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4.2一次函数
数学湘教版 八年级下
导入新知
某登山队大本营所在地的气温为5 c ，海拔每升高1km气温下降6 c ，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在的位置的气温是y c，试用解析式表示y与x的关系。
y=5-6x
动脑筋
新知讲解
1.某地电费的单价为0.8元/（kW·h），请用表达式表示电费y(元)与所用电量之间x（kW·h）的函数关系
用电量x(kW·h是自变量，电费y是x的函数,它们之间的数量关系为
电费=单价×用电量
即：y=0.8x ①
新知讲解
2.某弹簧秤最大能称不超过10的物体，秤的原长为10cm，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm。挂上重物后的长度为y(cm) ，所挂重物的质量为x(cm)，请用表达式表示弹簧长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数关系
新知讲解
弹簧所挂重物的质量x（kg）是自变量，弹簧长度(cm)y是x的函数,它们之间的数量关系为
弹簧长度=原长+弹簧伸长量
即：y=10+0.5x ②
新知讲解
函数y=0.8x，y=10+0.5x有什么共同的特征？
说一说
它们都是关于自变量的一次式
新知讲解
一次函数定义
像 y=0.8x ，y=10+0.5x一样它们都是关于自变量的一次式,像这样的函数称为一次函数.
一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式,其中k、b是常数,k≠0.
一次函数y＝kx＋b(k ≠0)的结构特征：
①k ≠0；
②自变量x的次数是1；
③常数项b可以是任意实数
新知讲解
正比例函数是一种特殊的一次函数.
思考：正比例函数与一次函数的关系？
特别地,当b＝0时,一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做正比例函数.
其中k叫做比例系数。
一次函数
正比例函数
学以致用
下列函数中,哪些是一次函数
(1) y =-3x+7
(2) y =6x2-3x
(3) y =8x
(4) y =1+9x
(5) y =
它不是一次函数.
它是一次函数,也是正比例函数.
它是一次函数.
它不是一次函数.
它是一次函数.
观察
弹簧每挂上1kg物体，弹簧伸长0.5cm
新知讲解
其中弹簧长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数关系如下表所示：
有什么特点？
新知讲解
仿照上述表格，将电费问题中的自变量与因变量的变化过程表示出来
每使用1kW·h电，需付费0.8元
有什么特点？
新知讲解
可以看出，一次函数的特征是：因变量随自变量的变化是均匀的。
即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加（或都减少）相同的量。
总结
一次函数y＝kx＋b的形式,（k、b是常数,k≠0）的自变量的取值范围是实数集，但在实际问题中，要根据具体情况来确定它的自变量的取值范围.
如：①中x≥0，②中0≤x≤10
注意：
新知讲解
例 科学研究发现，海平面以上10km以内，海拔每升高1km，气温下降6℃.某时刻，若甲地地面气温为20℃，设高出地面x(km)处的气温为y(℃)
（1）求y(℃)随x(km)而变化的函数表达式
（2）若有一架飞机飞过甲地上空，机窗内仪表显示飞机外面的气温为-34℃，求飞机离地面的高度
新知讲解
解：(1)高出地面的高度x(km)是自变量，高出地面x(km)处的气温为y(℃)是x的函数，它们之间的数量关系为
甲地高出地面x(km)的气温=地面气温-下降的气温，
即y=20-6x
(2) 当y=-34时，即20-6x=-34，解得x=9
答：此时飞机离地面的高度为9km
学以致用
已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y.
(1)试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当x=5时，求出函数值.
(2)由(1)，得y=12-2x.
∴当x=5时，函数值y=2.
解：(1)由题意得12=2x+y，
∴可得y=12-2x.
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：y＜2x，2x＜12.
∴可得3＜x＜6.
学以致用
新知讲解
例、已知变量x，y之间的关系是y=(k-2)x+2k+1(其中k是常数)y是x的一次函数吗？
解：(1)当k-2≠0，即k≠2时，y=(k-2)x+2k+1是一次函数
(特别的，当2k+1=0，即k=-时，y=(k-2)x+2k+1是正比例函数)
(2)当k-2=0，即k=2时，得y=5，这时y不是x的一次函数
巩固提升
1.下列关于x的函数中，是一次函数的是( )
A.y=3(x-1)2+1 B.y=x+
C.y= -x D.y=(x+3)2-x2
D
2.若y=x+2-b是正比例函数，则b的值是( )
A.0 B.-2 C.2 D.-0.5
C
巩固提升
3.根据图中的程序，当输入数值-2时，输出数值y为_______.
6
4.一次函数y=(k-4)x+k2-16，当k取__________时，它为正比例函数.
-4
巩固提升
5．已知函数y=(m-10)x+1-2m.
(1)m为何值时，这个函数是一次函数？
(2)m为何值时，这个函数是正比例函数？
(1)根据一次函数的定义可得m-10≠0，
∴m≠10,这个函数是一次函数；
(2)根据正比例函数的定义，可得m-10≠0且1-2m=0.
解得m= .即m=时，这个函数是正比例函数.
巩固提升
6.生态公园计划在园内的坡地上造一片有A，B两种树的混合林，需要购买这两种树苗2 000棵，种植A,B两种树苗的相关信息如下表：
设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元，解答下列问题：
(1)写出y(元)与x(棵)之间的函数表达式；
(2)假设这批树苗种植后成活1 960棵，则造这片林的总费用需多少元？
解：(1)y=(15+3)x+(20+4)(2 000-x),即y=-6x+48 000.
(2)由题意，得0.95x+0.99(2 000-x)=1 960.
解得x=500.
当x=500时，y=-6×500+48 000=45 000.
答：造这片林的总费用需45 000元.
巩固提升
课堂小结
一次函数
函数的解析式是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数.
一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式,其中k、b是常数,k≠0.
正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.
特别地,当b＝0时,一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做正比例函数.
谢谢
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湘教版数学八年级下册4.2一次函数教学设计
课题 一次函数 单元 4 学科 数学 年级 八
学习目标 情感态度和价值观目标 从实际问题的提出，有利于激发学生的学习兴趣
能力目标 在解决实际问题中，选择用一次函数的知识来解决，突出建模思想
知识目标 1.理解正比例函数、一次函数的概念 ；2.会根据数量关系，求正比例函数、一次函数的解析式；会求一次函数的值。
重点 一次函数、正比例函数的概念和解析式
难点 一次函数、正比例函数的解析式
学法 自主探究，合作交流 教法 多媒体，问题引领
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 师：某登山队大本营所在地的气温为5 c ，海拔每升高1km气温下降6 c ，登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在的位置的气温是y c，试用解析式表示y与x的关系。生： y=5-6x师：对，这节课我们就来研究一下这样的函数. 学生思考问题，通过老师的提示引出本节课的内容 让学生感受数学在生活中的用处，增加学生的学习、探索兴趣，便于学生以高昂情绪参与本课的探索过程
讲授新课 师：我们来看今天的内容 (出示课件)某地电费的单价为0.8元/（kW·h），请用表达式表示电费y(元)与所用电量之间x（kW·h）的函数关系纳的天然气费ｙ与所用天然气的体积 ｘ之间的函数关系的？生：用电量x(kW·h)是自变量，电费y是x的函数,它们之间的数量关系为：电费=单价×用电量.即：y=0.8x ①师：看第二个问题：某弹簧秤最大能称不超过10的物体，秤的原长为10cm，每挂1kg物体，弹簧伸长0.5cm。挂上重物后的长度为y(cm) ，所挂重物的质量为x(cm)，请用表达式表示弹簧长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数关系生讨论，然后回答：弹簧所挂重物的质量x（kg）是自变量，弹簧长度(cm)y是x的函数,它们之间的数量关系为弹簧长度=原长+弹簧伸长量即：y=10+0.5x ②师：比较一下y=0.8x 和y=10+0.5x有什么共同的特征？生：它们都是关于自变量的一次式师：通过上面的函数，是不是能给一次函数下个定义呢？师： y=0.8x ，y=10+0.5x一样它们都是关于自变量的一次式,像这样的函数称为一次函数.一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式,其中k、b是常数,k≠0. 师：同学们再来观察一下一次函数y＝kx＋b(k ≠0)结构有什么特征？①k ≠0；②自变量x的次数是1；③常数项b可以是任意实数师：特别地,当b＝0时,一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做正比例函数。其中k叫做比例系数同学们想一想正比例函数与一次函数的关系？能否用图形表示出来生：画图如下正比例函数是一种特殊的一次函数.师：下面观察一下弹簧，弹簧每挂上1kg物体，弹簧伸长0.5cm其中弹簧长度y(cm)与所挂重物质量x(kg)之间的函数关系如下表所示：你发现的什么特点？师：仿照上述表格，同学们能把电费问题中的自变量与因变量的变化过程表示出来吗？试一试师：我们一起总结一下一次函数的特征生：因变量随自变量的变化是均匀的。 即自变量每增加1个最小单位，因变量都增加（或都减少）相同的量。师：很好，但是要注意一次函数y＝kx＋b的形式,（k、b是常数,k≠0）的自变量的取值范围是实数集，但在实际问题中，要根据具体情况来确定它的自变量的取值范围. 如：①中x≥0，②中0≤x≤10例题讲解例 科学研究发现，海平面以上10km以内，海拔每升高1km，气温下降6℃.某时刻，若甲地地面气温为20℃，设高出地面x(km)处的气温为y(℃)（1）求y(℃)随x(km)而变化的函数表达式（2）若有一架飞机飞过甲地上空，机窗内仪表显示飞机外面的气温为-34℃，求飞机离地面的高度师：我们来小试一下身手吧课件展示练习：已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y. (1)试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)当x=5时，求出函数值.例、已知变量x，y之间的关系是y=(k-2)x+2k+1(其中k是常数)y是x的一次函数吗？师：同学们试着解答一下吧。 学生思考回答问题，然后给出一次函数的定义学生积极回答问题并给出一次函数与正比例函数的关系.1．学生独立思考2．将自己的结果论在小组内交流。3．师生共同结，达成共识。教师引导学生审题，学生弄清题意后，师生共同分析思路，学生口答，教师板书解题过程。学生思考，小组解答此题，老师给予订正学生积极解答此题 学生通过解答问题，找出一次函数的共同特点，试着给出定义，激发学生的强烈的好奇心和求知欲。锻炼学生的比较归纳总结的能力通过学生自己动手绘制关系图，加深对知识的理解。学生审题是解题的关键，培养了学生的应用意识。通过此题的训练，让学生掌握自变量的取值范围的确定，主要从两个方面去考虑通过此题加深对知识的巩固并学会应用
巩固提升 1.下列关于x的函数中，是一次函数的是( ) A.y=3(x-1)2+1 B.y=x+ C.y= -x D.y=(x+3)2-x2 答案：D2.若y=x+2-b是正比例函数，则b的值是( ) A.0 B.-2 C.2 D.-0.5 答案：C3.根据图中的程序，当输入数值-2时，输出数值y为_______. 答案：64.一次函数y=(k-4)x+k2-16，当k取__________时，它为正比例函数. 答案： -45． 5．已知函数y=(m-10)x+1-2m. (1)m为何值时，这个函数是一次函数？ (2)m为何值时，这个函数是正比例函数？ 答案：解： (1)根据一次函数的定义可得m-10≠0，∴m≠10,这个函数是一次函数；(2)根据正比例函数的定义，可得m-10≠0且1-2m=0.解得m= .即m=时，这个函数是正比例函数.6.生态公园计划在园内的坡地上造一片有A，B两种树的混合林，需要购买这两种树苗2 000棵，种植A,B两种树苗的相关信息如下表：设购买A种树苗x棵，造这片林的总费用为y元，解答下列问题： (1)写出y(元)与x(棵)之间的函数表达式； (2)假设这批树苗种植后成活1 960棵，则造这片林的总费用需多少元？答案：解：(1)y=(15+3)x+(20+4)(2 000-x),即y=-6x+48 000.(2)由题意，得0.95x+0.99(2 000-x)=1 960.解得x=500.当x=500时，y=-6×500+48 000=45 000.答：造这片林的总费用需45 000元. 学生自主解答，教师讲解答案。 通过这几道题目来反馈学生对本节所学知识的掌握程度，落实基础。学生刚刚接触到新的知识需要一个过程，也就是对新知识从不熟悉到熟练的过程，无论是基础的习题，还是变式强化，都要以学生理解透彻为最终目标。
课堂小结 这节课你有哪些收获？你认为自己的表现如何？1.函数的解析式是用自变量的一次整式表示的,我们称它们为一次函数. 一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式,其中k、b是常数,k≠0. 特别地,当b＝0时,一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做正比例函数.正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例. 学生归纳本节所学知识 回顾、总结、提高。学生自觉形成本节的课的知识网络
板书 当b＝0时,一次函数y＝kx(常数k≠0)也叫做正比例函数.正比例函数也是一次函数,它是一次函数的特例.
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4.2一次函数练习题
一、选择题
1．下列函数：①y=x；②y=；③y=；④y=2x+1，其中一次函数的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2．下列函数中，是正比例函数的是( )
A.y=-8x B.y=-8x+1 C.y=8x2+1 D.y=-
3. 如果关于x的函数是正比例函数，那么m的值为（ ）
A.–1 B. –1或1 C.1 D. –2
4. 在一次函数中，一次项系数k和常数项b的值分别是（ ）
A. B.
C. D.
5. 如果每盒圆珠笔有12枝，售价18元，那么圆珠笔的销售额y(元)与圆珠笔的销售枝数x之间的函数关系式是( )21教育网
A.y=x B.y=x C.y=12x D.y=x
6. 下列问题中，变量y与x成一次函数关系的是( )
A.路程一定时，时间y和速度x的关系
B.长10米的铁丝折成长为y米，宽为x米的长方形
C.圆的面积y与它的半径x
D.斜边长为5的直角三角形的直角边y和x
7. 已知一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应的y的取值范围为－1≤y≤8，则b的值是( )21世纪教育网版权所有
A. B. C. 或 D.
二、填空题
8. 已知y与成正比例, 且当时，，则当时,x= .
9. 已知y与成正比例, 且当时，，则y与x之间的函数关系式为
10. 一次函数y=(k-4)x+k2-16，当k取__________时，它为正比例函数.
11. 已知三角形的三边长分别为3，5，x,则三角形的周长与之间的函数关系式为 .
其中自变量x的取值范围是 .
三、解答题
12. 已知等腰三角形的周长为12，设腰长为x，底边长为y.
(1)试写出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；
(2)当x=5时，求出函数值.
13. 定义[a，b]为一次函数y＝ax＋b(a≠0，a，b为实数)的“关联数”．若“关联数”为[1，m－3]的一次函数是正比例函数，则关于x的方程mx－6＝0的解为多少？
14. 某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费用的报销比例标准如下表：21cnjy.com
医疗费用范围 报销比例标准
不超过8000元 不予报销
超过8000元且不超过30000元的部分 50%
超过30000元且不超过50000元的部分 60%
超过50000元的部分 70%
设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x元，按上述标准报销的金额为y元．
（1）直接写出x≤50000时，y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元，问他住院医疗费用是多少元？
答案：
1、C. 2、A. 3、A. 4、D. 5.A 6.B 7.C
8.
9.
10.-4
11. 2＜x＜8
12. (1)由题意得12=2x+y，
∴可得y=12-2x.
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可得：y＜2x，2x＜12.
∴可得3＜x＜6.
(2)由(1)，得y=12-2x.
∴当x=5时，函数值y=2.
13. 解：∵“关联数”为[1，m－3]的一次函数是正比例函数，
∴y＝x＋m－3是正比例函数，即m－3＝0，
解得m＝3.
把m＝3代入mx－6＝0，
得3x－6＝0，解得x＝2.
14. 解：（1）由题意得：
①当x≤8000时，y=0；
②当8000＜x≤30000时，y=（x﹣8000）×50%=0.5x﹣4000；
③当30000＜x≤50000时，y=（30000﹣8000）×50%+（x﹣30000）×60%=0.6x﹣7000；
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