专题09平面向量-高考数学备考关键问题指导高端精品（2018版）

专题九 平面向量
【高考考场实情】
平面向量是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一。高考对这部分的考查常以选择、填空的形式出现，也常与解析几何交汇，题型较稳定，属中档题。平面向量既有代数形式又有几何形式，作为工具的应用，它给平面解析几何奠定了必要的基础。
【考查重点难点】
平面向量在高考中主要包含以下几个考点：1）在平面几何图形中主要考查向量加法的平行四边形法则及加减法的三角形法则；2）对共线向量定理的应用，主要考查应用向量的坐标运算求向量的模；3）应用平面向量基本定理进行向量的线性运算；4）应用向量的垂直与共线条件，求解参数；5）对平面向量数量积的运算、化简，向量平行与垂直的充要条件的应用，并以平面向量的数量积为工具，考查其综合应用性问题，常与三角函数、解析几何等相结合。另外，空间向量是平面向量的延伸，本文主要研究平面向量，下面我将对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的学习对策。
【存在问题分析】
问题（一）. 不能准确理解向量的相关概念
【指点迷津】概念不清主要表现在向量的概念，平行向量、单位向量的概念；向量夹角的概念等。
例1 向量，则与平行的单位向量的坐标为
【名师点睛】本题主要考查两个重要知识点，即平行向量和单位向量的概念，因混淆了“与同向的单位向量”和“与平行的单位向量”这两个不同的概念，出现错解：因为故所求向量为，在复习时，只有深刻理解平行向量和单位向量的概念，才能达到正确解题的目的。
例2 在边长为1的正三角形中，
【解析】
【名师点睛】本题主要考查向量夹角的定义及数量积的计算公式，学生易错解如下：
．这是由于对两向量夹角的概念理解不到位造成的，所以教学时必须强调两向量夹角的前提是其起点要重合。
问题（二）运算理解不到位，不能合理选择算法
【名师点睛】学生存在的主要问题是：（1）对向量运算理解不到位，比如会错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上；（2）算法选择不合理，学生往往选择常规解法，导致过繁运算，计算量过大，甚至无法解答下去。只有熟练掌握向量的运算技巧，根据题设条件合理选择算法，才能达到正确运算的目的。
例3 已知与之间有关系其中。
（1）用表示;（2）求的最小值，并求此时的夹角的大小．
（2）, 即 ∴的最小值为，
又,　
∴ .∴, 此时与的夹角为60°
【名师点睛】本题主要考查向量的数量积公式、向量的模以及将向量问题转化为实数计算的意识，学生可能会把直接坐标化，导致过繁运算，实际还是归结为运算不注意算理的选择．在解决问题时，只有熟练掌握向量的运算技巧，根据题设条件选择合理的算法，才能达到正确运算的目的。
例4 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点,动点满足
，则的轨迹一定通过的 心．
【名师点睛】本题主要考查向量运算的几何意义及向量共线定理．本题学生产生的错因是对
理解不够。不清楚的几何意义是与的角平分线有关．的几何意义是与共线同向的单位向量，因此掌握向量运算的几何意义及向量共线定理是关键．
问题（三）. 不能等价转换向量问题
【指点迷津】 学生主要问题体现在：题设条件问题转换不等价，在平时复习中，关注学生对相关概念、定理、公式等的本质的挖掘与掌握至关重要。
例5 设若与的夹角为钝角，则的取值范围为
【解析】，因为为钝角，所以且与不共线，即且 ，所以且．
【名师点睛】本题主要考查向量的夹角公式，学生易错解如下：，因为为钝角，所以．这是由于问题转换不等价造成的，其实向量与的夹角为钝角的充要条件是且与不共线．这里，与不共线不能忽略．
例6 向量、都是非零向量，且向量与垂直， 与垂直，求与的夹角．
【名师点睛】本题主要考查向量的垂直，向量的数量积及夹角公式，本题易出现下列错解：由题意，得，①　，②　将①、②展开并相减，得，③　∵，故，④　将④代入②，得，　则，
设与夹角为，则． 又∵， ∴．
此解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由③得到④，错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上．深刻理解数量积的运算律，掌握其本质非常关键。
问题（四）. 不能合理选择基底
【指点迷津】学生主要问题体现在：不能合理选择基底解决问题，原因是学生对于平面向量基本定理并没有真正理解，所以在复习中，深刻理解平面向量基本定理，让学生真正掌握定理的本质及解决问题的技巧是关键。
例7 在中，，若点D满足,则=（ ）
A. B. C. D.
【解析】法1：=.故选A.
法2：特殊化思想：把此三角形特殊为等腰直角三角形，并把点置于原点，
且设, 则，所以,故选A.
法3：因为，由定比分点线性表示知,故选A.
【名师点睛】本题主要考查平面向量的概念及线性表示，用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：（1）①观察各向量的位置；②利用回路法，寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．
也可以利用定比分点，若则.
问题（五）. 不能合理运用向量解决问题
【指点迷津】考查向量语言， 体现向量的的工具性，解决平行与垂直的问题，与三角函数和解析几何的交汇是高考常见题型，学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识，导致运算量过大，甚至无法解答下去，因此，在复习中教师应重视向量在这方面的运用指导，引导学生拓展思路，必定会有意想不到的神奇效果。
例8在中，内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若，且边的中线，求的值．
（2）∵为边的中点，∴， 两边同时平方，得
即，，整理，得，解得或（舍去）．∴
【名师点评】本题主要考查三角诱导公式，二倍角公式，余弦定理以及应用平面向量解决问题的意识。对于第（Ⅱ）问，题中未出现平面向量，如果按照常规思路，只会想到正、余弦定理及方程思想，则运算量较大，导致解题速度慢或出错.但如果学生有主动运用平面向量的意识， 可使代数问题向量化——充分体现向量的工具性、桥梁作用，会大大减少运算量,从而轻松解决问题，体现了不同层次学生的思维能力.
【解决问题对策】
1．加强概念学习，注重本质理解
【指点迷津】在平面向量的概念复习中，如何让学生迅速把握住本质，达成理解？重温概念的来龙去脉，理清知识网络，通过比较，对向量的概念进行辨析，在此基础上，抓住向量的两个要素：大小、方向进行拓展，将向量概念精准化．学生存在的问题之一是：概念不清，符号表示混乱，针对此问题，一方面教师在板书、表达等方面一定要准确和多方强调，另一方面，也可设置一些判断题，帮助学生辨析概念．
例9．①若与为非零向量，且 时，则 必与或中之一的方向相同；
②若为单位向量，且，则 ；
③；
④若与共线，与共线，则与必共线；
⑤若平面内有四个点，则必有.
上述命题正确的有______.（填序号）
【答案】⑤
【名师点睛】此题主要考查平面向量中的相等向量、共线向量、数量积、加减法则等有关方面的知识与技能，属于中低档题，也是平面向量的基础知识点.在此问题中，针对每个命题的条件与结论，逐一对照平面向量相关的知识，进行运算、判断，抓住零向量方向的特殊性，进行验证，从而问题可得解.
2．加强运算训练，关注算法选择
【指点迷津】单纯看向量的运算，实际上是比较抽象的．在复习中若能恰当运用模型，运用类比，不仅可以降低难度，而且对于学生认识抽象的运算有很大的好处：比如说：向量这个概念源于物理中的力、位移，那么力的合成、位移的合成实际上就是向量加法的模型，依此为基础很容易理解并记忆平行四边形法则和三角形法则。而向量的减法则可类比于数的减法定义：在实数运算中，减法是加法的逆运算；于是向量的减法也可以看成是向量加法的逆运算；在实数运算中，减去一个数，等于加上这个数的相反数。据此，复习相反向量的概念。要注意向量运算与实数运算的差异，抓住“结果是什么？”“遵循什么样的运算律？”等问题，在类比和辨析中掌握知识。逐渐渗透在集合上定义二元运算的准则．自然形成对于“逆运算”、“逆元”等概念的了解．最终拓展学生对于运算的认识．
例10．如图，在直角梯形中，，，，，，P为线段（含端点）上一个动点，设，，对于函数，给出以下三个结论：①当时，函数的值域为；②对任意，都有成立；③对任意，函数的最大值都等于4．④存在实数,使得函数最小值为0 .其中所有正确结论的序号是_________.
【答案】②③④
【解析】
，因此当时，取得最大值为；④最小值为
，当时，．因此②③④正确．
3．重视几何特征，关注数形结合
【指点迷津】在“平面向量”的复习教学中，数形结合是重要的思想方法之一，理解向量线性运算的几何意义更是本专题的教学目标之一，但学生往往不能做到恰当转化．数形结合的关键是把握基本量的代数形式与几何特征之间的联系，一方面复习中要时刻注意二者的联系和相互表达，学会“看图说话”，另一方面也可选择恰当的例题，对某些几何特征量进行归纳，逐渐学会“由数到形”．每种运算都要注意从几何和代数两个方面进行解读，两者并重。但要真正掌握、运用这种思想方法，还需对数和形的实质加以挖掘．比如“向量的加法”复习中，可从“位移的合成”引入三角形法则，这是向量加法的几何法则，将其代数化，就得到：。代数化和形式化并不只是一种简洁的表示，还可挖掘其内在的含义：如这个式子其实可以脱离图形而存在，进一步得到．
例11 已知正三角形的边长为，平面内的动点满足
，，则的最大值是(　　)
A. B. C. D．
轨迹是以H为圆心，r＝为半径的圆，∴|BH|＝，∴||的最大值为3＋r＝3＋＝，∴||2的最大值为.
4．重视方法训练，关注基底选择
【指点迷津】通过本专题的复习，研究用向量处理问题的两种方法：“向量法”和“坐标法”．也即面对一个实际问题，要学会选择基底或者建立平面直角坐标系．本质上这两种方法是统一的，其依据都是“平面向量基本定理”，后者是前者的特例．学生往往对于后者较为熟悉，在给定的坐标系中会处理问题，但不善于自己选择基底．事实上，这种熟悉，对于很多学生来说：只是一种简单的模仿和运算，而对于平面向量基本定理并没有真正理解。但课标对于平面向量基本定理的要求，只限于“了解”。因此，若学生程度较好，可在正交基底的基础上，引导学生选择其它的基底解决问题，强化平面向量基本定理的教学．
例12 中，为直角，，，与相交于点，设，，
（Ⅰ）试用表示向量；
（Ⅱ）在线段上取一点，在上取一点，使得过点，设，，求证：．
【解析】（Ⅰ）以为原点，如图建立平面直角坐标系,设， ,
则，，设，则根据在直线上，也在直线上，根据斜率公式，可得：，，
解之得：，所以．
（Ⅱ）由题可得，，由三点共线，可证得．
由平面向量基本定理知：, 解之得，∴．
（Ⅱ）若设，，则，
又因为三点共线，所以．
例13 如图，, 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内（不含边界）运动, 且,则的取值范围是____ __；当时, 的取值范围是____ __.
【解析】如图，作交于．则
，
由点的位置不难知道．
因此，，也即的取值范围是
当时，，所以此时，的取值范围是．
5．强化问题意识，注重向量运用
【指点迷津】 学生的主要问题就是缺乏用向量解决问题的意识，学生处理问题的意识不是一朝一夕形成的，教师要在教学中积极引导学生自觉地思考、转化、构图和变式，让学生不断积累思维和活动经验，要加强教学过程中对学生思维、意识和能力的培养，注重过程强化，关注解题过程的思维达成度，培养学生的悟性。
例14 设实数满足，，证明：
【解析】设，则由得
， 即
，，
平方并整理得：，故，同理可证，
例15.如图，在三棱锥中，，，为中点，平面，.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值．
（Ⅱ）法一：过作交于，连接
易得,
结合图形知就是二面角的平面角分
在中，由等面积法可得
，又，
二面角的余弦值为
法二：连接, 由（Ⅰ）知
又
易得设则
过作
结合（Ⅰ）知两两垂直
可如图建立空间直角坐标系
易得,,,
,
设平面的法向量为
可取
设平面的法向量为
同理可得
由图可知二面角为锐角
二面角的余弦值为
【新题好题训练】
1．在中，，，，是上一点，且，则等于（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
解得，所以，故选C．
2．已知不共线向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，，
，即
故选
3．已知向量，，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由得，解得．
∴，
∴．选D．
4．如图，在圆中，若，，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
5．在边长为2的等边三角形中，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6．在中，三顶点的坐标分别为，，，为以为直角顶点的直角三角形，则__________．
【答案】
【解析】由已知，，即，∴，解得．
故答案为3．
7．在平行四边形 中，，为 的中点．若，则的为__________．
【答案】12
【解析】因为在平行四边形 中，,又,所以，所以
,所以，故填12.
8．若则向量与向量夹角的大小是_______.
【答案】
【解析】由得
9．已知平行四边形中,,,点 是中点，,则_________．
【答案】13.
答案：13
点睛：给出向量，求的三种方法：
(1)若两个向量共起点，且两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算．
(2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量，然后再根据平面向量的数量积的定义进行计算求解．
(3)若图形适合建立平面直角坐标系，可建立坐标系，求出的坐标，通过坐标运算求解．
10．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为__________．
【答案】
【解析】分析：先设通过转化已知条件得到 再代入向量的夹角的公式求得即得向量与的夹角.
详解：设则
∴，
故以为邻边的平行四边形是矩形，且
设向量与的夹角为θ，
则cosθ=
∴θ=.
故填.
点睛：在代入向量的夹角公式时，先要把公式的基本量计算好.本题结合题目，设是一个小的技巧，优化了解题，提高了解题效率.