专题15利用导数证明多元不等式-备战2019年高考数学之高三复习大一轮热点聚焦与扩展

专题15 利用导数证明多元不等式
【热点聚焦与扩展】
利用函数性质、导数证明不等式，是导数综合题常涉及的问题，多元不等式的证明则是导数综合题的一个难点，其困难之处是如何构造、转化合适的一元函数，本专题拟通过一些典型模拟习题为例介绍常用的处理方法.
1、在处理多元不等式时起码要做好以下准备工作：
（1）利用条件粗略确定变量的取值范围
（2）处理好相关函数的分析（单调性，奇偶性等），以备使用
2、若多元不等式是一个轮换对称式（轮换对称式：一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，则称这个代数式为轮换对称式），则可对变量进行定序
3、证明多元不等式通常的方法有两个
（1）消元：① 利用条件代入消元 ② 不等式变形后对某多元表达式进行整体换元
（2）变量分离后若结构相同，则可将相同的结构构造一个函数，进而通过函数的单调性与自变量大小来证明不等式
（3）利用函数的单调性将自变量的不等关系转化为函数值的不等关系，再寻找方法.
【经典例题】
例1【2018届四川省资阳市高三4月模拟（三诊）】已知函数（其中）．
（1）当时，判断零点的个数k；
（2）在（1）的条件下，记这些零点分别为，求证： ．
【答案】(1)见解析;(2)见解析.
【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，根据零点列表分析导函数符号，进而确定函数单调性，再根据零点存在定理确定函数零点个数，（2）先根据零点条件化简得，令则，利用导数研究函数单调性，根据单调性得，即证得结论.
试题解析：（1）由题知x＞0， ，
所以，由得，
当x＞时， ， 为增函数；当0所以，
而，
所以，
下面证明，其中，
即证明，设，
则，令，则，
所以为增函数，即为增函数，
故，所以为减函数，
于是，即．
所以有，从而．
点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
例2【2018届四川省蓉城名校高中高三4月联考】已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若有两个零点，求实数的范围；
（3）已知函数与函数的图象关于原点对称，如果，且，证明： .
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.
递减
递增
∴函数的增区间为，减区间为；函数在处取的极小值，无极大值.
（2）由，则，
当时， ，易知函数只有一个零点，不符合题意，
零点，不符合题意，
当时，在和上， 单调递增，在上， 单调递减.
又，所以函数至多一个零点，不符合题意，
当时， ，函数在上单调递增，所以函数至多一个零点，不符合题意，
综上，实数的取值范围是.
（3）由， ，令，解得，当变化时， ， 的变化情况如下表：
递增
递减
由，不妨设，根据结合图象可知， ，
令， ，则，∵， ，∴，则，∴在单调递增，又∵，∴时， ，即当时， ，则，
又，∴，因，∴，∴，∵在上是增函数，∴，∴得证.
点睛：本题主要考查的知识点是导数的综合运用，利用导数求出函数的单调区间和极值较为简单，分类讨论由函数零点求参数的取值范围需要注意分类的情况，在证明不等式成立时构造新函数，利用函数的单调性证明，这里的证明方法可以作为此类题目的参考模板加以应用.
例3【2017天津，理20】设，已知定义在R上的函数在区间内有一个零点，为的导函数.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）设，函数，求证：；
（Ⅲ）求证：存在大于0的常数，使得对于任意的正整数，且 满足.
【答案】 （1）增区间是，，减区间是.（2）（3）证明见解析
当x变化时，的变化情况如下表：
x
+
-
+
↗
↘
↗
所以，的单调递增区间是，，单调递减区间是.
（III）证明：对于任意的正整数 ，，且，
令，函数.
由（II）知，当时，在区间内有零点；
当时，在区间内有零点.
所以在内至少有一个零点，不妨设为，则.
由（I）知在上单调递增，故，
于是.
因为当时，，故在上单调递增，
所以在区间上除外没有其他的零点，而，故.
又因为，，均为整数，所以是正整数，
从而.
所以.所以，只要取，就有.
【名师点睛】判断的单调性，只需对函数求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间，有关函数的零点问题，先利用函数的导数判断函数的单调性，了解函数的图象的增减情况，再对极值点作出相应的要求，可控制零点的个数.
例4【2018届青海省西宁市高三下学期一模】已知函数（）在处的切线与直线平行.
（1）求的值并讨论函数在上的单调性；
（2）若函数（为常数）有两个零点（）
①求实数的取值范围；
②求证：
【答案】（1）见解析；（2）①；②见解析.
，∴.
∴
令，
则
∴时， ； 时， .
则在上单调递增，在上单调递减.
∴在时， ，
即时， ，
∴函数在上单调递减.
（2）①由条件可知， ，
则
∴在上单调递减，在上单调递增；
令（）
则，
∴
即
又在上单调递减，
∴，即
点睛：一般涉及导数问题中的证明，可考虑构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性，极值，最值等问题，往往可解决此类证明题，本题就是构造函数后，利用导数确定其单调性，再根据，确定自变量的大小关系，从而求证不等式成立.
例5【2018届辽宁省沈阳市东北育才学校高三三模】已知函数．
（1）求在上的最小值；
（2）若，当有两个极值点时，总有，求此时实数的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）对函数求导，由于不能因式分解，但是能观察出零点，进一步求二阶导可知导函数单调，所以导函数只有唯一零.（2）由，所以方程 有两个不同的实根 ，通过韦达定理把待证不等式消去，再分离参数t，可解.
试题解析：（Ⅰ） ，
, ∴
∴在单调递增，又
根据题意，方程 有两个不同的实根 ，
所以，且 ， ， ．
由
可得，又 ，
所以上式化为对任意的恒成立．
（I）当 时，不等式恒成立， ；
（II）当 时， 恒成立，即．
令函数，显然， 是 上的增函数，
所以当 时， ，
所以 ．
（III）当 时， 恒成立，即．
由（II），当 时， ，所以 ．
综上所述
【点睛】利用导数求函数在闭区间上的最值问题，先对函数求导，再求导函数的零点，一般先看能不能因式分解，如果不能就要分三个方面考虑，一是导函数恒正或恒负，二是可观察出函数的零点，再通过二阶导证明导函数单调，导函数只有唯一零点，三是导函数的零点不可求，我们一般称为隐零点，通过图像和根的存在性定理，先判定和设零点，后面一般需要回代消去隐零点或参数.
例6【2018届陕西省咸阳市二模】已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2） 若函数有两个零点， ，且，证明： .
【答案】（1）当时，知在上递减；当时， 在上递减，在上递增；（2）证明见解析.
，原问题等价于，结合单调性转化为即可，而， ，构造函数，令， ，结合导函数的性质可得，即，则结论得证.
试题解析：
（1）， ，
当时， ，知在上是递减的；
当时， ，知在上是递减的，在上递增的.
（2）由（1）知， ， ，
依题意，即，
由得，
所以

， ，
令， ，
则，知在上是递增的，于是，即，
综上， .
例7【2018届河南省商丘市高三二模】已知函数.
（1）如图，设直线将坐标平面分成四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围；
（2）当时，求证：且，有.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）根据定义域确定只能在3，4区域，再根据确定只能在4，转化为不等式恒成立，分离变量得．利用导数求函数单调性，根据单调性确定函数最值，即得的取值范围；（2）作差函数，再利用二次求导确定为单调递减函数，最后根据，得，即得结论.
试题解析：（1）函数的定义域为，且当时，．
又直线恰好通过原点，
∴函数的图象应位于区域Ⅳ内，
于是可得，
即．
∵，∴．

∴的取值范围是．
（2）∵，
设,
则，
，
∴，
∴时 为单调递减函数，
不妨设，令（），
可得，
，∵且单调递减函数，
∴，∴，为单调递减函数，
∴，
即．
例8【2018届辽宁省大连市高三一模】已知函数，.
若恒成立，求的取值范围；
已知，是函数的两个零点，且，求证：.
【答案】（1）（2）见解析
时，，所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值，为，
若恒成立，则即.
方法一：，，
，
即
，
欲证：，只需证明，只需证明，
只需证明.
设，则只需证明，
即证：.
设，，
在单调递减，，
只需证，
又，
即证
即证，.
令，，
有在上单调递增，，.
所以原不等式成立.
点睛：本题考查了运用导数证明恒成立和不等式问题，在证明恒成立时构造新函数，求导利用单调性即可证明，在证明不等式时，有一定难度，注意题目的转化，构造或是利用单调性转化为，本题属于难题.
例9【2018届河北省石家庄市高三下学期一模】已知函数， ，在处的切线方程为.
（1）求， ；
（2）若方程有两个实数根， ，且，证明： .
【答案】（1）， ；（2）见解析
又，所以，
若，则，与矛盾，故， .
（2）由（Ⅰ）可知， ，
设在(-1，0)处的切线方程为，
易得， ，令
即， ，
当时，
当时，
设， ，
又函数单调递减，故，故，
设在(0,0)处的切线方程为，易得，
令， ，
当时， ，
当时，
故函数在上单调递增，又，
所以当时， ，当时， ，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
， ，
设的根为，则，
又函数单调递增，故，故，
又，
.
例10【2018届四川省凉山州高三第二次诊断】设函数，
（1）若， 在上单调递增.求的取值范围；
（2）若，且有两个极值点， .求证： ；
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】试题分析：(1)将代入，求导得 ，由单调性求出的取值范围(2)先求出，结合两个极值点求出，由根与系数之间关系求出， ，从而证明结果
解析：(1) 得，
有两根， ，即：
，得
又， ，∴
点睛：本题考查了导数的综合运用，在求函数单调递增时只需求导，令导函数大于或者等于零，结合题目求出范围，在证明不等式时，本题结合韦达定理，转化为两根之和与两根之积的问题，从而证明结果.
【精选精练】
1．【2018届贵州省凯里市第一中学高三下学期《黄金卷》第三套】已知函数.
（Ⅰ）试讨论函数的单调性；
（Ⅱ）对，且，证明：.
【答案】（I）见解析；（II）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）函数求导得，分和两种情况讨论导数正负即可得单调性；
（Ⅱ）欲证：，只需证：即证：，从而可构造，求导由函数单调性可证得.
对，有，函数在单调递增．
（II）对且，欲证：
只需证：
即证：.
设，则．
令，则．
当时，有，故函数在单调递减，而，则当时，，所以在单调递增．
当且时，有，即．
成立．
故原不等式成立．
2．【2018届重庆市（非市直属校）高三第二次质量调研】已知函数.
（Ⅰ）若在上单调递减，求的取值范围；
（Ⅱ）当时，函数有两个极值点，
证明： ．
【答案】（1）（2）见解析
得，
令,，
解得在单调递增， 单调递减, 所以,
所以.
(2)函数有两个极值点,
即 有两个不同的零点,且均为正，
令,由可知
在是增函数，在是减函数， 且，构造，
构造函数，
则,故在区间上单调减，
点睛：本题的难点在多次构造函数.第一次求导得到 ，由于导数研究函数的单调区间不是很方便，所以需要再次求导，所以要构造，再研究新函数的图像和性质，后面又要构造函数m(x).为什么要构造，这是大家需要理解掌握并灵活运用.
3．【2018届四川省资阳市高三4月模拟（三诊）】已知函数（其中）．
（1）当时，求零点的个数k的值；
（2）在（1）的条件下，记这些零点分别为，求证： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
，只需利用导数证明即可得结论.
试题解析：（1）由题x＞0， ，则，
由得，
当x＞时， ， 为增函数；当0所以．
因为，所以，
而
，又，
所以当时， 零点的个数为2．
（2）由（1）知的两个零点为，不妨设，
于是且，
两式相减得（*）， 令，
则将代入（*）得，进而，
所以，
下面证明，其中，
即证明，设，
则，令 ，则，
所以，得证．
4．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知函数， .
(I)若函数在区间上均单调且单调性相反,求实数的取值范围；
(Ⅱ)若,证明:
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析．
【解析】试题分析：（Ⅰ）求得，得到在上单调递增，得在上均单调递减，转化为在上恒成立，分离参数，令得到在上单调递增， ，即可求解的取值范围；
（Ⅱ）由（Ⅰ）在上单调递增，得，即，令得，
所以在上单调递增， ，所以即.
（Ⅱ）由（Ⅰ）在上单调递增，
即，
令得，
在（Ⅰ）中，令由在上均单调递减得：
所以，即，取得
，即，由得：
综上：
5．【2018届吉林省吉林市高三第三次调研】已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）设，若函数在内有两个极值点，求证： .
【答案】（1）极大值，极小值 （2）见解析
【解析】试题分析：
（1）当时， ，求导后根据导函数的符号判断函数的单调性，从而可得函数的极值．（2）由题意得，设，结合题意可
试题解析：
（1）当时， .
∴
当时， 单调递增；
当时， ， 单调递减．
所以在上有极大值，极小值 ．
（2）由题意得，
∴，
设，
∵函数在内有两个极值点，
∴方程在上有两个不相等的实根，且1不能是方程的根，
∴
∴，
∴．
6．【2018届高三第一次全国大联考】已知函数有两个零点（）.
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）利用分离参数思想可将题意转化为（）和有两个交点，利用导数判断的单调性得到函数的大致图象，结合图像即可得结果；（2）结合零点定义化简整理可得，设，则，故，记函数（），利用导数判断的单调性，得，故而可得结果.
试题解析：（1）由题知函数的定义域为.
所以函数的大致图象如图所示，
作出直线，由图可知，实数的取值范围为.
（2）由题意，即，所以.
故，即，
整理得，即，
不妨设，由题意得.
则，
所以.
所以，
故．
7．【2018届吉林省长春市高三质量监测（三）】已知函数.
（1）若在上是单调递增函数，求的取值范围；
（2）设，当时，若，其中，求证：.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】试题分析：（1）在上是单调递增函数等价于在上，恒成立，即：，构造新函数求最值即可；
（2）要证，即证，记，易证在上递增，转证.
试题解析：
（1） 的定义域为且单调递增，
在上，恒成立，即：
设 ， ，
当时， 在上为增函数，
当时， 在上为减函数，
， ，即 .
（2）
，
设，

，
，在上递增， ，
，，令
即：
又 ，
即：
， ， 在上递增
，即：，得证.
8．【2018届四川省广元市高第二次统考】已知函数 .
（Ⅰ）当时，求的图象在处的切线方程；
（Ⅱ）若函数有两个不同零点， ，且，求证： ，其中是的导函数.
【答案】（Ⅰ）y＝2x－1；（Ⅱ）证明见解析.
试题解析：（Ⅰ）当时， ， ，切点坐标为，切线的斜率，∴切线方程为，即．
（Ⅱ）∵的图象与轴交于两个不同的点， ，∴方程的两个根为， ，则，两式相减得，又， ，则，下证（*），即证明，令，∵，∴，即证明在上恒成立，∵，又，∴，∴在上是增函数，则，从而知，故（*）式，即成立.
9．【2018届江苏省苏北六市高三第二次调研】设函数．
（1）若函数是R上的单调函数，求实数a的取值范围；
（2）设a＝， (， )， 是的导函数．①若对任意的x＞0， ＞0，求证：存在，使＜0；②若，求证： ＜．
【答案】（1）；（2）见解析
因为，所以对恒成立，
因为，所以，从而．
（2）①，所以．
若，则存在，使，不合题意，
所以．取，则．
此时．
所以．
下面证明，即证明，只要证明．
设，所以在恒成立．
所以在单调递减，故，从而得证．
所以， 即．
点睛：本题考查了导数的综合运用，尤其在证明不等式的过程中，运用了放缩的方法将结果求证出来，在证明时，也是利用了不等式关系构得到，然后构造新函数证明出结果，综合能力较强，本题较难.
10．【2018届山东省枣庄市高三二模】已知曲线与轴有唯一公共点.
（Ⅰ）求实数的取值范围；
（Ⅱ）曲线在点处的切线斜率为.若两个不相等的正实数， 满足，求证： .
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析： 求导得，讨论、时两种情况，由函数与轴有唯一公共点，借助零点存在定理和极限求出的取值范围由（Ⅰ）的结论，求导结合题意解得，由，不妨设， ，构造即可证明
解析：（Ⅰ）解：函数的定义域为. .
由题意，函数有唯一零点. .
（1）若，则.
显然恒成立，所以在上是增函数.
又，所以符合题意.
（2）若， . ； .
令，则 .
； .
所以函数在上是增函数，在上是减函数.
所以.所以，当且仅当时取等号.
所以， ，且.
取正数，则 ；
因为，所以 .
又在上是减函数，在上是增函数，
则由零点存在性定理， 在、上各有一个零点.
可见， ，或不符合题意.
注： 时，若利用， ， ，说明在、上各有一个零点.
②若，显然，即.符合题意.
综上，实数的取值范围为.
（Ⅱ）由题意， .所以，即.
由（Ⅰ）的结论，得.
， 在上是增函数.
； .
由，不妨设，则.
从而有，即.
所以 .
令，显然在上是增函数，且.
所以.
从而由，得.
点睛：本题考查了导数的零点问题和不等式问题，在求解零点问题时注意分类讨论，利用零点存在定理和极限来确定零点个数，在不确定的情况下需要再次利用导数来解答，证明不等式时需要构造新函数，本题难度较大.
11．【2018届河南省豫北豫南名校高三上学期精英联赛】已知函数（， ）有两个不同的零点， ．
（1）求的最值；
（2）证明： ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
试题解析：
（1）， 有两个不同的零点，
∴在内必不单调，故，
此时，解得，
∴在上单增， 上单减，
∴，无最小值．
（2）由题知两式相减得，即，
故要证，即证，即证，
不妨设，令，则只需证，
设，则，
设，则，∴在上单减，
∴，∴在上单增，
∴，即在时恒成立，原不等式得证．
12．【2018届山东省济南市高三一模】已知函数 有两个不同的零点.
（1）求的取值范围；
（2）设， 是的两个零点，证明： .
【答案】(1) (2)见解析
利用导数证明∴，∴，
于是，即， 在上单调递减，可得，进而可得结果.
试题解析：（1）【解法一】
函数的定义域为： .
，
①当时，易得，则在上单调递增，
则至多只有一个零点，不符合题意，舍去.
②当时，令得： ，则
+
0
-
增
极大
减
∴ .
（ii）当时， ，
∵ ，∴在区间上有一个零点，
∵ ，
设， ，∵，
∴在上单调递减，则，
∴，
则至多只有一个零点，不符合题意，舍去.
②当时，令得： ，则
+
0
-
增
极大
减
∴ .
∴要使函数有两个零点，则必有，即，
设，∵，则在上单调递增，
又∵，∴；
当时：
∵ ，
∴在区间上有一个零点；
设，
∵，∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，∴，
∴ ，
则，∴在区间上有一个零点，
那么，此时恰有两个零点.
综上所述，当有两个不同零点时， 的取值范围是.
（2）【证法一】
由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时， 是增函数；
当时， 是减函数；
∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵， ， 在上单调递减，
∴，∴.
（2）【证法二】
由（1）可知，∵有两个不同零点，∴，且当时， 是增函数；
当时， 是减函数；
不妨设： ，则： ；
设， ，
则