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课题：18.2.3正方形
教学目标：
掌握正方形的性质和判定方法，并能进行相关的证明和计算，体会解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别．21cnjy.com
重点：
掌握正方形的性质与判定及正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系．
难点：
灵活运用正方形的性质与判定定理进行相关的证明和计算．
教学流程：
一、导入新课
问题：说一说、矩形、菱形的性质？
1、平行四边形的性质：
答案：
边：平行四边形的对边平行且相等.
角：平行四边形的对角相等，邻角互补.
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
对称性：中心对称图形
2、矩形的性质：
答案：
边：两组对边平行且相等
角：四个角都是直角
对角线：对角线相等且互相平分.
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形
3、菱形的性质：
答案：
边：对边平行且四条边都相等
角：对角相等，邻角互补
对角线：对角线垂直且互相平分，并且每一条对角线平分一组对角.
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形
二、新课讲解
情境：欣赏图片
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指出：正方形的四条边相等，四个角都是直角 ( http: / / www.21cnjy.com )，因此，正方形既是________，又是________. 它既有_______的性质，又有________性质.21·cn·jy·com
答案：矩形，菱形，矩形，菱形
追问：正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
答案：正方形是轴对称图形.它有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
思考1：正方形有哪些性质呢？
边：正方形的对边平行且四边相等.
角：正方形的四个角都是直角.
对角线：正方形的对角线相等,并且互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.
对称性：既是轴对称图形，又是中心对称图形
思考2：如何判断一个四边形是正方形呢？
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答案：矩形+一组邻边相等
即：先证它是一个矩形，再证它是菱形.
思考3：如何判断一个四边形是正方形呢？
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答案：菱形+有一个角是直角
即：先证它是一个菱形，再证它是矩形.
归纳：
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例1：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是______．
答案：45°
例2：下列命题中，真命题是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
答案：C
例3：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：如图.四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD交于点O．求证：△ABO, △BCO, △CDO, △DAO是全等的等腰直角三角形.21世纪教育网版权所有
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证明： ∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD, AC⊥BD ,AO=BO=CO=DO,
∴△ABO, △BCO, △CDO, △DAO是等腰直角三角形,
并且△ABO ≌△BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
例4：如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OB，OC上的动点．当动点E，F满足BE＝CF时．www.21-cn-jy.com
(1)写出所有以点E或F为顶点的全等三角形；(不得添加辅助线)
(2)求证：AE⊥BF
解：(1)△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF
(2)延长AE交BF于点M，
∵AB=BC,∠ABE=∠BCF, BE=CF
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AMB=90°，
∴AE⊥BF
三、巩固提升
1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( )
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
答案：C
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条 ( http: / / www.21cnjy.com )件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD.选两个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的选法是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
答案：B
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝ ( http: / / www.21cnjy.com )CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是____________．
答案：答案不唯一，如AC＝BD或AB⊥BC等
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.21教育网
(1)求证：△BED≌△CFD；
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
(1)解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D为中点，
∴BD＝CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)
(2)证明：∵∠A=∠DEA=∠DFA＝90°，
∴四边形DFAE是矩形，
由(1)知△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，
∴四边形DFAE是正方形
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.正方形有哪些性质？如何判定呢？
2.正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别？
五、布置作业
教材P59页练习题第2、3题．
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21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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18.2.3正方形 课件
数学人教版 八年级下
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导入新课
说一说、矩形、菱形的性质？
平行四边形的对边平行且相等.
平行四边形的对角相等，邻角互补.
边
角
对角线
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形
对称性
中心对称图形
导入新课
说一说、矩形、菱形的性质？
矩形
两组对边平行且相等
四个角都是直角
边
角
对角线
对角线相等且互相平分.
对称性
轴对称图形
中心对称图形
导入新课
说一说、矩形、菱形的性质？
菱形
对边平行且四条边都相等
对角相等，邻角互补
边
角
对角线
对角线垂直且互相平分，
并且每一条对角线平分一组对角.
对称性
轴对称图形
中心对称图形
新课讲解
欣赏图片
正方形
新课讲解
正方形的四条边相等，四个角都是直角，因此，正方形既是________，又是________. 它既有_______的性质，又有________性质.
矩形
菱形
矩形
菱形
正方形是轴对称图形.它有四条对称轴，分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线.
正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
新课讲解
思考1：正方形有哪些性质呢？
正方形的对边平行且四边相等.
正方形的四个角都是直角.
边
角
对角线
正方形的对角线相等,并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角.
对称性
中心对称图形
轴对称图形
新课讲解
思考2：如何判断一个四边形是正方形呢？
即：先证它是一个矩形，再证它是菱形.
矩形+一组邻边相等
新课讲解
思考3：如何判断一个四边形是正方形呢？
即：先证它是一个菱形，再证它是矩形.
菱形+有一个角是直角
归 纳
一个角是直角
一组邻边相等
平行四边形
矩形
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
新课讲解
例1：如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是______．
45°
新课讲解
例2：下列命题中，真命题是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C
新课讲解
例3：求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
已知：如图.四边形ABCD是正方形.对角线AC，BD交于点O．求证：△ABO, △BCO, △CDO, △DAO是全等的等腰直角三角形.
证明： ∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD, AC⊥BD ,AO=BO=CO=DO,
∴△ABO, △BCO, △CDO, △DAO是等腰直角三角形,并且△ABO ≌△BCO ≌ △CDO ≌ △DAO.
新课讲解
例4：如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OB，OC上的动点．当动点E，F满足BE＝CF时．
(1)写出所有以点E或F为顶点的全等三角形；(不得添加辅助线)
解：(1)△ABE≌△BCF，
△AOE≌△BOF，
△ADE≌△BAF
新课讲解
例4：如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是OB，OC上的动点．当动点E，F满足BE＝CF时．
(2)求证：AE⊥BF
解： (2)延长AE交BF于点M，
∵AB=BC,∠ABE=∠BCF, BE=CF
∴△ABE≌△BCF，∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABF=90°，
∴∠BAE+∠ABF=90°，
∴∠AMB=90°，∴AE⊥BF
巩固提升
1.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有( )
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
C
巩固提升
2．已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件：
①AB＝BC； ②∠ABC＝90°；
③AC＝BD； ④AC⊥BD.
选两个作为补充条件，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的选法是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
B
巩固提升
3．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是____________．
AC＝BD或AB⊥BC等
巩固提升
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
(1)求证：△BED≌△CFD；
解：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
∵D为中点，
∴BD＝CD，
∴△BED≌△CFD(AAS)
巩固提升
(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．
证明：
(2)∵∠A=∠DEA=∠DFA＝90°，
∴四边形DFAE是矩形，
由(1)知△BED≌△CFD，
∴DE＝DF，
∴四边形DFAE是正方形
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1.正方形有哪些性质？如何判定呢？
2.正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别？
布置作业
教材P59页练习题第2、3题．
谢 谢！
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18.2.3正方形
班级：___________姓名：___________得分：___________
一、选择题(每小题6分，共30分)
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A. 两条对角线相等的四边形是矩形；
B. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形；
C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；
D. 依次连结四边形各边的中点，所得四边形是菱形．
2．如图，四边形ABCD是 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形，直线，，分别通过A，B，C三点，且，若与的距离为5，与的距离为7，则正方形ABCD的面积等于( )2·1·c·n·j·y
A. 148 B. 70 C. 144 D. 74
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第2题图 第3题图 第5题图
3．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）．21·世纪*教育网
A. B. 2 C. D.
4．正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A. 对角线互相平分 B. 对角线相等
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相垂直
5．如图,正方形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中,AB=6,点E在边CD上,且CD=3DE.将△ADE沿AE对折至△AFE,延长EF交边BC于点G,连结AG、CF.下列结论中正确结论的个数是 ( )
①△ABG≌△AFG；②∠EAG=450；③BG=GC； ④AG∥CF； ⑤S△FGC=3.6
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题(每小题6分，共30分)
6．已知正方形ABCD的对角线AC=，则正方形ABCD的面积为_____．
7．如图，在正方形ABCD中，E是对角 ( http: / / www.21cnjy.com )线BD上任意一点，过E作EF⊥BC于F，作EG⊥CD于G，若正方形ABCD的周长为1m，则四边形EFCG的周长为________.
8．将五个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、A3、A4分别是四个正方形的中心，则图中四块阴影部分的面积的和为______．2-1-c-n-j-y
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第7题图 第8题图 第9题图 第10题图
9．如图，正方形ABCD的边长为5，点E在边AB上，且BE=2．若点P在对角线BD上移动，则PA+PE的最小值是__________．21·cn·jy·com
10．如图,已知正方形ABCD的对角线 ( http: / / www.21cnjy.com )交于O点,点E,F分别是AO,CO的中点,连接BE,BF,DE,DF,则下列结论中一定成立的是________.(把所有正确结论的序号都填在横线上)
①BF=DE;②∠ABO=2∠ABE;③S△AED=S△ACD;④四边形BFDE是菱形.
三、解答题(共40分)
11．如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE=CF，∠FDC=30°，求∠BEF的度数．21*cnjy*com
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12．如图，在正方形ABCD中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B=BC=CD=AD，∠BAD=∠B=∠C=∠D=90°，点E、F分别在正方形ABCD的边DC、BC上，AG⊥EF且 AG=AB，垂足为G，则：
（1）△ABF与△ AGF全等吗？说明理由；
（2）求∠EAF的度数；
（3）若AG=4，△AEF的面积是6，求△CEF的面积．
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参考答案
1．B
【解析】根据菱形、矩形和正方形的判定来逐一分析各个选项，从而选出正确的答案.
解：A. ∵两条对角线相等的四边形可能是等腰梯形，故A不正确；
B. 有一条对角线平分一个内角的平行四边形为菱形，正确；
如图，四边形ABCD是平行四边形，BD平分∠ABC.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC,
∴∠2=∠3.
∵BD平分∠ABC,
∴∠1=∠2,
∴∠1=∠3,
∴AB=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
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C. ∵对角线互相垂直且相等的四边形可能是筝形，故C不正确；
D. ∵依次连结四边形各边的中点，所得四边形是平行四边形，故D不正确．
2．D
【解析】过A作AM⊥直线b于M，过D作D ( http: / / www.21cnjy.com )N⊥直线c于N，求出∠AMD=∠DNC=90°，AD=DC，∠1=∠3，根据AAS推出△AMD≌△CND，根据全等得出AM=CN，求出AM=CN=5，DN=7，在Rt△DNC中，由勾股定理求出DC2即可．【来源：21cnj*y.co*m】
解：如图：
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过A作AM⊥直线b于M，过D作DN⊥直线c于N，
则∠AMD=∠DNC=90°，
∵直线b∥直线c，DN⊥直线c，
∴∠2+∠3=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠1+∠2=90°，
∴∠1=∠3，
在△AMD和△CND中，
∵∠1=∠3，
∠AMD=∠CND，
AD=DC，
∴△AMD≌△CND，
∴AM=CN，
∵a与b之间的距离是5，b与c之间的距离是7，
∴AM=CN=5，DN=7，
在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC2=DN2+CN2=72+52=74，
即正方形ABCD的面积为74，
故选B．
3．C
【解析】如图，连接AC、FC，由勾股 ( http: / / www.21cnjy.com )定理结合已知条件求得AC、CF的长，由正方形的性质得到∠ACF=90°，即可由勾股定理求得AF的长，再结合点H是AF的中点即可得到CH的长.【版权所有：21教育】
解：如图，连接AC、FC，
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∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，
∴AB=BC=1，EF=CE=3，∠A=∠E=90°，∠ACD=∠GCF=45°，
∴AC=，CF=，∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°，
∴AF=，
又∵点H是AF的中点，
∴CH=AF=.
故选C.
4．B
【解析】正方形和菱形都满足：四条边都相等，对角线平分一组对角，对角线垂直且互相平分；菱形的对角线不一定相等，而正方形的对角线一定相等，21cnjy.com
故选B．
5．D
【解析】①用HL证明△ABG≌△AFG；②由△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，得到∠EAG＝∠BAD；③在直角三角形CEG中，由勾股定理求GC的长；④根据基本图形“等腰三角形＋角平分线→平行线”证明；⑤由GF:EG＝3:5，得S△FCG:S△ECG＝3:5.www-2-1-cnjy-com
解：①根据轴对称的性质得，△ADE≌△AFE，
所以AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°.
因为AB＝AD，∠B＝90°，所以AB＝AF，
因为AG＝AG，所以△ABG≌△AFG.
则①正确；
②因为△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，
所以∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG，
所以∠EAG＝∠FAE＋∠FAE＝∠BAD＝×90°＝45°.
则②正确；
③因为△ADE≌△AFE，△ABG≌△AFG，
所以ED＝EF，GB＝GF，所以EG＝DE＋BG，
设BG＝x，则CG＝FG＝6－x，DE＝2，CE＝4，EG＝x＋2＝x＋2.
Rt△CEG中，由勾股定理得，CG2＋CE2＝EG2，
所以(6－x)2＋42＝(x＋2)2，解得x＝3.
则CG＝6－x＝3，又BG＝x＝3，所以BG＝CG.
则③正确；
④因为△ABG≌△AFG，所以∠AGB＝∠AGF.
因为BG＝CG，BG＝GF，所以CG＝GF，所以∠GCF＝∠GFC.
因为∠BGE＝∠GCF＋∠GFC，所以∠AGB＝∠GCF，所以AG∥CF.
则④正确；
⑤因为GF＝3，GE＝5，所以S△FGC＝S△GCE＝×GC·CE＝××3×4＝3.6.
则⑤正确.
故选D.
6．1
【解析】在直角△ABC中，AC为斜边，且AB=BC，已知AC的长即可求AB、BC的长，根据AB的长即可求正方形ABCD的面积． 21世纪教育网版权所有
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=BC，
∵AB2+BC 2=AC 2， AC=，
∴AB2+BC2=2，
∴AB=BC=1，
故正方形的面积为S=AB2=1，
故答案为：1．
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7．m
【解析】∵ABCD为正方形，
∴∠DBC=∠BDC=45°，AB=BC=CD=AD，
又∵EF⊥BC，EG⊥CD，
∴∠EFC=∠EGC=90°，又∠C=90°，
∴四边形EFCG为矩形，
∴EG=FC，EF=GC，
∵△BEF和△EDG都为等腰直角三角形，
∴DG=EG，EF=BF，
则四边形EFCG的周长=EF+FC+CG+EG=DG+GC+CF+FB=DC+BC= (m)．
故答案为： m．
8．4
【解析】连接AP、AN，点A是正方形的 ( http: / / www.21cnjy.com )对角线的交点，则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，易得PAF≌△NAE，进而可得四边形AENF的面积等于△NAP的面积，同理可得答案．
解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交
则AP=AN，∠APF=∠ANE=45°，
∵∠PAF+∠FAN=∠FAN+∠NAE=90°，
∴∠PAF=∠NAE，
∴△PAF≌△NAE，
∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积，
( http: / / www.21cnjy.com / )21教育网
而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4，
∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2．【来源：21·世纪·教育·网】
故答案为：4.
9．
【解析】作出点E关于BD的对称点E′交BC于E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，求出AE′的长即为最小值．【出处：21教育名师】
解：作出点E关于BD的对称点E′交BC于E′，连接AE′与BD交于点P，此时AP+PE最小，
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∵PE=PE′，
∴AP+PE ( http: / / www.21cnjy.com )=AP+PE′=AE′，
在Rt△ABE′中，AB=5，BE′=BE=2，
根据勾股定理得：AE′=，
则PA+PE的最小值为．
故答案为：．21教育名师原创作品
10．①③④
【解析】解：∵点E,F分别是AO,CO的中点,
∴OE=OF,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OD=OB,AC⊥BD,
∴四边形BEDF是平行四边形,
∴BF=DE,故①正确;
∵四边形BEDF是平行四边形,AC⊥BD,
∴四边形BFDE是菱形,故④正确;
∵△AED的一边AE是△ACD的边AC的,且此边的高相等,
∴S△AED=S△ACD,故③正确,
∵AB>BO,BE不垂直于AO,AE∶EO不是∶1,
∴BE不是∠ABO的平分线,
∴∠ABO≠2∠ABE,故②没有足够的条件证明成立.
故答案为：:①③④
11．∠BEF=105°．
【解析】根据正方形的性质得出∠BCD= ( http: / / www.21cnjy.com )∠DCF=90°，BC=CD，结合已知条件得出△BCE和△DCF全等，从而得出∠EBC=∠FDC=30°，即∠BEC=60°，根据等腰直角三角形得出∠FEC=45°，从而得出∠BEF的度数．www.21-cn-jy.com
解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=∠DCF=90°，BC=CD，
∵CE=CF，∠FDC=30°，∴△BCE≌△DCF， ∴∠EBC=∠FDC=30°，
∴∠BEC=60°， ∵∠DCF=90°，CE=CF， ∴∠FEC=45°，
∴∠BEF=∠BEC+∠FEC=60°+45°=105°．
12．(1)见解析；（2）45°；（3）4
【解析】（1）根据可得出≌
（2）只要证明所以可求
（3）设 则 构建方程组，求出即可．
解：（1）△ABF与△ AGF全等，理由如下：
在和中，
∴≌
（2）∵≌
∴
同理易得： ≌，有
即
（3）
∵
设 则
①
在中，
②
①2-②得到，
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