热点07立体几何解答题（理）-2018年高考数学三轮讲练测核心热点总动员（新课标版）

2018年高考三轮复习系列：讲练测之核心热点 【全国通用版】
热点七 立体几何解答题（理）
【名师精讲指南篇】
【高考真题再现】
1.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.
【解析】
试题解析：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.
又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.
由（1）及已知可得，，，.
所以，，，.
设是平面的法向量，则
，即，
可取.
设是平面的法向量，则
，即，
可取.
则，
所以二面角的余弦值为.
2.【2017课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点。
（1）证明：直线 平面PAB；
（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角的余弦值。
【解析】（1）取的中点，连结，。
因为是的中点，所以∥,,由得∥，又,所以。四边形为平行四边形，∥。
又平面，平面，故平面。
（2）由已知得,以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，,，
设则，
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，
所以， ，
即。 ①
又M在棱PC上，设,则
。 ②
3.【2017课标3，理19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=∠CBD，AB=BD．
（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；
（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D–AE–C的余弦值.
【解析】
（2）
由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.则
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得 .故
4.【2016全国卷1】如图所示,在以,,,,,为顶点的五面体中,面为正方形,,,且二面角与二面角都是．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【解析】（1）由已知可得,,所以平面.
又平面,故平面平面.
（2）过作,垂足为,由（1）知平面.
以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系.
由（1）知为二面角的平面角,故,则,,可得,,,.
由已知,,所以平面.
又平面平面,故,.
由,可得平面,所以为二面角的平面角,
故,从而可得.
所以,,,,
设是平面的法向量,
则,即,所以可取.
设是平面的法向量,则.
同理可取,则,
故二面角的余弦值为.
5.【2016全国卷2】 如图所示,菱形的对角线与交于点,,,点,分别在,上,,交于点,将沿折到的位置,.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
【解析】（1）证明：因为,所以,所以．
因为四边形为菱形,所以,所以,所以,所以．
因为,所以.又,,所以,所以,所以,所以,所以．又因为,
所以面．
（2）建立如图坐标系,所以,,,,,,,设面的法向量,
由,得,取,所以．
同理可得面的法向量,所以,
所以,即二面角的正弦值为．
6.【2016全国卷3】如图所示,四棱锥中,地面
,,,,为线段上一点,
,为的中点.
(1)证明平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【解析】（1）取中点,连接、,因为是中点,,且,
又,且,所以,且．所以四边形是平行四边形．所以．又平面,平面,所以平面．
【热点深度剖析】
从近几年的高考试题来看,线线垂直的判定、线面垂直的判定、面面垂直的判定与性质、二面角等是高考的热点,题型既有选择题、填空题又有解答题,难度中等偏高,客观题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质,考查二面角的概念及求法；而主观题不仅考查以上内容,同时还考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及分析问题、解决问题的能力．而直线与平面平行的判定,以及平面与平面平行的判定高考大题连续三年都没涉及,而在小题中考查,从高考试题来看,利用空间向量证明平行与垂直,以及求空间角是高考的热点,题型主要为解答题,难度属于中等,主要考查向量的坐标运算,以及向量的平行与垂直的充要条件,如何用向量法解决空间角问题等,同时注重考查学生的空间想象能力、运算能力．故预测2018年高考,可能以锥体或斜棱柱为几何背景,第一问以线面平行,面面平行为主要考查点,第二问可能是求二面角或探索性命题,突出考查空间想象能力和逻辑推理能力,以及分析问题、解决问题的能力,也有可能求线面角．
【重点知识整合】
1. 1.直线与平面平行的判定和性质
（1）判定：①判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行；
②面面平行的性质：若两个平面平行,则其中一个平面内的任何直线与另一个平面平行.
（2）性质：如果一条直线和一个平面平行,那么经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.
注意：在遇到线面平行时,常需作出过已知直线且与已知平面相交的辅助平面,以便运用线面平行的性质.
2.直线和平面垂直的判定和性质
（1）判定：①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线和这个平面垂直.②两条平行线中有一条直线和一个平面垂直,那么另一条直线也和这个平面垂直.
（2）性质：①如果一条直线和一个平面垂直,那么这条直线和这个平面内所有直线都垂直.②如果两条直线都垂直于同一个平面,那么这两条直线平行.
3.平面与平面平行
（1）判定：一个如果平面内有两条相交直线和另一个平面平行,则这两个平面平行.
注意：这里必须清晰“相交”这个条件.如果两个平面平行,那么在其中一个平面内的所有直线与另一个平面无公共点,即这些直线都平行于另一个平面.
（2）性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行.
注意：这个定理给出了判断两条直线平行的方法,注意一定是第三个平面与两个平行平面相交,其交线平行.
4.两个平面垂直的判定和性质
（1）判定：①判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
②定义法：即证两个相交平面所成的二面角为直二面角；
注意：在证明两个平面垂直时,一般先从已知有的直线中寻找平面的垂线,若不存在这样的直线,则可以通过添加辅助线解决,而作辅助线应有理论依据；如果已知面面垂直,一般先用面面垂直的性质定理,即在一个平面内作交线的垂直,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.
（2）性质：①如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面.
②两个平面垂直,则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.
注意：性质定理中成立有两个条件：一是线在平面内,二是线垂直于交线,才能有线面垂直.
(3)立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化,即：

5.直线与平面所成的角
（1）定义：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫这条直线和这个平面所成的角.当直线和平面垂直时,就说直线和平面所称的角为直角；当直线与平面平行或在平面内时,就说直线和平面所称的角为角.
（2）范围：；
（3）求法：作出直线在平面上的射影,关键是找到异于斜足的一点在平面内的垂足,可根据面面垂直的性质定理来确定垂线.
（4）最小角定理：斜线与平面中所有直线所成角中最小的角是斜线与平面所成的角.
6. 二面角
（1）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,每个半平面叫做二面角的面.二面角的大小是通过其平面角来度量的平面角,而二面角的平面角的三要素：①顶点在棱上；②角的两边分别在两个半平面内；③角的两边与棱都垂直.
（2）作平面角的主要方法：①定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点）,分别在两个半平面内作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性；②三垂线法：过其中一个面内一点作另一个面的垂线,用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；③垂面法：过一点作棱的垂面,则垂面与两个半平面的交线所成的角即为平面角；
（3）二面角的范围：；
7 利用向量处理平行问题
（1）证明线线平行,找出两条直线的方向向量,证明方向向量共线；
（2）证明线面平行的方法：①证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线（平行）；②证明直线的方向向量与平面的两个不共线向量是共线向量,即利用共面向量定理进行证明；③证明直线的方向向量与该平面的法向量垂直.
（3）平面与平面平行的证明方法：证明两个平面的法向量平行.
8（理）利用向量处理垂直问题
（1）证明线线垂直,可证明两条线的方向向量的数量积为0；
（2）证明线面垂直方法：①根据线面垂直的判定定理利用向量证明直线与平面内的两条相交直线垂直；②转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线.
（3）证明面面垂直的方法：①根据面面垂直的判定定理利用向量证明一个平面内的一条直线方向向量为另一个平面的法向量；②证明一个平面的法向量与另一人平面平行；③转化为证明这两个平面的法向量互相垂直.
9.利用向量处理角度问题
1.求异面直线所成的角的向量法：其基本步骤是（1）在a、b上分别取；或者建立空间直角坐标系用坐标表示;(2)由公式确定异面直线a与b所成角的大小.
2.求直线和平面所成的角的向量法：在斜线上取一方向向量,并求出平面的一个法向量,若设斜线和平面所成的角为,由.
3.求二面角的向量法：方法（1）设,分别是平面的法向量,则向量和的夹角与二面角的平面角相等或互补. 方法（2）二面角的棱上确定两个点,过分别在平面内求出与垂直的向量,则二面角的大小等于向量的夹角,即
【应试技巧点拨】
1. 线线平行与垂直的证明
证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件. 证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性,垂直关系的多样性.
2.线面平行与垂直的证明方法
线面平行与垂直位置关系的确定,也是高考考查的热点,在小题中考查关系的确定,在解答题考查证明细节.
线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.
线面平行的证明思考途径：线线平行线面平行面面平行.
线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.
线面垂直的证明思考途径：线线垂直线面垂直面面垂直.
3.面面平行与垂直的证明
（1）面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行,则它们必相交,在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.
（2）面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.
解题时要由已知相性质,由求证想判定,即分析法和综合法相结合寻找证明思路,关键在于对题目中的条件的思考和分析,掌握做此类题的一般技巧和方法,以及如何巧妙进行垂直之间的转化.
4.探索性问题
探求某些点的具体位置,使得线面满足平行或垂直关系,是一类逆向思维的题目.一般可采用两个方法：一是先假设存在,再去推理,下结论；二是运用推理证明计算得出结论,或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算.
5. 如何求线面角
（1）利用面面垂直性质定理,巧定垂足：由面面垂直的性质定理,可以得到线面垂直,这就为线面角中的垂足的确定提供了捷径.
（2）利用三棱锥的等体积,省去垂足
在构成线面角的直角三角形中,其中垂线段尤为关键.确定垂足,是常规方法.可是如果垂足位置不好确定,此时可以利用求点面距常用方法---等体积法.从而不用确定垂足的位置,照样可以求出线面角.因为垂线段的长度实际就是点面距h！利用三棱锥的等体积,只需求出h,然后利用进行求解.
（3）妙用公式,直接得到线面角
课本习题出现过这个公式：,如图所示：.其中为直线AB与平面所成的线面角.这个公式在求解一些选择填空题时,可直接应用.但是一定要注意三个角的位置,不能张冠李戴.
（4）万能方法,空间向量求解不用找角
设AB是平面的斜线,BO是平面的垂线,AB与平面所成的角,向量与的夹角,则.
6.如何求二面角
（1）直接法.直接法求二面角大小的步骤是：一作（找）、二证、三计算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并证明这个角就是所求二面角的平面角,然后再计算这个角的大小. 用直接法求二面角的大小,其关键是确定表示二面角大小的平面角.而确定其平面角,可从以下几个方面着手:①利用三垂线定理(或三垂线定理的逆定理)确定平面角；②利用与二面角的棱垂直的平面确定平面角；③利用定义确定平面角；
（2）射影面积法.利用射影面积公式＝ ；此方法常用于无棱二面角大小的计算；对于无棱二面角问题还有一条途径是设法作出它的棱,作法有“平移法”“延伸平面法”等.
法二：设,是二面角的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧,另一个指向外侧（同等异补）,
则二面角的平面角
7.如何建立适当的坐标系
根据几何体本身的几何性质,恰当建立空间直角坐标系最为关键,如果坐标系引入的恰当,合理,即能够容易确定点的坐标,需要总结一些建系方法.常见建系方法：
（1）借助三条两两相交且垂直的棱为坐标轴,如正方体,长方体等规则几何体,一般选择三条线为三个坐标轴,如图1、2；
（2）借助面面垂直的性质定理建系,若题目中出现侧面和底面垂线的条件,一般利用此条件添加辅助线,确定z轴,如图3；
（3）借助棱锥的高线建系等.对于正棱锥,利用定点在底面的射影为底面的中心,可确定z轴,然后在底面确定互相垂直的直线分别为x,y轴.如图4.
8.如何确定平面的法向量
（1）首先观察是否与存在于面垂直的法向量,若有可直接确定,若不存在,转化为待定系数法；
（2）待定系数法：由于法向量没有规定长度,仅规定了方向,所以有一个自由度,于是可把法向量的某个坐标设为1,再求另两个坐标.由于平面法向量是垂直于平面的向量,所以取平面的两条相交向量,设由解方程组求得.
9. 向量为谋求解立体几何的探索性问题
空间向量最合适于解决立体几何中探索性问题,它无需进行复杂繁难的作图、论证、推理,只需通过坐标运算进行判断,在解题过程中,往往把“是否存在”问题,转化为“点的坐标是否有解,是否有规定范围的解”等,所以使问题的解集更加简单、有效,应善于运用这一方法解题.
【考场经验分享】
1．在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出现错误．
2．可以考虑向量的工具性作用,能用向量解决的尽可能应用向量解决,可使问题简化．
3．在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直定义,判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．
4．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可．
5．用向量知识证明立体几何问题,仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行,只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,即化归为证明线线平行,用向量方法证直线a∥b,只需证明它们的方向向量满足(λ∈R)即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行,仍需强调直线在平面外．
6．利用向量求角,一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．
【名题精选练兵篇】
1.【2018衡水金卷】四棱柱中，底面为正方形， 平面为棱的中点， 为棱的中点， 为棱的中点.
（1）证明：平面平面；
（2）若，棱上有一点，且，使得二面角的余弦值为，求的值.
【解析】
（1）分别为棱中点，
，
四边形为平行四边形，
，
又平面，
平面.
为棱的中点，
，
又，
，
平面，
平面.
又，
平面.
（2）由题意知两两垂直，以为原点， 方向分别为轴、轴、轴正方向，建立如图所示的空间垂直坐标系，
设，则，
设，则由，
得，
设平面的一个法向量为，则取，
则，
设平面的一个法向量为，则取，
则，
由题知，
解得或（与矛盾，舍去），
故.
2．【四川省绵阳市2018届高三第三次诊断】如图，在五面体中，棱底面， .底面是菱形， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
【解析】
（Ⅰ）在菱形中， ，
∵， ，∴.
又，面，∴.
（Ⅱ）作的中点，则由题意知，
∵，∴.
如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，
设，则， ， ， ，
∴， ， .
设平面的一个法向量为，
则由， ，得，
令，则， ，即，
同理，设平面的一个法向量为，
由， ，得，
令，则， ，即，
∴，即二面角的余弦值为.
3．【辽宁省鞍山市2017届高三下学期第一次质量检测】如图四棱锥的底面为菱形,且, , .
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）二面角的余弦值.
（2）由（1）、、两两互相垂直,如图建立空间直角坐标系,则, , ,
, ,设平面的法向量为,则,取,
则,又平面的一个法向量为,
设二面角的大小为,
易知其为锐角, ,
二面角的余弦值为.
4．【湖南省娄底市2017届高考仿真模拟（二模）】如图,四棱锥的底面是平行四边形,侧面是边长为2的正三角形, , .
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）设是棱上的点,当平面时,求二面角的余弦值.
（Ⅱ）连结,设,则为的中点,连结,当平面时, ,所以是的中点.
由（Ⅰ）知, 、、两两垂直,分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图,则、、、,
由、坐标得,从而, ,
设是平面的一个法向量,则由得,
取,得,易知平面的一个法向量是,
所以 ,
由图可知,二面角的平面角为钝角,故所求余弦值为.
5．【天津市十二重点中学2017届高三毕业班联考（一）】如图,已知菱形与直角梯形所在的平面互相垂直,其中 , , , , 为的中点.
（Ⅰ）求证： ∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设为线段上一点, , 若直线与平面所成角的正弦值为,求的长.
【解析】（Ⅰ）取的中点,连接,则∥∥ ,且,所以四边形为平行四边形
所以∥,又平面, 平面,
则∥平面.
（Ⅱ）取 中点,连接,则 因为平面 平面,交线为,则平面
作∥,分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系,如图,
则
于是 ,设平面的法向量 ,
则 令,则
平面的法向量
所以
又因为二面角为锐角,所以其余弦值为.
6．【河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟】在四棱锥中,底面为平行四边形, , , , 点在底面内的射影在线段上,且, , 为的中点, 在线段上,且．
（Ⅰ）当时,证明：平面平面；
（Ⅱ）当平面与平面所成的二面角的正弦值为时,求四棱锥的体积．
【解析】（Ⅰ）证明：连接,作交于点,则四边形为平行四边形,
,在中, , , ,由余弦定理得．　
所以,从而有.
在中, , 分别是, 的中点,
则, ,
因为,所以.
由平面, 平面,
得,又, ,
得平面,又平面,
所以平面平面.
（Ⅱ）以为坐标原点, , , 所在直线分别为轴, 轴, 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则, , , , , .
平面的一个法向量为.
设平面的法向量为,
由, ,得令,得.
由题意可得, ,
解得,
所以四棱锥的体积.
7．【黑龙江省哈尔滨2017届高三二模】如图,四棱锥底面为正方形,已知平面, ,点为线段上任意一点（不含端点）,点在线段上,且.
（1）求证：直线平面；
（2）若为线段中点,求直线与平面所成的角的余弦值.
【解析】（Ⅰ）延长,交于点,由相似知,
平面, 平面,则直线//平面；
（Ⅱ）由于,以为轴建立空间直角坐标系,
设,则, , , ,
则,平面的法向量为,
则向量与的夹角为,则,则与平面夹角的余弦值为.
8．【2017届淮北市高三第二次模拟】如图,三棱柱中,四边形是菱形,,二面角为, .
（Ⅰ）求证：平面平面;
（Ⅱ）求二面角的余弦值.

（2）由题意得为正三角形,
取得中点为D,连CD,BD,
则,又
易得,则为二面角的平面角,
因, =,所以,
所以
过交点作,垂足为,连
则为二面角的平面角,
又 得
所以
9．【山西省三区八校2017届高三第二次模拟】如图,已知多面体的底面是边长为2的正方形, 底面, ,且．
（Ⅰ）求多面体的体积；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）记线段的中点为,在平面内过点作一条直线与平面平行,要求保留作图痕迹,但不要求证明．
（Ⅱ）以点为原点, 所在直线为轴, 所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,如图．由已知可得, , , , ,
∴, , ,
设平面的法向量为,得
取,得平面的一个法向量为,
设直线与平面所成的角为,
∴．
（Ⅲ）取线段的中点,连结,直线即为所求．
如图所示：
10．【江西省2017届高三4月新课程教学质量监测】如图,四棱锥中,侧面底面, , , , , ,点在棱上,且,点在棱上,且平面.
（1）求证： 平面；
（2）求二面角的余弦值.
【解析】（1）如图连接交于点,因为平面,所以,由,所以,又,所以,
所以, ,
又因为,所以是直角三角形,
又,所以,
又因为侧面底面,所以平面.
（2）因为, ,所以,有,如图,以, , 所在直线分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,
则, , ,
,所以,
所以 ,
设平面的法向量为,
则,
,令,则,所以,
又因为平面的法向量,
所以,
即所求二面角的余弦值是.
【名师原创测试篇】
1．如图所示的几何体中,内接于圆,且是圆的直径,四边形为矩形,且.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)若且二面角所成角的余弦值是,试求该几何体的体积.
【解析】（Ⅰ）是圆的直径,.又四边形为矩形,.
又平面,且,平面.又平面,.
（Ⅱ）因为四边形为矩形,.又,平面,∴平面,设.以所在直线分别为轴,轴,轴,如图所示,则,,,,由于平面,可取平面的一个法向量是.设为平面的一个法向量,由条件得,,, ,即 .不妨令,则,,.又二面角所成角的余弦值是,,,即,解得. .
该几何体的体积是,（本小题也可用几何法求得的长）
2. 已知四棱锥的底面是平行四边形,分别是的中点,,,．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若,求二面角的余弦值．
【解析】（Ⅰ）取的中点,连接．因为是的中点,所以,,又,,所以,所以四边形是平行四边形,所以．又,所以．在中,由余弦定理得,,因为,所以,所以,所以,且,所以面．
（Ⅱ）以为坐标原点,直线分别为轴,以过点垂直于面的直线为轴建立空间直角坐标系,如图所示,设,则,,,,,,．所以,．设面的法向量,则有,令,,,所以,面的法向量,则,所以二面角的余弦值为．
3. 如图1,在中,,分别是上的点,且.将沿折起到的位置,使,如图2.
（Ⅰ）是的中点,求与平面所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角的正切值.

【解析】（Ⅰ）证明：因为,,所以 .所以 , ,所以平面.所以.又因为.所以平面. 如图,以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则, ,, ,． 设平面的法向量为 ,则,.又, ,所以,令,则,,所以． 设与平面所成的角为.因为,所以.所以与平面所成角的大小为.

4. 如图,矩形所在平面与直角梯形所在平面垂直,其中,,,,.、分别为、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.
（2）解法一（传统法） 在上取点,使得.过点作于点,连结.因为平面平面,平面平面,又因为,所以面.在四边形中,,又因为,所以四边形为平行四边形,故.所以面. 又因为,所以.所以为所求二面角的平面角.在中,,故,.在中,,故.在中,,所以.故.即所求二面角的余弦值为.
解法二（向量法） 因为平面平面,平面平面,又矩形中,,所以平面, 又,故平面. 如图建立空间直角坐标系,则,,,,,故,. 因为平面平面,平面平面,又因为,所以面.故为面的一个法向量. 设平面的法向量为,则由,可得,即.不妨取,则,.所以平面的一个法向量为. 故. 设二面角为,由图可知,,所以.
5. 如图所示,棱柱为正三棱柱,且,其中点分别为的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:平面;
(3)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值
【解析】(1)证明:作的中点,连结.在中,,又据题意知,． ∴,∴四边形为平行四边形.∴,又平面,平面．∴平面．
(2)证明:棱柱为正三棱柱,平面 ,又平面,,是正三角形且 ,,综上,且,平面,平面 ,又 ,平面,
(3)∵,∴平面．在正中,,∴三线两两垂直．分别以为轴,建系如图．则,,．∴,．设平面的一个法向量为,则,即,令,则．∴平面的一个法向量为．又平面的一个法向量为．∴．∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
6. 如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,四边形BDEF是矩形,平面BDEF⊥平面ABCD,BF=3,H是CF的中点．
（Ⅰ）求证：AF//平面BDH；
（Ⅱ）求二面角A﹣FE﹣C的大小．
【解析】设,取的中点,连接,因为四边形是矩形,分别为的中点,所以 ,又因为 平面,所以 平面,因为四边形是菱形,所以 ,得两两垂直.所以以为原点,所在直线分别为x轴,y轴,z轴,如图建立空间直角坐标系.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,设平面的法向量为,平面的法向量为,所以 即 令,得,同理可得,所以 ,由于二面角A﹣FE﹣C为锐二面角,所以二面角A﹣FE﹣C大小为