=3,则PA+PB=______
④ PA+PB是否存在一个最小值？如果存在请求出最小值。
课件15张PPT。第12章二次根式复习本章知识：（一）二次根式的定义:注意：被开方数大于或等于零判断下列各式哪些是二次根式？典型例题：例1:确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围.≤3a=4D二次根式有意义的条件：
被开方数大于或等于0(二）二次根式的性质：本章知识：2(二）二次根式的性质：请根据性质举出对应的例子，并进行计算，同桌交流批改典型例题：（三）二次根式的运算：二次根式乘法法则二次根式除法法则二次根式的加减： 类似于合并同类项，把同类二次根式进行合并. 二次根式的混合运算： 整式运算的法则、公式和运算律仍然适用于二次根式的运算本章知识：1、计算①②③④典型例题：2、计算①②③④本章知识概括：（一）二次根式的定义:(二）二次根式的性质：（三）二次根式的运算：BACC当堂反馈：（8）一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长60cm.一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是多少？（6）若数轴上表示数x的点在原点的左边，则化简|3x+ | 的结果是（ ）
A.-4x B.4x C.-2x D.2xC解：当堂反馈：ABPDC若点P为线段CD上动点。（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，①则AD=____ BC=____12当堂反馈：ABPDC若点P为线段CD上动点。（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，①则AD=____ BC=____12当堂反馈：ABPDC若点P为线段CD上动点。（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，①则AD=____ BC=____12当堂反馈：ABPDC若点P为线段CD上动点。（2）如图所示，AD⊥DC于D，BC⊥CD于C，①则AD=____ BC=____12② 设DP=a,请用含a的代数式表示AP，BP。则AP=__________，BP=__________。③ 当a=1 时，则PA+PB=______,当a=3,则PA+PB=______④ PA+PB是否存在一个最小值？当堂反馈：通过这节课的学习，谈谈你的收获？
