专题08导数与不等式的综合应用（第01期）-2018年高考数学备考之百强校小题精练系列（通用版）

一、单选题
1．设是函数的导函数，且， （为自然对数的底数），则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C

2．已知函数的导函数为，且满足， ，若函数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C

3．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由原不等式等价于，若时，不等式成立，若时，可令，则，又，且为单调递增函数，构造函数，则在的最值为，当时，易知在上递减，此时为减函数，不等式成立，当时，且，即，满足不等式，综合得的范围为.
4．对于函数，下列说法正确的有（ ）
①在处取得极大值；②有两个不同的零点；
③；④.
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】C
【解析】，，
当时，取得最大值，故①正确
当时，，函数只有一个零点，故②错误
当时，函数单调递减，而，故，故③正确
由，，即，，，故④错误
故选
5．对于上可导的任意函数，若满足，则必有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】试题分析：由题意时， ， 递减， 时， ， 递增，因此， ，所以．故选A．
6．若不等式对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. [0，1] C. D. [-1，0]
【答案】B
据此可得满足题意的充要条件为： ，
即： 在区间上恒成立，
当时，二次函数取得最小值，
故： ，解得： ，即
综上可得，实数a的取值范围是.
本题选择B选项.
7．设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
8．已知函数，如果时，函数的图象恒过在直线的下方，则的取值范围是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，则，即.
当时， 在上单调递增，则当时， ，满足题设；
当时， 在上不单调，因此存在实数不满足题设，所以D不正确.
故选B.
9．已知函数为上的可导函数，其导函数为，且满足恒成立， ，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A

10．已知函数是定义在上的增函数， ， ，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解法1：令，则：原不等式等价于求解不等式，
，
由于，故，函数在定义域上单调递减，且，据此可得，不等式即： ，
结合函数的单调性可得不等式的解集为 .
本题选择A选项.
解法2：构造函数，满足函数是定义在上的增函数， ， ，则不等式即： ，
，即不等式的解集为.
本题选择A选项.
11．在平面直角坐标系中，已知，，则的最小值为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
12．已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数f '(x满足且，其中为自然对数的底数,则不等式的解集是
A. (0, e) B. (0, ) C. (,e) D. (e,+∞)
【答案】A
【解析】令，则有， ,
,又 ,得
，,再令,则 ,故函数在上递减,
不等式 等价于,所以 ,故选A
二、填空题
13．已知函数对总有成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】[4，＋∞)
【解析】当x∈(0,1]时不等式ax3－3x＋1≥0可化为a≥，设g(x)＝，x∈(0,1]，g′(x)＝，因此g(x)的最大值为4，则实数a的取值范围是[4，＋∞)．
故答案为[4，＋∞)
14．已知函数的定义域为，其图象关于点中心对称，其导函数为，当时， ，则不等式的解集为__________．
【答案】
∴函数f（x-1）的图象关于点（0，0）中心对称，则函数f（x-1）是奇函数，令h（x）=g（x-1）=xf（x-1），∴h（x）是R上的偶函数，且在（-∞，0）递增，由偶函数的性质得：函数h（x）在（0，+∞）上递减，∵h（1）=f（0），∴不等式xf（x-1）＞f（0）化为：h（x）＞h（1），即|x|＜1，解得-1＜x＜1，∴不等式的解集是（-1，1），故答案为：（-1，1）．
15．设函数，对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是__________．
【答案】
16．已知， ，关于的不等式有且只有两个整数解，则实数的取值范围是_______.
【答案】
【解析】,
则