专题06函数与导数-高考数学备考关键问题指导高端精品（2018版）

专题六 函数与导数
【高考考场实情】
函数与导数在高考考查中一般是两道选择题和一道解答题，或者一道选择题一道填空题和一道解答题，共3道题，分值为22分．高考对这一部分内容考查的难度相对稳定，其中一选择题为容易题为中等难度题，一选择题或填空题为难题，一解答题为难题．选择题一般位于中间四道题和后三道题的位置，填空题一般在后两题的位置，解答题稳定在第21题的位置．
【考查重点难点】
选择、填空题主要考查基本初等函数及其应用，重点是函数定义域、值域，函数的单调性和奇偶性的应用，指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质的运用，函数零点的判断，简单的函数建模，导数的几何意义的运用等；解答题主要考查导数在函数问题中的综合运用，重点是利用导数的方法研究函数的单调性和极值，解决与函数的单调性、极值、最值相关的不等式和方程等问题，考查函数建模和利用导数解模的能力，突出了对学生的逻辑推理能力、运算求解能力、分类与整合思想、化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想的考查．下面对学生存在的主要问题进行剖析，并提出相应的学习对策．
【存在问题分析】
1．缺乏运用特殊值法、排除法解题意识
【指点迷津】本专题中，“特殊值法”就是适当选取包含于题目之中的某个特殊值（或特殊情形，如特殊点、特殊函数、特殊图形等），通过简单的运算、推理或验证，便能找到问题的正确答案或否定错误的结论，达到缩减思维过程、降低推算难度的目的．用“特殊值法”解决一些可舍弃解题过程的问题，如选择题、填空题，可收到出奇制胜、事半功倍的效果．在一些一般性的问题中，通过特殊值“特殊化”，往往能获得解题的重要信息，发现解决原题的有效途径，在数学解题中具有很重要的作用．
【例1】（2016年新课标Ⅰ卷理7、文9）函数在的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【解析】法一：函数为偶函数，故函数在上的图象关于轴对称．当，．由，排除A；由，，，，排除B，C，故选D．
法二：由，易知在上先负后正，故在上先减后增．又，，故存在零点，使得在单调递减，在单调递增，故选D．
【名师点睛】本题易错的主要原因：没有优先考虑对称性或奇偶性来缩减自变量的范围；不懂得从特殊值入手，利用导数的几何意义，结合图像特征，排除错误的答案；除图形直观的考虑函数值大小外，后续无从下手；导函数计算错误；求导后无从下手，不懂得导数的几何意义.解决此类问题，常取特殊点处的函数值或利用函数的单调性、对称性等性质排除错误选项．复习教学中，多注重培养特殊值法、排除法的意识，对特殊到一般的思想进行强化训练．
2．对函数中的基本概念、公式的理解掌握不到位
【指点迷津】本专题中，从学生方面看，更倾向于题海战，而忽视了基本概念、公式的理解掌握，如指数、对数的运算性质等推导过程的轻视；从教师层面看，指数、对数的运算性质推导过程的教学是在高一起始阶段，但由于在高一阶段的测试和练习中，并未涉及推导过程的考查，更多的是公式的运用，以至于教师对于运算性质的由来一笔带过，侧重于公式的运用的练习．
【例2】（2017年新课标Ⅰ卷理11）设、、为正数，且，则（ ）
A． B． C． D．
法二：令（），则，，．所以，则；，则．
【名师点睛】本题易错的主要原因有学生对指数、对数、幂的运算仅停留在记忆公式的层次，并不能很好的掌握公式的由来，以至于对公式的运用不能熟练掌握，导致不能正确解决问题；对指数、对数概念理解不到位，不能很好地进行指数与对数的转化.2016年和2017年新课标卷都对指数、对数、幂的运算及大小比较进行了考查,这个问题在教学中应值得引起我们 足够重视.
3．未能深入领会数形结合的思想
【指点迷津】纵观历年数学高考试题，函数图象问题深受命题者的青睐．主要考查角度有：有“图”识“图”、有“图”作“图”、有“图”不作“图”、无“图”作“图”（注:此处第一个“图”是指试题题干中出现的“图象”字眼，第二个“图”是指为解决问题所作的函数图象），下例即为无“图”作“图”．解决有关函数图象的问题可归结为“以形助数”和“以数解形”两个方面，即有的函数图象问题，需利用（或挖掘）条件所呈现（或隐含）的函数图象，利用图象找出解决问题的突破口；而有的函数图象问题，无需作图，利用函数性质或其它知识即可解决问题．
【例3】（2017年新课标Ⅲ卷理15、文16）设函数，则满足的的取值范围是 ．
法二：令
函数在区间，，内均单调递增，且，，，可知的取值范围是．
【名师点睛】本题易错的主要原因：学生作图能力差，不能正确做出作出函数图象.对所给的函数表达式及其不等式的含义理解不透彻，不能正确的进行分类讨论，并结合图像性质解决问题.日常教学中，应多加强函数图象的画法，强化数形结合意识．
4．导数的综合运用能力较弱
【指点迷津】导数是研究函数单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，历届高考，对导数的应用的考查都非常突出，主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；（2）利用导数求函数的单调区间，判断函数的单调性；已知函数的单调性求参数；（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题；（4）考查数形结合思想的应用．
【例4】（2017年新课标Ⅱ卷理21）已知函数，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）证明：存在唯一的极大值点，且．
所以是的极小值点，故．
综上，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
设，则．
当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．
由，得．
因为是在的最大值点，由，，得．
所以．
【名师点睛】第（Ⅰ）问比较简单，本题易错的主要原因：利用函数性质进行讨论，确定参数的值，由于学生的代数变形能力比较薄弱，不能发现恒成立等与恒成立的等价性使解题简化．第（Ⅱ）问则考查学生在理解导数概念的基础上，能够引进辅助函数简化问题，理解导数与函数单调性之间的关系，并根据参数的不同情况进行完整的分类讨论并解决问题；对于函数在上的零点，并不懂得应用 “设而不求”来求解．对于导数的综合运用，可把综合性试题分解为几个小专题进行专题教学，突出重点教学，学生更易掌握题型与方法.
【解决问题对策】
1．培养利用“特殊值法”解题的能力
对特“殊值法”还要掌握选值的技巧，当一次取值不能达到目标时，可以考虑多次取值、混合选取，看能否达到目标．特殊值法可以让一般问题特殊化，抽象问题具体化，从而大大减少计算量．在复习过程中，可以精选不同类型，有意识地强化“特殊值法”的解题能力.
【例5】（2016年新课标Ⅰ卷理8）若，，则（ ）
A． B． C．D．
（C） （D）
【答案】C
【解析】
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
2．厘清指数、对数的概念、运算性质及其函数性质
如2016年新课标卷Ⅰ(理8、文8)与 新课标Ⅲ（理6）和2017年新课标卷都考查了指数、对数、幂的运算及性质.对函数基础知识的教学要回归课本，深化函数基本概念、公式及基本图像性质的理解．
【例6】（2017年北京卷理8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数的零点满足，
设，则，
当时， ；当时， ，函数单调递减；
当时， ，函数单调递增，
当时，函数取得最小值，为.
设，当时，函数取得最小值，为，
若，函数与函数没有交点；
若，当时，函数和有一个交点，
即，解得.故选C.
【名师点睛】利用函数零点的情况求参数的值或取值范围的方法：
（1）利用零点存在性定理构建不等式求解.
（2）分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
（3）转化为两个熟悉的函数图像的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
3．提高识图、作图能力，培养数形结合思想
数形结合思想将抽象逻辑思维与直观形象思维有效地结合起来，使得复杂问题简单化，抽象问题形象化，利于发现解题策略，优化解题过程．高考对函数图象内容的命题重在考查学生识图、作图及对图形的想象能力，考查文字、符号、图形语言的灵活转化以能力，体现具备“有图想图”、“无图想图”的分析问题、抽象问题、转化问题的能力．
【例7】（2017年新课标Ⅲ卷理11、文12）已知函数有唯一零点，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【新题好题训练】
1．已知函数，设，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵
∴
∴
∵当时，；当时，
∴当时，，；
当时；.
∴
∴函数是偶函数
∴当时，易得为增函数
∴，
∵，，
∴
∴
故选D.
2．若函数在上有最小值，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
∴
∵函数在上有最小值
∴
故选A.
3．若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
数形结合可知，若函数在上有两个不同的零点，
则实数的取值范围为
故选
4．分别在曲线与直线上各取一点与，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】由，得，令，即，，则曲线上与直线平行的切线的切点坐标为，由点到直线的距离公式得，即.
点睛：此题主要考查求曲线上动点到直线距离最值的计算，以及导数几何意义在解决几何问题中的应用等有关方面的知识与运算能力，属于中档题型，也是常考考点.在此类问题中，常将距离的最值转化为切线问题，利用导数的几何意义，求出切点，再将问题转化为点到直线的距离问题，从而问题得解.
5．已知，若函数且有且只有五个零点，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】由题意可知，是的一个零点，
当式，由可得：
同一坐标系中作出和的图象
由图可知，有且只有五个零点需满足
则的取值范围是
点睛：本题考查了函数的零点问题，先求出一个零点，然后分离含参量，转化为两个函数的交点问题，利用导数求出函数的单调性，画出函数图像，数形结合，求出有四个交点的情况，即最值问题。本题较为综合，有一定难度。
6．已知函数．
（Ⅰ）若函数在内有极值，求实数的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，对任意，，求证：．
【答案】（I）；（II）证明见解析.
（II）由（I）的讨论知的最大值为，的最小值是，因此只要证即可，化简，为此只要求出函数在上的最小值，利用导数的知识可求解．
试题解析：
（Ⅰ）由定义域为
设，要使在上有极值，
则有两个不同的实根，
∴∴或,①
而且一根在区间上，不妨设，
又因为，∴，
又，
∴.只需，即，∴,②
联立①②可得：.
∴在上有最大值即对，都有
又∵，，，，
∴
,
设 ，
∴，
∴在上单调递增，∴,
∴.
点睛：证明不等式的问题，可转化为求函数的最值，例如要证明，可求得的最小值，然后证明这个最小值即可，当然在证明过程中，特别是求最值时，这个最小值可能不会明确给出，可能利用的零点表示出来为，接着可把作为自变量，在它的范围内再一次求它的最小值，当然应该也有这个最小值，从而才能最终证明结论．即解题过程中要多次运用导数的知识研究函数的单调性和最值.
7．已知,.
（1）若对任意的实数，恒有，求实数的取值范围；
（2）当时，求证：方程恒有两解.
【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析．
试题解析：
（Ⅰ）要使f(x)＜g(x)恒成立，即使成立，
整理成关于a的二次不等式，
只要保证△＜0，　　　　
，
整理为，　　（i） 　
下面探究（i）式成立的条件，令，，，当时，，单调递减；当时，，单调递增，x=1时有最小值，，，．
实数b 的取值范围是（－1,2）．　
，
，＜0，　
，，在和各有一个零点，故方程恒有两解．
点睛：本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程； (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解、函数的综合问题，同时注意数形结合思想的应用．
8．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）先求导数，再讨论符号，根据符号确定对应单调性，（2）由于，所以1得右侧附近函数单调递增，再结合（1）可得且，即得的取值范围.
（2）当时，在上单调递减，∴，不合题意.
当时，，不合题意.
当时，，在上单调递增，
∴，故满足题意.
当时，在上单调递减，在单调递增，
∴，故不满足题意.
综上，的取值范围为.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.
9．已知函数的图象在与轴的交点处的切线方程为.
（1）求的解析式；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
试题解析：（1）由得.
∴切点为.
∵
∴
∴,
又
∴，.
（2）由得.
设，对恒成立，
∴在上单调递增
∴.
设，，
则，当时，；当时，.
∴在上单调递减，在上单调递增，则，
∴.
综上，的取值范围为.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.
10．已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）若是函数的导函数的两个零点，当时，求证：.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，计算出及的值，根据点斜式即可得切线的方程；（2）由题意得是方程的两根，令，结合的范围和，可得，且，故结合韦达定理化简可得
，令，，利用导数判断的单调性得到最值即可.
试题解析：（1）当时，，，
所以，.
所以曲线在处的切线方程为，
即.
令，因为，
所以，，
所以，
且，
所以，
又因为，所以，
所以，
令，.
因为，
所以在区间内单调递增，
所以，即.